Mathonline - Användarbidrag [sv]

1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner

2026-01-08T08:00:38Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Genomgång]]}}
{{Selected tab|[[1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Fördjupning]]}}
{{Not selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

<Big><Big><Big>E-övningar: 1-5</Big></Big></Big>

== Övning 1 ==
<div class="ovnE">
Bestäm för varje graf om den visar en diskret eller en kontinuerlig funktion.

Ange även om och i så fall för vilka <math> x \, </math> funktionerna har diskontinuiteter.

Motivera dina svar.

[[Image: Övn 1.jpg]]

{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.5a Svar 1a|Svar 1b|1.5a Svar 1b|Svar 1c|1.5a Svar 1c|Svar 1d|1.5a Svar 1d}}</div>

== Övning 2 ==
<div class="ovnE">
a)   Rita grafen till den diskreta funktionen

::<math> y = x^2\, </math>

vars definitionsmängd är alla heltal <math> x\, </math> mellan <math> -5\, </math> och <math> 5\, </math> dvs <math> -5 \leq x \leq 5 </math>.

Undersök om din grafräknare kan rita diskreta funktioner. Om ja gör det, annars rita manuellt på rutat papper.

b)   Rita med grafräknaren grafen till den kontinuerliga funktionen

::<math> y = x^2\, </math>

vars definitionsmängd är alla reella tal <math> x\, </math> mellan <math> -5\, </math> och <math> 5\, </math> dvs <math> -5 \leq x \leq 5 </math>.

Fundera själv vilka min- och max-värden du borde ange för räknarens display (WINDOW-knappen).

{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.5a Svar 2a|Svar 2b|1.5a Svar 2b}}</div>

== Övning 3 ==
<div class="ovnE">
På bilden visas grafen till en funktion.

Den ihåliga ringen i grafen betyder att detta värde inte tillhör funktionens värdemängd,

medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden.

Anta att varje ruta i grafen har längdenheten <math> 1\, </math>.

[[Image: Övn 3 60a.jpg]]

a)   Är funktionen <math> f(x)\, </math> diskret eller kontinuerlig?

b)   Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen <math> f(x)\, </math> för <math> x = 4\, </math>?

c)   För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> definierad i det ritade intervallet?

d)   För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> kontinuerlig i det ritade intervallet?

Motivera dina svar.

{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.5a Svar 3a|Svar 3b|1.5a Svar 3b|Svar 3c|1.5a Svar 3c|Svar 3d|1.5a Svar 3d}}</div>

== Övning 4 ==
<div class="ovnE">
Kom ihåg att de ihåliga ringarna i grafen nedan betyder att dessa värden inte tillhör funktionens värdemängd,

medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden.

Anta att varje ruta i grafen nedan har längdenheten <math> 1\, </math>.

[[Image: Övn 4 60.jpg]]

a)   Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen <math> f(x)\, </math> för <math> x = 4\, </math>?

b)   Är funktionen <math> f(x)\, </math> definierad för alla <math> x\, </math> i det ritade intervallet?

c)   Är funktionen <math> f(x)\, </math> kontinuerlig för alla <math> x\, </math> i det ritade intervallet?

d)   För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> kontinuerlig och för vilka är den diskontinuerlig?

Motivera dina svar.

{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.5a Svar 4a|Svar 4b|1.5a Svar 4b|Svar 4c|1.5a Svar 4c|Svar 4d|1.5a Svar 4d}}</div>

== Övning 5 ==
<div class="ovnE">
Använd kalkylprogrammet Excel för att lösa följande uppgifter:

a)   I genomgången beräknades de <math> \, 12 \, </math> första fibonaccitalen.

:Komplettera beräkningen med ytterligare <math> \, 12 \, </math> fibonaccital, dvs beräkna <math> \, F(13) - F(24) </math>.

:Hur många kaninpar kommer att finnas om två år?

b)   I genomgången visades grafen för de 12 första fibonaccitalen.

:Rita Fibonaccis diskreta funktion för fibonaccitalen <math> F(12) - F(24) </math>.
{{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.5a Svar 5a|Svar 5b|1.5a Svar 5b}}</div>

<Big><Big><Big>C-övningar: 6-8</Big></Big></Big>

== Övning 6 ==
<div class="ovnC">
Använd Excel för att beräkna de första <math> \, 24 \, </math> fibonaccitalen <math> \, F(n), \quad n = 1, 2, 3, \cdots , 24 </math>.

Följ algoritmen i Excel som visades i genomgången.
<big>{{#NAVCONTENT:Klicka här för att se algoritmen.|Algoritm i Excel}}</big>

Fortsätt i Excel med att i en 3:e kolumn beräkna kvoten <math> \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} </math> för varje <math> \, n = 1, 2, 3, \cdots , 24 </math>. OBS! <math> \, F(0) \, = \, 0 </math>.

a)   Mot vilket värde går kvoten <math> \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} \, </math> när <math> n\, </math> växer? Ange svaret med <math> \, 9 \, </math> decimaler.

Det värde du har hittat för kvoten ovan är ett närmevärde till det s.k. gyllene snittets proportionella förhållande (skala).

För att få reda på vad detta innebär lös b):

b)   En sträcka kan delas i två delar där den längre delen är <math> \, 1 \, </math> och den kortare delen är <math> x\, </math>:

::::[[Image: Övn 6 60a.jpg]]

Om delningen är vald så att hela sträckan förhåller sig till den längre delen som denna bit förhåller sig till den kortare

delen, så sägs sträckan vara delad enligt [http://sv.wikipedia.org/wiki/Gyllene_snittet gyllene snittet]. Översatt till ekvation blir det:

::::::::<math> {1+x \over 1} \, = \, {1 \over x} </math>

Lös denna ekvation exakt.

Ange dess positiva lösning - kallad <math> g\, </math> (= gyllene snittet) samt ett närmevärde till <math> g\, </math> med nio decimaler.

Jämför resultatet med a).

c)   Hur skulle man kunna matematiskt beskriva sambandet mellan fibonaccitalen och gyllene snittet?

{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.5a Svar 6a|Lösning 6a|1.5a Lösning 6a|Svar 6b|1.5a Svar 6b|Lösning 6b|1.5a Lösning 6b|Svar 6c|1.5a Svar 6c}}</div>

== Övning 7 ==
<div class="ovnC">
Rita graferna till följande funktioner.

Avgör om funktionerna är kontinuerliga för alla reella <math> x\, </math>.

Om inte, ange för vilka <math> x\, </math> de är diskontinuerliga samt [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Olika_typer_av_diskontinuitet|diskontuiteternas typ]].

Motivera dina svar.

a)   <math> f(x) = </math> <big><big><math> {x^2\,-\,3\,x\,-\,4 \over x\,-\,2} </math></big></big>

b)   <math> g(x) \, = \, \begin{cases} 3\,x - 2 & \mbox{om } x \leq 0 \\
-2 & \mbox{om } x > 0 \\
\end{cases}
</math>

c)   <math> h(x) \, = \, \begin{cases} 2\,x + 1 & \mbox{om } x \leq 1 \\
5 & \mbox{om } x > 1 \\
\end{cases}
</math>

{{#NAVCONTENT:Lösning 7a|1.5a Svar 7a|Lösning 7b|1.5a Svar 7b|Lösning 7c|1.5a Svar 7c}}</div>

== Övning 8 ==
<div class="ovnC">

<table>
<tr>
<td>Följande graf till en funktion <math> y = f(x)\, </math> är given:

a)   Ställ upp ett funktionsuttryck för <math> f(x)\, </math>.

:Utnyttja möjligheten att för en och samma

:funktion ställa upp olika uttryck i olika

:delar av funktionens definitionsmängd.

b)   Undersök med hjälp av den [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Allm.C3.A4n_definition för kontinuerliga funktioner|allmänna]]
</td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>[[Image: Övn 8.png]]</td>
</tr>
</table>

:[[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Allm.C3.A4n_definition| definitionen]] för kontinuerliga funktioner om <math> f(x)\, </math> är kontinuerlig för <math> x = 0\, </math>.
{{#NAVCONTENT:Svar 8a|1.5a Svar 8a|Svar 8b|1.5a Svar 8b}}</div>

<Big><Big><Big>A-övningar: 9-11</Big></Big></Big>

== Övning 9 ==
<div class="ovnA">
Följande funktion är given:

::<math> y = f(x) = {x^2 - 9 \over x-3}\;,\qquad x\quad\text{reell} </math>

a)   Rita funktionens graf. Kan man av grafen dra slutsatsen att <math> f(x)\, </math> är kontinuerlig för alla <math> \,x</math>?

:Om inte, ange för vilka <math> x\, </math> funktionen är diskontinuerlig. Motivera ditt svar.

b)   Faktorisera polynomet i funktionsuttryckets täljare. Förkorta sedan.

c)   Är resultatet i b) ett uttryck till en ny funktion eller är det bara en annan form till funktionen <math> f(x)\, </math>?

:Motivera ditt svar.

{{#NAVCONTENT:Svar 9a|1.5a Svar 9a|Svar 9b|1.5a Svar 9b|Svar 9c|1.5a Svar 9c}}</div>

== Övning 10 ==
<div class="ovnA">
Följande funktion är given:

::<math> y = f(x) = {3\,x^2 + 12\,x + 12 \over x^2\,-\,4}\;,\qquad x\quad\text{reellt tal} </math>

a)   Ange funktionens diskontinuiteter.

:Vilka är [[1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck#H.C3.A4vbara_och_icke-h.C3.A4vbara_diskontinuiteter|hävbara]] och vilka är [[1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck#H.C3.A4vbara_och_icke-h.C3.A4vbara_diskontinuiteter|icke-hävbara]] diskontinuiteter?

b)   Definiera funktionen <math>\,f(x)</math>:s [[1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck#Kontinuerlig_forts.C3.A4ttning|kontinuerliga fortsättning]] <math> \, g(x)\, </math>.

:Dvs ange en funktion som inte längre har <math> \, f(x)</math>:s hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med <math> \, f(x) </math>.

c)   Rita graferna till <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Vilka slutsatser kan man dra av grafernas förlopp?

{{#NAVCONTENT:Svar 10a|1.5a Svar 10a|Lösning 10a|1.5a Lösning 10a|Svar 10b|1.5a Svar 10b|Lösning 10b|1.5a Lösning 10b|Lösning 10c|1.5a Lösning 10c}}</div>

== Övning 11 ==
<div class="ovnA">
Fibonaccis funktion

::<math> F(n) \, = \, \begin{cases} 1 & \mbox{om } n = 1 \\
1 & \mbox{om } n = 2\; , \qquad\qquad n \quad\mbox{heltal} \\
F(n-1) + F(n-2) & \mbox{om } n = 3,\,4,\,5,\,\cdots
\end{cases}
</math>

är inte bara diskret utan också rekursiv, vilket betyder att den i sin definition använder sig själv, närmare bestämt de två föregående värdena. Dvs den anropar sig själv fast med olika argument. Man måste alltid känna till de två föregående värdena, för att beräkna nästa värde. Därför har den också två startvärden.

Men det finns även en icke-rekursiv formel för direkt beräkning av fibonaccitalen. Fördelen med denna explicita formel är att man inte behöver känna till några föregående värden. Därför lämpar den sig för direkt beräkning av stora fibonaccital, utan att beräkna alla föregående fibonaccital. Den upptäcktes först 1718 och har en vacker struktur:

::<math> F(n) = {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 </math>

Bevisa denna explicita formel dvs visa att den uppfyller Fibonaccis rekursionsformel ovan.
{{#NAVCONTENT:Ledning 11|1.5a Ledning 11|Lösning 11|1.5a Lösning 11}}
</div>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2025 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner

2026-01-08T07:58:35Z

Taifun:

__TOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Genomgång]]}}
{{Selected tab|[[1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Fördjupning]]}}
{{Not selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

<Big><Big><Big>E-övningar: 1-5</Big></Big></Big>

== Övning 1 ==
<div class="ovnE">
Bestäm för varje graf om den visar en diskret eller en kontinuerlig funktion.

Ange även om och i så fall för vilka <math> x \, </math> funktionerna har diskontinuiteter.

Motivera dina svar.

[[Image: Övn 1.jpg]]

{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.5a Svar 1a|Svar 1b|1.5a Svar 1b|Svar 1c|1.5a Svar 1c|Svar 1d|1.5a Svar 1d}}</div>

== Övning 2 ==
<div class="ovnE">
a)   Rita grafen till den diskreta funktionen

::<math> y = x^2\, </math>

vars definitionsmängd är alla heltal <math> x\, </math> mellan <math> -5\, </math> och <math> 5\, </math> dvs <math> -5 \leq x \leq 5 </math>.

Undersök om din grafräknare kan rita diskreta funktioner. Om ja gör det, annars rita manuellt på rutat papper.

b)   Rita med grafräknaren grafen till den kontinuerliga funktionen

::<math> y = x^2\, </math>

vars definitionsmängd är alla reella tal <math> x\, </math> mellan <math> -5\, </math> och <math> 5\, </math> dvs <math> -5 \leq x \leq 5 </math>.

Fundera själv vilka min- och max-värden du borde ange för räknarens display (WINDOW-knappen).

{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.5a Svar 2a|Svar 2b|1.5a Svar 2b}}</div>

== Övning 3 ==
<div class="ovnE">
På bilden visas grafen till en funktion.

Den ihåliga ringen i grafen betyder att detta värde inte tillhör funktionens värdemängd,

medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden.

Anta att varje ruta i grafen har längdenheten <math> 1\, </math>.

[[Image: Övn 3 60a.jpg]]

a)   Är funktionen <math> f(x)\, </math> diskret eller kontinuerlig?

b)   Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen <math> f(x)\, </math> för <math> x = 4\, </math>?

c)   För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> definierad i det ritade intervallet?

d)   För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> kontinuerlig i det ritade intervallet?

Motivera dina svar.

{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.5a Svar 3a|Svar 3b|1.5a Svar 3b|Svar 3c|1.5a Svar 3c|Svar 3d|1.5a Svar 3d}}</div>

== Övning 4 ==
<div class="ovnE">
Kom ihåg att de ihåliga ringarna i grafen nedan betyder att dessa värden inte tillhör funktionens värdemängd,

medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden.

Anta att varje ruta i grafen nedan har längdenheten <math> 1\, </math>.

[[Image: Övn 4 60.jpg]]

a)   Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen <math> f(x)\, </math> för <math> x = 4\, </math>?

b)   Är funktionen <math> f(x)\, </math> definierad för alla <math> x\, </math> i det ritade intervallet?

c)   Är funktionen <math> f(x)\, </math> kontinuerlig för alla <math> x\, </math> i det ritade intervallet?

d)   För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> kontinuerlig och för vilka är den diskontinuerlig?

Motivera dina svar.

{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.5a Svar 4a|Svar 4b|1.5a Svar 4b|Svar 4c|1.5a Svar 4c|Svar 4d|1.5a Svar 4d}}</div>

== Övning 5 ==
<div class="ovnE">
Använd kalkylprogrammet Excel för att lösa följande uppgifter:

a)   I genomgången beräknades de <math> \, 12 \, </math> första fibonaccitalen.

:Komplettera beräkningen med ytterligare <math> \, 12 \, </math> fibonaccital, dvs beräkna <math> \, F(13) - F(24) </math>.

:Hur många kaninpar kommer att finnas om två år?

b)   I genomgången visades grafen för de 12 första fibonaccitalen.

:Rita Fibonaccis diskreta funktion för fibonaccitalen <math> F(12) - F(24) </math>.
{{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.5a Svar 5a|Svar 5b|1.5a Svar 5b}}</div>

<Big><Big><Big>C-övningar: 6-8</Big></Big></Big>

== Övning 6 ==
<div class="ovnC">
Använd Excel för att beräkna de första <math> \, 24 \, </math> fibonaccitalen <math> \, F(n), \quad n = 1, 2, 3, \cdots , 24 </math>.

Följ algoritmen i Excel som visades i genomgången.
<big>{{#NAVCONTENT:Klicka här för att se algoritmen.|Algoritm i Excel}}</big>

Fortsätt i Excel med att i en 3:e kolumn beräkna kvoten <math> \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} </math> för varje <math> \, n = 1, 2, 3, \cdots , 24 </math>. OBS! <math> \, F(0) \, = \, 0 </math>.

a)   Mot vilket värde går kvoten <math> \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} \, </math> när <math> n\, </math> växer? Ange svaret med <math> \, 9 \, </math> decimaler.

Det värde du har hittat för kvoten ovan är ett närmevärde till det s.k. gyllene snittets proportionella förhållande (skala).

För att få reda på vad detta innebär lös b):

b)   En sträcka kan delas i två delar där den längre delen är <math> \, 1 \, </math> och den kortare delen är <math> x\, </math>:

::::[[Image: Övn 6 60a.jpg]]

Om delningen är vald så att hela sträckan förhåller sig till den längre delen som denna bit förhåller sig till den kortare

delen, så sägs sträckan vara delad enligt [http://sv.wikipedia.org/wiki/Gyllene_snittet gyllene snittet]. Översatt till ekvation blir det:

::::::::<math> {1+x \over 1} \, = \, {1 \over x} </math>

Lös denna ekvation exakt.

Ange dess positiva lösning - kallad <math> g\, </math> (= gyllene snittet) samt ett närmevärde till <math> g\, </math> med nio decimaler.

Jämför resultatet med a).

c)   Hur skulle man kunna matematiskt beskriva sambandet mellan fibonaccitalen och gyllene snittet?

{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.5a Svar 6a|Lösning 6a|1.5a Lösning 6a|Svar 6b|1.5a Svar 6b|Lösning 6b|1.5a Lösning 6b|Svar 6c|1.5a Svar 6c}}</div>

== Övning 7 ==
<div class="ovnC">
Rita graferna till följande funktioner.

Avgör om funktionerna är kontinuerliga för alla reella <math> x\, </math>.

Om inte, ange för vilka <math> x\, </math> de är diskontinuerliga samt [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Olika_typer_av_diskontinuitet|diskontuiteternas typ]].

Motivera dina svar.

a)   <math> f(x) = </math> <big><big><math> {x^2\,-\,3\,x\,-\,4 \over x\,-\,2} </math></big></big>

b)   <math> g(x) \, = \, \begin{cases} 3\,x - 2 & \mbox{om } x \leq 0 \\
-2 & \mbox{om } x > 0 \\
\end{cases}
</math>

c)   <math> h(x) \, = \, \begin{cases} 2\,x + 1 & \mbox{om } x \leq 1 \\
5 & \mbox{om } x > 1 \\
\end{cases}
</math>

{{#NAVCONTENT:Lösning 7a|1.5a Svar 7a|Lösning 7b|1.5a Svar 7b|Lösning 7c|1.5a Svar 7c}}</div>

== Övning 8 ==
<div class="ovnC">

<table>
<tr>
<td>Följande graf till en funktion <math> y = f(x)\, </math> är given:

a)   Ställ upp ett funktionsuttryck för <math> f(x)\, </math>.

:Utnyttja möjligheten att för en och samma

:funktion ställa upp olika uttryck i olika

:delar av funktionens definitionsmängd.

b)   Undersök med hjälp av den [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Allm.C3.A4n_definition för kontinuerliga funktioner|allmänna]]
</td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>[[Image: Övn 8.png]]</td>
</tr>
</table>

:[[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Allm.C3.A4n_definition| definitionen]] för kontinuerliga funktioner om <math> f(x)\, </math> är kontinuerlig för <math> x = 0\, </math>.
{{#NAVCONTENT:Svar 8a|1.5a Svar 8a|Svar 8b|1.5a Svar 8b}}</div>

<Big><Big><Big>A-övningar: 9-11</Big></Big></Big>

== Övning 9 ==
<div class="ovnA">
Följande funktion är given:

::<math> y = f(x) = {x^2 - 9 \over x-3}\;,\qquad x\quad\text{reell} </math>

a)   Rita funktionens graf. Kan man av grafen dra slutsatsen att <math> f(x)\, </math> är kontinuerlig för alla <math> \,x</math>?

:Om inte, ange för vilka <math> x\, </math> funktionen är diskontinuerlig. Motivera ditt svar.

b)   Faktorisera polynomet i funktionsuttryckets täljare. Förkorta sedan.

c)   Är resultatet i b) ett uttryck till en ny funktion eller är det bara en annan form till funktionen <math> f(x)\, </math>?

:Motivera ditt svar.

{{#NAVCONTENT:Svar 9a|1.5a Svar 9a|Svar 9b|1.5a Svar 9b|Svar 9c|1.5a Svar 9c}}</div>

== Övning 10 ==
<div class="ovnA">
Följande funktion är given:

::<math> y = f(x) = {3\,x^2 + 12\,x + 12 \over x^2\,-\,4}\;,\qquad x\quad\text{reellt tal} </math>

a)   Ange funktionens diskontinuiteter.

:Vilka är [[1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck#H.C3.A4vbara_och_icke-h.C3.A4vbara_diskontinuiteter|hävbara]] och vilka är [[1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck#H.C3.A4vbara_och_icke-h.C3.A4vbara_diskontinuiteter|icke-hävbara]] diskontinuiteter?

b)   Definiera funktionen <math>\,f(x)</math>:s [[1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck#Kontinuerlig_forts.C3.A4ttning|kontinuerliga fortsättning]] <math> \, g(x)\, </math>.

:Dvs ange en funktion som inte längre har <math> \, f(x)</math>:s hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med <math> \, f(x) </math>.

c)   Rita graferna till <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Vilka slutsatser kan man dra av grafernas förlopp?

{{#NAVCONTENT:Svar 10a|1.5a Svar 10a|Lösning 10a|1.5a Lösning 10a|Svar 10b|1.5a Svar 10b|Lösning 10b|1.5a Lösning 10b|Lösning 10c|1.5a Lösning 10c}}</div>

== Övning 11 ==
<div class="ovnA">
Fibonaccis funktion

::<math> F(n) \, = \, \begin{cases} 1 & \mbox{om } n = 1 \\
1 & \mbox{om } n = 2\; , \qquad\qquad n \quad\mbox{heltal} \\
F(n-1) + F(n-2) & \mbox{om } n = 3,\,4,\,5,\,\cdots
\end{cases}
</math>

är inte bara diskret utan också rekursiv, vilket betyder att den i sin definition använder sig själv, närmare bestämt de två föregående värdena. Dvs den anropar sig själv fast med olika argument. Man måste alltid känna till de två föregående värdena, för att beräkna nästa värde. Därför har den också två startvärden.

Men det finns även en icke-rekursiv formel för direkt beräkning av fibonaccitalen. Fördelen med denna explicita formel är att man inte behöver känna till några föregående värden. Därför lämpar den sig för direkt beräkning av stora fibonaccital, utan att beräkna alla föregående fibonaccital. Den upptäcktes först 1718 och har en vacker struktur:

::<math> F(n) = {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 </math>

Bevisa denna explicita formel dvs visa att den uppfyller Fibonaccis rekursionsformel ovan.
{{#NAVCONTENT:Ledning 11|1.5a Ledning 11|Lösning 11|1.5a Lösning 11}}
</div>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2025 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

MediaWiki:Sidebar

2025-11-16T13:52:29Z

Taifun:

**http://web.mathonline.se/|Om m(o)
**Huvudsida|Startsidan Matte 3c
**Matte 3c Innehållsförteckning|Innehållsförteckning Matte 3c
**Matte 3c Planering|Planering Matte 3c


*Matematik 3c
**Repetitioner från Matte 2|Repetitioner
**Rotekvationer och högre gradsekvationer|        Rotekvationer och högre gradsekv.
**Grafritning och ekvationslösning med räknare|        Grafritning & ekv.lösning med räknare
**Potenser|        Potenser
**Ekvationer|        Ekvationer, inkl. Vieta
**Matte 3 Kapitel 1 Algebra och funktioner|Kap 1 Algebra och funktioner
**1.1 Polynom|       1.1 Polynom
***1.1 Fördjupning till Polynom|             Fördjupning
**1.2 Faktorisering av polynom|       1.2 Faktorisering av polynom
***1.2 Fördjupning till Faktorisering av Polynom|             Fördjupning
**1.3 Rationella uttryck|       1.3 Rationella uttryck
***1.3 Repetition: Tal i bråkform|             Repetition: Tal i bråkform
***1.3 Fördjupning till Rationella uttryck|             Fördjupning
**1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|       1.4 Talet e & den naturliga logaritmen
***Repetition: Exponentialfunktioner|             Repetition: Exponentialfunktioner
***Repetition: 10-logaritmer|             Repetition: 10-logaritmer
***Repetition: Logaritmlagarna|             Repetition: Logaritmlagarna
**1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|       1.5 Kontinuerliga & diskreta funktioner
***1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner|             Fördjupning
**1.6 Absolutbelopp|       1.6 Absolutbelopp
***1.6 Fördjupning till Absolutbelopp|             Fördjupning
**Repetition om rationella uttryck, exponentialfunktioner och logaritmer|Repetition Rationella uttryck / Logaritmer
**Diagnosprov 1 i Matte 3 kap 1 Algebra och funktioner|Diagnosprov 1 kap 1 Algebra & funktioner
**Lösningar till diagnosprov 1 i Matte 3 kap 1 Algebra och funktioner|Lösningar till diagnos 1 kap 1 Alg. & fkt.
**Diagnosprov 2 kap 1 Algebra & funktioner|Diagnosprov 2 kap 1 Algebra & funktioner
**Lösningar till diagnosprov 2 kap 1|Lösningar till diagnos 2 kap 1 Alg. & fkt.
**Matte 3 Kapitel 2 Derivata|Kap 2 Derivata
**2.1 Introduktion till derivata|       2.1 Introduktion till derivata
**2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|       2.2 Genomsnittlig förändringshastighet
**2.3 Gränsvärde|       2.3 Gränsvärde
***2.3 Fördjupning till Gränsvärde|             Fördjupning
**2.4 Derivatans definition|       2.4 Derivatans definition
**2.5 Deriveringsregler|       2.5 Deriveringsregler
***2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|             Fördjupning
**2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|       2.6 Derivatan av exponentialfunktioner
**2.7 Numerisk derivering|       2.7 Numerisk derivering
**Diagnosprov i Matte 3 kap 2 Derivata|Diagnosprov kap 2 Derivata
**Lösningar till diagnosprov i Matte 3 kap 2 Derivata|Lösningar till diagnos kap 2 Derivata
**Repetitionsuppgifter kap 2 Derivata|Repetitionsuppgifter kap 2 Derivata
**Facit till repetitionsuppgifter kap 2 Derivata|Facit till repetitionsuppgifter kap 2 Derivata
**Matte 3 Kapitel 3 Användning av derivata|Kap 3 Användning av derivata
**3.1 Växande och avtagande|       3.1 Växande och avtagande
**3.2 Lokala maxima och minima|       3.2 Lokala maxima och minima
**3.3 Terasspunkter|       3.3 Terasspunkter
**3.4 Kurvkonstruktioner|       3.4 Kurvkonstruktioner
**3.5 Extremvärdesproblem|       3.5 Extremvärdesproblem
**Diagnosprov kap 3 Användning av derivata|Diagnosprov kap 3 Användning av derivata
**Lösningar till diagnosprov kap 3 Användning av derivata|Lösningar diagnos kap 3 Anv. av derivata
**Repetitionsuppgifter kap 3 Anv. av derivata|Repetitionsuppgifter kap 3 Anv. av derivata
**Facit till repetitionsuppgifter kap 3 Anv. av derivata|Facit till repetitionsuppg. kap 3 Anv. derivata
**Kapitel 4 Integraler|Kap 4 Integraler

**Kapitel_4_Integraler#4.1_Primitiva_funktioner_.5C.28_.5Cqquad.5Cqquad.5Cqquad.5C.3B.5C.3B_.5C.29_.C3.96vningar:_.C2.A0_Boken.2C_sid_175|       4.1 Primitiva funktioner
**Kapitel_4_Integraler#4.2_Primitiva_funktioner_med_villkor_.5C.28_.5Cqquad.5Cqquad.5Cqquad.5C.3B.5C.3B_.5C.29_.C3.96vningar:_.C2.A0_Boken.2C_sid_177|       4.2 Primitiva funktioner med villkor
**Kapitel_4_Integraler#4.3_Integral_som_area_under_kurvan_.5C.28_.5Cqquad.5Cqquad.5Cqquad.5C.3B.5C.3B_.5C.29_.C3.96vningar:_.C2.A0_Boken.2C_sid_180|       4.3 Integral som area under kurvan
**Kapitel_4_Integraler#4.4_Ber.C3.A4kning_av_integraler_.5C.28_.5Cqquad.5Cqquad.5Cqquad.5C.3B.5C.3B_.5C.29_.C3.96vningar:_.C2.A0_Boken.2C_sid_185|       4.4 Beräkning av integraler
**Kapitel_4_Integraler#4.5_Anv.C3.A4ndning_av_integraler_.5C.28_.5Cqquad.5Cqquad.5Cqquad.5C.3B.5C.3B_.5C.29_.C3.96vningar:_.C2.A0_Boken.2C_sid_188-90|       4.5 Användning av integraler
**Kapitel_4_Integraler#Appendix:_.C2.A0_Integralens_definition|       Appendix: Integralens definition
**Kapitel 5 Trigonometri|Kap 5 Trigonometri
**Kapitel_5_Trigonometri#5.1_Trigonometri_i_r.C3.A4tvinkliga_trianglar_.5C.28_.5Cqquad.5C.3B.5C.3B_.5C.29_.C3.96vningar:_.C2.A0_Boken.2C_sid_208|       5.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar
**Kapitel_5_Trigonometri#5.2_Exakta_trigonometriska_v.C3.A4rden_.2F_Enhetscirkeln_.5C.28_.5C.3B.5C.3B_.5C.29_.C3.96vningar:_.C2.A0_Boken.2C_sid_209_.2F_210|       5.2 Exakta trig. värden / Enhetscirkeln
**Kapitel_5_Trigonometri#5.3_Godtyckliga_trianglar_.5C.28_.5Cqquad.5Cqquad.5C.3B.5C.3B_.5C.29_.C3.96vningar:_.C2.A0_Boken.2C_sid_215|       5.3 Godtyckliga trianglar
**Kapitel_5_Trigonometri#5.4_Triangelsatserna_.5C.28_.5Cqquad.5Cqquad.5Cqquad.5C.3B.5C.3B_.5C.29_.C3.96vningar:_.C2.A0_Boken.2C_sid_218|       5.4 Triangelsatserna: Areasatsen
**Kapitel_5_Trigonometri#5.5_Sinussatsen_.5C.28_.5Cqquad.5Cqquad.5Cqquad.5C.3B.5C.3B_.5C.29_.C3.96vningar:_.C2.A0_Boken.2C_sid_220_.2F_224-225|       5.5 Sinussatsen
**Kapitel_5_Trigonometri#5.6_Cosinussatsen_.5C.28_.5Cqquad.5Cqquad.5Cqquad.5C.3B.5C.3B_.5C.29_.C3.96vningar:_.C2.A0_Boken.2C_sid_229-230|       5.6 Cosinussatsen
**Kapitel_5_Trigonometri#5.7_Anv.C3.A4ndning_av_trigonometri_.5C.28_.5Cqquad.5Cqquad.5C.3B.5C.3B_.5C.29_.C3.96vningar:_.C2.A0_Boken.2C_sid_232-233|       5.7 Användning av trigonometri
**Diagnosprov kap 4 och 5 Integraler och Trigonometri|Diagnosprov kap 4 & 5 Integraler & Trigon.
**Lösningar till diagnosprov kap 4 och 5 Integraler och Trigonometri|Lösningar diagnos kap 4 & 5 Integr. & Trigon.
**Repetitionsuppgifter inför nationella provet i Matte 3c|-------- FÖRBEREDELSER INFÖR NP --------
**Repetitionsuppgifter inför nationella provet i Matte 3c|Repetitionsuppgifter inför nationella provet
**Facit till repetitionsuppgifter inför NP i Matte 3c|Facit till repetitionsuppgifter inför NP
**Gammalt nationellt prov 1 i Matte 3c|Nationella prov: Gammalt nationellt prov 1
**Lösningar till gammalt nationellt prov 1 i Matte 3c|                          Lösningar till gammalt NP 1
**Gammalt nationellt prov 2 i Matte 3c|                          Gammalt nationellt prov 2
**Lösningar till gammalt nationellt prov 2 i Matte 3c|                          Lösningar till gammalt NP 2

1.6 Absolutbelopp

2025-11-10T14:27:23Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.6 Övningar till Absolutbelopp|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[Diagnosprov 1 i Matte 3 kap 1 Algebra och funktioner|Diagnosprov 1 kap 1]]}}
{{Not selected tab|[[Diagnosprov 2 kap 1 Algebra & funktioner|Diagnosprov 2 kap 1]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab| }}
{{Not selected tab|[[1.6 Fördjupning till Absolutbelopp|Fördjupning]]}}
{{Not selected tab| }}
{{Not selected tab|[[Lösningar till diagnosprov 1 i Matte 3 kap 1 Algebra och funktioner|Lösningar Diagnos 1]]}}
{{Not selected tab|[[Lösningar till diagnosprov 2 kap 1|Lösningar Diagnos 2]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


<big>
<div class="ovnE">

=== Några exempel på absolutbelopp ===
 
<div class="exempel">
==== Exempel 1    Åldersskillnad ====

En dejtingsajt på nätet har bestämt sig för att åldersskillnaden mellan två partner ska vara <math> \, < \, 6 \, </math> år.

I sina webbformulär använder de följande formel som ger utskrifterna till höger

efter att några kunder skickat in sina uppgifter:

<table>
<tr>
<td><div style="border:1px solid black;
display:inline-block !important;
margin-left: 10px !important;
padding:10px 10px 10px 10px;
-webkit-border-radius: 10px;
-moz-border-radius: 5px;
border-radius: 5px;"><math> \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female}\, </math></div></td>
<td><math> \qquad\qquad </math></td>
<td><math> 25 \quad - \quad 20 \quad = \quad 5 </math>

<math> 26 \quad - \quad 22 \quad = \quad 4 </math>

<math> 23 \quad - \quad 30 \quad = \quad {\color{Red} {\boxed{-7}}} </math></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td><math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>

<math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>

<math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm {\color{Red} {\bf{ok}}}} </math></td>
</tr>
</table>

Lovisa som sommarjobbar på dejtingsajten konstaterar att den sista utskriften ger fel resultat: Åldersskillnaden är <math> \, > \, 6 \, </math> år.

Felet beror på att negativ åldersskillnad inte är meningsfull. Åldersskillnad måste alltid vara positiv.

Lovisa som lärt sig absolutbelopp på Matte 3-kursen föreslår att man ändrar formeln. Efter ändringen blir det så här:

<table>
<tr>
<td><div style="border:1px solid black;
display:inline-block !important;
margin-left: 10px !important;
padding:10px 10px 10px 10px;
-webkit-border-radius: 10px;
-moz-border-radius: 5px;
border-radius: 5px;"><math> { \color{Red} |} \, \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female} \, { \color{Red} |} </math></div></td>
<td><math> \qquad\quad </math></td>
<td><math> { \color{Red} |} \, 25 \quad - \quad 20 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 5 </math>

<math> { \color{Red} |} \, 26 \quad - \quad 22 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 4 </math>

<math> { \color{Red} |} \, 23 \quad - \quad 30 \, { \color{Red} |} \quad = \quad {\color{Red} {\boxed{7}}} </math></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td><math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>

<math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>

<math> {\color{Red} {\bf{>}}} \,\; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm {\color{Red} {\bf{inte\;ok}}}} </math></td>
</tr>
</table>

Nu stämmer det, vilket beror på att Lovisa infogade de två raka strecken <math> \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; </math> i formeln, vilket korrigerade den sista utskriften:

::<math> { \color{Red} |} \, 23 \quad - \quad 30 \, { \color{Red} |} \quad = \quad { \color{Red} |} \, - 7 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 7 </math>

<math> \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; </math> tar bort minustecknet från <math> -7\, </math> och ger <math> 7\, </math>. Därför: <math> { \color{Red} |} \, - 7 \, { \color{Red} |} = 7 </math>.
</div>

<div class="border-divblue">
De två raka strecken <math> \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; </math> som skrivs kring ett tal eller ett uttryck, kallas för absolutbelopp och betyder:

::Att göra om ett negativt tal till ett positivt tal och låta ett positivt tal vara oförändrat.    

Kortare:    Ett tals absolutbelopp är talets positiva värde, t.ex.:
</div>
<table>
<tr><td>
::<math> | \, - 7 \, | \, = \, 7 </math>

::<math> | \, - 0,5 \, | \, = \, 0,5 </math>

::<math> \left| \, - \sqrt{5} \, \right| \, = \, \sqrt{5} </math>
</td>
<td><math> \qquad\quad </math></td>
<td>
::::<math> | \; 23 \; | \, = \, 23 </math>

::::<math> | \, 7,25 \, | \, = \, 7,25 </math>

::::<math> \left| \, 0 \, \right| \, = \, 0 </math>
</td>
<td><math> \qquad\quad </math></td>
<td>
::::<math> \displaystyle{ \left| \, {13\over 4} \, \right| \, = \, {13\over 4} } </math>

::::<math> \displaystyle{ \left| \, - {2\over 3} \, \right| \, = \, {2\over 3} } </math>

::::<math> \left| \, \sqrt{3} \, \right| \, = \, \sqrt{3} </math>
</td>
<td><math> \qquad\quad </math></td>
<td>
::::<math> | \, a \, - \, b \, | \, = \, | \, b \, - \, a \, | </math> (se Exempel 2)

::::<math> | \, i \, | \, = \, | \, \sqrt{-1} \, | \, = \, 1 </math> (se Exempel 3)
</td></tr>
</table>
<div class="border-divblue">
Absolutbelopp lämpar sig för att modellera storheter som till sin natur är positiva som t.ex. åldersskillnad.

Andra exempel är avstånd, längd, area, volym, massa (vikt), tid, lufttryck, vindstyrka, pengar, antal objekt, <math> \, \ldots \; </math>.
</div>

Vi tittar närmare på avstånd:

<div class="exempel">
==== Exempel 2    Avstånd mellan två tal ====

Vad är avståndet mellan <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 5 \, </math>?    Svar: <math> \quad 5 \, - \, 2 \, = \, 3 </math>

Vad är då avståndet mellan <math> -2 \, </math> och <math> -5 \, </math>? Gör man samma sak blir svaret: <math> \quad -5 \, - \, (-2) \, = \, -5 \, + \, 2 \, = \, -3 </math>

Men vi vet att avståndet mellan <math> -2 \, </math> och <math> -5 \, </math> är <math> 3 \, </math> och inte <math> -3 \, </math>. Ett avstånd kan inte vara negativt. Avstånd är alltid positivt.

Korrekt svar:

:::<math> {\color{Red} |} \, -5 - (-2) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -5 + 2 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} -3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 </math>

Fortfarande dras talen av från varandra, men absolutbelopp kring subtraktionen gör att resultatet blir positivt.

Kastar vi om talens ordning blir det samma resultat:

:::<math> { \color{Red} |} \, -2 - (-5) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -2 + 5 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} \, 3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 </math>
</div>

Generellt gäller:

<div class="border-divblue">
Absolutbeloppet <math> \; | \, a - b \, | \; </math> är avståndet mellan talen <math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math>.
</div>

Det är irrelevant i vilken ordning talen skrivs. Det gäller: <math> \quad | \, a - b \, | \, = \, | \, -(b - a) \, | \, = \, | \, b - a \, | </math>

Ett specialfall av avståndet mellan två tal är, när det ena talet är <math> \, 0 \, </math>:

<div class="exempel">
==== Exempel 3    Avstånd från <math> \, 0 \, </math> ====

Om vi i den nya definitionen för avstånd <math> \, | \, a - b \, | \, </math> sätter in <math> a = 0 \, </math> och <math> b = -5 \, </math> för att beräkna avståndet mellan <math> 0 \, </math> och <math> -5 \, </math> får vi:

:::<math> | \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, | \, 5 \, | \, = \, 5 </math>

Och tar vi <math> \, | \, b - a \, | \, </math> blir det samma resultat:

:::<math> | -5 - 0 \, | \, = \, | -5 \, | \, = \, 5 </math>

<math> 5 \, </math> är alltså talet <math> \, -5</math>:s avstånd från <math> 0 \, </math>.
</div>

Detta ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet som gäller för alla tal, även för komplexa (se exemplet <math> | \, i \, | = 1 </math> ovan och motivera!):

<div class="border-divblue">
Absolutbeloppet <math> \; | \, a \, | \; </math> är talet <math> a</math>:s avstånd från 0.
</div>


</div> 

Alla hittills nämnda tolkningar av absolutbeloppet är utmärkta att använda i många sammanhang och ger oss en bra intuitiv uppfattning av begreppet.

Men de är inga strikt matematiska definitioner och lämpar sig inte t.ex. för att lösa ekvationer eller olikheter som involverar absolutbelopp. Därför:

<div class="ovnC">

=== Allmän definition, funktion och graf ===
<div class="border-divblue">
<table>
<tr>
<td>Absolutbeloppet <math> \; | \, x \, | \; </math> av ett tal <math> x\, </math> definieras genom:

::::<math> | \, x \, | \, = \, \begin{cases} \;\, x & \mbox{om } x \geq 0 \\
-x & \mbox{om } x < 0 \\
\end{cases}
</math>

Grafen till   funktionen <math> \; y = | \, x \, | \; </math> ser ut så här:
</td>
<td><math> \qquad </math></td>
<td>[[Image: Övn 8.png]]</td>
</tr>
</table>
Absolutbeloppet är en funktion som är definierad och kontinuerlig för alla <math> x \, </math>.
</div>

</div>

<div class="ovnC">

OBS!   I följande exempel ska absolutbelopp bestämmas genom att använda den allmänna definitionen, inte intuitivt.


<div class="exempel">
Exempel 1:

::Vad är <math> | \, 7 \, | </math> enligt definitionen ovan?

::Eftersom <math> x = 7 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, 7 \, | = 7\, </math>.

::Svar: <math> \; | \, 7 \, | = 7 </math>.
</div>

<div class="exempel">
Exempel 2:

::Vad är <math> | \, - 5 \, | </math> enligt definitionen ovan?

::Eftersom <math> x = -5 < 0\, </math> väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, - 5 \, | \, = \, -(-5) \, = \, 5 </math>.

::Svar: <math> \; | \, - 5 \, | = 5 </math>.
</div>

<div class="exempel">
Exempel 3:

::Vad är <math> | \, 0 \, | </math> enligt definitionen ovan?

::Eftersom <math> x = 0 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, 0 \, | = 0\, </math>.

::Svar: <math> \; | \, 0 \, | = 0 </math>.
</div>

<div class="exempel">
Exempel 4:

::Vad är <math> | \, a + 2 \, | </math> enligt definitionen ovan?

::Eftersom vi inte känner till <math> \, a</math>:s värde och därför inte vet om <math> \, a + 2 </math> blir positivt eller negativt, måste vi skilja mellan två fall:

::Fall 1 <math> \quad a + 2 \geq 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad a \geq -2 </math>

::Eftersom <math> x = a + 2 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, a + 2 \, | = a + 2\, </math>.

::Fall 2 <math> \quad a + 2 < 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad a < -2 </math>

::Eftersom <math> \; x = a + 2 < 0\, </math> väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, a + 2 \, | \, = \, -(a + 2) \, = \, -a - 2\, </math>.

::Svar: <math> \; | \, a + 2 \, | \, = \, \begin{cases} \;\, a + 2 & \mbox{om } a \geq -2 \\
-a-2 & \mbox{om } a < -2 \\
\end{cases}
</math>
</div> 


</div> 

Exempel 4 visar: Vill man bli av med absolutbeloppstecknen i ett uttryck som involverar obekanta variabler, måste man alltid skilja mellan två olika fall enligt absolubeloppets allmänna definition. Detta kommer vi att göra nu hela tiden när vi löser ekvationer och olikheter som involverar absolutbelopp.

== Ekvationer med absolutbelopp ==

 

<div class="ovnC">

<div class="ovnE">
Lös ekvationen <math> \; \, | \, x + 1 \, | \, = \, 3 </math>
</div>

Eftersom vi inte känner till <math> \, x \, </math> måste vi skilja mellan två fall, när vi tillämpar absolutbeloppets definition:

Fall 1 <math> \quad x + 1 \geq 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad x \geq -1 </math>

Enligt absolutbeloppets definition väljs det första alternativet efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, x + 1 \, | </math> blir <math> x + 1\, </math>.

Dvs i det här fallet kan vi ta bort absolutbeloppstecknen utan åtgärd. Ekvationen blir:

::<math>\begin{align} x + 1 & = 3 \\
x & = 3 - 1 \\
x_1 & = 2
\end{align}</math>

Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättningen vi gjorde i Fall 1, nämligen <math> \, x \geq -1 </math>.

Men faktiskt är <math> 2 \geq -1 </math>. Därmed kan vi godta denna lösning.

Annars hade den varit en s.k. falsk rot, dvs en beräknad "rot" som inte uppfyller ekvationen, se [[1.6_Fördjupning_till_Absolutbelopp#Falska_r.C3.B6tter|Falska rötter]].

I ekvationer med absolutbelopp är sådana kontroller kring falska rötter obligatoriska.

Fall 2 <math> \quad x + 1 < 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad x < -1 </math>

Enligt absolutbeloppets definition väljs det andra alternativet efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, x + 1 \, | </math> blir <math> -(x + 1) = -x - 1\, </math>.

Dvs i det här fallet måste vi ersätta <math> x + 1\, </math> med <math> -x - 1\, </math>, när vi tar bort absolutbeloppstecknen. Ekvationen blir:

::<math>\begin{align} -x - 1 & = 3 \\
-3 - 1 & = x \\
-4 & = x \\
x_2 & = -4
\end{align}</math>

Även här måste vi kolla om lösningen är förenlig med förutsättningen vi gjorde i Fall 2, nämligen <math> \, x < -1\, </math>.

Men faktiskt är <math> -4 < -1\, </math>. Därmed kan vi godta även denna lösning. Ekvationen har två lösningar.

Svar: <div class="ovnE"><math> x_1 = 2 \quad {\rm och} \quad x_2 = -4 </math></div>

</div> 

Ekvationens och lösningarnas grafiska tolkning:

Vi ritar i samma koordinatsystem graferna till de två funktioner som står i ekvationens resp. led:
<table>
<tr>
<td><math> \qquad\qquad \begin{align} y_1 & = | \, x + 1 \, | \\
\\
y_2 & = 3
\end{align}</math></td>
<td><math> \qquad\qquad </math></td>
<td>[[Image: Ex 1a.png]]</td>
</tr>
</table>
Likheten mellan leden: <math> \, | \, x + 1 \, | \, = \, 3 \, </math> innebär att ekvationens lösningar är skärningspunkternas <math> \, x</math>-koordinater.

Graferna visar att det finns två lösningar: två skärningspunkter.

Skärningspunkternas <math> \, x</math>-koordinater <math> \, x_1 = 2\, </math> och <math> \, x_2 = -4\, </math> bekräftar de lösningar vi fått för ekvationen.

== Internetlänkar ==

http://www.youtube.com/watch?v=cmAoY6RaKGU

http://www.youtube.com/watch?v=Ox55mE8N0qY

http://people.su.se/~matamm/undervisning/pdf/Introduktionskurs/Dag%203.pdf

http://ingforum.haninge.kth.se/armin/ALLA_KURSER/SF1625/ABSOLUTBELOPP.pdf
</big>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

1.6 Absolutbelopp

2025-11-10T11:54:03Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.6 Övningar till Absolutbelopp|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[Diagnosprov 1 i Matte 3 kap 1 Algebra och funktioner|Diagnosprov 1 kap 1]]}}
{{Not selected tab|[[Diagnosprov 2 kap 1 Algebra & funktioner|Diagnosprov 2 kap 1]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab| }}
{{Not selected tab|[[1.6 Fördjupning till Absolutbelopp|Fördjupning]]}}
{{Not selected tab| }}
{{Not selected tab|[[Lösningar till diagnosprov 1 i Matte 3 kap 1 Algebra och funktioner|Lösningar Diagnos 1]]}}
{{Not selected tab|[[Lösningar till diagnosprov 2 kap 1|Lösningar Diagnos 2]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


<big>
<div class="ovnE">

=== Några exempel på absolutbelopp ===
 
<div class="exempel">
==== Exempel 1    Åldersskillnad ====

En dejtingsajt på nätet har bestämt sig för att åldersskillnaden mellan två partner ska vara <math> \, < \, 6 \, </math> år.

I sina webbformulär använder de följande formel som ger utskrifterna till höger

efter att några kunder skickat in sina uppgifter:

<table>
<tr>
<td><div style="border:1px solid black;
display:inline-block !important;
margin-left: 10px !important;
padding:10px 10px 10px 10px;
-webkit-border-radius: 10px;
-moz-border-radius: 5px;
border-radius: 5px;"><math> \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female}\, </math></div></td>
<td><math> \qquad\qquad </math></td>
<td><math> 25 \quad - \quad 20 \quad = \quad 5 </math>

<math> 26 \quad - \quad 22 \quad = \quad 4 </math>

<math> 23 \quad - \quad 30 \quad = \quad {\color{Red} {\boxed{-7}}} </math></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td><math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>

<math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>

<math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm {\color{Red} {\bf{ok}}}} </math></td>
</tr>
</table>

Lovisa som sommarjobbar på dejtingsajten konstaterar att den sista utskriften ger fel resultat: Åldersskillnaden är <math> \, > \, 6 \, </math> år.

Felet beror på att negativ åldersskillnad inte är meningsfull. Åldersskillnad måste alltid vara positiv.

Lovisa som lärt sig absolutbelopp på Matte 3-kursen föreslår att man ändrar formeln. Efter ändringen blir det så här:

<table>
<tr>
<td><div style="border:1px solid black;
display:inline-block !important;
margin-left: 10px !important;
padding:10px 10px 10px 10px;
-webkit-border-radius: 10px;
-moz-border-radius: 5px;
border-radius: 5px;"><math> { \color{Red} |} \, \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female} \, { \color{Red} |} </math></div></td>
<td><math> \qquad\quad </math></td>
<td><math> { \color{Red} |} \, 25 \quad - \quad 20 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 5 </math>

<math> { \color{Red} |} \, 26 \quad - \quad 22 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 4 </math>

<math> { \color{Red} |} \, 23 \quad - \quad 30 \, { \color{Red} |} \quad = \quad {\color{Red} {\boxed{7}}} </math></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td><math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>

<math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>

<math> {\color{Red} {\bf{>}}} \,\; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm {\color{Red} {\bf{inte\;ok}}}} </math></td>
</tr>
</table>

Nu stämmer det, vilket beror på att Lovisa infogade de två raka strecken <math> \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; </math> i formeln, vilket korrigerade den sista utskriften:

::<math> { \color{Red} |} \, 23 \quad - \quad 30 \, { \color{Red} |} \quad = \quad { \color{Red} |} \, - 7 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 7 </math>

<math> \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; </math> tar bort minustecknet från <math> -7\, </math> och ger <math> 7\, </math>. Därför: <math> { \color{Red} |} \, - 7 \, { \color{Red} |} = 7 </math>.
</div>

<div class="border-divblue">
De två raka strecken <math> \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; </math> som skrivs kring ett tal eller ett uttryck, kallas för absolutbelopp och betyder:

::Att göra om ett negativt tal till ett positivt tal och låta ett positivt tal vara oförändrat.    

Kortare:    Ett tals absolutbelopp är talets positiva värde, t.ex.:
</div>
<table>
<tr><td>
::<math> | \, - 7 \, | \, = \, 7 </math>

::<math> | \, - 0,5 \, | \, = \, 0,5 </math>

::<math> \left| \, - \sqrt{5} \, \right| \, = \, \sqrt{5} </math>
</td>
<td><math> \qquad\quad </math></td>
<td>
::::<math> | \; 23 \; | \, = \, 23 </math>

::::<math> | \, 7,25 \, | \, = \, 7,25 </math>

::::<math> \left| \, 0 \, \right| \, = \, 0 </math>
</td>
<td><math> \qquad\quad </math></td>
<td>
::::<math> \displaystyle{ \left| \, {13\over 4} \, \right| \, = \, {13\over 4} } </math>

::::<math> \displaystyle{ \left| \, - {2\over 3} \, \right| \, = \, {2\over 3} } </math>

::::<math> \left| \, \sqrt{3} \, \right| \, = \, \sqrt{3} </math>
</td>
<td><math> \qquad\quad </math></td>
<td>
::::<math> | \, a \, - \, b \, | \, = \, | \, b \, - \, a \, | </math> (se Exempel 2)

::::<math> | \, i \, | \, = \, | \, \sqrt{-1} \, | \, = \, 1 </math> (se Exempel 3)
</td></tr>
</table>
<div class="border-divblue">
Absolutbelopp lämpar sig för att modellera storheter som till sin natur är positiva som t.ex. åldersskillnad.

Andra exempel är avstånd, längd, area, volym, massa (vikt), tid, lufttryck, vindstyrka, pengar, antal objekt, <math> \, \ldots \; </math>.
</div>

Vi tittar närmare på avstånd:

<div class="exempel">
==== <Exempel 2    Avstånd mellan två tal ====

Vad är avståndet mellan <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 5 \, </math>?    Svar: <math> \quad 5 \, - \, 2 \, = \, 3 </math>

Vad är då avståndet mellan <math> -2 \, </math> och <math> -5 \, </math>? Gör man samma sak blir svaret: <math> \quad -5 \, - \, (-2) \, = \, -5 \, + \, 2 \, = \, -3 </math>

Men vi vet att avståndet mellan <math> -2 \, </math> och <math> -5 \, </math> är <math> 3 \, </math> och inte <math> -3 \, </math>. Ett avstånd kan inte vara negativt. Avstånd är alltid positivt.

Korrekt svar:

:::<math> {\color{Red} |} \, -5 - (-2) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -5 + 2 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} -3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 </math>

Fortfarande dras talen av från varandra, men absolutbelopp kring subtraktionen gör att resultatet blir positivt.

Kastar vi om talens ordning blir det samma resultat:

:::<math> { \color{Red} |} \, -2 - (-5) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -2 + 5 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} \, 3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 </math>
</div>

Generellt gäller:

<div class="border-divblue">
Absolutbeloppet <math> \; | \, a - b \, | \; </math> är avståndet mellan talen <math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math>.
</div>

Det är irrelevant i vilken ordning talen skrivs. Det gäller: <math> \quad | \, a - b \, | \, = \, | \, -(b - a) \, | \, = \, | \, b - a \, | </math>

Ett specialfall av avståndet mellan två tal är, när det ena talet är <math> \, 0 \, </math>:

<div class="exempel">
==== Exempel 3    Avstånd från <math> \, 0 \, </math> ====

Om vi i den nya definitionen för avstånd <math> \, | \, a - b \, | \, </math> sätter in <math> a = 0 \, </math> och <math> b = -5 \, </math> för att beräkna avståndet mellan <math> 0 \, </math> och <math> -5 \, </math> får vi:

:::<math> | \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, | \, 5 \, | \, = \, 5 </math>

Och tar vi <math> \, | \, b - a \, | \, </math> blir det samma resultat:

:::<math> | -5 - 0 \, | \, = \, | -5 \, | \, = \, 5 </math>

<math> 5 \, </math> är alltså talet <math> \, -5</math>:s avstånd från <math> 0 \, </math>.
</div>

Detta ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet som gäller för alla tal, även för komplexa (se exemplet <math> | \, i \, | = 1 </math> ovan och motivera!):

<div class="border-divblue">
Absolutbeloppet <math> \; | \, a \, | \; </math> är talet <math> a</math>:s avstånd från 0.
</div>


</div> 

Alla hittills nämnda tolkningar av absolutbeloppet är utmärkta att använda i många sammanhang och ger oss en bra intuitiv uppfattning av begreppet.

Men de är inga strikt matematiska definitioner och lämpar sig inte t.ex. för att lösa ekvationer eller olikheter som involverar absolutbelopp. Därför:

<div class="ovnC">

=== Allmän definition, funktion och graf ===
<div class="border-divblue">
<table>
<tr>
<td>Absolutbeloppet <math> \; | \, x \, | \; </math> av ett tal <math> x\, </math> definieras genom:

::::<math> | \, x \, | \, = \, \begin{cases} \;\, x & \mbox{om } x \geq 0 \\
-x & \mbox{om } x < 0 \\
\end{cases}
</math>

Grafen till   funktionen <math> \; y = | \, x \, | \; </math> ser ut så här:
</td>
<td><math> \qquad </math></td>
<td>[[Image: Övn 8.png]]</td>
</tr>
</table>
Absolutbeloppet är en funktion som är definierad och kontinuerlig för alla <math> x \, </math>.
</div>

</div>

<div class="ovnC">

OBS!   I följande exempel ska absolutbelopp bestämmas genom att använda den allmänna definitionen, inte intuitivt.


<div class="exempel">
Exempel 1:

::Vad är <math> | \, 7 \, | </math> enligt definitionen ovan?

::Eftersom <math> x = 7 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, 7 \, | = 7\, </math>.

::Svar: <math> \; | \, 7 \, | = 7 </math>.
</div>

<div class="exempel">
Exempel 2:

::Vad är <math> | \, - 5 \, | </math> enligt definitionen ovan?

::Eftersom <math> x = -5 < 0\, </math> väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, - 5 \, | \, = \, -(-5) \, = \, 5 </math>.

::Svar: <math> \; | \, - 5 \, | = 5 </math>.
</div>

<div class="exempel">
Exempel 3:

::Vad är <math> | \, 0 \, | </math> enligt definitionen ovan?

::Eftersom <math> x = 0 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, 0 \, | = 0\, </math>.

::Svar: <math> \; | \, 0 \, | = 0 </math>.
</div>

<div class="exempel">
Exempel 4:

::Vad är <math> | \, a + 2 \, | </math> enligt definitionen ovan?

::Eftersom vi inte känner till <math> \, a</math>:s värde och därför inte vet om <math> \, a + 2 </math> blir positivt eller negativt, måste vi skilja mellan två fall:

::Fall 1 <math> \quad a + 2 \geq 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad a \geq -2 </math>

::Eftersom <math> x = a + 2 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, a + 2 \, | = a + 2\, </math>.

::Fall 2 <math> \quad a + 2 < 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad a < -2 </math>

::Eftersom <math> \; x = a + 2 < 0\, </math> väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, a + 2 \, | \, = \, -(a + 2) \, = \, -a - 2\, </math>.

::Svar: <math> \; | \, a + 2 \, | \, = \, \begin{cases} \;\, a + 2 & \mbox{om } a \geq -2 \\
-a-2 & \mbox{om } a < -2 \\
\end{cases}
</math>
</div> 


</div> 

Exempel 4 visar: Vill man bli av med absolutbeloppstecknen i ett uttryck som involverar obekanta variabler, måste man alltid skilja mellan två olika fall enligt absolubeloppets allmänna definition. Detta kommer vi att göra nu hela tiden när vi löser ekvationer och olikheter som involverar absolutbelopp.

== Ekvationer med absolutbelopp ==

 

<div class="ovnC">

<div class="ovnE">
Lös ekvationen <math> \; \, | \, x + 1 \, | \, = \, 3 </math>
</div>

Eftersom vi inte känner till <math> \, x \, </math> måste vi skilja mellan två fall, när vi tillämpar absolutbeloppets definition:

Fall 1 <math> \quad x + 1 \geq 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad x \geq -1 </math>

Enligt absolutbeloppets definition väljs det första alternativet efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, x + 1 \, | </math> blir <math> x + 1\, </math>.

Dvs i det här fallet kan vi ta bort absolutbeloppstecknen utan åtgärd. Ekvationen blir:

::<math>\begin{align} x + 1 & = 3 \\
x & = 3 - 1 \\
x_1 & = 2
\end{align}</math>

Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättningen vi gjorde i Fall 1, nämligen <math> \, x \geq -1 </math>.

Men faktiskt är <math> 2 \geq -1 </math>. Därmed kan vi godta denna lösning.

Annars hade den varit en s.k. falsk rot, dvs en beräknad "rot" som inte uppfyller ekvationen, se [[1.6_Fördjupning_till_Absolutbelopp#Falska_r.C3.B6tter|Falska rötter]].

I ekvationer med absolutbelopp är sådana kontroller kring falska rötter obligatoriska.

Fall 2 <math> \quad x + 1 < 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad x < -1 </math>

Enligt absolutbeloppets definition väljs det andra alternativet efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, x + 1 \, | </math> blir <math> -(x + 1) = -x - 1\, </math>.

Dvs i det här fallet måste vi ersätta <math> x + 1\, </math> med <math> -x - 1\, </math>, när vi tar bort absolutbeloppstecknen. Ekvationen blir:

::<math>\begin{align} -x - 1 & = 3 \\
-3 - 1 & = x \\
-4 & = x \\
x_2 & = -4
\end{align}</math>

Även här måste vi kolla om lösningen är förenlig med förutsättningen vi gjorde i Fall 2, nämligen <math> \, x < -1\, </math>.

Men faktiskt är <math> -4 < -1\, </math>. Därmed kan vi godta även denna lösning. Ekvationen har två lösningar.

Svar: <div class="ovnE"><math> x_1 = 2 \quad {\rm och} \quad x_2 = -4 </math></div>

</div> 

Ekvationens och lösningarnas grafiska tolkning:

Vi ritar i samma koordinatsystem graferna till de två funktioner som står i ekvationens resp. led:
<table>
<tr>
<td><math> \qquad\qquad \begin{align} y_1 & = | \, x + 1 \, | \\
\\
y_2 & = 3
\end{align}</math></td>
<td><math> \qquad\qquad </math></td>
<td>[[Image: Ex 1a.png]]</td>
</tr>
</table>
Likheten mellan leden: <math> \, | \, x + 1 \, | \, = \, 3 \, </math> innebär att ekvationens lösningar är skärningspunkternas <math> \, x</math>-koordinater.

Graferna visar att det finns två lösningar: två skärningspunkter.

Skärningspunkternas <math> \, x</math>-koordinater <math> \, x_1 = 2\, </math> och <math> \, x_2 = -4\, </math> bekräftar de lösningar vi fått för ekvationen.

== Internetlänkar ==

http://www.youtube.com/watch?v=cmAoY6RaKGU

http://www.youtube.com/watch?v=Ox55mE8N0qY

http://people.su.se/~matamm/undervisning/pdf/Introduktionskurs/Dag%203.pdf

http://ingforum.haninge.kth.se/armin/ALLA_KURSER/SF1625/ABSOLUTBELOPP.pdf
</big>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

1.6 Absolutbelopp

2025-11-10T11:53:30Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.6 Övningar till Absolutbelopp|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[Diagnosprov 1 i Matte 3 kap 1 Algebra och funktioner|Diagnosprov 1 kap 1]]}}
{{Not selected tab|[[Diagnosprov 2 kap 1 Algebra & funktioner|Diagnosprov 2 kap 1]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab| }}
{{Not selected tab|[[1.6 Fördjupning till Absolutbelopp|Fördjupning]]}}
{{Not selected tab| }}
{{Not selected tab|[[Lösningar till diagnosprov 1 i Matte 3 kap 1 Algebra och funktioner|Lösningar Diagnos 1]]}}
{{Not selected tab|[[Lösningar till diagnosprov 2 kap 1|Lösningar Diagnos 2]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


<big>
<div class="ovnE">

=== Några exempel på absolutbelopp ===
 
<div class="exempel">
==== Exempel 1    Åldersskillnad ====

En dejtingsajt på nätet har bestämt sig för att åldersskillnaden mellan två partner ska vara <math> \, < \, 6 \, </math> år.

I sina webbformulär använder de följande formel som ger utskrifterna till höger

efter att några kunder skickat in sina uppgifter:

<table>
<tr>
<td><div style="border:1px solid black;
display:inline-block !important;
margin-left: 10px !important;
padding:10px 10px 10px 10px;
-webkit-border-radius: 10px;
-moz-border-radius: 5px;
border-radius: 5px;"><math> \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female}\, </math></div></td>
<td><math> \qquad\qquad </math></td>
<td><math> 25 \quad - \quad 20 \quad = \quad 5 </math>

<math> 26 \quad - \quad 22 \quad = \quad 4 </math>

<math> 23 \quad - \quad 30 \quad = \quad {\color{Red} {\boxed{-7}}} </math></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td><math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>

<math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>

<math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm {\color{Red} {\bf{ok}}}} </math></td>
</tr>
</table>

Lovisa som sommarjobbar på dejtingsajten konstaterar att den sista utskriften ger fel resultat: Åldersskillnaden är <math> \, > \, 6 \, </math> år.

Felet beror på att negativ åldersskillnad inte är meningsfull. Åldersskillnad måste alltid vara positiv.

Lovisa som lärt sig absolutbelopp på Matte 3-kursen föreslår att man ändrar formeln. Efter ändringen blir det så här:

<table>
<tr>
<td><div style="border:1px solid black;
display:inline-block !important;
margin-left: 10px !important;
padding:10px 10px 10px 10px;
-webkit-border-radius: 10px;
-moz-border-radius: 5px;
border-radius: 5px;"><math> { \color{Red} |} \, \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female} \, { \color{Red} |} </math></div></td>
<td><math> \qquad\quad </math></td>
<td><math> { \color{Red} |} \, 25 \quad - \quad 20 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 5 </math>

<math> { \color{Red} |} \, 26 \quad - \quad 22 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 4 </math>

<math> { \color{Red} |} \, 23 \quad - \quad 30 \, { \color{Red} |} \quad = \quad {\color{Red} {\boxed{7}}} </math></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td><math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>

<math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>

<math> {\color{Red} {\bf{>}}} \,\; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm {\color{Red} {\bf{inte\;ok}}}} </math></td>
</tr>
</table>

Nu stämmer det, vilket beror på att Lovisa infogade de två raka strecken <math> \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; </math> i formeln, vilket korrigerade den sista utskriften:

::<math> { \color{Red} |} \, 23 \quad - \quad 30 \, { \color{Red} |} \quad = \quad { \color{Red} |} \, - 7 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 7 </math>

<math> \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; </math> tar bort minustecknet från <math> -7\, </math> och ger <math> 7\, </math>. Därför: <math> { \color{Red} |} \, - 7 \, { \color{Red} |} = 7 </math>.
</div>

<div class="border-divblue">
De två raka strecken <math> \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; </math> som skrivs kring ett tal eller ett uttryck, kallas för absolutbelopp och betyder:

::Att göra om ett negativt tal till ett positivt tal och låta ett positivt tal vara oförändrat.    

Kortare:    Ett tals absolutbelopp är talets positiva värde, t.ex.:
</div>
<table>
<tr><td>
::<math> | \, - 7 \, | \, = \, 7 </math>

::<math> | \, - 0,5 \, | \, = \, 0,5 </math>

::<math> \left| \, - \sqrt{5} \, \right| \, = \, \sqrt{5} </math>
</td>
<td><math> \qquad\quad </math></td>
<td>
::::<math> | \; 23 \; | \, = \, 23 </math>

::::<math> | \, 7,25 \, | \, = \, 7,25 </math>

::::<math> \left| \, 0 \, \right| \, = \, 0 </math>
</td>
<td><math> \qquad\quad </math></td>
<td>
::::<math> \displaystyle{ \left| \, {13\over 4} \, \right| \, = \, {13\over 4} } </math>

::::<math> \displaystyle{ \left| \, - {2\over 3} \, \right| \, = \, {2\over 3} } </math>

::::<math> \left| \, \sqrt{3} \, \right| \, = \, \sqrt{3} </math>
</td>
<td><math> \qquad\quad </math></td>
<td>
::::<math> | \, a \, - \, b \, | \, = \, | \, b \, - \, a \, | </math> (se Exempel 2)

::::<math> | \, i \, | \, = \, | \, \sqrt{-1} \, | \, = \, 1 </math> (se Exempel 3)
</td></tr>
</table>
<div class="border-divblue">
Absolutbelopp lämpar sig för att modellera storheter som till sin natur är positiva som t.ex. åldersskillnad.

Andra exempel är avstånd, längd, area, volym, massa (vikt), tid, lufttryck, vindstyrka, pengar, antal objekt, <math> \, \ldots \; </math>.
</div>

Vi tittar närmare på avstånd:

<div class="exempel">
==== <Exempel 2    Avstånd mellan två tal ====

Vad är avståndet mellan <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 5 \, </math>?    Svar: <math> \quad 5 \, - \, 2 \, = \, 3 </math>

Vad är då avståndet mellan <math> -2 \, </math> och <math> -5 \, </math>? Gör man samma sak blir svaret: <math> \quad -5 \, - \, (-2) \, = \, -5 \, + \, 2 \, = \, -3 </math>

Men vi vet att avståndet mellan <math> -2 \, </math> och <math> -5 \, </math> är <math> 3 \, </math> och inte <math> -3 \, </math>. Ett avstånd kan inte vara negativt. Avstånd är alltid positivt.

Korrekt svar:

:::<math> {\color{Red} |} \, -5 - (-2) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -5 + 2 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} -3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 </math>

Fortfarande dras talen av från varandra, men absolutbelopp kring subtraktionen gör att resultatet blir positivt.

Kastar vi om talens ordning blir det samma resultat:

:::<math> { \color{Red} |} \, -2 - (-5) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -2 + 5 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} \, 3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 </math>
</div>

Generellt gäller:

<div class="border-divblue">
Absolutbeloppet <math> \; | \, a - b \, | \; </math> är avståndet mellan talen <math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math>.
</div>

Det är irrelevant i vilken ordning talen skrivs. Det gäller: <math> \quad | \, a - b \, | \, = \, | \, -(b - a) \, | \, = \, | \, b - a \, | </math>

Ett specialfall av avståndet mellan två tal är, när det ena talet är <math> \, 0 \, </math>:

<div class="exempel">
==== Exempel 3    Avstånd från <math> \, 0 \, </math> ====

Om vi i den nya definitionen för avstånd <math> \, | \, a - b \, | \, </math> sätter in <math> a = 0 \, </math> och <math> b = -5 \, </math> för att beräkna avståndet mellan <math> 0 \, </math> och <math> -5 \, </math> får vi:

:::<math> | \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, | \, 5 \, | \, = \, 5 </math>

Och tar vi <math> \, | \, b - a \, | \, </math> blir det samma resultat:

:::<math> | -5 - 0 \, | \, = \, | -5 \, | \, = \, 5 </math>

<math> 5 \, </math> är alltså talet <math> \, -5</math>:s avstånd från <math> 0 \, </math>.
</div>

Detta ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet som gäller för alla tal, även för komplexa (se exemplet <math> | \, i \, | = 1 </math> ovan och motivera!):

<div class="border-divblue">
Absolutbeloppet <math> \; | \, a \, | \; </math> är talet <math> a</math>:s avstånd från 0.
</div>


</div> 

Alla hittills nämnda tolkningar av absolutbeloppet är utmärkta att använda i många sammanhang och ger oss en bra intuitiv uppfattning av begreppet.

Men de är inga strikt matematiska definitioner och lämpar sig inte t.ex. för att lösa ekvationer eller olikheter som involverar absolutbelopp. Därför:

<div class="ovnC">

=== Allmän definition, funktion och graf ===
<div class="border-divblue">
<table>
<tr>
<td>Absolutbeloppet <math> \; | \, x \, | \; </math> av ett tal <math> x\, </math> definieras genom:

::::<math> | \, x \, | \, = \, \begin{cases} \;\, x & \mbox{om } x \geq 0 \\
-x & \mbox{om } x < 0 \\
\end{cases}
</math>

Grafen till   funktionen <math> \; y = | \, x \, | \; </math> ser ut så här:
</td>
<td><math> \qquad </math></td>
<td>[[Image: Övn 8.png]]</td>
</tr>
</table>
Absolutbeloppet är en funktion som är definierad och kontinuerlig för alla <math> x \, </math>.
</div>

</div>

<div class="ovnC">

OBS!   I följande exempel ska absolutbelopp bestämmas genom att använda den allmänna definitionen, inte intuitivt.


<div class="exempel">
Exempel 1:

::Vad är <math> | \, 7 \, | </math> enligt definitionen ovan?

::Eftersom <math> x = 7 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, 7 \, | = 7\, </math>.

::Svar: <math> \; | \, 7 \, | = 7 </math>.
</div>

<div class="exempel">
Exempel 2:

::Vad är <math> | \, - 5 \, | </math> enligt definitionen ovan?

::Eftersom <math> x = -5 < 0\, </math> väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, - 5 \, | \, = \, -(-5) \, = \, 5 </math>.

::Svar: <math> \; | \, - 5 \, | = 5 </math>.
</div>

<div class="exempel">
Exempel 3:

::Vad är <math> | \, 0 \, | </math> enligt definitionen ovan?

::Eftersom <math> x = 0 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, 0 \, | = 0\, </math>.

::Svar: <math> \; | \, 0 \, | = 0 </math>.
</div>

<div class="exempel">
Exempel 4:

::Vad är <math> | \, a + 2 \, | </math> enligt definitionen ovan?

::Eftersom vi inte känner till <math> \, a</math>:s värde och därför inte vet om <math> \, a + 2 </math> blir positivt eller negativt, måste vi skilja mellan två fall:

::Fall 1 <math> \quad a + 2 \geq 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad a \geq -2 </math>

::Eftersom <math> x = a + 2 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, a + 2 \, | = a + 2\, </math>.

::Fall 2 <math> \quad a + 2 < 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad a < -2 </math>

::Eftersom <math> \; x = a + 2 < 0\, </math> väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, a + 2 \, | \, = \, -(a + 2) \, = \, -a - 2\, </math>.

::Svar: <math> \; | \, a + 2 \, | \, = \, \begin{cases} \;\, a + 2 & \mbox{om } a \geq -2 \\
-a-2 & \mbox{om } a < -2 \\
\end{cases}
</math>
</div> 


</div> 

Exempel 4 visar: Vill man bli av med absolutbeloppstecknen i ett uttryck som involverar obekanta variabler, måste man alltid skilja mellan två olika fall enligt absolubeloppets allmänna definition. Detta kommer vi att göra nu hela tiden när vi löser ekvationer och olikheter som involverar absolutbelopp.

== Ekvationer med absolutbelopp ==

 

<div class="ovnC">

<div class="ovnE">
Lös ekvationen <math> \; \, | \, x + 1 \, | \, = \, 3 </math>
</div>

Eftersom vi inte känner till <math> \, x \, </math> måste vi skilja mellan två fall, när vi tillämpar absolutbeloppets definition:

Fall 1 <math> \quad x + 1 \geq 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad x \geq -1 </math>

Enligt absolutbeloppets definition väljs det första alternativet efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, x + 1 \, | </math> blir <math> x + 1\, </math>.

Dvs i det här fallet kan vi ta bort absolutbeloppstecknen utan åtgärd. Ekvationen blir:

::<math>\begin{align} x + 1 & = 3 \\
x & = 3 - 1 \\
x_1 & = 2
\end{align}</math>

Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättningen vi gjorde i Fall 1, nämligen <math> \, x \geq -1 </math>.

Men faktiskt är <math> 2 \geq -1 </math>. Därmed kan vi godta denna lösning.

Annars hade den varit en s.k. falsk rot, dvs en beräknad "rot" som inte uppfyller ekvationen, se [[1.6_Fördjupning_till_Absolutbelopp#Falska_r.C3.B6tter|Falska rötter]].

I ekvationer med absolutbelopp är sådana kontroller kring falska rötter obligatoriska.

Fall 2 <math> \quad x + 1 < 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad x < -1 </math>

Enligt absolutbeloppets definition väljs det andra alternativet efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, x + 1 \, | </math> blir <math> -(x + 1) = -x - 1\, </math>.

Dvs i det här fallet måste vi ersätta <math> x + 1\, </math> med <math> -x - 1\, </math>, när vi tar bort absolutbeloppstecknen. Ekvationen blir:

::<math>\begin{align} -x - 1 & = 3 \\
-3 - 1 & = x \\
-4 & = x \\
x_2 & = -4
\end{align}</math>

Även här måste vi kolla om lösningen är förenlig med förutsättningen vi gjorde i Fall 2, nämligen <math> \, x < -1\, </math>.

Men faktiskt är <math> -4 < -1\, </math>. Därmed kan vi godta även denna lösning. Ekvationen har två lösningar.

Svar: <div class="ovnE"><math> x_1 = 2 \quad {\rm och} \quad x_2 = -4 </math></div>

</div> 

Ekvationens och lösningarnas grafiska tolkning:

Vi ritar i samma koordinatsystem graferna till de två funktioner som står i ekvationens resp. led:
<table>
<tr>
<td><math> \qquad\qquad \begin{align} y_1 & = | \, x + 1 \, | \\
\\
y_2 & = 3
\end{align}</math></td>
<td><math> \qquad\qquad </math></td>
<td>[[Image: Ex 1a.png]]</td>
</tr>
</table>
Likheten mellan leden: <math> \, | \, x + 1 \, | \, = \, 3 \, </math> innebär att ekvationens lösningar är skärningspunkternas <math> \, x</math>-koordinater.

Graferna visar att det finns två lösningar: två skärningspunkter.

Skärningspunkternas <math> \, x</math>-koordinater <math> \, x_1 = 2\, </math> och <math> \, x_2 = -4\, </math> bekräftar de lösningar vi fått för ekvationen.

== Internetlänkar ==

http://www.youtube.com/watch?v=cmAoY6RaKGU

http://www.youtube.com/watch?v=Ox55mE8N0qY

http://people.su.se/~matamm/undervisning/pdf/Introduktionskurs/Dag%203.pdf

http://ingforum.haninge.kth.se/armin/ALLA_KURSER/SF1625/ABSOLUTBELOPP.pdf
</big>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

1.6 Absolutbelopp

2025-11-10T11:52:33Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.6 Övningar till Absolutbelopp|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[Diagnosprov 1 i Matte 3 kap 1 Algebra och funktioner|Diagnosprov 1 kap 1]]}}
{{Not selected tab|[[Diagnosprov 2 kap 1 Algebra & funktioner|Diagnosprov 2 kap 1]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab| }}
{{Not selected tab|[[1.6 Fördjupning till Absolutbelopp|Fördjupning]]}}
{{Not selected tab| }}
{{Not selected tab|[[Lösningar till diagnosprov 1 i Matte 3 kap 1 Algebra och funktioner|Lösningar Diagnos 1]]}}
{{Not selected tab|[[Lösningar till diagnosprov 2 kap 1|Lösningar Diagnos 2]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


<big>
<div class="ovnE">

=== Några exempel på absolutbelopp ===
 
<div class="exempel">
==== Exempel 1    Åldersskillnad ====

En dejtingsajt på nätet har bestämt sig för att åldersskillnaden mellan två partner ska vara <math> \, < \, 6 \, </math> år.

I sina webbformulär använder de följande formel som ger utskrifterna till höger

efter att några kunder skickat in sina uppgifter:

<table>
<tr>
<td><div style="border:1px solid black;
display:inline-block !important;
margin-left: 10px !important;
padding:10px 10px 10px 10px;
-webkit-border-radius: 10px;
-moz-border-radius: 5px;
border-radius: 5px;"><math> \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female}\, </math></div></td>
<td><math> \qquad\qquad </math></td>
<td><math> 25 \quad - \quad 20 \quad = \quad 5 </math>

<math> 26 \quad - \quad 22 \quad = \quad 4 </math>

<math> 23 \quad - \quad 30 \quad = \quad {\color{Red} {\boxed{-7}}} </math></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td><math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>

<math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>

<math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm {\color{Red} {\bf{ok}}}} </math></td>
</tr>
</table>

Lovisa som sommarjobbar på dejtingsajten konstaterar att den sista utskriften ger fel resultat: Åldersskillnaden är <math> \, > \, 6 \, </math> år.

Felet beror på att negativ åldersskillnad inte är meningsfull. Åldersskillnad måste alltid vara positiv.

Lovisa som lärt sig absolutbelopp på Matte 3-kursen föreslår att man ändrar formeln. Efter ändringen blir det så här:

<table>
<tr>
<td><div style="border:1px solid black;
display:inline-block !important;
margin-left: 10px !important;
padding:10px 10px 10px 10px;
-webkit-border-radius: 10px;
-moz-border-radius: 5px;
border-radius: 5px;"><math> { \color{Red} |} \, \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female} \, { \color{Red} |} </math></div></td>
<td><math> \qquad\quad </math></td>
<td><math> { \color{Red} |} \, 25 \quad - \quad 20 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 5 </math>

<math> { \color{Red} |} \, 26 \quad - \quad 22 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 4 </math>

<math> { \color{Red} |} \, 23 \quad - \quad 30 \, { \color{Red} |} \quad = \quad {\color{Red} {\boxed{7}}} </math></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td><math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>

<math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>

<math> {\color{Red} {\bf{>}}} \,\; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm {\color{Red} {\bf{inte\;ok}}}} </math></td>
</tr>
</table>

Nu stämmer det, vilket beror på att Lovisa infogade de två raka strecken <math> \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; </math> i formeln, vilket korrigerade den sista utskriften:

::<math> { \color{Red} |} \, 23 \quad - \quad 30 \, { \color{Red} |} \quad = \quad { \color{Red} |} \, - 7 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 7 </math>

<math> \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; </math> tar bort minustecknet från <math> -7\, </math> och ger <math> 7\, </math>. Därför: <math> { \color{Red} |} \, - 7 \, { \color{Red} |} = 7 </math>.
</div>

<div class="border-divblue">
De två raka strecken <math> \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; </math> som skrivs kring ett tal eller ett uttryck, kallas för absolutbelopp och betyder:

::Att göra om ett negativt tal till ett positivt tal och låta ett positivt tal vara oförändrat.    

Kortare:    Ett tals absolutbelopp är talets positiva värde, t.ex.:
</div>
<table>
<tr><td>
::<math> | \, - 7 \, | \, = \, 7 </math>

::<math> | \, - 0,5 \, | \, = \, 0,5 </math>

::<math> \left| \, - \sqrt{5} \, \right| \, = \, \sqrt{5} </math>
</td>
<td><math> \qquad\quad </math></td>
<td>
::::<math> | \; 23 \; | \, = \, 23 </math>

::::<math> | \, 7,25 \, | \, = \, 7,25 </math>

::::<math> \left| \, 0 \, \right| \, = \, 0 </math>
</td>
<td><math> \qquad\quad </math></td>
<td>
::::<math> \displaystyle{ \left| \, {13\over 4} \, \right| \, = \, {13\over 4} } </math>

::::<math> \displaystyle{ \left| \, - {2\over 3} \, \right| \, = \, {2\over 3} } </math>

::::<math> \left| \, \sqrt{3} \, \right| \, = \, \sqrt{3} </math>
</td>
<td><math> \qquad\quad </math></td>
<td>
::::<math> | \, a \, - \, b \, | \, = \, | \, b \, - \, a \, | </math> (se Exempel 2)

::::<math> | \, i \, | \, = \, | \, \sqrt{-1} \, | \, = \, 1 </math> (se Exempel 3)
</td></tr>
</table>
<div class="border-divblue">
Absolutbelopp lämpar sig för att modellera storheter som till sin natur är positiva som t.ex. åldersskillnad.

Andra exempel är avstånd, längd, area, volym, massa (vikt), tid, lufttryck, vindstyrka, pengar, antal objekt, <math> \, \ldots \; </math>.
</div>

Vi tittar närmare på avstånd:

<div class="exempel">
==== Exempel 2    Avstånd mellan två tal ====

Vad är avståndet mellan <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 5 \, </math>?    Svar: <math> \quad 5 \, - \, 2 \, = \, 3 </math>

Vad är då avståndet mellan <math> -2 \, </math> och <math> -5 \, </math>? Gör man samma sak blir svaret: <math> \quad -5 \, - \, (-2) \, = \, -5 \, + \, 2 \, = \, -3 </math>

Men vi vet att avståndet mellan <math> -2 \, </math> och <math> -5 \, </math> är <math> 3 \, </math> och inte <math> -3 \, </math>. Ett avstånd kan inte vara negativt. Avstånd är alltid positivt.

Korrekt svar:

:::<math> {\color{Red} |} \, -5 - (-2) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -5 + 2 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} -3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 </math>

Fortfarande dras talen av från varandra, men absolutbelopp kring subtraktionen gör att resultatet blir positivt.

Kastar vi om talens ordning blir det samma resultat:

:::<math> { \color{Red} |} \, -2 - (-5) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -2 + 5 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} \, 3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 </math>
</div>

Generellt gäller:

<div class="border-divblue">
Absolutbeloppet <math> \; | \, a - b \, | \; </math> är avståndet mellan talen <math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math>.
</div>

Det är irrelevant i vilken ordning talen skrivs. Det gäller: <math> \quad | \, a - b \, | \, = \, | \, -(b - a) \, | \, = \, | \, b - a \, | </math>

Ett specialfall av avståndet mellan två tal är, när det ena talet är <math> \, 0 \, </math>:

<div class="exempel">
==== Exempel 3    Avstånd från <math> \, 0 \, </math> ====

Om vi i den nya definitionen för avstånd <math> \, | \, a - b \, | \, </math> sätter in <math> a = 0 \, </math> och <math> b = -5 \, </math> för att beräkna avståndet mellan <math> 0 \, </math> och <math> -5 \, </math> får vi:

:::<math> | \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, | \, 5 \, | \, = \, 5 </math>

Och tar vi <math> \, | \, b - a \, | \, </math> blir det samma resultat:

:::<math> | -5 - 0 \, | \, = \, | -5 \, | \, = \, 5 </math>

<math> 5 \, </math> är alltså talet <math> \, -5</math>:s avstånd från <math> 0 \, </math>.
</div>

Detta ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet som gäller för alla tal, även för komplexa (se exemplet <math> | \, i \, | = 1 </math> ovan och motivera!):

<div class="border-divblue">
Absolutbeloppet <math> \; | \, a \, | \; </math> är talet <math> a</math>:s avstånd från 0.
</div>


</div> 

Alla hittills nämnda tolkningar av absolutbeloppet är utmärkta att använda i många sammanhang och ger oss en bra intuitiv uppfattning av begreppet.

Men de är inga strikt matematiska definitioner och lämpar sig inte t.ex. för att lösa ekvationer eller olikheter som involverar absolutbelopp. Därför:

<div class="ovnC">

=== Allmän definition, funktion och graf ===
<div class="border-divblue">
<table>
<tr>
<td>Absolutbeloppet <math> \; | \, x \, | \; </math> av ett tal <math> x\, </math> definieras genom:

::::<math> | \, x \, | \, = \, \begin{cases} \;\, x & \mbox{om } x \geq 0 \\
-x & \mbox{om } x < 0 \\
\end{cases}
</math>

Grafen till   funktionen <math> \; y = | \, x \, | \; </math> ser ut så här:
</td>
<td><math> \qquad </math></td>
<td>[[Image: Övn 8.png]]</td>
</tr>
</table>
Absolutbeloppet är en funktion som är definierad och kontinuerlig för alla <math> x \, </math>.
</div>

</div>

<div class="ovnC">

OBS!   I följande exempel ska absolutbelopp bestämmas genom att använda den allmänna definitionen, inte intuitivt.


<div class="exempel">
Exempel 1:

::Vad är <math> | \, 7 \, | </math> enligt definitionen ovan?

::Eftersom <math> x = 7 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, 7 \, | = 7\, </math>.

::Svar: <math> \; | \, 7 \, | = 7 </math>.
</div>

<div class="exempel">
Exempel 2:

::Vad är <math> | \, - 5 \, | </math> enligt definitionen ovan?

::Eftersom <math> x = -5 < 0\, </math> väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, - 5 \, | \, = \, -(-5) \, = \, 5 </math>.

::Svar: <math> \; | \, - 5 \, | = 5 </math>.
</div>

<div class="exempel">
Exempel 3:

::Vad är <math> | \, 0 \, | </math> enligt definitionen ovan?

::Eftersom <math> x = 0 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, 0 \, | = 0\, </math>.

::Svar: <math> \; | \, 0 \, | = 0 </math>.
</div>

<div class="exempel">
Exempel 4:

::Vad är <math> | \, a + 2 \, | </math> enligt definitionen ovan?

::Eftersom vi inte känner till <math> \, a</math>:s värde och därför inte vet om <math> \, a + 2 </math> blir positivt eller negativt, måste vi skilja mellan två fall:

::Fall 1 <math> \quad a + 2 \geq 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad a \geq -2 </math>

::Eftersom <math> x = a + 2 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, a + 2 \, | = a + 2\, </math>.

::Fall 2 <math> \quad a + 2 < 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad a < -2 </math>

::Eftersom <math> \; x = a + 2 < 0\, </math> väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, a + 2 \, | \, = \, -(a + 2) \, = \, -a - 2\, </math>.

::Svar: <math> \; | \, a + 2 \, | \, = \, \begin{cases} \;\, a + 2 & \mbox{om } a \geq -2 \\
-a-2 & \mbox{om } a < -2 \\
\end{cases}
</math>
</div> 


</div> 

Exempel 4 visar: Vill man bli av med absolutbeloppstecknen i ett uttryck som involverar obekanta variabler, måste man alltid skilja mellan två olika fall enligt absolubeloppets allmänna definition. Detta kommer vi att göra nu hela tiden när vi löser ekvationer och olikheter som involverar absolutbelopp.

== Ekvationer med absolutbelopp ==

 

<div class="ovnC">

<div class="ovnE">
Lös ekvationen <math> \; \, | \, x + 1 \, | \, = \, 3 </math>
</div>

Eftersom vi inte känner till <math> \, x \, </math> måste vi skilja mellan två fall, när vi tillämpar absolutbeloppets definition:

Fall 1 <math> \quad x + 1 \geq 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad x \geq -1 </math>

Enligt absolutbeloppets definition väljs det första alternativet efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, x + 1 \, | </math> blir <math> x + 1\, </math>.

Dvs i det här fallet kan vi ta bort absolutbeloppstecknen utan åtgärd. Ekvationen blir:

::<math>\begin{align} x + 1 & = 3 \\
x & = 3 - 1 \\
x_1 & = 2
\end{align}</math>

Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättningen vi gjorde i Fall 1, nämligen <math> \, x \geq -1 </math>.

Men faktiskt är <math> 2 \geq -1 </math>. Därmed kan vi godta denna lösning.

Annars hade den varit en s.k. falsk rot, dvs en beräknad "rot" som inte uppfyller ekvationen, se [[1.6_Fördjupning_till_Absolutbelopp#Falska_r.C3.B6tter|Falska rötter]].

I ekvationer med absolutbelopp är sådana kontroller kring falska rötter obligatoriska.

Fall 2 <math> \quad x + 1 < 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad x < -1 </math>

Enligt absolutbeloppets definition väljs det andra alternativet efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, x + 1 \, | </math> blir <math> -(x + 1) = -x - 1\, </math>.

Dvs i det här fallet måste vi ersätta <math> x + 1\, </math> med <math> -x - 1\, </math>, när vi tar bort absolutbeloppstecknen. Ekvationen blir:

::<math>\begin{align} -x - 1 & = 3 \\
-3 - 1 & = x \\
-4 & = x \\
x_2 & = -4
\end{align}</math>

Även här måste vi kolla om lösningen är förenlig med förutsättningen vi gjorde i Fall 2, nämligen <math> \, x < -1\, </math>.

Men faktiskt är <math> -4 < -1\, </math>. Därmed kan vi godta även denna lösning. Ekvationen har två lösningar.

Svar: <div class="ovnE"><math> x_1 = 2 \quad {\rm och} \quad x_2 = -4 </math></div>

</div> 

Ekvationens och lösningarnas grafiska tolkning:

Vi ritar i samma koordinatsystem graferna till de två funktioner som står i ekvationens resp. led:
<table>
<tr>
<td><math> \qquad\qquad \begin{align} y_1 & = | \, x + 1 \, | \\
\\
y_2 & = 3
\end{align}</math></td>
<td><math> \qquad\qquad </math></td>
<td>[[Image: Ex 1a.png]]</td>
</tr>
</table>
Likheten mellan leden: <math> \, | \, x + 1 \, | \, = \, 3 \, </math> innebär att ekvationens lösningar är skärningspunkternas <math> \, x</math>-koordinater.

Graferna visar att det finns två lösningar: två skärningspunkter.

Skärningspunkternas <math> \, x</math>-koordinater <math> \, x_1 = 2\, </math> och <math> \, x_2 = -4\, </math> bekräftar de lösningar vi fått för ekvationen.

== Internetlänkar ==

http://www.youtube.com/watch?v=cmAoY6RaKGU

http://www.youtube.com/watch?v=Ox55mE8N0qY

http://people.su.se/~matamm/undervisning/pdf/Introduktionskurs/Dag%203.pdf

http://ingforum.haninge.kth.se/armin/ALLA_KURSER/SF1625/ABSOLUTBELOPP.pdf
</big>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

Kapitel 4 Integraler

2025-10-19T16:03:29Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  

{{Selected tab|[[Kapitel 4 Integraler|Genomgångar]]}}
{{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3 Integ.pdf|Formelsamling Integraler]]}}

{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Tidtabell_för_prov_2_i_Matte_4,_kap_2/3_Derivator_&_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

<big>
 
F.o.m. detta kapitel finns kursens övningar inte på webben (pga tidsbrist). Därför: Läs igenom genomgångarna här, men använd för

övningarna boken (Matematik 5000). Leta i bokens innehållsförteckning och register efter resp. kapitlets/avsnittets övningar.

Tyvärr överensstämmer sidouppgifterna här inte med boken.


== 4.1 Primitiva funktioner <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 175 ==

Hittills: En funktion var given. Vi sökte funktionens derivata. Nu vänder vi på steken:

Det omvända problemet:

<div class="border-divblue">Derivatan är given. Sökt är den ursprungliga funktionen till den givna derivatan.</div>

'''OBS!  Annan problemställning och annan beteckning:'''

<math> \; f\,(x) \, </math> är inte längre en given funktion som vi ska derivera.

<math> \; f\,(x) \, </math> är en given derivata av en okänd funktion <math> \, \color{red} {F\,(x)} \, </math> som vi söker, dvs <math> \, \color{red} {F\,'(x)} = f\,(x) \, </math>.

<div class="ovnE">
Exempel 1:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, 2\,x \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = 2\,x </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle x\,^2 \, + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = 2\,x + 0 \, = \, 2\,x \, = \, f\,(x) </math>
</div>

<div class="border-divblue"><math>F\,(x) = x\,^2 + C \, </math> kallas för primitiv funktion till <math> \, f\,(x) = 2\,x </math>. <math> \;\; </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata. <math> \;\; </math>
----
Att hitta en primitiv funktion kallas för integration och <math> \, C \, </math> för integrationskonstanten.
</div>

<table>
<tr>
<td><div class="ovnE">
Exempel 2:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = x\,^3 + 5 </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle \frac{1}{4} x\,^4 + 5 \, x + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = \frac{4}{4} x\,^3 + 5 + 0 \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, f\,(x) </math>
</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td><div class="border-divblue">
Allmän definition:
----
Givet: <math> \quad f\,(x) </math>

Sökt: <math> \quad </math> En funktion <math> \;\; F\,(x) \;\; </math> så att:

<math> \qquad\qquad\quad\; \boxed{F\,'\,(x) = f\,(x)} </math>

Funktionen <math> \, F\,(x) \, </math> kallas för primitiv funktion.
</div></td>
</tr>
</table>

:<big>   Integration är deriveringens inversa (omvända) operation. Därför:</big>

:<big>   Integrationsregler för olika funktionstyper följer genom att vända om deriveringsreglerna. T.ex.:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregeln för en potens: ====
----
Om <math> f(x) = x\,^n \qquad {\rm där} \qquad\, n = {\rm const.} \neq -1</math>

då <math>\; F(x) = \boxed{\frac{x\,^{n+1}}{n+1} \, + \, C\;} \;, C = </math> integrationskonstanten

</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>

<div class="ovnE">
Exempel:
----
För <math> \, f(x) \, = \, x^4 \; </math> blir den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{x^5}{5} + C \, = \, \frac{1}{5} \, x^5 + C</math>
</div>

</td>
</tr>
</table>

:<big>   Bevis:</big> <math> \, F\,'(x) = \displaystyle \frac{(n+1) \, x\,^{n+1-1}}{n+1} \, + \, 0 \, = \, \frac{(n+1) \, x\,^{n}}{n+1} = x\,^n = f\,(x) \qquad </math> <big>     Exempel:</big> <math> \;\; F\,'(x) \, = \, \displaystyle \frac{5}{5} \, x\,^4 \, + \, 0 \, = \, x\,^4 \, = \, f\,(x) \qquad </math>

:<big>   Regeln ovan gäller inte bara för positiva <math> \, n \, </math> utan även för negativa (undantaget <math> -1 </math>) och rationella exponenter.</big>

:<big>   Ytterligare regler om primitiva funktioner (för exponentialfunktioner) anges [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregler_f.C3.B6r_exponentialfunktioner:|senare]].</big>

<big>Fysikalisk tolkning:</big>

<table>
<tr>
<td><math> \quad </math></td>
<td>[[Image: 0 Hastighetsmatare_60.jpg]]</td>
<td> <big> <math> \quad </math> Hastighetsmätaren deriverar. <math> \;\; </math>

<math> \quad </math> Trippmätaren integrerar, dvs:

<math> \quad </math> summerar den körda sträckan. </big>

</td>
<td><math> \quad </math> [[Image: 0 Diff vs Integr_h257.jpg]]</td>
</tr>
</table>

<div class="border-divblue">
Integration är den inversa operationen till derivering. <math> \quad </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata

::{|class="wikitable"
!       !!   Derivata   !!   Integral   
|-
|align="left"|  Fysikalisk tolkning:  ||align="center"|  Hastighet  ||align="center"|  Sträcka  
|-
|align="left"|  Geometrisk tolkning:  ||align="center"|  Kurvans lutning  ||align="center"|  Area under kurvan  
|-
|align="left"|  Matematisk tolkning:  ||align="center"|  Limes av differenskvot  ||align="center"|  Limes av oändlig summa  
|}
</div>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 1 Primitiva funktioner_496.jpg]]
</div>
</div>

<big>'''Integrationskonstanten <math> \, C \, </math>:'''</big>

<div class="border-divblue">
Om en given funktion har en primitiva funktion så har den pga <math> \, C={\rm const.} \, </math> oändligt

många primitiva funktioner.

För att få endast en primitiv funktion <math> \, F(x) \, </math> ställs vissa villkor på <math> \, F(x) \, </math>. I fysiken kallas

de för begynnelsevillkor. Villkoren används för att bestämma integrationskonstanten <math> \, C \, </math>. <big><big><math> \; {\bf {\color{Red} {\downarrow}}} </math></big></big>
</div>


== 4.2 Primitiva funktioner med villkor <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 177 ==

I fysikaliska tillämpningar är den typiska formen av villkor begynnelsevillkor. Frågan är:

Vad gällde i början, dvs vilket vägmärke passerades vid <math> \, t = 0 \, </math>. Eller: Vad visade trippmätaren vid <math> \, t = 0 \, </math>?

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2 Primitiva funktioner med villkor_30.jpg]]
</div>
</div>

Problemet ovan kallas även för en differentialekvation med begynnelsevillkor som kommer att behandlas i Matte 4 och 5.

<big>Geometriskt exempel på primitiv funktion med en annan typ av villkor:</big>

<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2a 177_Uppg_3326_30.jpg]]
</div>
</div>


== 4.3 Integral som area under kurvan <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 180 ==

I början av Analysen <math>-</math> den gren av matematiken som handlar om derivator och integraler och som på 1700-talet utvecklades av [https://sv.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Newton] och [https://sv.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz Leibniz] <math>-</math> stod bl.a. följande frågeställning (se även [[2.4_Derivatans_definition#Fr.C3.A5n_sekanten_till_tangenten|Derivatans definition]]):

<div class="border-divblue">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3 Integraler_25.jpg]]
</div>
</div>

<div class="border-divblue">
<math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> läses "Integralen över <math> f(x) \; dx \, </math> från <math> \, a \, </math> till <math> \, b \, </math>". <math> \, f(x) \, </math> kallas för integranden.

<math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math> kallas för integrationsgränser och ersätter integrationskonstanten <math> \, C \, </math>.
</div>

<div class="ovnE">
 <math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> kallas för bestämd integral. Dess resultat är ett tal.

<math> \displaystyle \, \int\limits f(x) \, dx </math> kallas för obestämd integral vars resultat är en primitiv funktion med en integrationskonstant <math> \, C \, </math>.

För att bestämma integrationskonstanten måste ett villkor (begynnelsevillkor) vara givet.
</div>

<big>Fysikaliskt exempel: <math> \quad </math> Likformig rörelse med konstant hastighet 60 km/h </big>

:::[[Image: Integral = Area_70.jpg]]

<math> \qquad\; v\,\text{-}\,t</math> diagrammet (till vänster): Kör man med med <math> \, 60 \, </math> km/h i <math> \, 4 \, </math> timmar har man kört en sträcka på <math> \, 60 \cdot 4 = 240 \, </math> km.

<math> \qquad\; \text{Sträckan} \, 240 \, = \, \text{Arean under hastighetskurvan} \, = \, \text{Integralen} \, \displaystyle \int\limits_0^4 \color{Red}{60} \, dt \, = \, \left[ \, \color{Red}{60\,t} \, \right]_0^4 \, = \, 60\cdot4 \, - \, 60\cdot0 \, = \, 240 </math>

<math> \qquad\; </math>Generellt:

<div class="border-divblue">
Integralen över hastigheten   =   Arean under hastighetskurvan   =   Sträckan.
</div>

<big>Rörelse med variabel hastighet (konstant acceleration):</big>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3a Integral som area under kurvan_30.jpg]]
</div>
</div>


== 3.2 Integralberäkningar ==
<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4 Integralberakning 20b.jpg]]
</div>
</div>

<big>I övningarna finns även exponentialfunktioner vars primitiva funktioner sökes. Reglerna för dem skiljer sig från [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregeln_f.C3.B6r_en_potens:|integrationsregeln för en potens]]:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregler för exponentialfunktioner: ====
----
Om <math> \; f(x) \, = \; e\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{e\,^{k\,x}}{k} \, + \, C\;} \; </math>
----
Om <math> \; f(x) \, = \; a\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, a, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{a\,^{k\,x}}{k\,\ln a} \, + \, C\;} \; </math>
</div>

</td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>
<div class="ovnE">
Exempel:
----
Om <math> \, f(x) \, = \, e\,^{4x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{e\,^{4x}}{4} + C \, = \, \frac{1}{4} \, e\,^{4x} + C</math>
----
Om <math> \, f(x) \, = \, 2\,^{3x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{2\,^{3x}}{3\,\ln 2} + C \, = \, \frac{1}{3\,\ln 2} \, 2\,^{3x} + C </math></div></td>
</tr>
</table>

<big>Beakta skillnaden mellan potensfunktioner (<math> x </math> i basen) och exponentialfunktioner (<math> x </math> i exponenten). Därav olika integrationsregler.</big>

====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.2 Integralberäkningar:   Matte 4-boken, sid 156-158</div> ======



 

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Tidtabell_för_prov_2_i_Matte_4,_kap_2/3_Derivator_&_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

== 3.5 Tillämpning av integraler ==

== Ett fysikaliskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Fallskärmshopp ====

En fallskärmshoppare faller fritt utan att öppna fallskärmen med hastigheten:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

där <math> \, t = \, </math> tiden i sek och <math> \, v \, </math> hastigheten i meter/sek.

a) Bestäm hopparens maximala hastighet genom att:

    rita grafen <math> \, v = v(t) \, </math> och tolka rörelsen fysikaliskt.

b) Formulera och lös problemet matematiskt och besvara frågan:

    Hur långt har hopparen fallit när <math> \, v = 40 \, </math> m/s ?
</div>

=== Fysikalisk tolkning ===
<div class="border-divblue">

<table>
<tr>
<td>a) Grafen till <math> \, v = v(t) \, </math> visar att det finns en maximal hastighet som

fallskärmshopparen inte kan överskrida: <math> \quad\;\; v_{max} = 80 </math> m/s

Efter ett tag når hopparen denna maximala hastighet,

enligt grafen efter ca. 40 sek.     Algebraiskt:

<math> v_{max} = \displaystyle \lim_{t \to \infty}{(80(1 - 0,88^t))} = \lim_{t \to \infty}{(80 - \color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} = 80 \quad </math>

Detta pga: <math> \quad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(\color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} \, = \, 0 \quad </math> och <math> \quad 0,88 \, < \, 1 </math>.

Efter att ha nått <math> \, \approx \, v_{max} \, </math> faller hopparen med konstant hastighet,

eftersom   Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> Gravitation <math> \Rightarrow </math> <div class="smallBox">Fritt fall med luftmotstånd</div>
</td>
<td>[[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt falla.jpg]]

</td>
</tr>
</table>
Enligt [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ Newtons fösta lag:]  "Ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet, om och endast om

::::::::   summan av alla krafter <math> = 0 </math>."
</div>

=== Matematisk formulering ===
<div class="ovnC">

b) Givet:     Hastigheten <math> \; s'(t) \, = \, v(t) \, = \, 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

<math> \qquad\qquad </math> Begynnelsevillkor: <math> \, s(0) \, = \, 0 </math>

     Sökt:     1. Funktionen <math> \displaystyle \quad\; s(t) \, = \, \int_0^t 80\,(1 - 0,88\,^t) \; dt </math>

                  2. Sträckan <math> \quad\;\;\;\, s(t_1) \, </math>, där <math> \; v(t_1) \, = \, 40 \, </math> m/s
</div>

=== Matematisk lösning ===
<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt fall_800.jpg]]</div>

  <big>Övning:     Rita grafen <math> \, s = s(t) \, </math> och tolka med hjälp av den resultaten ovan.</big>
</div>

== Ett samhällsvetenskapligt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Röster i melodifestivalen ====

Antalet inkommande röster per minut i melodifestivalen beskrivs av funktionen:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad r(x)\, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

där <math> \,\, r \,\, </math> är antalet inkommande röster per minut

och <math> \, x \, </math> tiden i minuter efter röstningens start.

Totalt kom in <math> \, 14,5 \, </math> miljoner röster under röstningsperioden.

Beräkna hur länge röstningen pågick.

Kontrollera ditt resultat med grafräknarens verktyg för numerisk integration.
</div>

=== Lösning ===
<div class="border-divblue">

<math> r(x) \, = \, </math> antalet inkommande röster per minut.

Vi inför <math> \, R(x) \, = \, </math> antalet (summan) röster som kommit in vid tidpunkten <math> \, x \, </math>.

Då blir <math> \, r(x) \, </math> rösternas tillväxthastighet (antal per min) dvs derivatan av <math> \, R(x) \, </math>:

::::::::<math> \qquad\qquad R\,'(x) \, = \, r(x) </math>

vilket betyder att <math> \, R(x) \, </math> är den primitiva funktionen till <math> \, r(x) \, </math>:

<math> \qquad R\,'(x) \, = \, r(x) \, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

Vi integrerar ekvationen ovan och sätter den till <math> \, 14,5 \, </math> miljoner inkommande röster :

<math> \qquad \displaystyle R(t) \, = \, \int_0^t (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad\qquad\qquad\; \displaystyle \left[ \, \frac{14\,500\,x^2}{2} - \frac{150\,x^3}{3} \, \right]_0^t \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad \left[ \, 7\,250\,x^2 - 50\,x^3 \, \right]_0^t \, = \, 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 - 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

<math> \qquad 50\,t^3 - 7\,250\,t^2 + 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

Grafräknarens [[Grafritning_och_ekvationslösning_med_räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|ekvationslösare]] ger: <math> \qquad t \, \approx \, 57,6041146 </math>

<math> 0,6041146 \, </math> minuter är <math> \, 0,6041146 \cdot 60 \, \approx \ 36,25 \, </math> sekunder.

Röstningen pågick i <math> \, \underline{57\,\,{\rm minuter\;och\;} 36\,\,{\rm sekunder.}} </math>
</div>

=== Kontroll ===

<big>
Vi beräknar med grafräknaren <math> \, \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, </math> och kontrollerar om det blir <math> \, 14\,500\,000 \, </math>.

Beskrivningen bygger på grafräknaren TI-82 STATS, men kan med lite modifikation tillämpas på alla grafräknare.
</big>

== Numerisk integration med miniräknare ==
<div class="border-divblue">
Tryck i miniräknaren på knappen MATH.

Gå med piltangenten till   fnInt(   som står för numerical Integration.

Tryck på ENTER.

Mata in så att det efteråt står följande i displayen:

::: fnInt ( 14500X-150X^2, X, 0, 57.6041146 ) 

Tryck på ENTER. I displayen visas <math> \underline{14\,500\,000} </math>, vilket betyder:

<math> \qquad \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>
</div>

<big>
Räknarens funktion fnInt( ) tar fyra argument separerade med komma:

1)   Integrandens funktionsuttryck <math> \, f(x) \, </math>, i exemplet ovan <math> r(x) </math>.

2)   Variabeln med avseende på vilken <math> f(x) </math> ska integreras.

3)   Den undre integrationsgränsen.

4)   Den övre integrationsgränsen.
</big>

== Ett ekonomiskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Marginalkostnad ====
som derivatan av kostnaden (jfr. med [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_1_Marginalskatt|marginalskatt)]]
 
Kostnaden K som en funktion av mängden x (antalet broschyrer)
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 189 Uppg 3433 Marginalkostnad.jpg]]
</div>
</div>



====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.5 Tillämpning av integraler:   Matte 4-boken, sid 169-172</div> ======

 

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Tidtabell_för_prov_2_i_Matte_4,_kap_2/3_Derivator_&_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
</big>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

Kapitel 4 Integraler

2025-10-14T13:35:19Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  

{{Selected tab|[[Kapitel 4 Integraler|Genomgångar]]}}
{{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3 Integ.pdf|Formelsamling Integraler]]}}

{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

<big>
 
F.o.m. detta kapitel finns kursens övningar inte på webben (pga tidsbrist). Därför: Läs igenom genomgångarna här, men använd för

övningarna boken (Matematik 5000). Leta i bokens innehållsförteckning och register efter resp. kapitlets/avsnittets övningar.

Tyvärr överensstämmer sidouppgifterna här inte med boken.


== 4.1 Primitiva funktioner <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 175 ==

Hittills: En funktion var given. Vi sökte funktionens derivata. Nu vänder vi på steken:

Det omvända problemet:

<div class="border-divblue">Derivatan är given. Sökt är den ursprungliga funktionen till den givna derivatan.</div>

'''OBS!  Annan problemställning och annan beteckning:'''

<math> \; f\,(x) \, </math> är inte längre en given funktion som vi ska derivera.

<math> \; f\,(x) \, </math> är en given derivata av en okänd funktion <math> \, \color{red} {F\,(x)} \, </math> som vi söker, dvs <math> \, \color{red} {F\,'(x)} = f\,(x) \, </math>.

<div class="ovnE">
Exempel 1:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, 2\,x \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = 2\,x </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle x\,^2 \, + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = 2\,x + 0 \, = \, 2\,x \, = \, f\,(x) </math>
</div>

<div class="border-divblue"><math>F\,(x) = x\,^2 + C \, </math> kallas för primitiv funktion till <math> \, f\,(x) = 2\,x </math>. <math> \;\; </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata. <math> \;\; </math>
----
Att hitta en primitiv funktion kallas för integration och <math> \, C \, </math> för integrationskonstanten.
</div>

<table>
<tr>
<td><div class="ovnE">
Exempel 2:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = x\,^3 + 5 </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle \frac{1}{4} x\,^4 + 5 \, x + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = \frac{4}{4} x\,^3 + 5 + 0 \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, f\,(x) </math>
</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td><div class="border-divblue">
Allmän definition:
----
Givet: <math> \quad f\,(x) </math>

Sökt: <math> \quad </math> En funktion <math> \;\; F\,(x) \;\; </math> så att:

<math> \qquad\qquad\quad\; \boxed{F\,'\,(x) = f\,(x)} </math>

Funktionen <math> \, F\,(x) \, </math> kallas för primitiv funktion.
</div></td>
</tr>
</table>

:<big>   Integration är deriveringens inversa (omvända) operation. Därför:</big>

:<big>   Integrationsregler för olika funktionstyper följer genom att vända om deriveringsreglerna. T.ex.:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregeln för en potens: ====
----
Om <math> f(x) = x\,^n \qquad {\rm där} \qquad\, n = {\rm const.} \neq -1</math>

då <math>\; F(x) = \boxed{\frac{x\,^{n+1}}{n+1} \, + \, C\;} \;, C = </math> integrationskonstanten

</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>

<div class="ovnE">
Exempel:
----
För <math> \, f(x) \, = \, x^4 \; </math> blir den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{x^5}{5} + C \, = \, \frac{1}{5} \, x^5 + C</math>
</div>

</td>
</tr>
</table>

:<big>   Bevis:</big> <math> \, F\,'(x) = \displaystyle \frac{(n+1) \, x\,^{n+1-1}}{n+1} \, + \, 0 \, = \, \frac{(n+1) \, x\,^{n}}{n+1} = x\,^n = f\,(x) \qquad </math> <big>     Exempel:</big> <math> \;\; F\,'(x) \, = \, \displaystyle \frac{5}{5} \, x\,^4 \, + \, 0 \, = \, x\,^4 \, = \, f\,(x) \qquad </math>

:<big>   Regeln ovan gäller inte bara för positiva <math> \, n \, </math> utan även för negativa (undantaget <math> -1 </math>) och rationella exponenter.</big>

:<big>   Ytterligare regler om primitiva funktioner (för exponentialfunktioner) anges [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregler_f.C3.B6r_exponentialfunktioner:|senare]].</big>

<big>Fysikalisk tolkning:</big>

<table>
<tr>
<td><math> \quad </math></td>
<td>[[Image: 0 Hastighetsmatare_60.jpg]]</td>
<td> <big> <math> \quad </math> Hastighetsmätaren deriverar. <math> \;\; </math>

<math> \quad </math> Trippmätaren integrerar, dvs:

<math> \quad </math> summerar den körda sträckan. </big>

</td>
<td><math> \quad </math> [[Image: 0 Diff vs Integr_h257.jpg]]</td>
</tr>
</table>

<div class="border-divblue">
Integration är den inversa operationen till derivering. <math> \quad </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata

::{|class="wikitable"
!       !!   Derivata   !!   Integral   
|-
|align="left"|  Fysikalisk tolkning:  ||align="center"|  Hastighet  ||align="center"|  Sträcka  
|-
|align="left"|  Geometrisk tolkning:  ||align="center"|  Kurvans lutning  ||align="center"|  Area under kurvan  
|-
|align="left"|  Matematisk tolkning:  ||align="center"|  Limes av differenskvot  ||align="center"|  Limes av oändlig summa  
|}
</div>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 1 Primitiva funktioner_496.jpg]]
</div>
</div>

<big>'''Integrationskonstanten <math> \, C \, </math>:'''</big>

<div class="border-divblue">
Om en given funktion har en primitiva funktion så har den pga <math> \, C={\rm const.} \, </math> oändligt

många primitiva funktioner.

För att få endast en primitiv funktion <math> \, F(x) \, </math> ställs vissa villkor på <math> \, F(x) \, </math>. I fysiken kallas

de för begynnelsevillkor. Villkoren används för att bestämma integrationskonstanten <math> \, C \, </math>. <big><big><math> \; {\bf {\color{Red} {\downarrow}}} </math></big></big>
</div>


== 4.2 Primitiva funktioner med villkor <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 177 ==

I fysikaliska tillämpningar är den typiska formen av villkor begynnelsevillkor. Frågan är:

Vad gällde i början, dvs vilket vägmärke passerades vid <math> \, t = 0 \, </math>. Eller: Vad visade trippmätaren vid <math> \, t = 0 \, </math>?

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2 Primitiva funktioner med villkor_30.jpg]]
</div>
</div>

Problemet ovan kallas även för en differentialekvation med begynnelsevillkor som kommer att behandlas i Matte 4 och 5.

<big>Geometriskt exempel på primitiv funktion med en annan typ av villkor:</big>

<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2a 177_Uppg_3326_30.jpg]]
</div>
</div>


== 4.3 Integral som area under kurvan <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 180 ==

I början av Analysen <math>-</math> den gren av matematiken som handlar om derivator och integraler och som på 1700-talet utvecklades av [https://sv.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Newton] och [https://sv.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz Leibniz] <math>-</math> stod bl.a. följande frågeställning (se även [[2.4_Derivatans_definition#Fr.C3.A5n_sekanten_till_tangenten|Derivatans definition]]):

<div class="border-divblue">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3 Integraler_25.jpg]]
</div>
</div>

<div class="border-divblue">
<math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> läses "Integralen över <math> f(x) \; dx \, </math> från <math> \, a \, </math> till <math> \, b \, </math>". <math> \, f(x) \, </math> kallas för integranden.

<math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math> kallas för integrationsgränser och ersätter integrationskonstanten <math> \, C \, </math>.
</div>

<div class="ovnE">
 <math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> kallas för bestämd integral. Dess resultat är ett tal.

<math> \displaystyle \, \int\limits f(x) \, dx </math> kallas för obestämd integral vars resultat är en primitiv funktion med en integrationskonstant <math> \, C \, </math>.

För att bestämma integrationskonstanten måste ett villkor (begynnelsevillkor) vara givet.
</div>

<big>Fysikaliskt exempel: <math> \quad </math> Likformig rörelse med konstant hastighet 60 km/h </big>

:::[[Image: Integral = Area_70.jpg]]

<math> \qquad\; v\,\text{-}\,t</math> diagrammet (till vänster): Kör man med med <math> \, 60 \, </math> km/h i <math> \, 4 \, </math> timmar har man kört en sträcka på <math> \, 60 \cdot 4 = 240 \, </math> km.

<math> \qquad\; \text{Sträckan} \, 240 \, = \, \text{Arean under hastighetskurvan} \, = \, \text{Integralen} \, \displaystyle \int\limits_0^4 \color{Red}{60} \, dt \, = \, \left[ \, \color{Red}{60\,t} \, \right]_0^4 \, = \, 60\cdot4 \, - \, 60\cdot0 \, = \, 240 </math>

<math> \qquad\; </math>Generellt:

<div class="border-divblue">
Integralen över hastigheten   =   Arean under hastighetskurvan   =   Sträckan.
</div>

<big>Rörelse med variabel hastighet (konstant acceleration):</big>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3a Integral som area under kurvan_30.jpg]]
</div>
</div>


== 3.2 Integralberäkningar ==
<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4 Integralberakning 20b.jpg]]
</div>
</div>

<big>I övningarna finns även exponentialfunktioner vars primitiva funktioner sökes. Reglerna för dem skiljer sig från [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregeln_f.C3.B6r_en_potens:|integrationsregeln för en potens]]:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregler för exponentialfunktioner: ====
----
Om <math> \; f(x) \, = \; e\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{e\,^{k\,x}}{k} \, + \, C\;} \; </math>
----
Om <math> \; f(x) \, = \; a\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, a, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{a\,^{k\,x}}{k\,\ln a} \, + \, C\;} \; </math>
</div>

</td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>
<div class="ovnE">
Exempel:
----
Om <math> \, f(x) \, = \, e\,^{4x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{e\,^{4x}}{4} + C \, = \, \frac{1}{4} \, e\,^{4x} + C</math>
----
Om <math> \, f(x) \, = \, 2\,^{3x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{2\,^{3x}}{3\,\ln 2} + C \, = \, \frac{1}{3\,\ln 2} \, 2\,^{3x} + C </math></div></td>
</tr>
</table>

<big>Beakta skillnaden mellan potensfunktioner (<math> x </math> i basen) och exponentialfunktioner (<math> x </math> i exponenten). Därav olika integrationsregler.</big>

====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.2 Integralberäkningar:   Matte 4-boken, sid 156-158</div> ======



 

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Tidtabell_för_prov_2_i_Matte_4,_kap_2/3_Derivator_&_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

== 3.5 Tillämpning av integraler ==

== Ett fysikaliskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Fallskärmshopp ====

En fallskärmshoppare faller fritt utan att öppna fallskärmen med hastigheten:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

där <math> \, t = \, </math> tiden i sek och <math> \, v \, </math> hastigheten i meter/sek.

a) Bestäm hopparens maximala hastighet genom att:

    rita grafen <math> \, v = v(t) \, </math> och tolka rörelsen fysikaliskt.

b) Formulera och lös problemet matematiskt och besvara frågan:

    Hur långt har hopparen fallit när <math> \, v = 40 \, </math> m/s ?
</div>

=== Fysikalisk tolkning ===
<div class="border-divblue">

<table>
<tr>
<td>a) Grafen till <math> \, v = v(t) \, </math> visar att det finns en maximal hastighet som

fallskärmshopparen inte kan överskrida: <math> \quad\;\; v_{max} = 80 </math> m/s

Efter ett tag når hopparen denna maximala hastighet,

enligt grafen efter ca. 40 sek.     Algebraiskt:

<math> v_{max} = \displaystyle \lim_{t \to \infty}{(80(1 - 0,88^t))} = \lim_{t \to \infty}{(80 - \color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} = 80 \quad </math>

Detta pga: <math> \quad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(\color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} \, = \, 0 \quad </math> och <math> \quad 0,88 \, < \, 1 </math>.

Efter att ha nått <math> \, \approx \, v_{max} \, </math> faller hopparen med konstant hastighet,

eftersom   Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> Gravitation <math> \Rightarrow </math> <div class="smallBox">Fritt fall med luftmotstånd</div>
</td>
<td>[[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt falla.jpg]]

</td>
</tr>
</table>
Enligt [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ Newtons fösta lag:]  "Ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet, om och endast om

::::::::   summan av alla krafter <math> = 0 </math>."
</div>

=== Matematisk formulering ===
<div class="ovnC">

b) Givet:     Hastigheten <math> \; s'(t) \, = \, v(t) \, = \, 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

<math> \qquad\qquad </math> Begynnelsevillkor: <math> \, s(0) \, = \, 0 </math>

     Sökt:     1. Funktionen <math> \displaystyle \quad\; s(t) \, = \, \int_0^t 80\,(1 - 0,88\,^t) \; dt </math>

                  2. Sträckan <math> \quad\;\;\;\, s(t_1) \, </math>, där <math> \; v(t_1) \, = \, 40 \, </math> m/s
</div>

=== Matematisk lösning ===
<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt fall_800.jpg]]</div>

  <big>Övning:     Rita grafen <math> \, s = s(t) \, </math> och tolka med hjälp av den resultaten ovan.</big>
</div>

== Ett samhällsvetenskapligt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Röster i melodifestivalen ====

Antalet inkommande röster per minut i melodifestivalen beskrivs av funktionen:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad r(x)\, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

där <math> \,\, r \,\, </math> är antalet inkommande röster per minut

och <math> \, x \, </math> tiden i minuter efter röstningens start.

Totalt kom in <math> \, 14,5 \, </math> miljoner röster under röstningsperioden.

Beräkna hur länge röstningen pågick.

Kontrollera ditt resultat med grafräknarens verktyg för numerisk integration.
</div>

=== Lösning ===
<div class="border-divblue">

<math> r(x) \, = \, </math> antalet inkommande röster per minut.

Vi inför <math> \, R(x) \, = \, </math> antalet (summan) röster som kommit in vid tidpunkten <math> \, x \, </math>.

Då blir <math> \, r(x) \, </math> rösternas tillväxthastighet (antal per min) dvs derivatan av <math> \, R(x) \, </math>:

::::::::<math> \qquad\qquad R\,'(x) \, = \, r(x) </math>

vilket betyder att <math> \, R(x) \, </math> är den primitiva funktionen till <math> \, r(x) \, </math>:

<math> \qquad R\,'(x) \, = \, r(x) \, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

Vi integrerar ekvationen ovan och sätter den till <math> \, 14,5 \, </math> miljoner inkommande röster :

<math> \qquad \displaystyle R(t) \, = \, \int_0^t (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad\qquad\qquad\; \displaystyle \left[ \, \frac{14\,500\,x^2}{2} - \frac{150\,x^3}{3} \, \right]_0^t \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad \left[ \, 7\,250\,x^2 - 50\,x^3 \, \right]_0^t \, = \, 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 - 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

<math> \qquad 50\,t^3 - 7\,250\,t^2 + 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

Grafräknarens [[Grafritning_och_ekvationslösning_med_räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|ekvationslösare]] ger: <math> \qquad t \, \approx \, 57,6041146 </math>

<math> 0,6041146 \, </math> minuter är <math> \, 0,6041146 \cdot 60 \, \approx \ 36,25 \, </math> sekunder.

Röstningen pågick i <math> \, \underline{57\,\,{\rm minuter\;och\;} 36\,\,{\rm sekunder.}} </math>
</div>

=== Kontroll ===

<big>
Vi beräknar med grafräknaren <math> \, \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, </math> och kontrollerar om det blir <math> \, 14\,500\,000 \, </math>.

Beskrivningen bygger på grafräknaren TI-82 STATS, men kan med lite modifikation tillämpas på alla grafräknare.
</big>

== Numerisk integration med miniräknare ==
<div class="border-divblue">
Tryck i miniräknaren på knappen MATH.

Gå med piltangenten till   fnInt(   som står för numerical Integration.

Tryck på ENTER.

Mata in så att det efteråt står följande i displayen:

::: fnInt ( 14500X-150X^2, X, 0, 57.6041146 ) 

Tryck på ENTER. I displayen visas <math> \underline{14\,500\,000} </math>, vilket betyder:

<math> \qquad \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>
</div>

<big>
Räknarens funktion fnInt( ) tar fyra argument separerade med komma:

1)   Integrandens funktionsuttryck <math> \, f(x) \, </math>, i exemplet ovan <math> r(x) </math>.

2)   Variabeln med avseende på vilken <math> f(x) </math> ska integreras.

3)   Den undre integrationsgränsen.

4)   Den övre integrationsgränsen.
</big>

== Ett ekonomiskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Marginalkostnad ====
som derivatan av kostnaden (jfr. med [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_1_Marginalskatt|marginalskatt)]]
 
Kostnaden K som en funktion av mängden x (antalet broschyrer)
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 189 Uppg 3433 Marginalkostnad.jpg]]
</div>
</div>



====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.5 Tillämpning av integraler:   Matte 4-boken, sid 169-172</div> ======

 

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Tidtabell_för_prov_2_i_Matte_4,_kap_2/3_Derivator_&_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
</big>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

Kapitel 4 Integraler

2025-10-14T13:32:30Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  

{{Selected tab|[[Kapitel 4 Integraler|Genomgångar]]}}
{{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3 Integ.pdf|Formelsamling Integraler]]}}

{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

<big>
 
F.o.m. detta kapitel finns kursens övningar inte på webben (pga tidsbrist). Därför: Läs igenom genomgångarna här, men använd för

övningarna boken (Matematik 5000). Leta i bokens innehållsförteckning och register efter resp. kapitlets/avsnittets övningar.

Tyvärr överensstämmer sidouppgifterna här inte med boken.


== 4.1 Primitiva funktioner <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 175 ==

Hittills: En funktion var given. Vi sökte funktionens derivata. Nu vänder vi på steken:

Det omvända problemet:

<div class="border-divblue">Derivatan är given. Sökt är den ursprungliga funktionen till den givna derivatan.</div>

'''OBS!  Annan problemställning och annan beteckning:'''

<math> \; f\,(x) \, </math> är inte längre en given funktion som vi ska derivera.

<math> \; f\,(x) \, </math> är en given derivata av en okänd funktion <math> \, \color{red} {F\,(x)} \, </math> som vi söker, dvs <math> \, \color{red} {F\,'(x)} = f\,(x) \, </math>.

<div class="ovnE">
Exempel 1:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, 2\,x \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = 2\,x </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle x\,^2 \, + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = 2\,x + 0 \, = \, 2\,x \, = \, f\,(x) </math>
</div>

<div class="border-divblue"><math>F\,(x) = x\,^2 + C \, </math> kallas för primitiv funktion till <math> \, f\,(x) = 2\,x </math>. <math> \;\; </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata. <math> \;\; </math>
----
Att hitta en primitiv funktion kallas för integration och <math> \, C \, </math> för integrationskonstanten.
</div>

<table>
<tr>
<td><div class="ovnE">
Exempel 2:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = x\,^3 + 5 </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle \frac{1}{4} x\,^4 + 5 \, x + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = \frac{4}{4} x\,^3 + 5 + 0 \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, f\,(x) </math>
</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td><div class="border-divblue">
Allmän definition:
----
Givet: <math> \quad f\,(x) </math>

Sökt: <math> \quad </math> En funktion <math> \;\; F\,(x) \;\; </math> så att:

<math> \qquad\qquad\quad\; \boxed{F\,'\,(x) = f\,(x)} </math>

Funktionen <math> \, F\,(x) \, </math> kallas för primitiv funktion.
</div></td>
</tr>
</table>

:<big>   Integration är deriveringens inversa (omvända) operation. Därför:</big>

:<big>   Integrationsregler för olika funktionstyper följer genom att vända om deriveringsreglerna. T.ex.:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregeln för en potens: ====
----
Om <math> f(x) = x\,^n \qquad {\rm där} \qquad\, n = {\rm const.} \neq -1</math>

då <math>\; F(x) = \boxed{\frac{x\,^{n+1}}{n+1} \, + \, C\;} \;, C = </math> integrationskonstanten

</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>

<div class="ovnE">
Exempel:
----
För <math> \, f(x) \, = \, x^4 \; </math> blir den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{x^5}{5} + C \, = \, \frac{1}{5} \, x^5 + C</math>
</div>

</td>
</tr>
</table>

:<big>   Bevis:</big> <math> \, F\,'(x) = \displaystyle \frac{(n+1) \, x\,^{n+1-1}}{n+1} \, + \, 0 \, = \, \frac{(n+1) \, x\,^{n}}{n+1} = x\,^n = f\,(x) \qquad </math> <big>     Exempel:</big> <math> \;\; F\,'(x) \, = \, \displaystyle \frac{5}{5} \, x\,^4 \, + \, 0 \, = \, x\,^4 \, = \, f\,(x) \qquad </math>

:<big>   Regeln ovan gäller inte bara för positiva <math> \, n \, </math> utan även för negativa (undantaget <math> -1 </math>) och rationella exponenter.</big>

:<big>   Ytterligare regler om primitiva funktioner (för exponentialfunktioner) anges [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregler_f.C3.B6r_exponentialfunktioner:|senare]].</big>

<big>Fysikalisk tolkning:</big>

<table>
<tr>
<td><math> \quad </math></td>
<td>[[Image: 0 Hastighetsmatare_60.jpg]]</td>
<td> <big> <math> \quad </math> Hastighetsmätaren deriverar. <math> \;\; </math>

<math> \quad </math> Trippmätaren integrerar, dvs:

<math> \quad </math> summerar den körda sträckan. </big>

</td>
<td><math> \quad </math> [[Image: 0 Diff vs Integr_h257.jpg]]</td>
</tr>
</table>

<div class="border-divblue">
Integration är den inversa operationen till derivering. <math> \quad </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata

::{|class="wikitable"
!       !!   Derivata   !!   Integral   
|-
|align="left"|  Fysikalisk tolkning:  ||align="center"|  Hastighet  ||align="center"|  Sträcka  
|-
|align="left"|  Geometrisk tolkning:  ||align="center"|  Kurvans lutning  ||align="center"|  Area under kurvan  
|-
|align="left"|  Matematisk tolkning:  ||align="center"|  Limes av differenskvot  ||align="center"|  Limes av oändlig summa  
|}
</div>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 1 Primitiva funktioner_496.jpg]]
</div>
</div>

<big>'''Integrationskonstanten <math> \, C \, </math>:'''</big>

<div class="border-divblue">
Om en given funktion har en primitiva funktion så har den pga <math> \, C={\rm const.} \, </math> oändligt

många primitiva funktioner.

För att få endast en primitiv funktion <math> \, F(x) \, </math> ställs vissa villkor på <math> \, F(x) \, </math>. I fysiken kallas

de för begynnelsevillkor. Villkoren används för att bestämma integrationskonstanten <math> \, C \, </math>. <big><big><math> \; {\bf {\color{Red} {\downarrow}}} </math></big></big>
</div>


== 4.2 Primitiva funktioner med villkor <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 177 ==

I fysikaliska tillämpningar är den typiska formen av villkor begynnelsevillkor. Frågan är:

Vad gällde i början, dvs vilket vägmärke passerades vid <math> \, t = 0 \, </math>. Eller: Vad visade trippmätaren vid <math> \, t = 0 \, </math>?

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2 Primitiva funktioner med villkor_30.jpg]]
</div>
</div>

Problemet ovan kallas även för en differentialekvation med begynnelsevillkor som kommer att behandlas i Matte 4 och 5.

<big>Geometriskt exempel på primitiv funktion med en annan typ av villkor:</big>

<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2a 177_Uppg_3326_30.jpg]]
</div>
</div>


== 4.3 Integral som area under kurvan <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 180 ==

I början av Analysen <math>-</math> den gren av matematiken som handlar om derivator och integraler och som på 1700-talet utvecklades av [https://sv.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Newton] och [https://sv.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz Leibniz] <math>-</math> stod bl.a. följande frågeställning (se även [[2.4_Derivatans_definition#Fr.C3.A5n_sekanten_till_tangenten|Derivatans definition]]):

<div class="border-divblue">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3 Integraler_25.jpg]]
</div>
</div>

<div class="border-divblue">
<math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> läses "Integralen över <math> f(x) \; dx \, </math> från <math> \, a \, </math> till <math> \, b \, </math>". <math> \, f(x) \, </math> kallas för integranden.

<math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math> kallas för integrationsgränser och ersätter integrationskonstanten <math> \, C \, </math>.
</div>

<div class="ovnE">
 <math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> kallas för bestämd integral. Dess resultat är ett tal.

<math> \displaystyle \, \int\limits f(x) \, dx </math> kallas för obestämd integral vars resultat är en primitiv funktion med en integrationskonstant <math> \, C \, </math>.

För att bestämma integrationskonstanten måste ett villkor (begynnelsevillkor) vara givet.
</div>

<big>Fysikaliskt exempel: <math> \quad </math> Likformig rörelse med konstant hastighet 60 km/h </big>

:::[[Image: Integral = Area_70.jpg]]

<math> \qquad\; v\,\text{-}\,t</math> diagrammet (till vänster): Kör man med med <math> \, 60 \, </math> km/h i <math> \, 4 \, </math> timmar har man kört en sträcka på <math> \, 60 \cdot 4 = 240 \, </math> km.

<math> \qquad\; \text{Sträckan} \, 240 \, = \, \text{Arean under hastighetskurvan} \, = \, \text{Integralen} \, \displaystyle \int\limits_0^4 \color{Red}{60} \, dt \, = \, \left[ \, \color{Red}{60\,t} \, \right]_0^4 \, = \, 60\cdot4 \, - \, 60\cdot0 \, = \, 240 </math>

<math> \qquad\; </math>Generellt:

<div class="border-divblue">
Integralen över hastigheten   =   Arean under hastighetskurvan   =   Sträckan.
</div>

<big>Rörelse med variabel hastighet (konstant acceleration):</big>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3a Integral som area under kurvan_30.jpg]]
</div>
</div>


== 3.2 Integralberäkningar ==
<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4 Integralberakning 20b.jpg]]
</div>
</div>

<big>I övningarna finns även exponentialfunktioner vars primitiva funktioner sökes. Reglerna för dem skiljer sig från [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregeln_f.C3.B6r_en_potens:|integrationsregeln för en potens]]:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregler för exponentialfunktioner: ====
----
Om <math> \; f(x) \, = \; e\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{e\,^{k\,x}}{k} \, + \, C\;} \; </math>
----
Om <math> \; f(x) \, = \; a\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, a, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{a\,^{k\,x}}{k\,\ln a} \, + \, C\;} \; </math>
</div>

</td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>
<div class="ovnE">
Exempel:
----
Om <math> \, f(x) \, = \, e\,^{4x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{e\,^{4x}}{4} + C \, = \, \frac{1}{4} \, e\,^{4x} + C</math>
----
Om <math> \, f(x) \, = \, 2\,^{3x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{2\,^{3x}}{3\,\ln 2} + C \, = \, \frac{1}{3\,\ln 2} \, 2\,^{3x} + C </math></div></td>
</tr>
</table>

<big>Beakta skillnaden mellan potensfunktioner (<math> x </math> i basen) och exponentialfunktioner (<math> x </math> i exponenten). Därav olika integrationsregler.</big>

====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.2 Integralberäkningar:   Matte 4-boken, sid 156-158</div> ======



 

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Tidtabell för prov 2 i Matte 4, kap 2/3 Derivator & integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

== 3.5 Tillämpning av integraler ==

== Ett fysikaliskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Fallskärmshopp ====

En fallskärmshoppare faller fritt utan att öppna fallskärmen med hastigheten:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

där <math> \, t = \, </math> tiden i sek och <math> \, v \, </math> hastigheten i meter/sek.

a) Bestäm hopparens maximala hastighet genom att:

    rita grafen <math> \, v = v(t) \, </math> och tolka rörelsen fysikaliskt.

b) Formulera och lös problemet matematiskt och besvara frågan:

    Hur långt har hopparen fallit när <math> \, v = 40 \, </math> m/s ?
</div>

=== Fysikalisk tolkning ===
<div class="border-divblue">

<table>
<tr>
<td>a) Grafen till <math> \, v = v(t) \, </math> visar att det finns en maximal hastighet som

fallskärmshopparen inte kan överskrida: <math> \quad\;\; v_{max} = 80 </math> m/s

Efter ett tag når hopparen denna maximala hastighet,

enligt grafen efter ca. 40 sek.     Algebraiskt:

<math> v_{max} = \displaystyle \lim_{t \to \infty}{(80(1 - 0,88^t))} = \lim_{t \to \infty}{(80 - \color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} = 80 \quad </math>

Detta pga: <math> \quad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(\color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} \, = \, 0 \quad </math> och <math> \quad 0,88 \, < \, 1 </math>.

Efter att ha nått <math> \, \approx \, v_{max} \, </math> faller hopparen med konstant hastighet,

eftersom   Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> Gravitation <math> \Rightarrow </math> <div class="smallBox">Fritt fall med luftmotstånd</div>
</td>
<td>[[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt falla.jpg]]

</td>
</tr>
</table>
Enligt [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ Newtons fösta lag:]  "Ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet, om och endast om

::::::::   summan av alla krafter <math> = 0 </math>."
</div>

=== Matematisk formulering ===
<div class="ovnC">

b) Givet:     Hastigheten <math> \; s'(t) \, = \, v(t) \, = \, 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

<math> \qquad\qquad </math> Begynnelsevillkor: <math> \, s(0) \, = \, 0 </math>

     Sökt:     1. Funktionen <math> \displaystyle \quad\; s(t) \, = \, \int_0^t 80\,(1 - 0,88\,^t) \; dt </math>

                  2. Sträckan <math> \quad\;\;\;\, s(t_1) \, </math>, där <math> \; v(t_1) \, = \, 40 \, </math> m/s
</div>

=== Matematisk lösning ===
<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt fall_800.jpg]]</div>

  <big>Övning:     Rita grafen <math> \, s = s(t) \, </math> och tolka med hjälp av den resultaten ovan.</big>
</div>

== Ett samhällsvetenskapligt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Röster i melodifestivalen ====

Antalet inkommande röster per minut i melodifestivalen beskrivs av funktionen:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad r(x)\, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

där <math> \,\, r \,\, </math> är antalet inkommande röster per minut

och <math> \, x \, </math> tiden i minuter efter röstningens start.

Totalt kom in <math> \, 14,5 \, </math> miljoner röster under röstningsperioden.

Beräkna hur länge röstningen pågick.

Kontrollera ditt resultat med grafräknarens verktyg för numerisk integration.
</div>

=== Lösning ===
<div class="border-divblue">

<math> r(x) \, = \, </math> antalet inkommande röster per minut.

Vi inför <math> \, R(x) \, = \, </math> antalet (summan) röster som kommit in vid tidpunkten <math> \, x \, </math>.

Då blir <math> \, r(x) \, </math> rösternas tillväxthastighet (antal per min) dvs derivatan av <math> \, R(x) \, </math>:

::::::::<math> \qquad\qquad R\,'(x) \, = \, r(x) </math>

vilket betyder att <math> \, R(x) \, </math> är den primitiva funktionen till <math> \, r(x) \, </math>:

<math> \qquad R\,'(x) \, = \, r(x) \, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

Vi integrerar ekvationen ovan och sätter den till <math> \, 14,5 \, </math> miljoner inkommande röster :

<math> \qquad \displaystyle R(t) \, = \, \int_0^t (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad\qquad\qquad\; \displaystyle \left[ \, \frac{14\,500\,x^2}{2} - \frac{150\,x^3}{3} \, \right]_0^t \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad \left[ \, 7\,250\,x^2 - 50\,x^3 \, \right]_0^t \, = \, 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 - 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

<math> \qquad 50\,t^3 - 7\,250\,t^2 + 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

Grafräknarens [[Grafritning_och_ekvationslösning_med_räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|ekvationslösare]] ger: <math> \qquad t \, \approx \, 57,6041146 </math>

<math> 0,6041146 \, </math> minuter är <math> \, 0,6041146 \cdot 60 \, \approx \ 36,25 \, </math> sekunder.

Röstningen pågick i <math> \, \underline{57\,\,{\rm minuter\;och\;} 36\,\,{\rm sekunder.}} </math>
</div>

=== Kontroll ===

<big>
Vi beräknar med grafräknaren <math> \, \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, </math> och kontrollerar om det blir <math> \, 14\,500\,000 \, </math>.

Beskrivningen bygger på grafräknaren TI-82 STATS, men kan med lite modifikation tillämpas på alla grafräknare.
</big>

== Numerisk integration med miniräknare ==
<div class="border-divblue">
Tryck i miniräknaren på knappen MATH.

Gå med piltangenten till   fnInt(   som står för numerical Integration.

Tryck på ENTER.

Mata in så att det efteråt står följande i displayen:

::: fnInt ( 14500X-150X^2, X, 0, 57.6041146 ) 

Tryck på ENTER. I displayen visas <math> \underline{14\,500\,000} </math>, vilket betyder:

<math> \qquad \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>
</div>

<big>
Räknarens funktion fnInt( ) tar fyra argument separerade med komma:

1)   Integrandens funktionsuttryck <math> \, f(x) \, </math>, i exemplet ovan <math> r(x) </math>.

2)   Variabeln med avseende på vilken <math> f(x) </math> ska integreras.

3)   Den undre integrationsgränsen.

4)   Den övre integrationsgränsen.
</big>

== Ett ekonomiskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Marginalkostnad ====
som derivatan av kostnaden (jfr. med [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_1_Marginalskatt|marginalskatt)]]
 
Kostnaden K som en funktion av mängden x (antalet broschyrer)
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 189 Uppg 3433 Marginalkostnad.jpg]]
</div>
</div>



====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.5 Tillämpning av integraler:   Matte 4-boken, sid 169-172</div> ======

 

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Tidtabell för prov 2 i Matte 4, kap 2/3 Derivator & integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
</big>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

Kapitel 4 Integraler

2025-10-10T09:49:43Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  

{{Selected tab|[[Kapitel 4 Integraler|Genomgångar]]}}
{{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3 Integ.pdf|Formelsamling Integraler]]}}

{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

<big>
 
F.o.m. detta kapitel finns kursens övningar inte på webben (pga tidsbrist). Därför: Läs igenom genomgångarna här, men använd för

övningarna boken (Matematik 5000). Leta i bokens innehållsförteckning och register efter resp. kapitlets/avsnittets övningar.

Tyvärr överensstämmer sidouppgifterna här inte med boken.


== 4.1 Primitiva funktioner <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 175 ==

Hittills: En funktion var given. Vi sökte funktionens derivata. Nu vänder vi på steken:

Det omvända problemet:

<div class="border-divblue">Derivatan är given. Sökt är den ursprungliga funktionen till den givna derivatan.</div>

'''OBS!  Annan problemställning och annan beteckning:'''

<math> \; f\,(x) \, </math> är inte längre en given funktion som vi ska derivera.

<math> \; f\,(x) \, </math> är en given derivata av en okänd funktion <math> \, \color{red} {F\,(x)} \, </math> som vi söker, dvs <math> \, \color{red} {F\,'(x)} = f\,(x) \, </math>.

<div class="ovnE">
Exempel 1:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, 2\,x \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = 2\,x </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle x\,^2 \, + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = 2\,x + 0 \, = \, 2\,x \, = \, f\,(x) </math>
</div>

<div class="border-divblue"><math>F\,(x) = x\,^2 + C \, </math> kallas för primitiv funktion till <math> \, f\,(x) = 2\,x </math>. <math> \;\; </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata. <math> \;\; </math>
----
Att hitta en primitiv funktion kallas för integration och <math> \, C \, </math> för integrationskonstanten.
</div>

<table>
<tr>
<td><div class="ovnE">
Exempel 2:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = x\,^3 + 5 </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle \frac{1}{4} x\,^4 + 5 \, x + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = \frac{4}{4} x\,^3 + 5 + 0 \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, f\,(x) </math>
</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td><div class="border-divblue">
Allmän definition:
----
Givet: <math> \quad f\,(x) </math>

Sökt: <math> \quad </math> En funktion <math> \;\; F\,(x) \;\; </math> så att:

<math> \qquad\qquad\quad\; \boxed{F\,'\,(x) = f\,(x)} </math>

Funktionen <math> \, F\,(x) \, </math> kallas för primitiv funktion.
</div></td>
</tr>
</table>

:<big>   Integration är deriveringens inversa (omvända) operation. Därför:</big>

:<big>   Integrationsregler för olika funktionstyper följer genom att vända om deriveringsreglerna. T.ex.:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregeln för en potens: ====
----
Om <math> f(x) = x\,^n \qquad {\rm där} \qquad\, n = {\rm const.} \neq -1</math>

då <math>\; F(x) = \boxed{\frac{x\,^{n+1}}{n+1} \, + \, C\;} \;, C = </math> integrationskonstanten

</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>

<div class="ovnE">
Exempel:
----
För <math> \, f(x) \, = \, x^4 \; </math> blir den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{x^5}{5} + C \, = \, \frac{1}{5} \, x^5 + C</math>
</div>

</td>
</tr>
</table>

:<big>   Bevis:</big> <math> \, F\,'(x) = \displaystyle \frac{(n+1) \, x\,^{n+1-1}}{n+1} \, + \, 0 \, = \, \frac{(n+1) \, x\,^{n}}{n+1} = x\,^n = f\,(x) \qquad </math> <big>     Exempel:</big> <math> \;\; F\,'(x) \, = \, \displaystyle \frac{5}{5} \, x\,^4 \, + \, 0 \, = \, x\,^4 \, = \, f\,(x) \qquad </math>

:<big>   Regeln ovan gäller inte bara för positiva <math> \, n \, </math> utan även för negativa (undantaget <math> -1 </math>) och rationella exponenter.</big>

:<big>   Ytterligare regler om primitiva funktioner (för exponentialfunktioner) anges [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregler_f.C3.B6r_exponentialfunktioner:|senare]].</big>

<big>Fysikalisk tolkning:</big>

<table>
<tr>
<td><math> \quad </math></td>
<td>[[Image: 0 Hastighetsmatare_60.jpg]]</td>
<td> <big> <math> \quad </math> Hastighetsmätaren deriverar. <math> \;\; </math>

<math> \quad </math> Trippmätaren integrerar, dvs:

<math> \quad </math> summerar den körda sträckan. </big>

</td>
<td><math> \quad </math> [[Image: 0 Diff vs Integr_h257.jpg]]</td>
</tr>
</table>

<div class="border-divblue">
Integration är den inversa operationen till derivering. <math> \quad </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata

::{|class="wikitable"
!       !!   Derivata   !!   Integral   
|-
|align="left"|  Fysikalisk tolkning:  ||align="center"|  Hastighet  ||align="center"|  Sträcka  
|-
|align="left"|  Geometrisk tolkning:  ||align="center"|  Kurvans lutning  ||align="center"|  Area under kurvan  
|-
|align="left"|  Matematisk tolkning:  ||align="center"|  Limes av differenskvot  ||align="center"|  Limes av oändlig summa  
|}
</div>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 1 Primitiva funktioner_496.jpg]]
</div>
</div>

<big>'''Integrationskonstanten <math> \, C \, </math>:'''</big>

<div class="border-divblue">
Om en given funktion har en primitiva funktion så har den pga <math> \, C={\rm const.} \, </math> oändligt

många primitiva funktioner.

För att få endast en primitiv funktion <math> \, F(x) \, </math> ställs vissa villkor på <math> \, F(x) \, </math>. I fysiken kallas

de för begynnelsevillkor. Villkoren används för att bestämma integrationskonstanten <math> \, C \, </math>. <big><big><math> \; {\bf {\color{Red} {\downarrow}}} </math></big></big>
</div>


== 4.2 Primitiva funktioner med villkor <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 177 ==

I fysikaliska tillämpningar är den typiska formen av villkor begynnelsevillkor. Frågan är:

Vad gällde i början, dvs vilket vägmärke passerades vid <math> \, t = 0 \, </math>. Eller: Vad visade trippmätaren vid <math> \, t = 0 \, </math>?

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2 Primitiva funktioner med villkor_30.jpg]]
</div>
</div>

Problemet ovan kallas även för en differentialekvation med begynnelsevillkor som kommer att behandlas i Matte 4 och 5.

<big>Geometriskt exempel på primitiv funktion med en annan typ av villkor:</big>

<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2a 177_Uppg_3326_30.jpg]]
</div>
</div>


== 4.3 Integral som area under kurvan <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 180 ==

I början av Analysen <math>-</math> den gren av matematiken som handlar om derivator och integraler och som på 1700-talet utvecklades av [https://sv.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Newton] och [https://sv.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz Leibniz] <math>-</math> stod bl.a. följande frågeställning (se även [[2.4_Derivatans_definition#Fr.C3.A5n_sekanten_till_tangenten|Derivatans definition]]):

<div class="border-divblue">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3 Integraler_25.jpg]]
</div>
</div>

<div class="border-divblue">
<math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> läses "Integralen över <math> f(x) \; dx \, </math> från <math> \, a \, </math> till <math> \, b \, </math>". <math> \, f(x) \, </math> kallas för integranden.

<math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math> kallas för integrationsgränser och ersätter integrationskonstanten <math> \, C \, </math>.
</div>

<div class="ovnE">
 <math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> kallas för bestämd integral. Dess resultat är ett tal.

<math> \displaystyle \, \int\limits f(x) \, dx </math> kallas för obestämd integral vars resultat är en primitiv funktion med en integrationskonstant <math> \, C \, </math>.

För att bestämma integrationskonstanten måste ett villkor (begynnelsevillkor) vara givet.
</div>

<big>Fysikaliskt exempel: <math> \quad </math> Likformig rörelse med konstant hastighet 60 km/h </big>

:::[[Image: Integral = Area_70.jpg]]

<math> \qquad\; v\,\text{-}\,t</math> diagrammet (till vänster): Kör man med med <math> \, 60 \, </math> km/h i <math> \, 4 \, </math> timmar har man kört en sträcka på <math> \, 60 \cdot 4 = 240 \, </math> km.

<math> \qquad\; \text{Sträckan} \, 240 \, = \, \text{Arean under hastighetskurvan} \, = \, \text{Integralen} \, \displaystyle \int\limits_0^4 \color{Red}{60} \, dt \, = \, \left[ \, \color{Red}{60\,t} \, \right]_0^4 \, = \, 60\cdot4 \, - \, 60\cdot0 \, = \, 240 </math>

<math> \qquad\; </math>Generellt:

<div class="border-divblue">
Integralen över hastigheten   =   Arean under hastighetskurvan   =   Sträckan.
</div>

<big>Rörelse med variabel hastighet (konstant acceleration):</big>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3a Integral som area under kurvan_30.jpg]]
</div>
</div>


== 3.2 Integralberäkningar ==
<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4 Integralberakning 20b.jpg]]
</div>
</div>

<big>I övningarna finns även exponentialfunktioner vars primitiva funktioner sökes. Reglerna för dem skiljer sig från [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregeln_f.C3.B6r_en_potens:|integrationsregeln för en potens]]:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregler för exponentialfunktioner: ====
----
Om <math> \; f(x) \, = \; e\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{e\,^{k\,x}}{k} \, + \, C\;} \; </math>
----
Om <math> \; f(x) \, = \; a\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, a, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{a\,^{k\,x}}{k\,\ln a} \, + \, C\;} \; </math>
</div>

</td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>
<div class="ovnE">
Exempel:
----
Om <math> \, f(x) \, = \, e\,^{4x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{e\,^{4x}}{4} + C \, = \, \frac{1}{4} \, e\,^{4x} + C</math>
----
Om <math> \, f(x) \, = \, 2\,^{3x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{2\,^{3x}}{3\,\ln 2} + C \, = \, \frac{1}{3\,\ln 2} \, 2\,^{3x} + C </math></div></td>
</tr>
</table>

<big>Beakta skillnaden mellan potensfunktioner (<math> x </math> i basen) och exponentialfunktioner (<math> x </math> i exponenten). Därav olika integrationsregler.</big>

====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.2 Integralberäkningar:   Matte 4-boken, sid 156-158</div> ======



 

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

== 3.5 Tillämpning av integraler ==

== Ett fysikaliskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Fallskärmshopp ====

En fallskärmshoppare faller fritt utan att öppna fallskärmen med hastigheten:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

där <math> \, t = \, </math> tiden i sek och <math> \, v \, </math> hastigheten i meter/sek.

a) Bestäm hopparens maximala hastighet genom att:

    rita grafen <math> \, v = v(t) \, </math> och tolka rörelsen fysikaliskt.

b) Formulera och lös problemet matematiskt och besvara frågan:

    Hur långt har hopparen fallit när <math> \, v = 40 \, </math> m/s ?
</div>

=== Fysikalisk tolkning ===
<div class="border-divblue">

<table>
<tr>
<td>a) Grafen till <math> \, v = v(t) \, </math> visar att det finns en maximal hastighet som

fallskärmshopparen inte kan överskrida: <math> \quad\;\; v_{max} = 80 </math> m/s

Efter ett tag når hopparen denna maximala hastighet,

enligt grafen efter ca. 40 sek.     Algebraiskt:

<math> v_{max} = \displaystyle \lim_{t \to \infty}{(80(1 - 0,88^t))} = \lim_{t \to \infty}{(80 - \color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} = 80 \quad </math>

Detta pga: <math> \quad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(\color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} \, = \, 0 \quad </math> och <math> \quad 0,88 \, < \, 1 </math>.

Efter att ha nått <math> \, \approx \, v_{max} \, </math> faller hopparen med konstant hastighet,

eftersom   Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> Gravitation <math> \Rightarrow </math> <div class="smallBox">Fritt fall med luftmotstånd</div>
</td>
<td>[[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt falla.jpg]]

</td>
</tr>
</table>
Enligt [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ Newtons fösta lag:]  "Ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet, om och endast om

::::::::   summan av alla krafter <math> = 0 </math>."
</div>

=== Matematisk formulering ===
<div class="ovnC">

b) Givet:     Hastigheten <math> \; s'(t) \, = \, v(t) \, = \, 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

<math> \qquad\qquad </math> Begynnelsevillkor: <math> \, s(0) \, = \, 0 </math>

     Sökt:     1. Funktionen <math> \displaystyle \quad\; s(t) \, = \, \int_0^t 80\,(1 - 0,88\,^t) \; dt </math>

                  2. Sträckan <math> \quad\;\;\;\, s(t_1) \, </math>, där <math> \; v(t_1) \, = \, 40 \, </math> m/s
</div>

=== Matematisk lösning ===
<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt fall_800.jpg]]</div>

  <big>Övning:     Rita grafen <math> \, s = s(t) \, </math> och tolka med hjälp av den resultaten ovan.</big>
</div>

== Ett samhällsvetenskapligt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Röster i melodifestivalen ====

Antalet inkommande röster per minut i melodifestivalen beskrivs av funktionen:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad r(x)\, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

där <math> \,\, r \,\, </math> är antalet inkommande röster per minut

och <math> \, x \, </math> tiden i minuter efter röstningens start.

Totalt kom in <math> \, 14,5 \, </math> miljoner röster under röstningsperioden.

Beräkna hur länge röstningen pågick.

Kontrollera ditt resultat med grafräknarens verktyg för numerisk integration.
</div>

=== Lösning ===
<div class="border-divblue">

<math> r(x) \, = \, </math> antalet inkommande röster per minut.

Vi inför <math> \, R(x) \, = \, </math> antalet (summan) röster som kommit in vid tidpunkten <math> \, x \, </math>.

Då blir <math> \, r(x) \, </math> rösternas tillväxthastighet (antal per min) dvs derivatan av <math> \, R(x) \, </math>:

::::::::<math> \qquad\qquad R\,'(x) \, = \, r(x) </math>

vilket betyder att <math> \, R(x) \, </math> är den primitiva funktionen till <math> \, r(x) \, </math>:

<math> \qquad R\,'(x) \, = \, r(x) \, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

Vi integrerar ekvationen ovan och sätter den till <math> \, 14,5 \, </math> miljoner inkommande röster :

<math> \qquad \displaystyle R(t) \, = \, \int_0^t (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad\qquad\qquad\; \displaystyle \left[ \, \frac{14\,500\,x^2}{2} - \frac{150\,x^3}{3} \, \right]_0^t \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad \left[ \, 7\,250\,x^2 - 50\,x^3 \, \right]_0^t \, = \, 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 - 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

<math> \qquad 50\,t^3 - 7\,250\,t^2 + 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

Grafräknarens [[Grafritning_och_ekvationslösning_med_räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|ekvationslösare]] ger: <math> \qquad t \, \approx \, 57,6041146 </math>

<math> 0,6041146 \, </math> minuter är <math> \, 0,6041146 \cdot 60 \, \approx \ 36,25 \, </math> sekunder.

Röstningen pågick i <math> \, \underline{57\,\,{\rm minuter\;och\;} 36\,\,{\rm sekunder.}} </math>
</div>

=== Kontroll ===

<big>
Vi beräknar med grafräknaren <math> \, \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, </math> och kontrollerar om det blir <math> \, 14\,500\,000 \, </math>.

Beskrivningen bygger på grafräknaren TI-82 STATS, men kan med lite modifikation tillämpas på alla grafräknare.
</big>

== Numerisk integration med miniräknare ==
<div class="border-divblue">
Tryck i miniräknaren på knappen MATH.

Gå med piltangenten till   fnInt(   som står för numerical Integration.

Tryck på ENTER.

Mata in så att det efteråt står följande i displayen:

::: fnInt ( 14500X-150X^2, X, 0, 57.6041146 ) 

Tryck på ENTER. I displayen visas <math> \underline{14\,500\,000} </math>, vilket betyder:

<math> \qquad \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>
</div>

<big>
Räknarens funktion fnInt( ) tar fyra argument separerade med komma:

1)   Integrandens funktionsuttryck <math> \, f(x) \, </math>, i exemplet ovan <math> r(x) </math>.

2)   Variabeln med avseende på vilken <math> f(x) </math> ska integreras.

3)   Den undre integrationsgränsen.

4)   Den övre integrationsgränsen.
</big>

== Ett ekonomiskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Marginalkostnad ====
som derivatan av kostnaden (jfr. med [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_1_Marginalskatt|marginalskatt)]]
 
Kostnaden K som en funktion av mängden x (antalet broschyrer)
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 189 Uppg 3433 Marginalkostnad.jpg]]
</div>
</div>



====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.5 Tillämpning av integraler:   Matte 4-boken, sid 169-172</div> ======

 

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
</big>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

Kapitel 4 Integraler

2025-10-09T13:33:25Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  

{{Selected tab|[[Kapitel 4 Integraler|Genomgångar]]}}
{{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3 Integ.pdf|Formelsamling Integraler]]}}

{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

<big>
 
F.o.m. detta kapitel finns kursens övningar inte på webben (pga tidsbrist). Därför: Läs igenom genomgångarna här, men använd för

övningarna boken (Matematik 5000). Leta i bokens innehållsförteckning och register efter resp. kapitlets/avsnittets övningar.

Tyvärr överensstämmer sidouppgifterna här inte med boken.


== 4.1 Primitiva funktioner <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 175 ==

Hittills: En funktion var given. Vi sökte funktionens derivata. Nu vänder vi på steken:

Det omvända problemet:

<div class="border-divblue">Derivatan är given. Sökt är den ursprungliga funktionen till den givna derivatan.</div>

'''OBS!  Annan problemställning och annan beteckning:'''

<math> \; f\,(x) \, </math> är inte längre en given funktion som vi ska derivera.

<math> \; f\,(x) \, </math> är en given derivata av en okänd funktion <math> \, \color{red} {F\,(x)} \, </math> som vi söker, dvs <math> \, \color{red} {F\,'(x)} = f\,(x) \, </math>.

<div class="ovnE">
Exempel 1:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, 2\,x \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = 2\,x </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle x\,^2 \, + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = 2\,x + 0 \, = \, 2\,x \, = \, f\,(x) </math>
</div>

<div class="border-divblue"><math>F\,(x) = x\,^2 + C \, </math> kallas för primitiv funktion till <math> \, f\,(x) = 2\,x </math>. <math> \;\; </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata. <math> \;\; </math>
----
Att hitta en primitiv funktion kallas för integration och <math> \, C \, </math> för integrationskonstanten.
</div>

<table>
<tr>
<td><div class="ovnE">
Exempel 2:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = x\,^3 + 5 </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle \frac{1}{4} x\,^4 + 5 \, x + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = \frac{4}{4} x\,^3 + 5 + 0 \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, f\,(x) </math>
</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td><div class="border-divblue">
Allmän definition:
----
Givet: <math> \quad f\,(x) </math>

Sökt: <math> \quad </math> En funktion <math> \;\; F\,(x) \;\; </math> så att:

<math> \qquad\qquad\quad\; \boxed{F\,'\,(x) = f\,(x)} </math>

Funktionen <math> \, F\,(x) \, </math> kallas för primitiv funktion.
</div></td>
</tr>
</table>

:<big>   Integration är deriveringens inversa (omvända) operation. Därför:</big>

:<big>   Integrationsregler för olika funktionstyper följer genom att vända om deriveringsreglerna. T.ex.:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregeln för en potens: ====
----
Om <math> f(x) = x\,^n \qquad {\rm där} \qquad\, n = {\rm const.} \neq -1</math>

då <math>\; F(x) = \boxed{\frac{x\,^{n+1}}{n+1} \, + \, C\;} \;, C = </math> integrationskonstanten

</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>

<div class="ovnE">
Exempel:
----
För <math> \, f(x) \, = \, x^4 \; </math> blir den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{x^5}{5} + C \, = \, \frac{1}{5} \, x^5 + C</math>
</div>

</td>
</tr>
</table>

:<big>   Bevis:</big> <math> \, F\,'(x) = \displaystyle \frac{(n+1) \, x\,^{n+1-1}}{n+1} \, + \, 0 \, = \, \frac{(n+1) \, x\,^{n}}{n+1} = x\,^n = f\,(x) \qquad </math> <big>     Exempel:</big> <math> \;\; F\,'(x) \, = \, \displaystyle \frac{5}{5} \, x\,^4 \, + \, 0 \, = \, x\,^4 \, = \, f\,(x) \qquad </math>

:<big>   Regeln ovan gäller inte bara för positiva <math> \, n \, </math> utan även för negativa (undantaget <math> -1 </math>) och rationella exponenter.</big>

:<big>   Ytterligare regler om primitiva funktioner (för exponentialfunktioner) anges [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregler_f.C3.B6r_exponentialfunktioner:|senare]].</big>

<big>Fysikalisk tolkning:</big>

<table>
<tr>
<td><math> \quad </math></td>
<td>[[Image: 0 Hastighetsmatare_60.jpg]]</td>
<td> <big> <math> \quad </math> Hastighetsmätaren deriverar. <math> \;\; </math>

<math> \quad </math> Trippmätaren integrerar, dvs:

<math> \quad </math> summerar den körda sträckan. </big>

</td>
<td><math> \quad </math> [[Image: 0 Diff vs Integr_h257.jpg]]</td>
</tr>
</table>

<div class="border-divblue">
Integration är den inversa operationen till derivering. <math> \quad </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata

::{|class="wikitable"
!       !!   Derivata   !!   Integral   
|-
|align="left"|  Fysikalisk tolkning:  ||align="center"|  Hastighet  ||align="center"|  Sträcka  
|-
|align="left"|  Geometrisk tolkning:  ||align="center"|  Kurvans lutning  ||align="center"|  Area under kurvan  
|-
|align="left"|  Matematisk tolkning:  ||align="center"|  Limes av differenskvot  ||align="center"|  Limes av oändlig summa  
|}
</div>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 1 Primitiva funktioner_496.jpg]]
</div>
</div>

<big>'''Integrationskonstanten <math> \, C \, </math>:'''</big>

<div class="border-divblue">
Om en given funktion har en primitiva funktion så har den pga <math> \, C={\rm const.} \, </math> oändligt

många primitiva funktioner.

För att få endast en primitiv funktion <math> \, F(x) \, </math> ställs vissa villkor på <math> \, F(x) \, </math>. I fysiken kallas

de för begynnelsevillkor. Villkoren används för att bestämma integrationskonstanten <math> \, C \, </math>. <big><big><math> \; {\bf {\color{Red} {\downarrow}}} </math></big></big>
</div>


== 4.2 Primitiva funktioner med villkor <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 177 ==

I fysikaliska tillämpningar är den typiska formen av villkor begynnelsevillkor. Frågan är:

Vad gällde i början, dvs vilket vägmärke passerades vid <math> \, t = 0 \, </math>. Eller: Vad visade trippmätaren vid <math> \, t = 0 \, </math>?

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2 Primitiva funktioner med villkor_30.jpg]]
</div>
</div>

Problemet ovan kallas även för en differentialekvation med begynnelsevillkor som kommer att behandlas i Matte 4 och 5.

<big>Geometriskt exempel på primitiv funktion med en annan typ av villkor:</big>

<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2a 177_Uppg_3326_30.jpg]]
</div>
</div>


== 4.3 Integral som area under kurvan <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 180 ==

I början av Analysen <math>-</math> den gren av matematiken som handlar om derivator och integraler och som på 1700-talet utvecklades av [https://sv.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Newton] och [https://sv.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz Leibniz] <math>-</math> stod bl.a. följande frågeställning (se även [[2.4_Derivatans_definition#Fr.C3.A5n_sekanten_till_tangenten|Derivatans definition]]):

<div class="border-divblue">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3 Integraler_25.jpg]]
</div>
</div>

<div class="border-divblue">
<math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> läses "Integralen över <math> f(x) \; dx \, </math> från <math> \, a \, </math> till <math> \, b \, </math>". <math> \, f(x) \, </math> kallas för integranden.

<math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math> kallas för integrationsgränser och ersätter integrationskonstanten <math> \, C \, </math>.
</div>

<div class="ovnE">
 <math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> kallas för bestämd integral. Dess resultat är ett tal.

<math> \displaystyle \, \int\limits f(x) \, dx </math> kallas för obestämd integral vars resultat är en primitiv funktion med en integrationskonstant <math> \, C \, </math>.

För att bestämma integrationskonstanten måste ett villkor (begynnelsevillkor) vara givet.
</div>

<big>Fysikaliskt exempel: <math> \quad </math> Likformig rörelse med konstant hastighet 60 km/h </big>

:::[[Image: Integral = Area_70.jpg]]

<math> \qquad\; v\,\text{-}\,t</math> diagrammet (till vänster): Kör man med med <math> \, 60 \, </math> km/h i <math> \, 4 \, </math> timmar har man kört en sträcka på <math> \, 60 \cdot 4 = 240 \, </math> km.

<math> \qquad\; \text{Sträckan} \, 240 \, = \, \text{Arean under hastighetskurvan} \, = \, \text{Integralen} \, \displaystyle \int\limits_0^4 \color{Red}{60} \, dt \, = \, \left[ \, \color{Red}{60\,t} \, \right]_0^4 \, = \, 60\cdot4 \, - \, 60\cdot0 \, = \, 240 </math>

<math> \qquad\; </math>Generellt:

<div class="border-divblue">
Integralen över hastigheten   =   Arean under hastighetskurvan   =   Sträckan.
</div>

<big>Rörelse med variabel hastighet (konstant acceleration):</big>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3a Integral som area under kurvan_30.jpg]]
</div>
</div>


== 3.2 Integralberäkningar ==
<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4 Integralberakning 20b.jpg]]
</div>
</div>

<big>I övningarna finns även exponentialfunktioner vars primitiva funktioner sökes. Reglerna för dem skiljer sig från [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregeln_f.C3.B6r_en_potens:|integrationsregeln för en potens]]:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregler för exponentialfunktioner: ====
----
Om <math> \; f(x) \, = \; e\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{e\,^{k\,x}}{k} \, + \, C\;} \; </math>
----
Om <math> \; f(x) \, = \; a\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, a, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{a\,^{k\,x}}{k\,\ln a} \, + \, C\;} \; </math>
</div>

</td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>
<div class="ovnE">
Exempel:
----
Om <math> \, f(x) \, = \, e\,^{4x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{e\,^{4x}}{4} + C \, = \, \frac{1}{4} \, e\,^{4x} + C</math>
----
Om <math> \, f(x) \, = \, 2\,^{3x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{2\,^{3x}}{3\,\ln 2} + C \, = \, \frac{1}{3\,\ln 2} \, 2\,^{3x} + C </math></div></td>
</tr>
</table>

<big>Beakta skillnaden mellan potensfunktioner (<math> x </math> i basen) och exponentialfunktioner (<math> x </math> i exponenten). Därav olika integrationsregler.</big>

====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.2 Integralberäkningar:   Matte 4-boken, sid 156-158</div> ======



 

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

== 3.5 Tillämpning av integraler ==

== Ett fysikaliskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Fallskärmshopp ====

En fallskärmshoppare faller fritt utan att öppna fallskärmen med hastigheten:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

där <math> \, t = \, </math> tiden i sek och <math> \, v \, </math> hastigheten i meter/sek.

a) Bestäm hopparens maximala hastighet genom att:

    rita grafen <math> \, v = v(t) \, </math> och tolka rörelsen fysikaliskt.

b) Formulera och lös problemet matematiskt och besvara frågan:

    Hur långt har hopparen fallit när <math> \, v = 40 \, </math> m/s ?
</div>

=== Fysikalisk tolkning ===
<div class="border-divblue">

<table>
<tr>
<td>a) Grafen till <math> \, v = v(t) \, </math> visar att det finns en maximal hastighet som

fallskärmshopparen inte kan överskrida: <math> \quad\;\; v_{max} = 80 </math> m/s

Efter ett tag når hopparen denna maximala hastighet,

enligt grafen efter ca. 40 sek.     Algebraiskt:

<math> v_{max} = \displaystyle \lim_{t \to \infty}{(80(1 - 0,88^t))} = \lim_{t \to \infty}{(80 - \color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} = 80 \quad </math>

Detta pga: <math> \quad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(\color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} \, = \, 0 \quad </math> och <math> \quad 0,88 \, < \, 1 </math>.

Efter att ha nått <math> \, \approx \, v_{max} \, </math> faller hopparen med konstant hastighet,

eftersom   Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> Gravitation <math> \Rightarrow </math> <div class="smallBox">Fritt fall med luftmotstånd</div>
</td>
<td>[[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt falla.jpg]]

</td>
</tr>
</table>
Enligt [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ Newtons fösta lag:]  "Ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet, om och endast om

::::::::   summan av alla krafter <math> = 0 </math>."
</div>

=== Matematisk formulering ===
<div class="ovnC">

b) Givet:     Hastigheten <math> \; s'(t) \, = \, v(t) \, = \, 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

<math> \qquad\qquad </math> Begynnelsevillkor: <math> \, s(0) \, = \, 0 </math>

     Sökt:     1. Funktionen <math> \displaystyle \quad\; s(t) \, = \, \int_0^t 80\,(1 - 0,88\,^t) \; dt </math>

                  2. Sträckan <math> \quad\;\;\;\, s(t_1) \, </math>, där <math> \; v(t_1) \, = \, 40 \, </math> m/s
</div>

=== Matematisk lösning ===
<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt fall_800.jpg]]</div>

  <big>Övning:     Rita grafen <math> \, s = s(t) \, </math> och tolka med hjälp av den resultaten ovan.</big>
</div>

== Ett samhällsvetenskapligt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Röster i melodifestivalen ====

Antalet inkommande röster per minut i melodifestivalen beskrivs av funktionen:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad r(x)\, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

där <math> \,\, r \,\, </math> är antalet inkommande röster per minut

och <math> \, x \, </math> tiden i minuter efter röstningens start.

Totalt kom in <math> \, 14,5 \, </math> miljoner röster under röstningsperioden.

Beräkna hur länge röstningen pågick.

Kontrollera ditt resultat med grafräknarens verktyg för numerisk integration.
</div>

=== Lösning ===
<div class="border-divblue">

<math> r(x) \, = \, </math> antalet inkommande röster per minut.

Vi inför <math> \, R(x) \, = \, </math> antalet (summan) röster som kommit in vid tidpunkten <math> \, x \, </math>.

Då blir <math> \, r(x) \, </math> rösternas tillväxthastighet (antal per min) dvs derivatan av <math> \, R(x) \, </math>:

::::::::<math> \qquad\qquad R\,'(x) \, = \, r(x) </math>

vilket betyder att <math> \, R(x) \, </math> är den primitiva funktionen till <math> \, r(x) \, </math>:

<math> \qquad R\,'(x) \, = \, r(x) \, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

Vi integrerar ekvationen ovan och sätter den till <math> \, 14,5 \, </math> miljoner inkommande röster :

<math> \qquad \displaystyle R(t) \, = \, \int_0^t (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad\qquad\qquad\; \displaystyle \left[ \, \frac{14\,500\,x^2}{2} - \frac{150\,x^3}{3} \, \right]_0^t \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad \left[ \, 7\,250\,x^2 - 50\,x^3 \, \right]_0^t \, = \, 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 - 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

<math> \qquad 50\,t^3 - 7\,250\,t^2 + 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

Grafräknarens [[Grafritning_och_ekvationslösning_med_räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|ekvationslösare]] ger: <math> \qquad t \, \approx \, 57,6041146 </math>

<math> 0,6041146 \, </math> minuter är <math> \, 0,6041146 \cdot 60 \, \approx \ 36,25 \, </math> sekunder.

Röstningen pågick i <math> \, \underline{57\,\,{\rm minuter\;och\;} 36\,\,{\rm sekunder.}} </math>
</div>

=== Kontroll ===

<big>
Vi beräknar med grafräknaren <math> \, \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, </math> och kontrollerar om det blir <math> \, 14\,500\,000 \, </math>.

Beskrivningen bygger på grafräknaren TI-82 STATS, men kan med lite modifikation tillämpas på alla grafräknare.
</big>

== Numerisk integration med miniräknare ==
<div class="border-divblue">
Tryck i miniräknaren på knappen MATH.

Gå med piltangenten till   fnInt(   som står för numerical Integration.

Tryck på ENTER.

Mata in så att det efteråt står följande i displayen:

::: fnInt ( 14500X-150X^2, X, 0, 57.6041146 ) 

Tryck på ENTER. I displayen visas <math> \underline{14\,500\,000} </math>, vilket betyder:

<math> \qquad \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>
</div>

<big>
Räknarens funktion fnInt( ) tar fyra argument separerade med komma:

1)   Integrandens funktionsuttryck <math> \, f(x) \, </math>, i exemplet ovan <math> r(x) </math>.

2)   Variabeln med avseende på vilken <math> f(x) </math> ska integreras.

3)   Den undre integrationsgränsen.

4)   Den övre integrationsgränsen.
</big>

== Ett ekonomiskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Marginalkostnad ====
som derivatan av kostnaden (jfr. med [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_1_Marginalskatt|marginalskatt)]]
 
Kostnaden K som en funktion av mängden x (antalet broschyrer)
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 189 Uppg 3433 Marginalkostnad.jpg]]
</div>
</div>



====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.5 Tillämpning av integraler:   Matte 4-boken, sid 169-172</div> ======

 

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
</big>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

Kapitel 4 Integraler

2025-10-09T13:31:41Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  

{{Selected tab|[[Kapitel 4 Integraler|Genomgångar]]}}
{{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3 Integ.pdf|Formelsamling Integraler]]}}

{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

<big>
 
F.o.m. detta kapitel finns kursens övningar inte på webben (pga tidsbrist). Därför: Läs igenom genomgångarna här, men använd för

övningarna boken (Matematik 5000). Leta i bokens innehållsförteckning och register efter resp. kapitlets/avsnittets övningar.

Tyvärr överensstämmer sidouppgifterna här inte med boken.


== 4.1 Primitiva funktioner <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 175 ==

Hittills: En funktion var given. Vi sökte funktionens derivata. Nu vänder vi på steken:

Det omvända problemet:

<div class="border-divblue">Derivatan är given. Sökt är den ursprungliga funktionen till den givna derivatan.</div>

'''OBS!  Annan problemställning och annan beteckning:'''

<math> \; f\,(x) \, </math> är inte längre en given funktion som vi ska derivera.

<math> \; f\,(x) \, </math> är en given derivata av en okänd funktion <math> \, \color{red} {F\,(x)} \, </math> som vi söker, dvs <math> \, \color{red} {F\,'(x)} = f\,(x) \, </math>.

<div class="ovnE">
Exempel 1:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, 2\,x \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = 2\,x </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle x\,^2 \, + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = 2\,x + 0 \, = \, 2\,x \, = \, f\,(x) </math>
</div>

<div class="border-divblue"><math>F\,(x) = x\,^2 + C \, </math> kallas för primitiv funktion till <math> \, f\,(x) = 2\,x </math>. <math> \;\; </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata. <math> \;\; </math>
----
Att hitta en primitiv funktion kallas för integration och <math> \, C \, </math> för integrationskonstanten.
</div>

<table>
<tr>
<td><div class="ovnE">
Exempel 2:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = x\,^3 + 5 </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle \frac{1}{4} x\,^4 + 5 \, x + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = \frac{4}{4} x\,^3 + 5 + 0 \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, f\,(x) </math>
</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td><div class="border-divblue">
Allmän definition:
----
Givet: <math> \quad f\,(x) </math>

Sökt: <math> \quad </math> En funktion <math> \;\; F\,(x) \;\; </math> så att:

<math> \qquad\qquad\quad\; \boxed{F\,'\,(x) = f\,(x)} </math>

Funktionen <math> \, F\,(x) \, </math> kallas för primitiv funktion.
</div></td>
</tr>
</table>

:<big>   Integration är deriveringens inversa (omvända) operation. Därför:</big>

:<big>   Integrationsregler för olika funktionstyper följer genom att vända om deriveringsreglerna. T.ex.:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregeln för en potens: ====
----
Om <math> f(x) = x\,^n \qquad {\rm där} \qquad\, n = {\rm const.} \neq -1</math>

då <math>\; F(x) = \boxed{\frac{x\,^{n+1}}{n+1} \, + \, C\;} \;, C = </math> integrationskonstanten

</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>

<div class="ovnE">
Exempel:
----
För <math> \, f(x) \, = \, x^4 \; </math> blir den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{x^5}{5} + C \, = \, \frac{1}{5} \, x^5 + C</math>
</div>

</td>
</tr>
</table>

:<big>   Bevis:</big> <math> \, F\,'(x) = \displaystyle \frac{(n+1) \, x\,^{n+1-1}}{n+1} \, + \, 0 \, = \, \frac{(n+1) \, x\,^{n}}{n+1} = x\,^n = f\,(x) \qquad </math> <big>     Exempel:</big> <math> \;\; F\,'(x) \, = \, \displaystyle \frac{5}{5} \, x\,^4 \, + \, 0 \, = \, x\,^4 \, = \, f\,(x) \qquad </math>

:<big>   Regeln ovan gäller inte bara för positiva <math> \, n \, </math> utan även för negativa (undantaget <math> -1 </math>) och rationella exponenter.</big>

:<big>   Ytterligare regler om primitiva funktioner (för exponentialfunktioner) anges [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregler_f.C3.B6r_exponentialfunktioner:|senare]].</big>

<big>Fysikalisk tolkning:</big>

<table>
<tr>
<td><math> \quad </math></td>
<td>[[Image: 0 Hastighetsmatare_60.jpg]]</td>
<td> <big> <math> \quad </math> Hastighetsmätaren deriverar. <math> \;\; </math>

<math> \quad </math> Trippmätaren integrerar, dvs:

<math> \quad </math> summerar den körda sträckan. </big>

</td>
<td><math> \quad </math> [[Image: 0 Diff vs Integr_h257.jpg]]</td>
</tr>
</table>

<div class="border-divblue">
Integration är den inversa operationen till derivering. <math> \quad </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata

::{|class="wikitable"
!       !!   Derivata   !!   Integral   
|-
|align="left"|  Fysikalisk tolkning:  ||align="center"|  Hastighet  ||align="center"|  Sträcka  
|-
|align="left"|  Geometrisk tolkning:  ||align="center"|  Kurvans lutning  ||align="center"|  Area under kurvan  
|-
|align="left"|  Matematisk tolkning:  ||align="center"|  Limes av differenskvot  ||align="center"|  Limes av oändlig summa  
|}
</div>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 1 Primitiva funktioner_496.jpg]]
</div>
</div>

<big>'''Integrationskonstanten <math> \, C \, </math>:'''</big>

<div class="border-divblue">
Om en given funktion har en primitiva funktion så har den pga <math> \, C={\rm const.} \, </math> oändligt

många primitiva funktioner.

För att få endast en primitiv funktion <math> \, F(x) \, </math> ställs vissa villkor på <math> \, F(x) \, </math>. I fysiken kallas

de för begynnelsevillkor. Villkoren används för att bestämma integrationskonstanten <math> \, C \, </math>. <big><big><math> \; {\bf {\color{Red} {\downarrow}}} </math></big></big>
</div>


== 4.2 Primitiva funktioner med villkor <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 177 ==

I fysikaliska tillämpningar är den typiska formen av villkor begynnelsevillkor. Frågan är:

Vad gällde i början, dvs vilket vägmärke passerades vid <math> \, t = 0 \, </math>. Eller: Vad visade trippmätaren vid <math> \, t = 0 \, </math>?

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2 Primitiva funktioner med villkor_30.jpg]]
</div>
</div>

Problemet ovan kallas även för en differentialekvation med begynnelsevillkor som kommer att behandlas i Matte 4 och 5.

<big>Geometriskt exempel på primitiv funktion med en annan typ av villkor:</big>

<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2a 177_Uppg_3326_30.jpg]]
</div>
</div>


== 4.3 Integral som area under kurvan <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 180 ==

I början av Analysen <math>-</math> den gren av matematiken som handlar om derivator och integraler och som på 1700-talet utvecklades av [https://sv.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Newton] och [https://sv.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz Leibniz] <math>-</math> stod bl.a. följande frågeställning (se även [[2.4_Derivatans_definition#Fr.C3.A5n_sekanten_till_tangenten|Derivatans definition]]):

<div class="border-divblue">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3 Integraler_25.jpg]]
</div>
</div>

<div class="border-divblue">
<math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> läses "Integralen över <math> f(x) \; dx \, </math> från <math> \, a \, </math> till <math> \, b \, </math>". <math> \, f(x) \, </math> kallas för integranden.

<math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math> kallas för integrationsgränser och ersätter integrationskonstanten <math> \, C \, </math>.
</div>

<div class="ovnE">
 <math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> kallas för bestämd integral. Dess resultat är ett tal.

<math> \displaystyle \, \int\limits f(x) \, dx </math> kallas för obestämd integral vars resultat är en primitiv funktion med en integrationskonstant <math> \, C \, </math>.

För att bestämma integrationskonstanten måste ett villkor (begynnelsevillkor) vara givet.
</div>

<big>Fysikaliskt exempel: <math> \quad </math> Likformig rörelse med konstant hastighet 60 km/h </big>

:::[[Image: Integral = Area_70.jpg]]

<math> \qquad\; v\,\text{-}\,t</math> diagrammet (till vänster): Kör man med med <math> \, 60 \, </math> km/h i <math> \, 4 \, </math> timmar har man kört en sträcka på <math> \, 60 \cdot 4 = 240 \, </math> km.

<math> \qquad\; \text{Sträckan} \, 240 \, = \, \text{Arean under hastighetskurvan} \, = \, \text{Integralen} \, \displaystyle \int\limits_0^4 \color{Red}{60} \, dt \, = \, \left[ \, \color{Red}{60\,t} \, \right]_0^4 \, = \, 60\cdot4 \, - \, 60\cdot0 \, = \, 240 </math>

<math> \qquad\; </math>Generellt:

<div class="border-divblue">
Integralen över hastigheten   =   Arean under hastighetskurvan   =   Sträckan.
</div>

<big>Rörelse med variabel hastighet (konstant acceleration):</big>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3a Integral som area under kurvan_30.jpg]]
</div>
</div>


== 3.2 Integralberäkningar ==
<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4 Integralberakning 20b.jpg]]
</div>
</div>

<big>I övningarna finns även exponentialfunktioner vars primitiva funktioner sökes. Reglerna för dem skiljer sig från [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregeln_f.C3.B6r_en_potens:|integrationsregeln för en potens]]:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregler för exponentialfunktioner: ====
----
Om <math> \; f(x) \, = \; e\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{e\,^{k\,x}}{k} \, + \, C\;} \; </math>
----
Om <math> \; f(x) \, = \; a\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, a, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{a\,^{k\,x}}{k\,\ln a} \, + \, C\;} \; </math>
</div>

</td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>
<div class="ovnE">
Exempel:
----
Om <math> \, f(x) \, = \, e\,^{4x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{e\,^{4x}}{4} + C \, = \, \frac{1}{4} \, e\,^{4x} + C</math>
----
Om <math> \, f(x) \, = \, 2\,^{3x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{2\,^{3x}}{3\,\ln 2} + C \, = \, \frac{1}{3\,\ln 2} \, 2\,^{3x} + C </math></div></td>
</tr>
</table>

<big>Beakta skillnaden mellan potensfunktioner (<math> x </math> i basen) och exponentialfunktioner (<math> x </math> i exponenten). Därav olika integrationsregler.</big>

====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.2 Integralberäkningar:   Matte 4-boken, sid 156-158</div> ======



{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

== 3.5 Tillämpning av integraler ==

== Ett fysikaliskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Fallskärmshopp ====

En fallskärmshoppare faller fritt utan att öppna fallskärmen med hastigheten:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

där <math> \, t = \, </math> tiden i sek och <math> \, v \, </math> hastigheten i meter/sek.

a) Bestäm hopparens maximala hastighet genom att:

    rita grafen <math> \, v = v(t) \, </math> och tolka rörelsen fysikaliskt.

b) Formulera och lös problemet matematiskt och besvara frågan:

    Hur långt har hopparen fallit när <math> \, v = 40 \, </math> m/s ?
</div>

=== Fysikalisk tolkning ===
<div class="border-divblue">

<table>
<tr>
<td>a) Grafen till <math> \, v = v(t) \, </math> visar att det finns en maximal hastighet som

fallskärmshopparen inte kan överskrida: <math> \quad\;\; v_{max} = 80 </math> m/s

Efter ett tag når hopparen denna maximala hastighet,

enligt grafen efter ca. 40 sek.     Algebraiskt:

<math> v_{max} = \displaystyle \lim_{t \to \infty}{(80(1 - 0,88^t))} = \lim_{t \to \infty}{(80 - \color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} = 80 \quad </math>

Detta pga: <math> \quad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(\color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} \, = \, 0 \quad </math> och <math> \quad 0,88 \, < \, 1 </math>.

Efter att ha nått <math> \, \approx \, v_{max} \, </math> faller hopparen med konstant hastighet,

eftersom   Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> Gravitation <math> \Rightarrow </math> <div class="smallBox">Fritt fall med luftmotstånd</div>
</td>
<td>[[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt falla.jpg]]

</td>
</tr>
</table>
Enligt [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ Newtons fösta lag:]  "Ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet, om och endast om

::::::::   summan av alla krafter <math> = 0 </math>."
</div>

=== Matematisk formulering ===
<div class="ovnC">

b) Givet:     Hastigheten <math> \; s'(t) \, = \, v(t) \, = \, 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

<math> \qquad\qquad </math> Begynnelsevillkor: <math> \, s(0) \, = \, 0 </math>

     Sökt:     1. Funktionen <math> \displaystyle \quad\; s(t) \, = \, \int_0^t 80\,(1 - 0,88\,^t) \; dt </math>

                  2. Sträckan <math> \quad\;\;\;\, s(t_1) \, </math>, där <math> \; v(t_1) \, = \, 40 \, </math> m/s
</div>

=== Matematisk lösning ===
<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt fall_800.jpg]]</div>

  <big>Övning:     Rita grafen <math> \, s = s(t) \, </math> och tolka med hjälp av den resultaten ovan.</big>
</div>

== Ett samhällsvetenskapligt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Röster i melodifestivalen ====

Antalet inkommande röster per minut i melodifestivalen beskrivs av funktionen:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad r(x)\, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

där <math> \,\, r \,\, </math> är antalet inkommande röster per minut

och <math> \, x \, </math> tiden i minuter efter röstningens start.

Totalt kom in <math> \, 14,5 \, </math> miljoner röster under röstningsperioden.

Beräkna hur länge röstningen pågick.

Kontrollera ditt resultat med grafräknarens verktyg för numerisk integration.
</div>

=== Lösning ===
<div class="border-divblue">

<math> r(x) \, = \, </math> antalet inkommande röster per minut.

Vi inför <math> \, R(x) \, = \, </math> antalet (summan) röster som kommit in vid tidpunkten <math> \, x \, </math>.

Då blir <math> \, r(x) \, </math> rösternas tillväxthastighet (antal per min) dvs derivatan av <math> \, R(x) \, </math>:

::::::::<math> \qquad\qquad R\,'(x) \, = \, r(x) </math>

vilket betyder att <math> \, R(x) \, </math> är den primitiva funktionen till <math> \, r(x) \, </math>:

<math> \qquad R\,'(x) \, = \, r(x) \, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

Vi integrerar ekvationen ovan och sätter den till <math> \, 14,5 \, </math> miljoner inkommande röster :

<math> \qquad \displaystyle R(t) \, = \, \int_0^t (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad\qquad\qquad\; \displaystyle \left[ \, \frac{14\,500\,x^2}{2} - \frac{150\,x^3}{3} \, \right]_0^t \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad \left[ \, 7\,250\,x^2 - 50\,x^3 \, \right]_0^t \, = \, 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 - 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

<math> \qquad 50\,t^3 - 7\,250\,t^2 + 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

Grafräknarens [[Grafritning_och_ekvationslösning_med_räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|ekvationslösare]] ger: <math> \qquad t \, \approx \, 57,6041146 </math>

<math> 0,6041146 \, </math> minuter är <math> \, 0,6041146 \cdot 60 \, \approx \ 36,25 \, </math> sekunder.

Röstningen pågick i <math> \, \underline{57\,\,{\rm minuter\;och\;} 36\,\,{\rm sekunder.}} </math>
</div>

=== Kontroll ===

<big>
Vi beräknar med grafräknaren <math> \, \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, </math> och kontrollerar om det blir <math> \, 14\,500\,000 \, </math>.

Beskrivningen bygger på grafräknaren TI-82 STATS, men kan med lite modifikation tillämpas på alla grafräknare.
</big>

== Numerisk integration med miniräknare ==
<div class="border-divblue">
Tryck i miniräknaren på knappen MATH.

Gå med piltangenten till   fnInt(   som står för numerical Integration.

Tryck på ENTER.

Mata in så att det efteråt står följande i displayen:

::: fnInt ( 14500X-150X^2, X, 0, 57.6041146 ) 

Tryck på ENTER. I displayen visas <math> \underline{14\,500\,000} </math>, vilket betyder:

<math> \qquad \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>
</div>

<big>
Räknarens funktion fnInt( ) tar fyra argument separerade med komma:

1)   Integrandens funktionsuttryck <math> \, f(x) \, </math>, i exemplet ovan <math> r(x) </math>.

2)   Variabeln med avseende på vilken <math> f(x) </math> ska integreras.

3)   Den undre integrationsgränsen.

4)   Den övre integrationsgränsen.
</big>

== Ett ekonomiskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Marginalkostnad ====
som derivatan av kostnaden (jfr. med [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_1_Marginalskatt|marginalskatt)]]
 
Kostnaden K som en funktion av mängden x (antalet broschyrer)
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 189 Uppg 3433 Marginalkostnad.jpg]]
</div>
</div>



====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.5 Tillämpning av integraler:   Matte 4-boken, sid 169-172</div> ======

 

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
</big>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

Kapitel 4 Integraler

2025-10-09T13:30:11Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  

{{Selected tab|[[Kapitel 4 Integraler|Genomgångar]]}}
{{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3 Integ.pdf|Formelsamling Integraler]]}}

{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

<big>
 
F.o.m. detta kapitel finns kursens övningar inte på webben (pga tidsbrist). Därför: Läs igenom genomgångarna här, men använd för

övningarna boken (Matematik 5000). Leta i bokens innehållsförteckning och register efter resp. kapitlets/avsnittets övningar.

Tyvärr överensstämmer sidouppgifterna här inte med boken.


== 4.1 Primitiva funktioner <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 175 ==

Hittills: En funktion var given. Vi sökte funktionens derivata. Nu vänder vi på steken:

Det omvända problemet:

<div class="border-divblue">Derivatan är given. Sökt är den ursprungliga funktionen till den givna derivatan.</div>

'''OBS!  Annan problemställning och annan beteckning:'''

<math> \; f\,(x) \, </math> är inte längre en given funktion som vi ska derivera.

<math> \; f\,(x) \, </math> är en given derivata av en okänd funktion <math> \, \color{red} {F\,(x)} \, </math> som vi söker, dvs <math> \, \color{red} {F\,'(x)} = f\,(x) \, </math>.

<div class="ovnE">
Exempel 1:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, 2\,x \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = 2\,x </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle x\,^2 \, + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = 2\,x + 0 \, = \, 2\,x \, = \, f\,(x) </math>
</div>

<div class="border-divblue"><math>F\,(x) = x\,^2 + C \, </math> kallas för primitiv funktion till <math> \, f\,(x) = 2\,x </math>. <math> \;\; </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata. <math> \;\; </math>
----
Att hitta en primitiv funktion kallas för integration och <math> \, C \, </math> för integrationskonstanten.
</div>

<table>
<tr>
<td><div class="ovnE">
Exempel 2:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = x\,^3 + 5 </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle \frac{1}{4} x\,^4 + 5 \, x + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = \frac{4}{4} x\,^3 + 5 + 0 \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, f\,(x) </math>
</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td><div class="border-divblue">
Allmän definition:
----
Givet: <math> \quad f\,(x) </math>

Sökt: <math> \quad </math> En funktion <math> \;\; F\,(x) \;\; </math> så att:

<math> \qquad\qquad\quad\; \boxed{F\,'\,(x) = f\,(x)} </math>

Funktionen <math> \, F\,(x) \, </math> kallas för primitiv funktion.
</div></td>
</tr>
</table>

:<big>   Integration är deriveringens inversa (omvända) operation. Därför:</big>

:<big>   Integrationsregler för olika funktionstyper följer genom att vända om deriveringsreglerna. T.ex.:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregeln för en potens: ====
----
Om <math> f(x) = x\,^n \qquad {\rm där} \qquad\, n = {\rm const.} \neq -1</math>

då <math>\; F(x) = \boxed{\frac{x\,^{n+1}}{n+1} \, + \, C\;} \;, C = </math> integrationskonstanten

</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>

<div class="ovnE">
Exempel:
----
För <math> \, f(x) \, = \, x^4 \; </math> blir den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{x^5}{5} + C \, = \, \frac{1}{5} \, x^5 + C</math>
</div>

</td>
</tr>
</table>

:<big>   Bevis:</big> <math> \, F\,'(x) = \displaystyle \frac{(n+1) \, x\,^{n+1-1}}{n+1} \, + \, 0 \, = \, \frac{(n+1) \, x\,^{n}}{n+1} = x\,^n = f\,(x) \qquad </math> <big>     Exempel:</big> <math> \;\; F\,'(x) \, = \, \displaystyle \frac{5}{5} \, x\,^4 \, + \, 0 \, = \, x\,^4 \, = \, f\,(x) \qquad </math>

:<big>   Regeln ovan gäller inte bara för positiva <math> \, n \, </math> utan även för negativa (undantaget <math> -1 </math>) och rationella exponenter.</big>

:<big>   Ytterligare regler om primitiva funktioner (för exponentialfunktioner) anges [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregler_f.C3.B6r_exponentialfunktioner:|senare]].</big>

<big>Fysikalisk tolkning:</big>

<table>
<tr>
<td><math> \quad </math></td>
<td>[[Image: 0 Hastighetsmatare_60.jpg]]</td>
<td> <big> <math> \quad </math> Hastighetsmätaren deriverar. <math> \;\; </math>

<math> \quad </math> Trippmätaren integrerar, dvs:

<math> \quad </math> summerar den körda sträckan. </big>

</td>
<td><math> \quad </math> [[Image: 0 Diff vs Integr_h257.jpg]]</td>
</tr>
</table>

<div class="border-divblue">
Integration är den inversa operationen till derivering. <math> \quad </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata

::{|class="wikitable"
!       !!   Derivata   !!   Integral   
|-
|align="left"|  Fysikalisk tolkning:  ||align="center"|  Hastighet  ||align="center"|  Sträcka  
|-
|align="left"|  Geometrisk tolkning:  ||align="center"|  Kurvans lutning  ||align="center"|  Area under kurvan  
|-
|align="left"|  Matematisk tolkning:  ||align="center"|  Limes av differenskvot  ||align="center"|  Limes av oändlig summa  
|}
</div>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 1 Primitiva funktioner_496.jpg]]
</div>
</div>

<big>'''Integrationskonstanten <math> \, C \, </math>:'''</big>

<div class="border-divblue">
Om en given funktion har en primitiva funktion så har den pga <math> \, C={\rm const.} \, </math> oändligt

många primitiva funktioner.

För att få endast en primitiv funktion <math> \, F(x) \, </math> ställs vissa villkor på <math> \, F(x) \, </math>. I fysiken kallas

de för begynnelsevillkor. Villkoren används för att bestämma integrationskonstanten <math> \, C \, </math>. <big><big><math> \; {\bf {\color{Red} {\downarrow}}} </math></big></big>
</div>


== 4.2 Primitiva funktioner med villkor <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 177 ==

I fysikaliska tillämpningar är den typiska formen av villkor begynnelsevillkor. Frågan är:

Vad gällde i början, dvs vilket vägmärke passerades vid <math> \, t = 0 \, </math>. Eller: Vad visade trippmätaren vid <math> \, t = 0 \, </math>?

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2 Primitiva funktioner med villkor_30.jpg]]
</div>
</div>

Problemet ovan kallas även för en differentialekvation med begynnelsevillkor som kommer att behandlas i Matte 4 och 5.

<big>Geometriskt exempel på primitiv funktion med en annan typ av villkor:</big>

<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2a 177_Uppg_3326_30.jpg]]
</div>
</div>


== 4.3 Integral som area under kurvan <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 180 ==

I början av Analysen <math>-</math> den gren av matematiken som handlar om derivator och integraler och som på 1700-talet utvecklades av [https://sv.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Newton] och [https://sv.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz Leibniz] <math>-</math> stod bl.a. följande frågeställning (se även [[2.4_Derivatans_definition#Fr.C3.A5n_sekanten_till_tangenten|Derivatans definition]]):

<div class="border-divblue">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3 Integraler_25.jpg]]
</div>
</div>

<div class="border-divblue">
<math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> läses "Integralen över <math> f(x) \; dx \, </math> från <math> \, a \, </math> till <math> \, b \, </math>". <math> \, f(x) \, </math> kallas för integranden.

<math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math> kallas för integrationsgränser och ersätter integrationskonstanten <math> \, C \, </math>.
</div>

<div class="ovnE">
 <math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> kallas för bestämd integral. Dess resultat är ett tal.

<math> \displaystyle \, \int\limits f(x) \, dx </math> kallas för obestämd integral vars resultat är en primitiv funktion med en integrationskonstant <math> \, C \, </math>.

För att bestämma integrationskonstanten måste ett villkor (begynnelsevillkor) vara givet.
</div>

<big>Fysikaliskt exempel: <math> \quad </math> Likformig rörelse med konstant hastighet 60 km/h </big>

:::[[Image: Integral = Area_70.jpg]]

<math> \qquad\; v\,\text{-}\,t</math> diagrammet (till vänster): Kör man med med <math> \, 60 \, </math> km/h i <math> \, 4 \, </math> timmar har man kört en sträcka på <math> \, 60 \cdot 4 = 240 \, </math> km.

<math> \qquad\; \text{Sträckan} \, 240 \, = \, \text{Arean under hastighetskurvan} \, = \, \text{Integralen} \, \displaystyle \int\limits_0^4 \color{Red}{60} \, dt \, = \, \left[ \, \color{Red}{60\,t} \, \right]_0^4 \, = \, 60\cdot4 \, - \, 60\cdot0 \, = \, 240 </math>

<math> \qquad\; </math>Generellt:

<div class="border-divblue">
Integralen över hastigheten   =   Arean under hastighetskurvan   =   Sträckan.
</div>

<big>Rörelse med variabel hastighet (konstant acceleration):</big>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3a Integral som area under kurvan_30.jpg]]
</div>
</div>


== 3.2 Integralberäkningar ==
<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4 Integralberakning 20b.jpg]]
</div>
</div>

<big>I övningarna finns även exponentialfunktioner vars primitiva funktioner sökes. Reglerna för dem skiljer sig från [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregeln_f.C3.B6r_en_potens:|integrationsregeln för en potens]]:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregler för exponentialfunktioner: ====
----
Om <math> \; f(x) \, = \; e\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{e\,^{k\,x}}{k} \, + \, C\;} \; </math>
----
Om <math> \; f(x) \, = \; a\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, a, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{a\,^{k\,x}}{k\,\ln a} \, + \, C\;} \; </math>
</div>

</td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>
<div class="ovnE">
Exempel:
----
Om <math> \, f(x) \, = \, e\,^{4x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{e\,^{4x}}{4} + C \, = \, \frac{1}{4} \, e\,^{4x} + C</math>
----
Om <math> \, f(x) \, = \, 2\,^{3x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{2\,^{3x}}{3\,\ln 2} + C \, = \, \frac{1}{3\,\ln 2} \, 2\,^{3x} + C </math></div></td>
</tr>
</table>

<big>Beakta skillnaden mellan potensfunktioner (<math> x </math> i basen) och exponentialfunktioner (<math> x </math> i exponenten). Därav olika integrationsregler.</big>

====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.2 Integralberäkningar:   Matte 4-boken, sid 156-158</div> ======



{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

== 3.5 Tillämpning av integraler ==

== Ett fysikaliskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Fallskärmshopp ====

En fallskärmshoppare faller fritt utan att öppna fallskärmen med hastigheten:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

där <math> \, t = \, </math> tiden i sek och <math> \, v \, </math> hastigheten i meter/sek.

a) Bestäm hopparens maximala hastighet genom att:

    rita grafen <math> \, v = v(t) \, </math> och tolka rörelsen fysikaliskt.

b) Formulera och lös problemet matematiskt och besvara frågan:

    Hur långt har hopparen fallit när <math> \, v = 40 \, </math> m/s ?
</div>

=== Fysikalisk tolkning ===
<div class="border-divblue">

<table>
<tr>
<td>a) Grafen till <math> \, v = v(t) \, </math> visar att det finns en maximal hastighet som

fallskärmshopparen inte kan överskrida: <math> \quad\;\; v_{max} = 80 </math> m/s

Efter ett tag når hopparen denna maximala hastighet,

enligt grafen efter ca. 40 sek.     Algebraiskt:

<math> v_{max} = \displaystyle \lim_{t \to \infty}{(80(1 - 0,88^t))} = \lim_{t \to \infty}{(80 - \color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} = 80 \quad </math>

Detta pga: <math> \quad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(\color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} \, = \, 0 \quad </math> och <math> \quad 0,88 \, < \, 1 </math>.

Efter att ha nått <math> \, \approx \, v_{max} \, </math> faller hopparen med konstant hastighet,

eftersom   Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> Gravitation <math> \Rightarrow </math> <div class="smallBox">Fritt fall med luftmotstånd</div>
</td>
<td>[[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt falla.jpg]]

</td>
</tr>
</table>
Enligt [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ Newtons fösta lag:]  "Ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet, om och endast om

::::::::   summan av alla krafter <math> = 0 </math>."
</div>

=== Matematisk formulering ===
<div class="ovnC">

b) Givet:     Hastigheten <math> \; s'(t) \, = \, v(t) \, = \, 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

<math> \qquad\qquad </math> Begynnelsevillkor: <math> \, s(0) \, = \, 0 </math>

     Sökt:     1. Funktionen <math> \displaystyle \quad\; s(t) \, = \, \int_0^t 80\,(1 - 0,88\,^t) \; dt </math>

                  2. Sträckan <math> \quad\;\;\;\, s(t_1) \, </math>, där <math> \; v(t_1) \, = \, 40 \, </math> m/s
</div>

=== Matematisk lösning ===
<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt fall_800.jpg]]</div>

  <big>Övning:     Rita grafen <math> \, s = s(t) \, </math> och tolka med hjälp av den resultaten ovan.</big>
</div>

== Ett samhällsvetenskapligt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Röster i melodifestivalen ====

Antalet inkommande röster per minut i melodifestivalen beskrivs av funktionen:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad r(x)\, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

där <math> \,\, r \,\, </math> är antalet inkommande röster per minut

och <math> \, x \, </math> tiden i minuter efter röstningens start.

Totalt kom in <math> \, 14,5 \, </math> miljoner röster under röstningsperioden.

Beräkna hur länge röstningen pågick.

Kontrollera ditt resultat med grafräknarens verktyg för numerisk integration.
</div>

=== Lösning ===
<div class="border-divblue">

<math> r(x) \, = \, </math> antalet inkommande röster per minut.

Vi inför <math> \, R(x) \, = \, </math> antalet (summan) röster som kommit in vid tidpunkten <math> \, x \, </math>.

Då blir <math> \, r(x) \, </math> rösternas tillväxthastighet (antal per min) dvs derivatan av <math> \, R(x) \, </math>:

::::::::<math> \qquad\qquad R\,'(x) \, = \, r(x) </math>

vilket betyder att <math> \, R(x) \, </math> är den primitiva funktionen till <math> \, r(x) \, </math>:

<math> \qquad R\,'(x) \, = \, r(x) \, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

Vi integrerar ekvationen ovan och sätter den till <math> \, 14,5 \, </math> miljoner inkommande röster :

<math> \qquad \displaystyle R(t) \, = \, \int_0^t (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad\qquad\qquad\; \displaystyle \left[ \, \frac{14\,500\,x^2}{2} - \frac{150\,x^3}{3} \, \right]_0^t \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad \left[ \, 7\,250\,x^2 - 50\,x^3 \, \right]_0^t \, = \, 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 - 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

<math> \qquad 50\,t^3 - 7\,250\,t^2 + 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

Grafräknarens [[Grafritning_och_ekvationslösning_med_räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|ekvationslösare]] ger: <math> \qquad t \, \approx \, 57,6041146 </math>

<math> 0,6041146 \, </math> minuter är <math> \, 0,6041146 \cdot 60 \, \approx \ 36,25 \, </math> sekunder.

Röstningen pågick i <math> \, \underline{57\,\,{\rm minuter\;och\;} 36\,\,{\rm sekunder.}} </math>
</div>

=== Kontroll ===

<big>
Vi beräknar med grafräknaren <math> \, \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, </math> och kontrollerar om det blir <math> \, 14\,500\,000 \, </math>.

Beskrivningen bygger på grafräknaren TI-82 STATS, men kan med lite modifikation tillämpas på alla grafräknare.
</big>

== Numerisk integration med miniräknare ==
<div class="border-divblue">
Tryck i miniräknaren på knappen MATH.

Gå med piltangenten till   fnInt(   som står för numerical Integration.

Tryck på ENTER.

Mata in så att det efteråt står följande i displayen:

::: fnInt ( 14500X-150X^2, X, 0, 57.6041146 ) 

Tryck på ENTER. I displayen visas <math> \underline{14\,500\,000} </math>, vilket betyder:

<math> \qquad \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>
</div>

<big>
Räknarens funktion fnInt( ) tar fyra argument separerade med komma:

1)   Integrandens funktionsuttryck <math> \, f(x) \, </math>, i exemplet ovan <math> r(x) </math>.

2)   Variabeln med avseende på vilken <math> f(x) </math> ska integreras.

3)   Den undre integrationsgränsen.

4)   Den övre integrationsgränsen.
</big>

== Ett ekonomiskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Marginalkostnad ====
som derivatan av kostnaden (jfr. med [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_1_Marginalskatt|marginalskatt)]]
 
Kostnaden K som en funktion av mängden x (antalet broschyrer)
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 189 Uppg 3433 Marginalkostnad.jpg]]
</div>
</div>



====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.5 Tillämpning av integraler:   Matte 4-boken, sid 169-172</div> ======

 

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
</big>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

Kapitel 4 Integraler

2025-10-09T13:28:45Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  

{{Selected tab|[[Kapitel 4 Integraler|Genomgångar]]}}
{{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3 Integ.pdf|Formelsamling Integraler]]}}

{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

<big>
 
F.o.m. detta kapitel finns kursens övningar inte på webben (pga tidsbrist). Därför: Läs igenom genomgångarna här, men använd för

övningarna boken (Matematik 5000). Leta i bokens innehållsförteckning och register efter resp. kapitlets/avsnittets övningar.

Tyvärr överensstämmer sidouppgifterna här inte med boken.


== 4.1 Primitiva funktioner <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 175 ==

Hittills: En funktion var given. Vi sökte funktionens derivata. Nu vänder vi på steken:

Det omvända problemet:

<div class="border-divblue">Derivatan är given. Sökt är den ursprungliga funktionen till den givna derivatan.</div>

'''OBS!  Annan problemställning och annan beteckning:'''

<math> \; f\,(x) \, </math> är inte längre en given funktion som vi ska derivera.

<math> \; f\,(x) \, </math> är en given derivata av en okänd funktion <math> \, \color{red} {F\,(x)} \, </math> som vi söker, dvs <math> \, \color{red} {F\,'(x)} = f\,(x) \, </math>.

<div class="ovnE">
Exempel 1:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, 2\,x \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = 2\,x </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle x\,^2 \, + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = 2\,x + 0 \, = \, 2\,x \, = \, f\,(x) </math>
</div>

<div class="border-divblue"><math>F\,(x) = x\,^2 + C \, </math> kallas för primitiv funktion till <math> \, f\,(x) = 2\,x </math>. <math> \;\; </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata. <math> \;\; </math>
----
Att hitta en primitiv funktion kallas för integration och <math> \, C \, </math> för integrationskonstanten.
</div>

<table>
<tr>
<td><div class="ovnE">
Exempel 2:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = x\,^3 + 5 </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle \frac{1}{4} x\,^4 + 5 \, x + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = \frac{4}{4} x\,^3 + 5 + 0 \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, f\,(x) </math>
</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td><div class="border-divblue">
Allmän definition:
----
Givet: <math> \quad f\,(x) </math>

Sökt: <math> \quad </math> En funktion <math> \;\; F\,(x) \;\; </math> så att:

<math> \qquad\qquad\quad\; \boxed{F\,'\,(x) = f\,(x)} </math>

Funktionen <math> \, F\,(x) \, </math> kallas för primitiv funktion.
</div></td>
</tr>
</table>

:<big>   Integration är deriveringens inversa (omvända) operation. Därför:</big>

:<big>   Integrationsregler för olika funktionstyper följer genom att vända om deriveringsreglerna. T.ex.:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregeln för en potens: ====
----
Om <math> f(x) = x\,^n \qquad {\rm där} \qquad\, n = {\rm const.} \neq -1</math>

då <math>\; F(x) = \boxed{\frac{x\,^{n+1}}{n+1} \, + \, C\;} \;, C = </math> integrationskonstanten

</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>

<div class="ovnE">
Exempel:
----
För <math> \, f(x) \, = \, x^4 \; </math> blir den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{x^5}{5} + C \, = \, \frac{1}{5} \, x^5 + C</math>
</div>

</td>
</tr>
</table>

:<big>   Bevis:</big> <math> \, F\,'(x) = \displaystyle \frac{(n+1) \, x\,^{n+1-1}}{n+1} \, + \, 0 \, = \, \frac{(n+1) \, x\,^{n}}{n+1} = x\,^n = f\,(x) \qquad </math> <big>     Exempel:</big> <math> \;\; F\,'(x) \, = \, \displaystyle \frac{5}{5} \, x\,^4 \, + \, 0 \, = \, x\,^4 \, = \, f\,(x) \qquad </math>

:<big>   Regeln ovan gäller inte bara för positiva <math> \, n \, </math> utan även för negativa (undantaget <math> -1 </math>) och rationella exponenter.</big>

:<big>   Ytterligare regler om primitiva funktioner (för exponentialfunktioner) anges [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregler_f.C3.B6r_exponentialfunktioner:|senare]].</big>

<big>Fysikalisk tolkning:</big>

<table>
<tr>
<td><math> \quad </math></td>
<td>[[Image: 0 Hastighetsmatare_60.jpg]]</td>
<td> <big> <math> \quad </math> Hastighetsmätaren deriverar. <math> \;\; </math>

<math> \quad </math> Trippmätaren integrerar, dvs:

<math> \quad </math> summerar den körda sträckan. </big>

</td>
<td><math> \quad </math> [[Image: 0 Diff vs Integr_h257.jpg]]</td>
</tr>
</table>

<div class="border-divblue">
Integration är den inversa operationen till derivering. <math> \quad </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata

::{|class="wikitable"
!       !!   Derivata   !!   Integral   
|-
|align="left"|  Fysikalisk tolkning:  ||align="center"|  Hastighet  ||align="center"|  Sträcka  
|-
|align="left"|  Geometrisk tolkning:  ||align="center"|  Kurvans lutning  ||align="center"|  Area under kurvan  
|-
|align="left"|  Matematisk tolkning:  ||align="center"|  Limes av differenskvot  ||align="center"|  Limes av oändlig summa  
|}
</div>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 1 Primitiva funktioner_496.jpg]]
</div>
</div>

<big>'''Integrationskonstanten <math> \, C \, </math>:'''</big>

<div class="border-divblue">
Om en given funktion har en primitiva funktion så har den pga <math> \, C={\rm const.} \, </math> oändligt

många primitiva funktioner.

För att få endast en primitiv funktion <math> \, F(x) \, </math> ställs vissa villkor på <math> \, F(x) \, </math>. I fysiken kallas

de för begynnelsevillkor. Villkoren används för att bestämma integrationskonstanten <math> \, C \, </math>. <big><big><math> \; {\bf {\color{Red} {\downarrow}}} </math></big></big>
</div>


== 4.2 Primitiva funktioner med villkor <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 177 ==

I fysikaliska tillämpningar är den typiska formen av villkor begynnelsevillkor. Frågan är:

Vad gällde i början, dvs vilket vägmärke passerades vid <math> \, t = 0 \, </math>. Eller: Vad visade trippmätaren vid <math> \, t = 0 \, </math>?

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2 Primitiva funktioner med villkor_30.jpg]]
</div>
</div>

Problemet ovan kallas även för en differentialekvation med begynnelsevillkor som kommer att behandlas i Matte 4 och 5.

<big>Geometriskt exempel på primitiv funktion med en annan typ av villkor:</big>

<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2a 177_Uppg_3326_30.jpg]]
</div>
</div>


== 4.3 Integral som area under kurvan <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 180 ==

I början av Analysen <math>-</math> den gren av matematiken som handlar om derivator och integraler och som på 1700-talet utvecklades av [https://sv.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Newton] och [https://sv.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz Leibniz] <math>-</math> stod bl.a. följande frågeställning (se även [[2.4_Derivatans_definition#Fr.C3.A5n_sekanten_till_tangenten|Derivatans definition]]):

<div class="border-divblue">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3 Integraler_25.jpg]]
</div>
</div>

<div class="border-divblue">
<math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> läses "Integralen över <math> f(x) \; dx \, </math> från <math> \, a \, </math> till <math> \, b \, </math>". <math> \, f(x) \, </math> kallas för integranden.

<math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math> kallas för integrationsgränser och ersätter integrationskonstanten <math> \, C \, </math>.
</div>

<div class="ovnE">
 <math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> kallas för bestämd integral. Dess resultat är ett tal.

<math> \displaystyle \, \int\limits f(x) \, dx </math> kallas för obestämd integral vars resultat är en primitiv funktion med en integrationskonstant <math> \, C \, </math>.

För att bestämma integrationskonstanten måste ett villkor (begynnelsevillkor) vara givet.
</div>

<big>Fysikaliskt exempel: <math> \quad </math> Likformig rörelse med konstant hastighet 60 km/h </big>

:::[[Image: Integral = Area_70.jpg]]

<math> \qquad\; v\,\text{-}\,t</math> diagrammet (till vänster): Kör man med med <math> \, 60 \, </math> km/h i <math> \, 4 \, </math> timmar har man kört en sträcka på <math> \, 60 \cdot 4 = 240 \, </math> km.

<math> \qquad\; \text{Sträckan} \, 240 \, = \, \text{Arean under hastighetskurvan} \, = \, \text{Integralen} \, \displaystyle \int\limits_0^4 \color{Red}{60} \, dt \, = \, \left[ \, \color{Red}{60\,t} \, \right]_0^4 \, = \, 60\cdot4 \, - \, 60\cdot0 \, = \, 240 </math>

<math> \qquad\; </math>Generellt:

<div class="border-divblue">
Integralen över hastigheten   =   Arean under hastighetskurvan   =   Sträckan.
</div>

<big>Rörelse med variabel hastighet (konstant acceleration):</big>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3a Integral som area under kurvan_30.jpg]]
</div>
</div>


== 3.2 Integralberäkningar ==
<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4 Integralberakning 20b.jpg]]
</div>
</div>

<big>I övningarna finns även exponentialfunktioner vars primitiva funktioner sökes. Reglerna för dem skiljer sig från [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregeln_f.C3.B6r_en_potens:|integrationsregeln för en potens]]:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregler för exponentialfunktioner: ====
----
Om <math> \; f(x) \, = \; e\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{e\,^{k\,x}}{k} \, + \, C\;} \; </math>
----
Om <math> \; f(x) \, = \; a\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, a, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{a\,^{k\,x}}{k\,\ln a} \, + \, C\;} \; </math>
</div>

</td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>
<div class="ovnE">
Exempel:
----
Om <math> \, f(x) \, = \, e\,^{4x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{e\,^{4x}}{4} + C \, = \, \frac{1}{4} \, e\,^{4x} + C</math>
----
Om <math> \, f(x) \, = \, 2\,^{3x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{2\,^{3x}}{3\,\ln 2} + C \, = \, \frac{1}{3\,\ln 2} \, 2\,^{3x} + C </math></div></td>
</tr>
</table>

<big>Beakta skillnaden mellan potensfunktioner (<math> x </math> i basen) och exponentialfunktioner (<math> x </math> i exponenten). Därav olika integrationsregler.</big>

====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.2 Integralberäkningar:   Matte 4-boken, sid 156-158</div> ======

 



{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
== 3.5 Tillämpning av integraler ==

== Ett fysikaliskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Fallskärmshopp ====

En fallskärmshoppare faller fritt utan att öppna fallskärmen med hastigheten:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

där <math> \, t = \, </math> tiden i sek och <math> \, v \, </math> hastigheten i meter/sek.

a) Bestäm hopparens maximala hastighet genom att:

    rita grafen <math> \, v = v(t) \, </math> och tolka rörelsen fysikaliskt.

b) Formulera och lös problemet matematiskt och besvara frågan:

    Hur långt har hopparen fallit när <math> \, v = 40 \, </math> m/s ?
</div>

=== Fysikalisk tolkning ===
<div class="border-divblue">

<table>
<tr>
<td>a) Grafen till <math> \, v = v(t) \, </math> visar att det finns en maximal hastighet som

fallskärmshopparen inte kan överskrida: <math> \quad\;\; v_{max} = 80 </math> m/s

Efter ett tag når hopparen denna maximala hastighet,

enligt grafen efter ca. 40 sek.     Algebraiskt:

<math> v_{max} = \displaystyle \lim_{t \to \infty}{(80(1 - 0,88^t))} = \lim_{t \to \infty}{(80 - \color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} = 80 \quad </math>

Detta pga: <math> \quad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(\color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} \, = \, 0 \quad </math> och <math> \quad 0,88 \, < \, 1 </math>.

Efter att ha nått <math> \, \approx \, v_{max} \, </math> faller hopparen med konstant hastighet,

eftersom   Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> Gravitation <math> \Rightarrow </math> <div class="smallBox">Fritt fall med luftmotstånd</div>
</td>
<td>[[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt falla.jpg]]

</td>
</tr>
</table>
Enligt [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ Newtons fösta lag:]  "Ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet, om och endast om

::::::::   summan av alla krafter <math> = 0 </math>."
</div>

=== Matematisk formulering ===
<div class="ovnC">

b) Givet:     Hastigheten <math> \; s'(t) \, = \, v(t) \, = \, 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

<math> \qquad\qquad </math> Begynnelsevillkor: <math> \, s(0) \, = \, 0 </math>

     Sökt:     1. Funktionen <math> \displaystyle \quad\; s(t) \, = \, \int_0^t 80\,(1 - 0,88\,^t) \; dt </math>

                  2. Sträckan <math> \quad\;\;\;\, s(t_1) \, </math>, där <math> \; v(t_1) \, = \, 40 \, </math> m/s
</div>

=== Matematisk lösning ===
<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt fall_800.jpg]]</div>

  <big>Övning:     Rita grafen <math> \, s = s(t) \, </math> och tolka med hjälp av den resultaten ovan.</big>
</div>

== Ett samhällsvetenskapligt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Röster i melodifestivalen ====

Antalet inkommande röster per minut i melodifestivalen beskrivs av funktionen:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad r(x)\, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

där <math> \,\, r \,\, </math> är antalet inkommande röster per minut

och <math> \, x \, </math> tiden i minuter efter röstningens start.

Totalt kom in <math> \, 14,5 \, </math> miljoner röster under röstningsperioden.

Beräkna hur länge röstningen pågick.

Kontrollera ditt resultat med grafräknarens verktyg för numerisk integration.
</div>

=== Lösning ===
<div class="border-divblue">

<math> r(x) \, = \, </math> antalet inkommande röster per minut.

Vi inför <math> \, R(x) \, = \, </math> antalet (summan) röster som kommit in vid tidpunkten <math> \, x \, </math>.

Då blir <math> \, r(x) \, </math> rösternas tillväxthastighet (antal per min) dvs derivatan av <math> \, R(x) \, </math>:

::::::::<math> \qquad\qquad R\,'(x) \, = \, r(x) </math>

vilket betyder att <math> \, R(x) \, </math> är den primitiva funktionen till <math> \, r(x) \, </math>:

<math> \qquad R\,'(x) \, = \, r(x) \, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

Vi integrerar ekvationen ovan och sätter den till <math> \, 14,5 \, </math> miljoner inkommande röster :

<math> \qquad \displaystyle R(t) \, = \, \int_0^t (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad\qquad\qquad\; \displaystyle \left[ \, \frac{14\,500\,x^2}{2} - \frac{150\,x^3}{3} \, \right]_0^t \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad \left[ \, 7\,250\,x^2 - 50\,x^3 \, \right]_0^t \, = \, 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 - 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

<math> \qquad 50\,t^3 - 7\,250\,t^2 + 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

Grafräknarens [[Grafritning_och_ekvationslösning_med_räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|ekvationslösare]] ger: <math> \qquad t \, \approx \, 57,6041146 </math>

<math> 0,6041146 \, </math> minuter är <math> \, 0,6041146 \cdot 60 \, \approx \ 36,25 \, </math> sekunder.

Röstningen pågick i <math> \, \underline{57\,\,{\rm minuter\;och\;} 36\,\,{\rm sekunder.}} </math>
</div>

=== Kontroll ===

<big>
Vi beräknar med grafräknaren <math> \, \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, </math> och kontrollerar om det blir <math> \, 14\,500\,000 \, </math>.

Beskrivningen bygger på grafräknaren TI-82 STATS, men kan med lite modifikation tillämpas på alla grafräknare.
</big>

== Numerisk integration med miniräknare ==
<div class="border-divblue">
Tryck i miniräknaren på knappen MATH.

Gå med piltangenten till   fnInt(   som står för numerical Integration.

Tryck på ENTER.

Mata in så att det efteråt står följande i displayen:

::: fnInt ( 14500X-150X^2, X, 0, 57.6041146 ) 

Tryck på ENTER. I displayen visas <math> \underline{14\,500\,000} </math>, vilket betyder:

<math> \qquad \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>
</div>

<big>
Räknarens funktion fnInt( ) tar fyra argument separerade med komma:

1)   Integrandens funktionsuttryck <math> \, f(x) \, </math>, i exemplet ovan <math> r(x) </math>.

2)   Variabeln med avseende på vilken <math> f(x) </math> ska integreras.

3)   Den undre integrationsgränsen.

4)   Den övre integrationsgränsen.
</big>

== Ett ekonomiskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Marginalkostnad ====
som derivatan av kostnaden (jfr. med [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_1_Marginalskatt|marginalskatt)]]
 
Kostnaden K som en funktion av mängden x (antalet broschyrer)
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 189 Uppg 3433 Marginalkostnad.jpg]]
</div>
</div>



====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.5 Tillämpning av integraler:   Matte 4-boken, sid 169-172</div> ======

 

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
</big>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

Kapitel 4 Integraler

2025-10-09T13:03:05Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  

{{Selected tab|[[Kapitel 4 Integraler|Genomgångar]]}}
{{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3 Integ.pdf|Formelsamling Integraler]]}}

{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

<big>
 
F.o.m. detta kapitel finns kursens övningar inte på webben (pga tidsbrist). Därför: Läs igenom genomgångarna här, men använd för

övningarna boken (Matematik 5000). Leta i bokens innehållsförteckning och register efter resp. kapitlets/avsnittets övningar.

Tyvärr överensstämmer sidouppgifterna här inte med boken.


== 4.1 Primitiva funktioner <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 175 ==

Hittills: En funktion var given. Vi sökte funktionens derivata. Nu vänder vi på steken:

Det omvända problemet:

<div class="border-divblue">Derivatan är given. Sökt är den ursprungliga funktionen till den givna derivatan.</div>

'''OBS!  Annan problemställning och annan beteckning:'''

<math> \; f\,(x) \, </math> är inte längre en given funktion som vi ska derivera.

<math> \; f\,(x) \, </math> är en given derivata av en okänd funktion <math> \, \color{red} {F\,(x)} \, </math> som vi söker, dvs <math> \, \color{red} {F\,'(x)} = f\,(x) \, </math>.

<div class="ovnE">
Exempel 1:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, 2\,x \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = 2\,x </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle x\,^2 \, + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = 2\,x + 0 \, = \, 2\,x \, = \, f\,(x) </math>
</div>

<div class="border-divblue"><math>F\,(x) = x\,^2 + C \, </math> kallas för primitiv funktion till <math> \, f\,(x) = 2\,x </math>. <math> \;\; </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata. <math> \;\; </math>
----
Att hitta en primitiv funktion kallas för integration och <math> \, C \, </math> för integrationskonstanten.
</div>

<table>
<tr>
<td><div class="ovnE">
Exempel 2:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = x\,^3 + 5 </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle \frac{1}{4} x\,^4 + 5 \, x + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = \frac{4}{4} x\,^3 + 5 + 0 \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, f\,(x) </math>
</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td><div class="border-divblue">
Allmän definition:
----
Givet: <math> \quad f\,(x) </math>

Sökt: <math> \quad </math> En funktion <math> \;\; F\,(x) \;\; </math> så att:

<math> \qquad\qquad\quad\; \boxed{F\,'\,(x) = f\,(x)} </math>

Funktionen <math> \, F\,(x) \, </math> kallas för primitiv funktion.
</div></td>
</tr>
</table>

:<big>   Integration är deriveringens inversa (omvända) operation. Därför:</big>

:<big>   Integrationsregler för olika funktionstyper följer genom att vända om deriveringsreglerna. T.ex.:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregeln för en potens: ====
----
Om <math> f(x) = x\,^n \qquad {\rm där} \qquad\, n = {\rm const.} \neq -1</math>

då <math>\; F(x) = \boxed{\frac{x\,^{n+1}}{n+1} \, + \, C\;} \;, C = </math> integrationskonstanten

</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>

<div class="ovnE">
Exempel:
----
För <math> \, f(x) \, = \, x^4 \; </math> blir den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{x^5}{5} + C \, = \, \frac{1}{5} \, x^5 + C</math>
</div>

</td>
</tr>
</table>

:<big>   Bevis:</big> <math> \, F\,'(x) = \displaystyle \frac{(n+1) \, x\,^{n+1-1}}{n+1} \, + \, 0 \, = \, \frac{(n+1) \, x\,^{n}}{n+1} = x\,^n = f\,(x) \qquad </math> <big>     Exempel:</big> <math> \;\; F\,'(x) \, = \, \displaystyle \frac{5}{5} \, x\,^4 \, + \, 0 \, = \, x\,^4 \, = \, f\,(x) \qquad </math>

:<big>   Regeln ovan gäller inte bara för positiva <math> \, n \, </math> utan även för negativa (undantaget <math> -1 </math>) och rationella exponenter.</big>

:<big>   Ytterligare regler om primitiva funktioner (för exponentialfunktioner) anges [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregler_f.C3.B6r_exponentialfunktioner:|senare]].</big>

<big>Fysikalisk tolkning:</big>

<table>
<tr>
<td><math> \quad </math></td>
<td>[[Image: 0 Hastighetsmatare_60.jpg]]</td>
<td> <big> <math> \quad </math> Hastighetsmätaren deriverar. <math> \;\; </math>

<math> \quad </math> Trippmätaren integrerar, dvs:

<math> \quad </math> summerar den körda sträckan. </big>

</td>
<td><math> \quad </math> [[Image: 0 Diff vs Integr_h257.jpg]]</td>
</tr>
</table>

<div class="border-divblue">
Integration är den inversa operationen till derivering. <math> \quad </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata

::{|class="wikitable"
!       !!   Derivata   !!   Integral   
|-
|align="left"|  Fysikalisk tolkning:  ||align="center"|  Hastighet  ||align="center"|  Sträcka  
|-
|align="left"|  Geometrisk tolkning:  ||align="center"|  Kurvans lutning  ||align="center"|  Area under kurvan  
|-
|align="left"|  Matematisk tolkning:  ||align="center"|  Limes av differenskvot  ||align="center"|  Limes av oändlig summa  
|}
</div>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 1 Primitiva funktioner_496.jpg]]
</div>
</div>

<big>'''Integrationskonstanten <math> \, C \, </math>:'''</big>

<div class="border-divblue">
Om en given funktion har en primitiva funktion så har den pga <math> \, C={\rm const.} \, </math> oändligt

många primitiva funktioner.

För att få endast en primitiv funktion <math> \, F(x) \, </math> ställs vissa villkor på <math> \, F(x) \, </math>. I fysiken kallas

de för begynnelsevillkor. Villkoren används för att bestämma integrationskonstanten <math> \, C \, </math>. <big><big><math> \; {\bf {\color{Red} {\downarrow}}} </math></big></big>
</div>


== 4.2 Primitiva funktioner med villkor <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 177 ==

I fysikaliska tillämpningar är den typiska formen av villkor begynnelsevillkor. Frågan är:

Vad gällde i början, dvs vilket vägmärke passerades vid <math> \, t = 0 \, </math>. Eller: Vad visade trippmätaren vid <math> \, t = 0 \, </math>?

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2 Primitiva funktioner med villkor_30.jpg]]
</div>
</div>

Problemet ovan kallas även för en differentialekvation med begynnelsevillkor som kommer att behandlas i Matte 4 och 5.

<big>Geometriskt exempel på primitiv funktion med en annan typ av villkor:</big>

<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2a 177_Uppg_3326_30.jpg]]
</div>
</div>


== 4.3 Integral som area under kurvan <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 180 ==

I början av Analysen <math>-</math> den gren av matematiken som handlar om derivator och integraler och som på 1700-talet utvecklades av [https://sv.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Newton] och [https://sv.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz Leibniz] <math>-</math> stod bl.a. följande frågeställning (se även [[2.4_Derivatans_definition#Fr.C3.A5n_sekanten_till_tangenten|Derivatans definition]]):

<div class="border-divblue">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3 Integraler_25.jpg]]
</div>
</div>

<div class="border-divblue">
<math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> läses "Integralen över <math> f(x) \; dx \, </math> från <math> \, a \, </math> till <math> \, b \, </math>". <math> \, f(x) \, </math> kallas för integranden.

<math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math> kallas för integrationsgränser och ersätter integrationskonstanten <math> \, C \, </math>.
</div>

<div class="ovnE">
 <math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> kallas för bestämd integral. Dess resultat är ett tal.

<math> \displaystyle \, \int\limits f(x) \, dx </math> kallas för obestämd integral vars resultat är en primitiv funktion med en integrationskonstant <math> \, C \, </math>.

För att bestämma integrationskonstanten måste ett villkor (begynnelsevillkor) vara givet.
</div>

<big>Fysikaliskt exempel: <math> \quad </math> Likformig rörelse med konstant hastighet 60 km/h </big>

:::[[Image: Integral = Area_70.jpg]]

<math> \qquad\; v\,\text{-}\,t</math> diagrammet (till vänster): Kör man med med <math> \, 60 \, </math> km/h i <math> \, 4 \, </math> timmar har man kört en sträcka på <math> \, 60 \cdot 4 = 240 \, </math> km.

<math> \qquad\; \text{Sträckan} \, 240 \, = \, \text{Arean under hastighetskurvan} \, = \, \text{Integralen} \, \displaystyle \int\limits_0^4 \color{Red}{60} \, dt \, = \, \left[ \, \color{Red}{60\,t} \, \right]_0^4 \, = \, 60\cdot4 \, - \, 60\cdot0 \, = \, 240 </math>

<math> \qquad\; </math>Generellt:

<div class="border-divblue">
Integralen över hastigheten   =   Arean under hastighetskurvan   =   Sträckan.
</div>

<big>Rörelse med variabel hastighet (konstant acceleration):</big>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3a Integral som area under kurvan_30.jpg]]
</div>
</div>


== 3.2 Integralberäkningar ==
<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4 Integralberakning 20b.jpg]]
</div>
</div>

<big>I övningarna finns även exponentialfunktioner vars primitiva funktioner sökes. Reglerna för dem skiljer sig från [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregeln_f.C3.B6r_en_potens:|integrationsregeln för en potens]]:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregler för exponentialfunktioner: ====
----
Om <math> \; f(x) \, = \; e\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{e\,^{k\,x}}{k} \, + \, C\;} \; </math>
----
Om <math> \; f(x) \, = \; a\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, a, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{a\,^{k\,x}}{k\,\ln a} \, + \, C\;} \; </math>
</div>

</td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>
<div class="ovnE">
Exempel:
----
Om <math> \, f(x) \, = \, e\,^{4x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{e\,^{4x}}{4} + C \, = \, \frac{1}{4} \, e\,^{4x} + C</math>
----
Om <math> \, f(x) \, = \, 2\,^{3x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{2\,^{3x}}{3\,\ln 2} + C \, = \, \frac{1}{3\,\ln 2} \, 2\,^{3x} + C </math></div></td>
</tr>
</table>

<big>Beakta skillnaden mellan potensfunktioner (<math> x </math> i basen) och exponentialfunktioner (<math> x </math> i exponenten). Därav olika integrationsregler.</big>

====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.2 Integralberäkningar:   Matte 4-boken, sid 156-158</div> ======

 



{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

== 3.5 Tillämpning av integraler ==

== Ett fysikaliskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Fallskärmshopp ====

En fallskärmshoppare faller fritt utan att öppna fallskärmen med hastigheten:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

där <math> \, t = \, </math> tiden i sek och <math> \, v \, </math> hastigheten i meter/sek.

a) Bestäm hopparens maximala hastighet genom att:

    rita grafen <math> \, v = v(t) \, </math> och tolka rörelsen fysikaliskt.

b) Formulera och lös problemet matematiskt och besvara frågan:

    Hur långt har hopparen fallit när <math> \, v = 40 \, </math> m/s ?
</div>

=== Fysikalisk tolkning ===
<div class="border-divblue">

<table>
<tr>
<td>a) Grafen till <math> \, v = v(t) \, </math> visar att det finns en maximal hastighet som

fallskärmshopparen inte kan överskrida: <math> \quad\;\; v_{max} = 80 </math> m/s

Efter ett tag når hopparen denna maximala hastighet,

enligt grafen efter ca. 40 sek.     Algebraiskt:

<math> v_{max} = \displaystyle \lim_{t \to \infty}{(80(1 - 0,88^t))} = \lim_{t \to \infty}{(80 - \color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} = 80 \quad </math>

Detta pga: <math> \quad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(\color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} \, = \, 0 \quad </math> och <math> \quad 0,88 \, < \, 1 </math>.

Efter att ha nått <math> \, \approx \, v_{max} \, </math> faller hopparen med konstant hastighet,

eftersom   Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> Gravitation <math> \Rightarrow </math> <div class="smallBox">Fritt fall med luftmotstånd</div>
</td>
<td>[[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt falla.jpg]]

</td>
</tr>
</table>
Enligt [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ Newtons fösta lag:]  "Ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet, om och endast om

::::::::   summan av alla krafter <math> = 0 </math>."
</div>

=== Matematisk formulering ===
<div class="ovnC">

b) Givet:     Hastigheten <math> \; s'(t) \, = \, v(t) \, = \, 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

<math> \qquad\qquad </math> Begynnelsevillkor: <math> \, s(0) \, = \, 0 </math>

     Sökt:     1. Funktionen <math> \displaystyle \quad\; s(t) \, = \, \int_0^t 80\,(1 - 0,88\,^t) \; dt </math>

                  2. Sträckan <math> \quad\;\;\;\, s(t_1) \, </math>, där <math> \; v(t_1) \, = \, 40 \, </math> m/s
</div>

=== Matematisk lösning ===
<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt fall_800.jpg]]</div>

  <big>Övning:     Rita grafen <math> \, s = s(t) \, </math> och tolka med hjälp av den resultaten ovan.</big>
</div>

== Ett samhällsvetenskapligt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Röster i melodifestivalen ====

Antalet inkommande röster per minut i melodifestivalen beskrivs av funktionen:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad r(x)\, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

där <math> \,\, r \,\, </math> är antalet inkommande röster per minut

och <math> \, x \, </math> tiden i minuter efter röstningens start.

Totalt kom in <math> \, 14,5 \, </math> miljoner röster under röstningsperioden.

Beräkna hur länge röstningen pågick.

Kontrollera ditt resultat med grafräknarens verktyg för numerisk integration.
</div>

=== Lösning ===
<div class="border-divblue">

<math> r(x) \, = \, </math> antalet inkommande röster per minut.

Vi inför <math> \, R(x) \, = \, </math> antalet (summan) röster som kommit in vid tidpunkten <math> \, x \, </math>.

Då blir <math> \, r(x) \, </math> rösternas tillväxthastighet (antal per min) dvs derivatan av <math> \, R(x) \, </math>:

::::::::<math> \qquad\qquad R\,'(x) \, = \, r(x) </math>

vilket betyder att <math> \, R(x) \, </math> är den primitiva funktionen till <math> \, r(x) \, </math>:

<math> \qquad R\,'(x) \, = \, r(x) \, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

Vi integrerar ekvationen ovan och sätter den till <math> \, 14,5 \, </math> miljoner inkommande röster :

<math> \qquad \displaystyle R(t) \, = \, \int_0^t (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad\qquad\qquad\; \displaystyle \left[ \, \frac{14\,500\,x^2}{2} - \frac{150\,x^3}{3} \, \right]_0^t \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad \left[ \, 7\,250\,x^2 - 50\,x^3 \, \right]_0^t \, = \, 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 - 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

<math> \qquad 50\,t^3 - 7\,250\,t^2 + 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

Grafräknarens [[Grafritning_och_ekvationslösning_med_räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|ekvationslösare]] ger: <math> \qquad t \, \approx \, 57,6041146 </math>

<math> 0,6041146 \, </math> minuter är <math> \, 0,6041146 \cdot 60 \, \approx \ 36,25 \, </math> sekunder.

Röstningen pågick i <math> \, \underline{57\,\,{\rm minuter\;och\;} 36\,\,{\rm sekunder.}} </math>
</div>

=== Kontroll ===

<big>
Vi beräknar med grafräknaren <math> \, \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, </math> och kontrollerar om det blir <math> \, 14\,500\,000 \, </math>.

Beskrivningen bygger på grafräknaren TI-82 STATS, men kan med lite modifikation tillämpas på alla grafräknare.
</big>

== Numerisk integration med miniräknare ==
<div class="border-divblue">
Tryck i miniräknaren på knappen MATH.

Gå med piltangenten till   fnInt(   som står för numerical Integration.

Tryck på ENTER.

Mata in så att det efteråt står följande i displayen:

::: fnInt ( 14500X-150X^2, X, 0, 57.6041146 ) 

Tryck på ENTER. I displayen visas <math> \underline{14\,500\,000} </math>, vilket betyder:

<math> \qquad \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>
</div>

<big>
Räknarens funktion fnInt( ) tar fyra argument separerade med komma:

1)   Integrandens funktionsuttryck <math> \, f(x) \, </math>, i exemplet ovan <math> r(x) </math>.

2)   Variabeln med avseende på vilken <math> f(x) </math> ska integreras.

3)   Den undre integrationsgränsen.

4)   Den övre integrationsgränsen.
</big>

== Ett ekonomiskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Marginalkostnad ====
som derivatan av kostnaden (jfr. med [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_1_Marginalskatt|marginalskatt)]]
 
Kostnaden K som en funktion av mängden x (antalet broschyrer)
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 189 Uppg 3433 Marginalkostnad.jpg]]
</div>
</div>



====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.5 Tillämpning av integraler:   Matte 4-boken, sid 169-172</div> ======

 

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
</big>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

Kapitel 4 Integraler

2025-10-09T12:59:10Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  

{{Selected tab|[[Kapitel 4 Integraler|Genomgångar]]}}
{{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3 Integ.pdf|Formelsamling Integraler]]}}

{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

<big>
 
F.o.m. detta kapitel finns kursens övningar inte på webben (pga tidsbrist). Därför: Läs igenom genomgångarna här, men använd för

övningarna boken (Matematik 5000). Leta i bokens innehållsförteckning och register efter resp. kapitlets/avsnittets övningar.

Tyvärr överensstämmer sidouppgifterna här inte med boken.


== 4.1 Primitiva funktioner <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 175 ==

Hittills: En funktion var given. Vi sökte funktionens derivata. Nu vänder vi på steken:

Det omvända problemet:

<div class="border-divblue">Derivatan är given. Sökt är den ursprungliga funktionen till den givna derivatan.</div>

'''OBS!  Annan problemställning och annan beteckning:'''

<math> \; f\,(x) \, </math> är inte längre en given funktion som vi ska derivera.

<math> \; f\,(x) \, </math> är en given derivata av en okänd funktion <math> \, \color{red} {F\,(x)} \, </math> som vi söker, dvs <math> \, \color{red} {F\,'(x)} = f\,(x) \, </math>.

<div class="ovnE">
Exempel 1:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, 2\,x \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = 2\,x </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle x\,^2 \, + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = 2\,x + 0 \, = \, 2\,x \, = \, f\,(x) </math>
</div>

<div class="border-divblue"><math>F\,(x) = x\,^2 + C \, </math> kallas för primitiv funktion till <math> \, f\,(x) = 2\,x </math>. <math> \;\; </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata. <math> \;\; </math>
----
Att hitta en primitiv funktion kallas för integration och <math> \, C \, </math> för integrationskonstanten.
</div>

<table>
<tr>
<td><div class="ovnE">
Exempel 2:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = x\,^3 + 5 </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle \frac{1}{4} x\,^4 + 5 \, x + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = \frac{4}{4} x\,^3 + 5 + 0 \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, f\,(x) </math>
</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td><div class="border-divblue">
Allmän definition:
----
Givet: <math> \quad f\,(x) </math>

Sökt: <math> \quad </math> En funktion <math> \;\; F\,(x) \;\; </math> så att:

<math> \qquad\qquad\quad\; \boxed{F\,'\,(x) = f\,(x)} </math>

Funktionen <math> \, F\,(x) \, </math> kallas för primitiv funktion.
</div></td>
</tr>
</table>

:<big>   Integration är deriveringens inversa (omvända) operation. Därför:</big>

:<big>   Integrationsregler för olika funktionstyper följer genom att vända om deriveringsreglerna. T.ex.:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregeln för en potens: ====
----
Om <math> f(x) = x\,^n \qquad {\rm där} \qquad\, n = {\rm const.} \neq -1</math>

då <math>\; F(x) = \boxed{\frac{x\,^{n+1}}{n+1} \, + \, C\;} \;, C = </math> integrationskonstanten

</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>

<div class="ovnE">
Exempel:
----
För <math> \, f(x) \, = \, x^4 \; </math> blir den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{x^5}{5} + C \, = \, \frac{1}{5} \, x^5 + C</math>
</div>

</td>
</tr>
</table>

:<big>   Bevis:</big> <math> \, F\,'(x) = \displaystyle \frac{(n+1) \, x\,^{n+1-1}}{n+1} \, + \, 0 \, = \, \frac{(n+1) \, x\,^{n}}{n+1} = x\,^n = f\,(x) \qquad </math> <big>     Exempel:</big> <math> \;\; F\,'(x) \, = \, \displaystyle \frac{5}{5} \, x\,^4 \, + \, 0 \, = \, x\,^4 \, = \, f\,(x) \qquad </math>

:<big>   Regeln ovan gäller inte bara för positiva <math> \, n \, </math> utan även för negativa (undantaget <math> -1 </math>) och rationella exponenter.</big>

:<big>   Ytterligare regler om primitiva funktioner (för exponentialfunktioner) anges [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregler_f.C3.B6r_exponentialfunktioner:|senare]].</big>

<big>Fysikalisk tolkning:</big>

<table>
<tr>
<td><math> \quad </math></td>
<td>[[Image: 0 Hastighetsmatare_60.jpg]]</td>
<td> <big> <math> \quad </math> Hastighetsmätaren deriverar. <math> \;\; </math>

<math> \quad </math> Trippmätaren integrerar, dvs:

<math> \quad </math> summerar den körda sträckan. </big>

</td>
<td><math> \quad </math> [[Image: 0 Diff vs Integr_h257.jpg]]</td>
</tr>
</table>

<div class="border-divblue">
Integration är den inversa operationen till derivering. <math> \quad </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata

::{|class="wikitable"
!       !!   Derivata   !!   Integral   
|-
|align="left"|  Fysikalisk tolkning:  ||align="center"|  Hastighet  ||align="center"|  Sträcka  
|-
|align="left"|  Geometrisk tolkning:  ||align="center"|  Kurvans lutning  ||align="center"|  Area under kurvan  
|-
|align="left"|  Matematisk tolkning:  ||align="center"|  Limes av differenskvot  ||align="center"|  Limes av oändlig summa  
|}
</div>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 1 Primitiva funktioner_496.jpg]]
</div>
</div>

<big>'''Integrationskonstanten <math> \, C \, </math>:'''</big>

<div class="border-divblue">
Om en given funktion har en primitiva funktion så har den pga <math> \, C={\rm const.} \, </math> oändligt

många primitiva funktioner.

För att få endast en primitiv funktion <math> \, F(x) \, </math> ställs vissa villkor på <math> \, F(x) \, </math>. I fysiken kallas

de för begynnelsevillkor. Villkoren används för att bestämma integrationskonstanten <math> \, C \, </math>. <big><big><math> \; {\bf {\color{Red} {\downarrow}}} </math></big></big>
</div>


== 4.2 Primitiva funktioner med villkor <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 177 ==

I fysikaliska tillämpningar är den typiska formen av villkor begynnelsevillkor. Frågan är:

Vad gällde i början, dvs vilket vägmärke passerades vid <math> \, t = 0 \, </math>. Eller: Vad visade trippmätaren vid <math> \, t = 0 \, </math>?

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2 Primitiva funktioner med villkor_30.jpg]]
</div>
</div>

Problemet ovan kallas även för en differentialekvation med begynnelsevillkor som kommer att behandlas i Matte 4 och 5.

<big>Geometriskt exempel på primitiv funktion med en annan typ av villkor:</big>

<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2a 177_Uppg_3326_30.jpg]]
</div>
</div>


== 4.3 Integral som area under kurvan <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 180 ==

I början av Analysen <math>-</math> den gren av matematiken som handlar om derivator och integraler och som på 1700-talet utvecklades av [https://sv.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Newton] och [https://sv.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz Leibniz] <math>-</math> stod bl.a. följande frågeställning (se även [[2.4_Derivatans_definition#Fr.C3.A5n_sekanten_till_tangenten|Derivatans definition]]):

<div class="border-divblue">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3 Integraler_25.jpg]]
</div>
</div>

<div class="border-divblue">
<math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> läses "Integralen över <math> f(x) \; dx \, </math> från <math> \, a \, </math> till <math> \, b \, </math>". <math> \, f(x) \, </math> kallas för integranden.

<math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math> kallas för integrationsgränser och ersätter integrationskonstanten <math> \, C \, </math>.
</div>

<div class="ovnE">
 <math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> kallas för bestämd integral. Dess resultat är ett tal.

<math> \displaystyle \, \int\limits f(x) \, dx </math> kallas för obestämd integral vars resultat är en primitiv funktion med en integrationskonstant <math> \, C \, </math>.

För att bestämma integrationskonstanten måste ett villkor (begynnelsevillkor) vara givet.
</div>

<big>Fysikaliskt exempel: <math> \quad </math> Likformig rörelse med konstant hastighet 60 km/h </big>

:::[[Image: Integral = Area_70.jpg]]

<math> \qquad\; v\,\text{-}\,t</math> diagrammet (till vänster): Kör man med med <math> \, 60 \, </math> km/h i <math> \, 4 \, </math> timmar har man kört en sträcka på <math> \, 60 \cdot 4 = 240 \, </math> km.

<math> \qquad\; \text{Sträckan} \, 240 \, = \, \text{Arean under hastighetskurvan} \, = \, \text{Integralen} \, \displaystyle \int\limits_0^4 \color{Red}{60} \, dt \, = \, \left[ \, \color{Red}{60\,t} \, \right]_0^4 \, = \, 60\cdot4 \, - \, 60\cdot0 \, = \, 240 </math>

<math> \qquad\; </math>Generellt:

<div class="border-divblue">
Integralen över hastigheten   =   Arean under hastighetskurvan   =   Sträckan.
</div>

<big>Rörelse med variabel hastighet (konstant acceleration):</big>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3a Integral som area under kurvan_30.jpg]]
</div>
</div>


== 3.2 Integralberäkningar ==
<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4 Integralberakning 20b.jpg]]
</div>
</div>

<big>I övningarna finns även exponentialfunktioner vars primitiva funktioner sökes. Reglerna för dem skiljer sig från [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregeln_f.C3.B6r_en_potens:|integrationsregeln för en potens]]:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregler för exponentialfunktioner: ====
----
Om <math> \; f(x) \, = \; e\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{e\,^{k\,x}}{k} \, + \, C\;} \; </math>
----
Om <math> \; f(x) \, = \; a\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, a, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{a\,^{k\,x}}{k\,\ln a} \, + \, C\;} \; </math>
</div>

</td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>
<div class="ovnE">
Exempel:
----
Om <math> \, f(x) \, = \, e\,^{4x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{e\,^{4x}}{4} + C \, = \, \frac{1}{4} \, e\,^{4x} + C</math>
----
Om <math> \, f(x) \, = \, 2\,^{3x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{2\,^{3x}}{3\,\ln 2} + C \, = \, \frac{1}{3\,\ln 2} \, 2\,^{3x} + C </math></div></td>
</tr>
</table>

<big>Beakta skillnaden mellan potensfunktioner (<math> x </math> i basen) och exponentialfunktioner (<math> x </math> i exponenten). Därav olika integrationsregler.</big>

====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.2 Integralberäkningar:   Boken, sid 156-158</div> ======

 



{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.5 Tillämpning av integraler:   Matte 4-boken, sid 169-172</div> ======

== 3.5 Tillämpning av integraler ==

== Ett fysikaliskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Fallskärmshopp ====

En fallskärmshoppare faller fritt utan att öppna fallskärmen med hastigheten:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

där <math> \, t = \, </math> tiden i sek och <math> \, v \, </math> hastigheten i meter/sek.

a) Bestäm hopparens maximala hastighet genom att:

    rita grafen <math> \, v = v(t) \, </math> och tolka rörelsen fysikaliskt.

b) Formulera och lös problemet matematiskt och besvara frågan:

    Hur långt har hopparen fallit när <math> \, v = 40 \, </math> m/s ?
</div>

=== Fysikalisk tolkning ===
<div class="border-divblue">

<table>
<tr>
<td>a) Grafen till <math> \, v = v(t) \, </math> visar att det finns en maximal hastighet som

fallskärmshopparen inte kan överskrida: <math> \quad\;\; v_{max} = 80 </math> m/s

Efter ett tag når hopparen denna maximala hastighet,

enligt grafen efter ca. 40 sek.     Algebraiskt:

<math> v_{max} = \displaystyle \lim_{t \to \infty}{(80(1 - 0,88^t))} = \lim_{t \to \infty}{(80 - \color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} = 80 \quad </math>

Detta pga: <math> \quad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(\color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} \, = \, 0 \quad </math> och <math> \quad 0,88 \, < \, 1 </math>.

Efter att ha nått <math> \, \approx \, v_{max} \, </math> faller hopparen med konstant hastighet,

eftersom   Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> Gravitation <math> \Rightarrow </math> <div class="smallBox">Fritt fall med luftmotstånd</div>
</td>
<td>[[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt falla.jpg]]

</td>
</tr>
</table>
Enligt [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ Newtons fösta lag:]  "Ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet, om och endast om

::::::::   summan av alla krafter <math> = 0 </math>."
</div>

=== Matematisk formulering ===
<div class="ovnC">

b) Givet:     Hastigheten <math> \; s'(t) \, = \, v(t) \, = \, 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

<math> \qquad\qquad </math> Begynnelsevillkor: <math> \, s(0) \, = \, 0 </math>

     Sökt:     1. Funktionen <math> \displaystyle \quad\; s(t) \, = \, \int_0^t 80\,(1 - 0,88\,^t) \; dt </math>

                  2. Sträckan <math> \quad\;\;\;\, s(t_1) \, </math>, där <math> \; v(t_1) \, = \, 40 \, </math> m/s
</div>

=== Matematisk lösning ===
<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt fall_800.jpg]]</div>

  <big>Övning:     Rita grafen <math> \, s = s(t) \, </math> och tolka med hjälp av den resultaten ovan.</big>
</div>

== Ett samhällsvetenskapligt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Röster i melodifestivalen ====

Antalet inkommande röster per minut i melodifestivalen beskrivs av funktionen:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad r(x)\, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

där <math> \,\, r \,\, </math> är antalet inkommande röster per minut

och <math> \, x \, </math> tiden i minuter efter röstningens start.

Totalt kom in <math> \, 14,5 \, </math> miljoner röster under röstningsperioden.

Beräkna hur länge röstningen pågick.

Kontrollera ditt resultat med grafräknarens verktyg för numerisk integration.
</div>

=== Lösning ===
<div class="border-divblue">

<math> r(x) \, = \, </math> antalet inkommande röster per minut.

Vi inför <math> \, R(x) \, = \, </math> antalet (summan) röster som kommit in vid tidpunkten <math> \, x \, </math>.

Då blir <math> \, r(x) \, </math> rösternas tillväxthastighet (antal per min) dvs derivatan av <math> \, R(x) \, </math>:

::::::::<math> \qquad\qquad R\,'(x) \, = \, r(x) </math>

vilket betyder att <math> \, R(x) \, </math> är den primitiva funktionen till <math> \, r(x) \, </math>:

<math> \qquad R\,'(x) \, = \, r(x) \, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

Vi integrerar ekvationen ovan och sätter den till <math> \, 14,5 \, </math> miljoner inkommande röster :

<math> \qquad \displaystyle R(t) \, = \, \int_0^t (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad\qquad\qquad\; \displaystyle \left[ \, \frac{14\,500\,x^2}{2} - \frac{150\,x^3}{3} \, \right]_0^t \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad \left[ \, 7\,250\,x^2 - 50\,x^3 \, \right]_0^t \, = \, 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 - 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

<math> \qquad 50\,t^3 - 7\,250\,t^2 + 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

Grafräknarens [[Grafritning_och_ekvationslösning_med_räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|ekvationslösare]] ger: <math> \qquad t \, \approx \, 57,6041146 </math>

<math> 0,6041146 \, </math> minuter är <math> \, 0,6041146 \cdot 60 \, \approx \ 36,25 \, </math> sekunder.

Röstningen pågick i <math> \, \underline{57\,\,{\rm minuter\;och\;} 36\,\,{\rm sekunder.}} </math>
</div>

=== Kontroll ===

<big>
Vi beräknar med grafräknaren <math> \, \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, </math> och kontrollerar om det blir <math> \, 14\,500\,000 \, </math>.

Beskrivningen bygger på grafräknaren TI-82 STATS, men kan med lite modifikation tillämpas på alla grafräknare.
</big>

== Numerisk integration med miniräknare ==
<div class="border-divblue">
Tryck i miniräknaren på knappen MATH.

Gå med piltangenten till   fnInt(   som står för numerical Integration.

Tryck på ENTER.

Mata in så att det efteråt står följande i displayen:

::: fnInt ( 14500X-150X^2, X, 0, 57.6041146 ) 

Tryck på ENTER. I displayen visas <math> \underline{14\,500\,000} </math>, vilket betyder:

<math> \qquad \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>
</div>

<big>
Räknarens funktion fnInt( ) tar fyra argument separerade med komma:

1)   Integrandens funktionsuttryck <math> \, f(x) \, </math>, i exemplet ovan <math> r(x) </math>.

2)   Variabeln med avseende på vilken <math> f(x) </math> ska integreras.

3)   Den undre integrationsgränsen.

4)   Den övre integrationsgränsen.
</big>

== Ett ekonomiskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Marginalkostnad ====
som derivatan av kostnaden (jfr. med [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_1_Marginalskatt|marginalskatt)]]
 
Kostnaden K som en funktion av mängden x (antalet broschyrer)
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 189 Uppg 3433 Marginalkostnad.jpg]]
</div>
</div>



====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.5 Tillämpning av integraler:   Matte 4-boken, sid 169-172</div> ======

 

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
</big>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

Kapitel 4 Integraler

2025-10-09T12:54:07Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  

{{Selected tab|[[Kapitel 4 Integraler|Genomgångar]]}}
{{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3 Integ.pdf|Formelsamling Integraler]]}}

{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

<big>
 
F.o.m. detta kapitel finns kursens övningar inte på webben (pga tidsbrist). Därför: Läs igenom genomgångarna här, men använd för

övningarna boken (Matematik 5000). Leta i bokens innehållsförteckning och register efter resp. kapitlets/avsnittets övningar.

Tyvärr överensstämmer sidouppgifterna här inte med boken.


== 4.1 Primitiva funktioner <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 175 ==

Hittills: En funktion var given. Vi sökte funktionens derivata. Nu vänder vi på steken:

Det omvända problemet:

<div class="border-divblue">Derivatan är given. Sökt är den ursprungliga funktionen till den givna derivatan.</div>

'''OBS!  Annan problemställning och annan beteckning:'''

<math> \; f\,(x) \, </math> är inte längre en given funktion som vi ska derivera.

<math> \; f\,(x) \, </math> är en given derivata av en okänd funktion <math> \, \color{red} {F\,(x)} \, </math> som vi söker, dvs <math> \, \color{red} {F\,'(x)} = f\,(x) \, </math>.

<div class="ovnE">
Exempel 1:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, 2\,x \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = 2\,x </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle x\,^2 \, + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = 2\,x + 0 \, = \, 2\,x \, = \, f\,(x) </math>
</div>

<div class="border-divblue"><math>F\,(x) = x\,^2 + C \, </math> kallas för primitiv funktion till <math> \, f\,(x) = 2\,x </math>. <math> \;\; </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata. <math> \;\; </math>
----
Att hitta en primitiv funktion kallas för integration och <math> \, C \, </math> för integrationskonstanten.
</div>

<table>
<tr>
<td><div class="ovnE">
Exempel 2:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = x\,^3 + 5 </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle \frac{1}{4} x\,^4 + 5 \, x + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = \frac{4}{4} x\,^3 + 5 + 0 \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, f\,(x) </math>
</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td><div class="border-divblue">
Allmän definition:
----
Givet: <math> \quad f\,(x) </math>

Sökt: <math> \quad </math> En funktion <math> \;\; F\,(x) \;\; </math> så att:

<math> \qquad\qquad\quad\; \boxed{F\,'\,(x) = f\,(x)} </math>

Funktionen <math> \, F\,(x) \, </math> kallas för primitiv funktion.
</div></td>
</tr>
</table>

:<big>   Integration är deriveringens inversa (omvända) operation. Därför:</big>

:<big>   Integrationsregler för olika funktionstyper följer genom att vända om deriveringsreglerna. T.ex.:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregeln för en potens: ====
----
Om <math> f(x) = x\,^n \qquad {\rm där} \qquad\, n = {\rm const.} \neq -1</math>

då <math>\; F(x) = \boxed{\frac{x\,^{n+1}}{n+1} \, + \, C\;} \;, C = </math> integrationskonstanten

</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>

<div class="ovnE">
Exempel:
----
För <math> \, f(x) \, = \, x^4 \; </math> blir den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{x^5}{5} + C \, = \, \frac{1}{5} \, x^5 + C</math>
</div>

</td>
</tr>
</table>

:<big>   Bevis:</big> <math> \, F\,'(x) = \displaystyle \frac{(n+1) \, x\,^{n+1-1}}{n+1} \, + \, 0 \, = \, \frac{(n+1) \, x\,^{n}}{n+1} = x\,^n = f\,(x) \qquad </math> <big>     Exempel:</big> <math> \;\; F\,'(x) \, = \, \displaystyle \frac{5}{5} \, x\,^4 \, + \, 0 \, = \, x\,^4 \, = \, f\,(x) \qquad </math>

:<big>   Regeln ovan gäller inte bara för positiva <math> \, n \, </math> utan även för negativa (undantaget <math> -1 </math>) och rationella exponenter.</big>

:<big>   Ytterligare regler om primitiva funktioner (för exponentialfunktioner) anges [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregler_f.C3.B6r_exponentialfunktioner:|senare]].</big>

<big>Fysikalisk tolkning:</big>

<table>
<tr>
<td><math> \quad </math></td>
<td>[[Image: 0 Hastighetsmatare_60.jpg]]</td>
<td> <big> <math> \quad </math> Hastighetsmätaren deriverar. <math> \;\; </math>

<math> \quad </math> Trippmätaren integrerar, dvs:

<math> \quad </math> summerar den körda sträckan. </big>

</td>
<td><math> \quad </math> [[Image: 0 Diff vs Integr_h257.jpg]]</td>
</tr>
</table>

<div class="border-divblue">
Integration är den inversa operationen till derivering. <math> \quad </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata

::{|class="wikitable"
!       !!   Derivata   !!   Integral   
|-
|align="left"|  Fysikalisk tolkning:  ||align="center"|  Hastighet  ||align="center"|  Sträcka  
|-
|align="left"|  Geometrisk tolkning:  ||align="center"|  Kurvans lutning  ||align="center"|  Area under kurvan  
|-
|align="left"|  Matematisk tolkning:  ||align="center"|  Limes av differenskvot  ||align="center"|  Limes av oändlig summa  
|}
</div>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 1 Primitiva funktioner_496.jpg]]
</div>
</div>

<big>'''Integrationskonstanten <math> \, C \, </math>:'''</big>

<div class="border-divblue">
Om en given funktion har en primitiva funktion så har den pga <math> \, C={\rm const.} \, </math> oändligt

många primitiva funktioner.

För att få endast en primitiv funktion <math> \, F(x) \, </math> ställs vissa villkor på <math> \, F(x) \, </math>. I fysiken kallas

de för begynnelsevillkor. Villkoren används för att bestämma integrationskonstanten <math> \, C \, </math>. <big><big><math> \; {\bf {\color{Red} {\downarrow}}} </math></big></big>
</div>


== 4.2 Primitiva funktioner med villkor <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 177 ==

I fysikaliska tillämpningar är den typiska formen av villkor begynnelsevillkor. Frågan är:

Vad gällde i början, dvs vilket vägmärke passerades vid <math> \, t = 0 \, </math>. Eller: Vad visade trippmätaren vid <math> \, t = 0 \, </math>?

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2 Primitiva funktioner med villkor_30.jpg]]
</div>
</div>

Problemet ovan kallas även för en differentialekvation med begynnelsevillkor som kommer att behandlas i Matte 4 och 5.

<big>Geometriskt exempel på primitiv funktion med en annan typ av villkor:</big>

<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2a 177_Uppg_3326_30.jpg]]
</div>
</div>


== 4.3 Integral som area under kurvan <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 180 ==

I början av Analysen <math>-</math> den gren av matematiken som handlar om derivator och integraler och som på 1700-talet utvecklades av [https://sv.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Newton] och [https://sv.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz Leibniz] <math>-</math> stod bl.a. följande frågeställning (se även [[2.4_Derivatans_definition#Fr.C3.A5n_sekanten_till_tangenten|Derivatans definition]]):

<div class="border-divblue">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3 Integraler_25.jpg]]
</div>
</div>

<div class="border-divblue">
<math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> läses "Integralen över <math> f(x) \; dx \, </math> från <math> \, a \, </math> till <math> \, b \, </math>". <math> \, f(x) \, </math> kallas för integranden.

<math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math> kallas för integrationsgränser och ersätter integrationskonstanten <math> \, C \, </math>.
</div>

<div class="ovnE">
 <math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> kallas för bestämd integral. Dess resultat är ett tal.

<math> \displaystyle \, \int\limits f(x) \, dx </math> kallas för obestämd integral vars resultat är en primitiv funktion med en integrationskonstant <math> \, C \, </math>.

För att bestämma integrationskonstanten måste ett villkor (begynnelsevillkor) vara givet.
</div>

<big>Fysikaliskt exempel: <math> \quad </math> Likformig rörelse med konstant hastighet 60 km/h </big>

:::[[Image: Integral = Area_70.jpg]]

<math> \qquad\; v\,\text{-}\,t</math> diagrammet (till vänster): Kör man med med <math> \, 60 \, </math> km/h i <math> \, 4 \, </math> timmar har man kört en sträcka på <math> \, 60 \cdot 4 = 240 \, </math> km.

<math> \qquad\; \text{Sträckan} \, 240 \, = \, \text{Arean under hastighetskurvan} \, = \, \text{Integralen} \, \displaystyle \int\limits_0^4 \color{Red}{60} \, dt \, = \, \left[ \, \color{Red}{60\,t} \, \right]_0^4 \, = \, 60\cdot4 \, - \, 60\cdot0 \, = \, 240 </math>

<math> \qquad\; </math>Generellt:

<div class="border-divblue">
Integralen över hastigheten   =   Arean under hastighetskurvan   =   Sträckan.
</div>

<big>Rörelse med variabel hastighet (konstant acceleration):</big>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3a Integral som area under kurvan_30.jpg]]
</div>
</div>


== 3.2 Integralberäkningar ==
<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4 Integralberakning 20b.jpg]]
</div>
</div>

<big>I övningarna finns även exponentialfunktioner vars primitiva funktioner sökes. Reglerna för dem skiljer sig från [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregeln_f.C3.B6r_en_potens:|integrationsregeln för en potens]]:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregler för exponentialfunktioner: ====
----
Om <math> \; f(x) \, = \; e\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{e\,^{k\,x}}{k} \, + \, C\;} \; </math>
----
Om <math> \; f(x) \, = \; a\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, a, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{a\,^{k\,x}}{k\,\ln a} \, + \, C\;} \; </math>
</div>

</td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>
<div class="ovnE">
Exempel:
----
Om <math> \, f(x) \, = \, e\,^{4x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{e\,^{4x}}{4} + C \, = \, \frac{1}{4} \, e\,^{4x} + C</math>
----
Om <math> \, f(x) \, = \, 2\,^{3x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{2\,^{3x}}{3\,\ln 2} + C \, = \, \frac{1}{3\,\ln 2} \, 2\,^{3x} + C </math></div></td>
</tr>
</table>

<big>Beakta skillnaden mellan potensfunktioner (<math> x </math> i basen) och exponentialfunktioner (<math> x </math> i exponenten). Därav olika integrationsregler.</big>

====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.2 Integralberäkningar:   Boken, sid 156-158</div> ======

 



{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

== 3.5 Tillämpning av integraler ==

== Ett fysikaliskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Fallskärmshopp ====

En fallskärmshoppare faller fritt utan att öppna fallskärmen med hastigheten:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

där <math> \, t = \, </math> tiden i sek och <math> \, v \, </math> hastigheten i meter/sek.

a) Bestäm hopparens maximala hastighet genom att:

    rita grafen <math> \, v = v(t) \, </math> och tolka rörelsen fysikaliskt.

b) Formulera och lös problemet matematiskt och besvara frågan:

    Hur långt har hopparen fallit när <math> \, v = 40 \, </math> m/s ?
</div>

=== Fysikalisk tolkning ===
<div class="border-divblue">

<table>
<tr>
<td>a) Grafen till <math> \, v = v(t) \, </math> visar att det finns en maximal hastighet som

fallskärmshopparen inte kan överskrida: <math> \quad\;\; v_{max} = 80 </math> m/s

Efter ett tag når hopparen denna maximala hastighet,

enligt grafen efter ca. 40 sek.     Algebraiskt:

<math> v_{max} = \displaystyle \lim_{t \to \infty}{(80(1 - 0,88^t))} = \lim_{t \to \infty}{(80 - \color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} = 80 \quad </math>

Detta pga: <math> \quad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(\color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} \, = \, 0 \quad </math> och <math> \quad 0,88 \, < \, 1 </math>.

Efter att ha nått <math> \, \approx \, v_{max} \, </math> faller hopparen med konstant hastighet,

eftersom   Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> Gravitation <math> \Rightarrow </math> <div class="smallBox">Fritt fall med luftmotstånd</div>
</td>
<td>[[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt falla.jpg]]

</td>
</tr>
</table>
Enligt [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ Newtons fösta lag:]  "Ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet, om och endast om

::::::::   summan av alla krafter <math> = 0 </math>."
</div>

=== Matematisk formulering ===
<div class="ovnC">

b) Givet:     Hastigheten <math> \; s'(t) \, = \, v(t) \, = \, 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

<math> \qquad\qquad </math> Begynnelsevillkor: <math> \, s(0) \, = \, 0 </math>

     Sökt:     1. Funktionen <math> \displaystyle \quad\; s(t) \, = \, \int_0^t 80\,(1 - 0,88\,^t) \; dt </math>

                  2. Sträckan <math> \quad\;\;\;\, s(t_1) \, </math>, där <math> \; v(t_1) \, = \, 40 \, </math> m/s
</div>

=== Matematisk lösning ===
<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt fall_800.jpg]]</div>

  <big>Övning:     Rita grafen <math> \, s = s(t) \, </math> och tolka med hjälp av den resultaten ovan.</big>
</div>

== Ett samhällsvetenskapligt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Röster i melodifestivalen ====

Antalet inkommande röster per minut i melodifestivalen beskrivs av funktionen:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad r(x)\, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

där <math> \,\, r \,\, </math> är antalet inkommande röster per minut

och <math> \, x \, </math> tiden i minuter efter röstningens start.

Totalt kom in <math> \, 14,5 \, </math> miljoner röster under röstningsperioden.

Beräkna hur länge röstningen pågick.

Kontrollera ditt resultat med grafräknarens verktyg för numerisk integration.
</div>

=== Lösning ===
<div class="border-divblue">

<math> r(x) \, = \, </math> antalet inkommande röster per minut.

Vi inför <math> \, R(x) \, = \, </math> antalet (summan) röster som kommit in vid tidpunkten <math> \, x \, </math>.

Då blir <math> \, r(x) \, </math> rösternas tillväxthastighet (antal per min) dvs derivatan av <math> \, R(x) \, </math>:

::::::::<math> \qquad\qquad R\,'(x) \, = \, r(x) </math>

vilket betyder att <math> \, R(x) \, </math> är den primitiva funktionen till <math> \, r(x) \, </math>:

<math> \qquad R\,'(x) \, = \, r(x) \, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

Vi integrerar ekvationen ovan och sätter den till <math> \, 14,5 \, </math> miljoner inkommande röster :

<math> \qquad \displaystyle R(t) \, = \, \int_0^t (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad\qquad\qquad\; \displaystyle \left[ \, \frac{14\,500\,x^2}{2} - \frac{150\,x^3}{3} \, \right]_0^t \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad \left[ \, 7\,250\,x^2 - 50\,x^3 \, \right]_0^t \, = \, 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 - 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

<math> \qquad 50\,t^3 - 7\,250\,t^2 + 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

Grafräknarens [[Grafritning_och_ekvationslösning_med_räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|ekvationslösare]] ger: <math> \qquad t \, \approx \, 57,6041146 </math>

<math> 0,6041146 \, </math> minuter är <math> \, 0,6041146 \cdot 60 \, \approx \ 36,25 \, </math> sekunder.

Röstningen pågick i <math> \, \underline{57\,\,{\rm minuter\;och\;} 36\,\,{\rm sekunder.}} </math>
</div>

=== Kontroll ===

<big>
Vi beräknar med grafräknaren <math> \, \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, </math> och kontrollerar om det blir <math> \, 14\,500\,000 \, </math>.

Beskrivningen bygger på grafräknaren TI-82 STATS, men kan med lite modifikation tillämpas på alla grafräknare.
</big>

== Numerisk integration med miniräknare ==
<div class="border-divblue">
Tryck i miniräknaren på knappen MATH.

Gå med piltangenten till   fnInt(   som står för numerical Integration.

Tryck på ENTER.

Mata in så att det efteråt står följande i displayen:

::: fnInt ( 14500X-150X^2, X, 0, 57.6041146 ) 

Tryck på ENTER. I displayen visas <math> \underline{14\,500\,000} </math>, vilket betyder:

<math> \qquad \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>
</div>

<big>
Räknarens funktion fnInt( ) tar fyra argument separerade med komma:

1)   Integrandens funktionsuttryck <math> \, f(x) \, </math>, i exemplet ovan <math> r(x) </math>.

2)   Variabeln med avseende på vilken <math> f(x) </math> ska integreras.

3)   Den undre integrationsgränsen.

4)   Den övre integrationsgränsen.
</big>

== Ett ekonomiskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Marginalkostnad ====
som derivatan av kostnaden (jfr. med [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_1_Marginalskatt|marginalskatt)]]
 
Kostnaden K som en funktion av mängden x (antalet broschyrer)
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 189 Uppg 3433 Marginalkostnad.jpg]]
</div>
</div>



====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.5 Tillämpning av integraler:   Boken, sid 169-172</div> ======

 

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
</big>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

Kapitel 4 Integraler

2025-10-09T12:52:28Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  

{{Selected tab|[[Kapitel 4 Integraler|Genomgångar]]}}
{{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3 Integ.pdf|Formelsamling Integraler]]}}

{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

<big>
 
F.o.m. detta kapitel finns kursens övningar inte på webben (pga tidsbrist). Därför: Läs igenom genomgångarna här, men använd för

övningarna boken (Matematik 5000). Leta i bokens innehållsförteckning och register efter resp. kapitlets/avsnittets övningar.

Tyvärr överensstämmer sidouppgifterna här inte med boken.


== 4.1 Primitiva funktioner <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 175 ==

Hittills: En funktion var given. Vi sökte funktionens derivata. Nu vänder vi på steken:

Det omvända problemet:

<div class="border-divblue">Derivatan är given. Sökt är den ursprungliga funktionen till den givna derivatan.</div>

'''OBS!  Annan problemställning och annan beteckning:'''

<math> \; f\,(x) \, </math> är inte längre en given funktion som vi ska derivera.

<math> \; f\,(x) \, </math> är en given derivata av en okänd funktion <math> \, \color{red} {F\,(x)} \, </math> som vi söker, dvs <math> \, \color{red} {F\,'(x)} = f\,(x) \, </math>.

<div class="ovnE">
Exempel 1:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, 2\,x \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = 2\,x </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle x\,^2 \, + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = 2\,x + 0 \, = \, 2\,x \, = \, f\,(x) </math>
</div>

<div class="border-divblue"><math>F\,(x) = x\,^2 + C \, </math> kallas för primitiv funktion till <math> \, f\,(x) = 2\,x </math>. <math> \;\; </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata. <math> \;\; </math>
----
Att hitta en primitiv funktion kallas för integration och <math> \, C \, </math> för integrationskonstanten.
</div>

<table>
<tr>
<td><div class="ovnE">
Exempel 2:
----
Givet: <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, </math> Derivatan av någon funktion 

Sökt: <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = x\,^3 + 5 </math>

Lösning: <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle \frac{1}{4} x\,^4 + 5 \, x + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

Kontroll: <math> \;\; F\,'(x) = \frac{4}{4} x\,^3 + 5 + 0 \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, f\,(x) </math>
</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td><div class="border-divblue">
Allmän definition:
----
Givet: <math> \quad f\,(x) </math>

Sökt: <math> \quad </math> En funktion <math> \;\; F\,(x) \;\; </math> så att:

<math> \qquad\qquad\quad\; \boxed{F\,'\,(x) = f\,(x)} </math>

Funktionen <math> \, F\,(x) \, </math> kallas för primitiv funktion.
</div></td>
</tr>
</table>

:<big>   Integration är deriveringens inversa (omvända) operation. Därför:</big>

:<big>   Integrationsregler för olika funktionstyper följer genom att vända om deriveringsreglerna. T.ex.:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregeln för en potens: ====
----
Om <math> f(x) = x\,^n \qquad {\rm där} \qquad\, n = {\rm const.} \neq -1</math>

då <math>\; F(x) = \boxed{\frac{x\,^{n+1}}{n+1} \, + \, C\;} \;, C = </math> integrationskonstanten

</div></td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>

<div class="ovnE">
Exempel:
----
För <math> \, f(x) \, = \, x^4 \; </math> blir den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{x^5}{5} + C \, = \, \frac{1}{5} \, x^5 + C</math>
</div>

</td>
</tr>
</table>

:<big>   Bevis:</big> <math> \, F\,'(x) = \displaystyle \frac{(n+1) \, x\,^{n+1-1}}{n+1} \, + \, 0 \, = \, \frac{(n+1) \, x\,^{n}}{n+1} = x\,^n = f\,(x) \qquad </math> <big>     Exempel:</big> <math> \;\; F\,'(x) \, = \, \displaystyle \frac{5}{5} \, x\,^4 \, + \, 0 \, = \, x\,^4 \, = \, f\,(x) \qquad </math>

:<big>   Regeln ovan gäller inte bara för positiva <math> \, n \, </math> utan även för negativa (undantaget <math> -1 </math>) och rationella exponenter.</big>

:<big>   Ytterligare regler om primitiva funktioner (för exponentialfunktioner) anges [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregler_f.C3.B6r_exponentialfunktioner:|senare]].</big>

<big>Fysikalisk tolkning:</big>

<table>
<tr>
<td><math> \quad </math></td>
<td>[[Image: 0 Hastighetsmatare_60.jpg]]</td>
<td> <big> <math> \quad </math> Hastighetsmätaren deriverar. <math> \;\; </math>

<math> \quad </math> Trippmätaren integrerar, dvs:

<math> \quad </math> summerar den körda sträckan. </big>

</td>
<td><math> \quad </math> [[Image: 0 Diff vs Integr_h257.jpg]]</td>
</tr>
</table>

<div class="border-divblue">
Integration är den inversa operationen till derivering. <math> \quad </math> Primitiv funktion = "Anti"derivata

::{|class="wikitable"
!       !!   Derivata   !!   Integral   
|-
|align="left"|  Fysikalisk tolkning:  ||align="center"|  Hastighet  ||align="center"|  Sträcka  
|-
|align="left"|  Geometrisk tolkning:  ||align="center"|  Kurvans lutning  ||align="center"|  Area under kurvan  
|-
|align="left"|  Matematisk tolkning:  ||align="center"|  Limes av differenskvot  ||align="center"|  Limes av oändlig summa  
|}
</div>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 1 Primitiva funktioner_496.jpg]]
</div>
</div>

<big>'''Integrationskonstanten <math> \, C \, </math>:'''</big>

<div class="border-divblue">
Om en given funktion har en primitiva funktion så har den pga <math> \, C={\rm const.} \, </math> oändligt

många primitiva funktioner.

För att få endast en primitiv funktion <math> \, F(x) \, </math> ställs vissa villkor på <math> \, F(x) \, </math>. I fysiken kallas

de för begynnelsevillkor. Villkoren används för att bestämma integrationskonstanten <math> \, C \, </math>. <big><big><math> \; {\bf {\color{Red} {\downarrow}}} </math></big></big>
</div>


== 4.2 Primitiva funktioner med villkor <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 177 ==

I fysikaliska tillämpningar är den typiska formen av villkor begynnelsevillkor. Frågan är:

Vad gällde i början, dvs vilket vägmärke passerades vid <math> \, t = 0 \, </math>. Eller: Vad visade trippmätaren vid <math> \, t = 0 \, </math>?

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2 Primitiva funktioner med villkor_30.jpg]]
</div>
</div>

Problemet ovan kallas även för en differentialekvation med begynnelsevillkor som kommer att behandlas i Matte 4 och 5.

<big>Geometriskt exempel på primitiv funktion med en annan typ av villkor:</big>

<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 2a 177_Uppg_3326_30.jpg]]
</div>
</div>


== 4.3 Integral som area under kurvan <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Övningar:   Boken, sid 180 ==

I början av Analysen <math>-</math> den gren av matematiken som handlar om derivator och integraler och som på 1700-talet utvecklades av [https://sv.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Newton] och [https://sv.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz Leibniz] <math>-</math> stod bl.a. följande frågeställning (se även [[2.4_Derivatans_definition#Fr.C3.A5n_sekanten_till_tangenten|Derivatans definition]]):

<div class="border-divblue">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3 Integraler_25.jpg]]
</div>
</div>

<div class="border-divblue">
<math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> läses "Integralen över <math> f(x) \; dx \, </math> från <math> \, a \, </math> till <math> \, b \, </math>". <math> \, f(x) \, </math> kallas för integranden.

<math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math> kallas för integrationsgränser och ersätter integrationskonstanten <math> \, C \, </math>.
</div>

<div class="ovnE">
 <math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> kallas för bestämd integral. Dess resultat är ett tal.

<math> \displaystyle \, \int\limits f(x) \, dx </math> kallas för obestämd integral vars resultat är en primitiv funktion med en integrationskonstant <math> \, C \, </math>.

För att bestämma integrationskonstanten måste ett villkor (begynnelsevillkor) vara givet.
</div>

<big>Fysikaliskt exempel: <math> \quad </math> Likformig rörelse med konstant hastighet 60 km/h </big>

:::[[Image: Integral = Area_70.jpg]]

<math> \qquad\; v\,\text{-}\,t</math> diagrammet (till vänster): Kör man med med <math> \, 60 \, </math> km/h i <math> \, 4 \, </math> timmar har man kört en sträcka på <math> \, 60 \cdot 4 = 240 \, </math> km.

<math> \qquad\; \text{Sträckan} \, 240 \, = \, \text{Arean under hastighetskurvan} \, = \, \text{Integralen} \, \displaystyle \int\limits_0^4 \color{Red}{60} \, dt \, = \, \left[ \, \color{Red}{60\,t} \, \right]_0^4 \, = \, 60\cdot4 \, - \, 60\cdot0 \, = \, 240 </math>

<math> \qquad\; </math>Generellt:

<div class="border-divblue">
Integralen över hastigheten   =   Arean under hastighetskurvan   =   Sträckan.
</div>

<big>Rörelse med variabel hastighet (konstant acceleration):</big>

<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 3a Integral som area under kurvan_30.jpg]]
</div>
</div>


== 3.2 Integralberäkningar ==
<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4 Integralberakning 20b.jpg]]
</div>
</div>

<big>I övningarna finns även exponentialfunktioner vars primitiva funktioner sökes. Reglerna för dem skiljer sig från [[Kapitel_4_Integraler#Integrationsregeln_f.C3.B6r_en_potens:|integrationsregeln för en potens]]:</big>

<table>
<tr>
<td><div class="border-divblue">
==== Integrationsregler för exponentialfunktioner: ====
----
Om <math> \; f(x) \, = \; e\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{e\,^{k\,x}}{k} \, + \, C\;} \; </math>
----
Om <math> \; f(x) \, = \; a\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, a, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \displaystyle \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{a\,^{k\,x}}{k\,\ln a} \, + \, C\;} \; </math>
</div>

</td>
<td><math> \quad </math></td>
<td>
<div class="ovnE">
Exempel:
----
Om <math> \, f(x) \, = \, e\,^{4x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{e\,^{4x}}{4} + C \, = \, \frac{1}{4} \, e\,^{4x} + C</math>
----
Om <math> \, f(x) \, = \, 2\,^{3x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{2\,^{3x}}{3\,\ln 2} + C \, = \, \frac{1}{3\,\ln 2} \, 2\,^{3x} + C </math></div></td>
</tr>
</table>

<big>Beakta skillnaden mellan potensfunktioner (<math> x </math> i basen) och exponentialfunktioner (<math> x </math> i exponenten). Därav olika integrationsregler.</big>

====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.2 Integralberäkningar:   Boken, sid 156-158</div> ======

 



{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

== 3.5 Tillämpning av integraler ==

== Ett fysikaliskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Fallskärmshopp ====

En fallskärmshoppare faller fritt utan att öppna fallskärmen med hastigheten:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

där <math> \, t = \, </math> tiden i sek och <math> \, v \, </math> hastigheten i meter/sek.

a) Bestäm hopparens maximala hastighet genom att:

    rita grafen <math> \, v = v(t) \, </math> och tolka rörelsen fysikaliskt.

b) Formulera och lös problemet matematiskt och besvara frågan:

    Hur långt har hopparen fallit när <math> \, v = 40 \, </math> m/s ?
</div>

=== Fysikalisk tolkning ===
<div class="border-divblue">

<table>
<tr>
<td>a) Grafen till <math> \, v = v(t) \, </math> visar att det finns en maximal hastighet som

fallskärmshopparen inte kan överskrida: <math> \quad\;\; v_{max} = 80 </math> m/s

Efter ett tag når hopparen denna maximala hastighet,

enligt grafen efter ca. 40 sek.     Algebraiskt:

<math> v_{max} = \displaystyle \lim_{t \to \infty}{(80(1 - 0,88^t))} = \lim_{t \to \infty}{(80 - \color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} = 80 \quad </math>

Detta pga: <math> \quad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(\color{Red}{80\cdot0,88\,^t})} \, = \, 0 \quad </math> och <math> \quad 0,88 \, < \, 1 </math>.

Efter att ha nått <math> \, \approx \, v_{max} \, </math> faller hopparen med konstant hastighet,

eftersom   Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> Gravitation <math> \Rightarrow </math> <div class="smallBox">Fritt fall med luftmotstånd</div>
</td>
<td>[[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt falla.jpg]]

</td>
</tr>
</table>
Enligt [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ Newtons fösta lag:]  "Ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet, om och endast om

::::::::   summan av alla krafter <math> = 0 </math>."
</div>

=== Matematisk formulering ===
<div class="ovnC">

b) Givet:     Hastigheten <math> \; s'(t) \, = \, v(t) \, = \, 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

<math> \qquad\qquad </math> Begynnelsevillkor: <math> \, s(0) \, = \, 0 </math>

     Sökt:     1. Funktionen <math> \displaystyle \quad\; s(t) \, = \, \int_0^t 80\,(1 - 0,88\,^t) \; dt </math>

                  2. Sträckan <math> \quad\;\;\;\, s(t_1) \, </math>, där <math> \; v(t_1) \, = \, 40 \, </math> m/s
</div>

=== Matematisk lösning ===
<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt fall_800.jpg]]</div>

  <big>Övning:     Rita grafen <math> \, s = s(t) \, </math> och tolka med hjälp av den resultaten ovan.</big>
</div>

== Ett samhällsvetenskapligt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Röster i melodifestivalen ====

Antalet inkommande röster per minut i melodifestivalen beskrivs av funktionen:

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad r(x)\, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

där <math> \,\, r \,\, </math> är antalet inkommande röster per minut

och <math> \, x \, </math> tiden i minuter efter röstningens start.

Totalt kom in <math> \, 14,5 \, </math> miljoner röster under röstningsperioden.

Beräkna hur länge röstningen pågick.

Kontrollera ditt resultat med grafräknarens verktyg för numerisk integration.
</div>

=== Lösning ===
<div class="border-divblue">

<math> r(x) \, = \, </math> antalet inkommande röster per minut.

Vi inför <math> \, R(x) \, = \, </math> antalet (summan) röster som kommit in vid tidpunkten <math> \, x \, </math>.

Då blir <math> \, r(x) \, </math> rösternas tillväxthastighet (antal per min) dvs derivatan av <math> \, R(x) \, </math>:

::::::::<math> \qquad\qquad R\,'(x) \, = \, r(x) </math>

vilket betyder att <math> \, R(x) \, </math> är den primitiva funktionen till <math> \, r(x) \, </math>:

<math> \qquad R\,'(x) \, = \, r(x) \, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 </math>

Vi integrerar ekvationen ovan och sätter den till <math> \, 14,5 \, </math> miljoner inkommande röster :

<math> \qquad \displaystyle R(t) \, = \, \int_0^t (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad\qquad\qquad\; \displaystyle \left[ \, \frac{14\,500\,x^2}{2} - \frac{150\,x^3}{3} \, \right]_0^t \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad \left[ \, 7\,250\,x^2 - 50\,x^3 \, \right]_0^t \, = \, 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 \, = \, 14\,500\,000 </math>

<math> \qquad 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 - 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

<math> \qquad 50\,t^3 - 7\,250\,t^2 + 14\,500\,000 \, = \, 0 </math>

Grafräknarens [[Grafritning_och_ekvationslösning_med_räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|ekvationslösare]] ger: <math> \qquad t \, \approx \, 57,6041146 </math>

<math> 0,6041146 \, </math> minuter är <math> \, 0,6041146 \cdot 60 \, \approx \ 36,25 \, </math> sekunder.

Röstningen pågick i <math> \, \underline{57\,\,{\rm minuter\;och\;} 36\,\,{\rm sekunder.}} </math>
</div>

=== Kontroll ===

<big>
Vi beräknar med grafräknaren <math> \, \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, </math> och kontrollerar om det blir <math> \, 14\,500\,000 \, </math>.

Beskrivningen bygger på grafräknaren TI-82 STATS, men kan med lite modifikation tillämpas på alla grafräknare.
</big>

== Numerisk integration med miniräknare ==
<div class="border-divblue">
Tryck i miniräknaren på knappen MATH.

Gå med piltangenten till   fnInt(   som står för numerical Integration.

Tryck på ENTER.

Mata in så att det efteråt står följande i displayen:

::: fnInt ( 14500X-150X^2, X, 0, 57.6041146 ) 

Tryck på ENTER. I displayen visas <math> \underline{14\,500\,000} </math>, vilket betyder:

<math> \qquad \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 </math>
</div>

<big>
Räknarens funktion fnInt( ) tar fyra argument separerade med komma:

1)   Integrandens funktionsuttryck <math> \, f(x) \, </math>, i exemplet ovan <math> r(x) </math>.

2)   Variabeln med avseende på vilken <math> f(x) </math> ska integreras.

3)   Den undre integrationsgränsen.

4)   Den övre integrationsgränsen.
</big>

== Ett ekonomiskt exempel ==
<div class="ovnE">
==== Marginalkostnad ====
som derivatan av kostnaden (jfr. med [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_1_Marginalskatt|marginalskatt)]]
 
Kostnaden K som en funktion av mängden x (antalet broschyrer)
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 5 189 Uppg 3433 Marginalkostnad.jpg]]
</div>
</div>



====== <div class="border-divblue">Övningar till 3.5 Tillämpning av integraler:   Boken, sid 169-172</div> ======

 

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[https://matte4.mathonline.se/index.php/Diagnosprov_kap_2/3_Derivator_%26_integraler Diagnos kap 2/3 Der. & int.]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
</big>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

Repetitionsuppgifter kap 2 Derivata

2025-10-07T13:22:49Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Selected tab|[[Repetitionsuppgifter kap 2 Derivata|Repetitionsuppgifter]]}}
{{Not selected tab|[[Facit till repetitionsuppgifter kap 2 Derivata|Facit till repetitionsuppgifter]]}}
{{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3.pdf|Formelsamling Matte 3]]}}
{{Not selected tab|[[Media: Formelblad Ma3 kap 2 Derivata.pdf|Formelblad Deriveringsregler]]}}
{{Not selected tab|[[Diagnosprov i Matte 3 kap 2 Derivata|Diagnosprov kap 2 Derivata  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 25px;">[[Image: Repetitionsuppg kap 2 Derivata_1_990.jpg]]</div>

<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 25px;">[[Image: Repetitionsuppg kap 2 Derivata_2_990.jpg]]</div>

<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 25px;">[[Image: Repetitionsuppg kap 2 Derivata_3_990.jpg]]</div>

<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 25px;">[[Image: Repetitionsuppg kap 2 Derivata_4_990.jpg]]</div>

<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 25px;">[[Image: Repetitionsuppg kap 2 Derivata_5_990.jpg]]</div>

<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 25px;">[[Image: Repetitionsuppg kap 2 Derivata_6_990.jpg]]</div>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

3.3 Terasspunkter

2025-09-28T18:19:59Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[3.2 Lokala maxima och minima| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[3.3 Terasspunkter|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Terasspunkter|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


<big>
==== Vad är en terasspunkt? ====
<table>
<tr>
<td>[[Image: Kritiska punkter.jpg]]

</td>
<td>    </td>
<td>
  <big>Bilden visar tre punkter där kurvan har tangenter med lutningen <math> \, 0 \, </math>:</big>

*    <big>Ett minimum i <math> \, x = -2 \, </math> där gäller: <math> \,\, f\,'(-2) \, = \, 0 </math>.</big>

* <div class="ovnE">En terasspunkt i <math> \, x = 0 \quad </math>     : <math> \, f\,'(0) \quad = \, 0 </math>.
</div>

*    <big>Ett maximum i <math> \, x = 2 \, </math> där gäller  : <math> \,\, f\,'(2) \quad = \, 0 </math>.</big>
</td>
</tr>
</table>
Generellt gäller:
==== Regeln om terasspunkt med derivator ====
<div class="border-divblue">
<math> f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; {\color {Red} {f\,'''(a) \, \neq \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har en terasspunkt i <math> \; x = a \; </math>.
----
Om <math> \, f\,'(a) = f\,''(a) = f\,'''(a) = 0 \, </math> kan endast en korrekt  [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_teckenstudie|teckenstudie]]  eller högre derivator avgöra saken. 
</div>

Tredjederivatan är inget annat än andraderivatans derivata. Man får den genom att derivera andraderivatan en gång till enligt deriveringsreglerna.

==== Kritiska punkter ====

<div class="border-divblue">
En punkt <math> \, x = a \, </math> kallas för kritisk punkt om <math> \, f\,'(a) = 0 \, </math>.
----
En kritisk punkt kan vara ett maximum, ett minimum eller en terasspunkt, se grafen ovan.
----
Att vara maximi-, minimi- eller terasspunkt kallas för den kritiska punktens karaktär eller typ.
</div>

<div class="ovnE">
==== Exempel på terasspunkt med derivator ====
Undersök med derivator vilken typ av kritisk punkt funktionen <math> \, f(x) = x\,^3 \, </math> har i punkten <math> \, x = 0 \, </math>.

'''Lösning med derivator:'''

[[Image: Terasspunkt 1.jpg]]      [[Image: Terasspunkt 2.jpg]]      [[Image: Terasspunkt 3.jpg]]

::<math>\begin{array}{rclclcl} f(x) & = & x\,^3 & & \\
f'(x) & = & 3\,x\,^2 & \Longrightarrow & f'(0) = 3\cdot 0^2 = 3\cdot 0 & = & 0 \\
f''(x) & = & 6\,x & \Longrightarrow & f''(0) = 6\cdot 0 & = & 0 \\
f'''(x) & = & 6 & \Longrightarrow & f'''(0) = 6 & \neq & 0
\end{array}</math>

Vi ser att <math> \, f\,'(0) = f\,''(0) = 0 \, </math> och <math> \, f\,'''(0) \neq 0 </math>. Av regeln ovan följer att <math> \, f(x)\, </math> har en terasspunkt i <math> \, x = 0 \, </math> som visas på bilden till vänster.
</div>

'''Bilden i mitten''' visar att derivatan <math> \, f\,'(x) = 3\,x^2 \, </math> endast har ett nollställe i <math> \, x = 0 \, </math> som är en [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Dubbelrot|dubbelrot]]. Dvs kurvan skär inte <math> \, x</math>-axeln, utan ''berör'' den endast. Med andra ord, derivatan byter inte tecken i <math> \, x = 0 \, </math> utan är positiv på båda sidor av <math> \, x = 0 \, </math>. Av detta följer att själva funktionen <math> \, f(x) = x^3 \, </math> är växande på båda sidor av <math> \, x = 0 \, </math> <math>-</math> ett kännetecken för terasspunkter. Generellt gäller:

<div class="border-divblue">
Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har en terasspunkt i <math> \; x = a \qquad\;\;\, \Longrightarrow \qquad\quad f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 \; </math>.
----
<math> f\,(x) \, </math> är ett tredjegradspolynom som har en terasspunkt <math> \quad \Longrightarrow \quad f\,'(x) \, </math> är ett andragradspolynom som

endast har ett nollställe, dvs nollstället är en dubbelrot.
</div>

Alternativt till användning av derivator finns det alltid möjligheten att genomföra en teckenstudie för att känna igen en terasspunkt:

==== Regeln om terasspunkt med teckenstudie ====
<div class="border-divblue">
<math> f\,'(a) = 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) </math> inte byter tecken i <math> \, x=a \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har en terasspunkt i <math> \; x = a \; </math>.
 
</div>

Med andra ord, i en terasspunkt <math> \, x=a </math> måste derivatan vara <math> \, 0 </math>, utan att byta tecken i <math> \, a </math>, dvs derivatan är antingen positiv eller negativ på båda sidor av <math> \, x=a </math>.

<div class="ovnE">
==== Exempel på terasspunkt med teckenstudie ====
Undersök med en teckenstudie vilken typ av kritisk punkt funktionen <math> \, f(x) = x\,^3 \, </math> har i punkten <math> \, x = 0 \, </math>.

'''Lösning med teckenstudie:'''
<table>
<tr>
<td>Vi hade redan bestämt att

derivatan var <math> \, 0 </math> för <math> \, x = 0 \, </math>:

</td>
<td>     </td>
<td>
::<math> f(x) = x^3 </math>

::<math> f'(x) = 3\,x^2 </math>

::<math> f'(0) = 3\cdot 0^2 = 3\cdot 0 = 0 </math>
</td>
</tr>
</table>
Nu ska vi undersöka derivatans tecken till vänster och till höger om nollstället <math> \, x = 0 </math>.

Vi väljer t.ex. punkterna <math> \, x = -0,1 </math> och <math> \, x = 0,1 </math> och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:

<table>
<tr>
<td>
::<math> f' (-0,1) = 3\cdot (-0,1)^2 = 3\cdot 0,01 = 0,03 > 0 </math>

::<math> f' (0,1) = 3\cdot (0,1)^2 = 3\cdot 0,01 = 0,03 > 0 </math>
</td>
<td> <table RULES="ALL" class="spaced-table" style="margin-left:50px;">
<tr>
<td><math>x</math></td>
<td><math>-0,1</math></td>
<td><math>0</math></td>
<td><math>0,1</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math> f\,'(x) </math></td>
<td><math>+</math></td>
<td><math>0</math></td>
<td><math>+</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math> \,f(x) </math></td>
<td> <big><big>↗</big></big> </td>
<td> Terass </td>
<td> <big><big>↗</big></big> </td>
</tr>
</table>
</td>
</tr>
</table>
Dessa resultat är infogade i teckentabellen till höger som visar:

# <math> \, f\,'(0) = 0 \, </math>
# Derivatan har tecknet <math>+</math> till vänster och även <math> + </math> till höger om <math> \, 0 \, </math> dvs derivatan byter inte tecken kring sitt nollställe.

Enligt regeln om terasspunkt med teckenstudie drar vi slutsatsen att funktionen <math> f(x)\, </math> har en terasspunkt i <math> \, x = 0 </math>.
</div>

Avgörande för att teckenstudie är en korrekt algebraisk metod är förutsättningen att <math> \; y \, = \, f(x) \; </math> är [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner|kontinuerlig]] i alla punkter av det betraktade området.

<div class="forsmak">
==== Hur grafen kan lura oss ====
<table>
<tr>
<td>[[Image: Hur grafen kan lura oss.jpg]]</td>
<td>      </td>
<td>Har funktionen

:::::<math> f(x) = x^3 + \, 0,5\,x </math>

vars graf visas till vänster en terasspunkt i <math> \, x = 0 \, </math>?

Kurvan är av samma typ som <math> g(x) = x^3 </math> till höger.

Ritar man båda funktioners grafer i miniräknarens

display är det svårt att se skillnaden. Slutsatsen att

även <math> f(x) </math> har en terasspunkt i <math> x = 0 </math> ligger nära.

Men <math> f\,'(0) \neq 0 </math> visar att detta inte är fallet:
<td>      </td>
<td>[[Image: Hur grafen kan lura oss 2.jpg]]</td>
</tr>
</table>
:::<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 + \, 0,5\,x \\
f'(x) & = & 3\,x^2 + \, 0,5 \\
f'(0) & = & 3\cdot 0^2 + \, 0,5 = 3\cdot 0 \, + \, 0,5 = 0 \, + \, 0,5 \, = \, 0,5 \, \neq \, 0
\end{array}</math>

Dvs redan första kravet i [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_derivator|regeln om terasspunkt med derivator]], nämligen att derivatan ska vara <math> \, 0 \, </math> för <math> \, x = 0 \, </math> är inte uppfyllt: <math> \, f(x) \, </math> har ingen terasspunkt i <math> \, x = 0 \, </math>. Grafen har lurat oss.
</div> 

Vill man använda grafer borde man först undersöka funktionen med de strikta algebraiska reglerna och sedan rita grafer för att visualisera resultatet. I det här fallet är det lämpligt att även rita tangenten till <math> \, f(x) \, </math> i <math> \, x = 0 \, </math>. Lägger man till graferna till derivatan och andraderivatan får man en fullständig överblick över funktionens beteende i och kring <math> \, x = 0 \, </math>:

[[Image: Inflexionspunkt 1a.jpg]]      [[Image: Inflexionspunkt 2a.jpg]]      [[Image: Inflexionspunkt 3a.jpg]]

'''Bilden till vänster''' visar funktionens graf samt tangenten till kurvan i <math> \, x = 0 </math>. Tangenten är inte horisontell dvs har inte lutningen <math> \, 0 </math>. I beräkningen ovan hade vi fått: <math> f'(x) = 0,5 \neq 0 </math>. Därmed är även tangentens lutning <math> \, 0,5 \, </math> och dess ekvation: <math> y = 0,5\,x </math>. Därför föreligger i <math> \, x = 0 \, </math> inte en terasspunkt.

'''Bilden i mitten''' visar att derivatan inte har något nollställe vilket visar att funktionen varken har extrempunkter eller terasspunkter. Derivatan är alltid positiv och antar i <math> x = 0 </math> värdet <math> \, 0,5 \, </math>. Om detta värde hade varit <math> \, 0 \, </math> hade funktionen haft en terasspunkt i <math> x = 0 </math>.

'''Bilden till höger''' visar att andraderivatan har ett nollställe i <math> \, x = 0 \, </math>, där grafen skär <math> \, x</math>-axeln. Vad innebär detta? Vi har inte haft ett sådant fall där derivatan är skild från <math> \, 0 \, </math>, men andraderivatan är <math> \, 0 \, </math>. Därför handlar det om en speciell punkt på kurvan som varken är extrem- eller terasspunkt, för i dessa fall borde ju derivatan vara <math> \, 0 \, </math>. Faktiskt handlar det om en ny typ av punkt som kallas inflexionspunkt.

=== Inflexionspunkter ===
<div class="ovnC">
<table>
<tr>
<td>[[Image: Inflexionspunkt 4.jpg]]</td>
<td>     </td>
<td>Om du föreställer dig att du kör bil på S-kurvan på bilden till vänster,

svänger du ratten först till höger tills du kommer till S-kurvans mitt:

<math> \, x = 2 \, </math>. Sedan byter du svängriktning och rattar till vänster.

Punkten i <math> \, x = 2 \, </math> där du byter svängriktning kallas för inflexionspunkt.

Inflexionspunkter är sådana där kurvan går över från en högersväng

(''konkav'' kurva) till en vänstersväng (''konvex'' kurva) eller tvärtom <math>-</math>

allt sett från vänster och underifrån.

På bilden finns även tangenten ritad i <math> \, x = 2 \, </math> vars lutning är negativ.

Hade lutningen varit <math> \, 0 \, </math> hade <math> \, x = 2 \, </math> varit en terasspunkt. Därför:
</td>
</tr>
</table>
Terasspunkter är specialfall av inflexionspunkter, eftersom kurvan byter alltid svängriktning i en terasspunkt.

Men inte alla inflexionspunkter är terasspunkter. Inflexionspunkter kan ha tangenter med vilken lutning som helst.

Terasspunkter är sådana inflexionspunkter där tangenten har lutningen <math> \, 0 \, </math>.

Pga funktionens kontinuitet finns alltid en inflexionspunkt mellan två extrempunkter.
</div>

==== Regeln om inflexionspunkter ====
<div class="border-divblue">
<math> f\,''(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'''(a) \, \neq \, 0 \; \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y \, = \, f(x) \; </math> har en inflexionspunkt i <math> \; x = a \; </math>.
----
Om dessutom <math> \; f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> är <math> \; x = a \; </math> en terasspunkt.            (Samma som [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_derivator|tidigare]])
----
En terasspunkt är alltid en inflexionspunkt, men inte tvärtom.
</div>

För att hitta inflexionspunkter ställer man alltså upp andraderivatan, sätter den till <math> \, 0 \, </math> och beräknar<math> \, x </math>, dvs andraderivatans nollställen. Sedan kontrollerar man om tredjederivatan verkligen är skild från <math> \, 0 \, </math> för andraderivatans nollställen.

I inflexionspunkter går funktionens graf över från en konkav kurva till en konvex kurva eller tvärtom. När är en funktion konvex eller konkav?

=== Konvexa och konkava funktioner ===
<div class="border-divblue">
<math> f\,''(x) > 0 \, </math> i ett visst intervall <math> \; \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> är konvex i intervallet.

T.ex. är kurvan konvex till höger om inflexionspunkten <math> \, x = 2 \, </math> i grafen ovan.
----
<math> f\,''(x) < 0 \, </math> i ett visst intervall <math> \; \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> är konkav i intervallet.

T.ex. är kurvan konkav till vänster om inflexionspunkten <math> \, x = 2 \, </math> i grafen ovan.
----
Allt sett från vänster och underifrån, dvs i axlarnas växande riktning.
</div>
</big>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

3.3 Terasspunkter

2025-09-28T18:18:50Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[3.2 Lokala maxima och minima| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[3.3 Terasspunkter|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Terasspunkter|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


<big>
==== Vad är en terasspunkt? ====
<table>
<tr>
<td>[[Image: Kritiska punkter.jpg]]

</td>
<td>    </td>
<td>
  <big>Bilden visar tre punkter där kurvan har tangenter med lutningen <math> \, 0 \, </math>:</big>

*    <big>Ett minimum i <math> \, x = -2 \, </math> där gäller: <math> \,\, f\,'(-2) \, = \, 0 </math>.</big>

* <div class="ovnE">En terasspunkt i <math> \, x = 0 \quad </math>     : <math> \, f\,'(0) \quad = \, 0 </math>.
</div>

*    <big>Ett maximum i <math> \, x = 2 \, </math> där gäller  : <math> \,\, f\,'(2) \quad = \, 0 </math>.</big>
</td>
</tr>
</table>

Generellt gäller:

==== Regeln om terasspunkt med derivator ====
<div class="border-divblue">
<math> f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; {\color {Red} {f\,'''(a) \, \neq \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har en terasspunkt i <math> \; x = a \; </math>.
----
Om <math> \, f\,'(a) = f\,''(a) = f\,'''(a) = 0 \, </math> kan endast en korrekt  [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_teckenstudie|teckenstudie]]  eller högre derivator avgöra saken. 
</div>

Tredjederivatan är inget annat än andraderivatans derivata. Man får den genom att derivera andraderivatan en gång till enligt deriveringsreglerna.

==== Kritiska punkter ====

<div class="border-divblue">
En punkt <math> \, x = a \, </math> kallas för kritisk punkt om <math> \, f\,'(a) = 0 \, </math>.
----
En kritisk punkt kan vara ett maximum, ett minimum eller en terasspunkt, se grafen ovan.
----
Att vara maximi-, minimi- eller terasspunkt kallas för den kritiska punktens karaktär eller typ.
</div>

<div class="ovnE">
==== Exempel på terasspunkt med derivator ====
Undersök med derivator vilken typ av kritisk punkt funktionen <math> \, f(x) = x\,^3 \, </math> har i punkten <math> \, x = 0 \, </math>.

'''Lösning med derivator:'''

[[Image: Terasspunkt 1.jpg]]      [[Image: Terasspunkt 2.jpg]]      [[Image: Terasspunkt 3.jpg]]

::<math>\begin{array}{rclclcl} f(x) & = & x\,^3 & & \\
f'(x) & = & 3\,x\,^2 & \Longrightarrow & f'(0) = 3\cdot 0^2 = 3\cdot 0 & = & 0 \\
f''(x) & = & 6\,x & \Longrightarrow & f''(0) = 6\cdot 0 & = & 0 \\
f'''(x) & = & 6 & \Longrightarrow & f'''(0) = 6 & \neq & 0
\end{array}</math>

Vi ser att <math> \, f\,'(0) = f\,''(0) = 0 \, </math> och <math> \, f\,'''(0) \neq 0 </math>. Av regeln ovan följer att <math> \, f(x)\, </math> har en terasspunkt i <math> \, x = 0 \, </math> som visas på bilden till vänster.
</div>

'''Bilden i mitten''' visar att derivatan <math> \, f\,'(x) = 3\,x^2 \, </math> endast har ett nollställe i <math> \, x = 0 \, </math> som är en [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Dubbelrot|dubbelrot]]. Dvs kurvan skär inte <math> \, x</math>-axeln, utan ''berör'' den endast. Med andra ord, derivatan byter inte tecken i <math> \, x = 0 \, </math> utan är positiv på båda sidor av <math> \, x = 0 \, </math>. Av detta följer att själva funktionen <math> \, f(x) = x^3 \, </math> är växande på båda sidor av <math> \, x = 0 \, </math> <math>-</math> ett kännetecken för terasspunkter. Generellt gäller:

<div class="border-divblue">
Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har en terasspunkt i <math> \; x = a \qquad\;\;\, \Longrightarrow \qquad\quad f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 \; </math>.
----
<math> f\,(x) \, </math> är ett tredjegradspolynom som har en terasspunkt <math> \quad \Longrightarrow \quad f\,'(x) \, </math> är ett andragradspolynom som

endast har ett nollställe, dvs nollstället är en dubbelrot.
</div>

Alternativt till användning av derivator finns det alltid möjligheten att genomföra en teckenstudie för att känna igen en terasspunkt:

==== Regeln om terasspunkt med teckenstudie ====
<div class="border-divblue">
<math> f\,'(a) = 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) </math> inte byter tecken i <math> \, x=a \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har en terasspunkt i <math> \; x = a \; </math>.
 
</div>

Med andra ord, i en terasspunkt <math> \, x=a </math> måste derivatan vara <math> \, 0 </math>, utan att byta tecken i <math> \, a </math>, dvs derivatan är antingen positiv eller negativ på båda sidor av <math> \, x=a </math>.

<div class="ovnE">
==== Exempel på terasspunkt med teckenstudie ====
Undersök med en teckenstudie vilken typ av kritisk punkt funktionen <math> \, f(x) = x\,^3 \, </math> har i punkten <math> \, x = 0 \, </math>.

'''Lösning med teckenstudie:'''
<table>
<tr>
<td>Vi hade redan bestämt att

derivatan var <math> \, 0 </math> för <math> \, x = 0 \, </math>:

</td>
<td>     </td>
<td>
::<math> f(x) = x^3 </math>

::<math> f'(x) = 3\,x^2 </math>

::<math> f'(0) = 3\cdot 0^2 = 3\cdot 0 = 0 </math>
</td>
</tr>
</table>
Nu ska vi undersöka derivatans tecken till vänster och till höger om nollstället <math> \, x = 0 </math>.

Vi väljer t.ex. punkterna <math> \, x = -0,1 </math> och <math> \, x = 0,1 </math> och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:

<table>
<tr>
<td>
::<math> f' (-0,1) = 3\cdot (-0,1)^2 = 3\cdot 0,01 = 0,03 > 0 </math>

::<math> f' (0,1) = 3\cdot (0,1)^2 = 3\cdot 0,01 = 0,03 > 0 </math>
</td>
<td> <table RULES="ALL" class="spaced-table" style="margin-left:50px;">
<tr>
<td><math>x</math></td>
<td><math>-0,1</math></td>
<td><math>0</math></td>
<td><math>0,1</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math> f\,'(x) </math></td>
<td><math>+</math></td>
<td><math>0</math></td>
<td><math>+</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math> \,f(x) </math></td>
<td> <big><big>↗</big></big> </td>
<td> Terass </td>
<td> <big><big>↗</big></big> </td>
</tr>
</table>
</td>
</tr>
</table>
Dessa resultat är infogade i teckentabellen till höger som visar:

# <math> \, f\,'(0) = 0 \, </math>
# Derivatan har tecknet <math>+</math> till vänster och även <math> + </math> till höger om <math> \, 0 \, </math> dvs derivatan byter inte tecken kring sitt nollställe.

Enligt regeln om terasspunkt med teckenstudie drar vi slutsatsen att funktionen <math> f(x)\, </math> har en terasspunkt i <math> \, x = 0 </math>.
</div>

Avgörande för att teckenstudie är en korrekt algebraisk metod är förutsättningen att <math> \; y \, = \, f(x) \; </math> är [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner|kontinuerlig]] i alla punkter av det betraktade området.

<div class="forsmak">
==== Hur grafen kan lura oss ====
<table>
<tr>
<td>[[Image: Hur grafen kan lura oss.jpg]]</td>
<td>      </td>
<td>Har funktionen

:::::<math> f(x) = x^3 + \, 0,5\,x </math>

vars graf visas till vänster en terasspunkt i <math> \, x = 0 \, </math>?

Kurvan är av samma typ som <math> g(x) = x^3 </math> till höger.

Ritar man båda funktioners grafer i miniräknarens

display är det svårt att se skillnaden. Slutsatsen att

även <math> f(x) </math> har en terasspunkt i <math> x = 0 </math> ligger nära.

Men <math> f\,'(0) \neq 0 </math> visar att detta inte är fallet:
<td>      </td>
<td>[[Image: Hur grafen kan lura oss 2.jpg]]</td>
</tr>
</table>
:::<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 + \, 0,5\,x \\
f'(x) & = & 3\,x^2 + \, 0,5 \\
f'(0) & = & 3\cdot 0^2 + \, 0,5 = 3\cdot 0 \, + \, 0,5 = 0 \, + \, 0,5 \, = \, 0,5 \, \neq \, 0
\end{array}</math>

Dvs redan första kravet i [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_derivator|regeln om terasspunkt med derivator]], nämligen att derivatan ska vara <math> \, 0 \, </math> för <math> \, x = 0 \, </math> är inte uppfyllt: <math> \, f(x) \, </math> har ingen terasspunkt i <math> \, x = 0 \, </math>. Grafen har lurat oss.
</div> 

Vill man använda grafer borde man först undersöka funktionen med de strikta algebraiska reglerna och sedan rita grafer för att visualisera resultatet. I det här fallet är det lämpligt att även rita tangenten till <math> \, f(x) \, </math> i <math> \, x = 0 \, </math>. Lägger man till graferna till derivatan och andraderivatan får man en fullständig överblick över funktionens beteende i och kring <math> \, x = 0 \, </math>:

[[Image: Inflexionspunkt 1a.jpg]]      [[Image: Inflexionspunkt 2a.jpg]]      [[Image: Inflexionspunkt 3a.jpg]]

'''Bilden till vänster''' visar funktionens graf samt tangenten till kurvan i <math> \, x = 0 </math>. Tangenten är inte horisontell dvs har inte lutningen <math> \, 0 </math>. I beräkningen ovan hade vi fått: <math> f'(x) = 0,5 \neq 0 </math>. Därmed är även tangentens lutning <math> \, 0,5 \, </math> och dess ekvation: <math> y = 0,5\,x </math>. Därför föreligger i <math> \, x = 0 \, </math> inte en terasspunkt.

'''Bilden i mitten''' visar att derivatan inte har något nollställe vilket visar att funktionen varken har extrempunkter eller terasspunkter. Derivatan är alltid positiv och antar i <math> x = 0 </math> värdet <math> \, 0,5 \, </math>. Om detta värde hade varit <math> \, 0 \, </math> hade funktionen haft en terasspunkt i <math> x = 0 </math>.

'''Bilden till höger''' visar att andraderivatan har ett nollställe i <math> \, x = 0 \, </math>, där grafen skär <math> \, x</math>-axeln. Vad innebär detta? Vi har inte haft ett sådant fall där derivatan är skild från <math> \, 0 \, </math>, men andraderivatan är <math> \, 0 \, </math>. Därför handlar det om en speciell punkt på kurvan som varken är extrem- eller terasspunkt, för i dessa fall borde ju derivatan vara <math> \, 0 \, </math>. Faktiskt handlar det om en ny typ av punkt som kallas inflexionspunkt.

=== Inflexionspunkter ===
<div class="ovnC">
<table>
<tr>
<td>[[Image: Inflexionspunkt 4.jpg]]</td>
<td>     </td>
<td>Om du föreställer dig att du kör bil på S-kurvan på bilden till vänster,

svänger du ratten först till höger tills du kommer till S-kurvans mitt:

<math> \, x = 2 \, </math>. Sedan byter du svängriktning och rattar till vänster.

Punkten i <math> \, x = 2 \, </math> där du byter svängriktning kallas för inflexionspunkt.

Inflexionspunkter är sådana där kurvan går över från en högersväng

(''konkav'' kurva) till en vänstersväng (''konvex'' kurva) eller tvärtom <math>-</math>

allt sett från vänster och underifrån.

På bilden finns även tangenten ritad i <math> \, x = 2 \, </math> vars lutning är negativ.

Hade lutningen varit <math> \, 0 \, </math> hade <math> \, x = 2 \, </math> varit en terasspunkt. Därför:
</td>
</tr>
</table>
Terasspunkter är specialfall av inflexionspunkter, eftersom kurvan byter alltid svängriktning i en terasspunkt.

Men inte alla inflexionspunkter är terasspunkter. Inflexionspunkter kan ha tangenter med vilken lutning som helst.

Terasspunkter är sådana inflexionspunkter där tangenten har lutningen <math> \, 0 \, </math>.

Pga funktionens kontinuitet finns alltid en inflexionspunkt mellan två extrempunkter.
</div>

==== Regeln om inflexionspunkter ====
<div class="border-divblue">
<math> f\,''(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'''(a) \, \neq \, 0 \; \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y \, = \, f(x) \; </math> har en inflexionspunkt i <math> \; x = a \; </math>.
----
Om dessutom <math> \; f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> är <math> \; x = a \; </math> en terasspunkt.            (Samma som [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_derivator|tidigare]])
----
En terasspunkt är alltid en inflexionspunkt, men inte tvärtom.
</div>

För att hitta inflexionspunkter ställer man alltså upp andraderivatan, sätter den till <math> \, 0 \, </math> och beräknar<math> \, x </math>, dvs andraderivatans nollställen. Sedan kontrollerar man om tredjederivatan verkligen är skild från <math> \, 0 \, </math> för andraderivatans nollställen.

I inflexionspunkter går funktionens graf över från en konkav kurva till en konvex kurva eller tvärtom. När är en funktion konvex eller konkav?

=== Konvexa och konkava funktioner ===
<div class="border-divblue">
<math> f\,''(x) > 0 \, </math> i ett visst intervall <math> \; \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> är konvex i intervallet.

T.ex. är kurvan konvex till höger om inflexionspunkten <math> \, x = 2 \, </math> i grafen ovan.
----
<math> f\,''(x) < 0 \, </math> i ett visst intervall <math> \; \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> är konkav i intervallet.

T.ex. är kurvan konkav till vänster om inflexionspunkten <math> \, x = 2 \, </math> i grafen ovan.
----
Allt sett från vänster och underifrån, dvs i axlarnas växande riktning.
</div>
</big>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

3.3 Terasspunkter

2025-09-28T18:18:11Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[3.2 Lokala maxima och minima| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[3.3 Terasspunkter|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Terasspunkter|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}



<big>
==== Vad är en terasspunkt? ====
<table>
<tr>
<td>[[Image: Kritiska punkter.jpg]]

</td>
<td>    </td>
<td>
  <big>Bilden visar tre punkter där kurvan har tangenter med lutningen <math> \, 0 \, </math>:</big>

*    <big>Ett minimum i <math> \, x = -2 \, </math> där gäller: <math> \,\, f\,'(-2) \, = \, 0 </math>.</big>

* <div class="ovnE">En terasspunkt i <math> \, x = 0 \quad </math>     : <math> \, f\,'(0) \quad = \, 0 </math>.
</div>

*    <big>Ett maximum i <math> \, x = 2 \, </math> där gäller  : <math> \,\, f\,'(2) \quad = \, 0 </math>.</big>
</td>
</tr>
</table>

Generellt gäller:

==== Regeln om terasspunkt med derivator ====
<div class="border-divblue">
<math> f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; {\color {Red} {f\,'''(a) \, \neq \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har en terasspunkt i <math> \; x = a \; </math>.
----
Om <math> \, f\,'(a) = f\,''(a) = f\,'''(a) = 0 \, </math> kan endast en korrekt  [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_teckenstudie|teckenstudie]]  eller högre derivator avgöra saken. 
</div>

Tredjederivatan är inget annat än andraderivatans derivata. Man får den genom att derivera andraderivatan en gång till enligt deriveringsreglerna.

==== Kritiska punkter ====

<div class="border-divblue">
En punkt <math> \, x = a \, </math> kallas för kritisk punkt om <math> \, f\,'(a) = 0 \, </math>.
----
En kritisk punkt kan vara ett maximum, ett minimum eller en terasspunkt, se grafen ovan.
----
Att vara maximi-, minimi- eller terasspunkt kallas för den kritiska punktens karaktär eller typ.
</div>

<div class="ovnE">
==== Exempel på terasspunkt med derivator ====
Undersök med derivator vilken typ av kritisk punkt funktionen <math> \, f(x) = x\,^3 \, </math> har i punkten <math> \, x = 0 \, </math>.

'''Lösning med derivator:'''

[[Image: Terasspunkt 1.jpg]]      [[Image: Terasspunkt 2.jpg]]      [[Image: Terasspunkt 3.jpg]]

::<math>\begin{array}{rclclcl} f(x) & = & x\,^3 & & \\
f'(x) & = & 3\,x\,^2 & \Longrightarrow & f'(0) = 3\cdot 0^2 = 3\cdot 0 & = & 0 \\
f''(x) & = & 6\,x & \Longrightarrow & f''(0) = 6\cdot 0 & = & 0 \\
f'''(x) & = & 6 & \Longrightarrow & f'''(0) = 6 & \neq & 0
\end{array}</math>

Vi ser att <math> \, f\,'(0) = f\,''(0) = 0 \, </math> och <math> \, f\,'''(0) \neq 0 </math>. Av regeln ovan följer att <math> \, f(x)\, </math> har en terasspunkt i <math> \, x = 0 \, </math> som visas på bilden till vänster.
</div>

'''Bilden i mitten''' visar att derivatan <math> \, f\,'(x) = 3\,x^2 \, </math> endast har ett nollställe i <math> \, x = 0 \, </math> som är en [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Dubbelrot|dubbelrot]]. Dvs kurvan skär inte <math> \, x</math>-axeln, utan ''berör'' den endast. Med andra ord, derivatan byter inte tecken i <math> \, x = 0 \, </math> utan är positiv på båda sidor av <math> \, x = 0 \, </math>. Av detta följer att själva funktionen <math> \, f(x) = x^3 \, </math> är växande på båda sidor av <math> \, x = 0 \, </math> <math>-</math> ett kännetecken för terasspunkter. Generellt gäller:

<div class="border-divblue">
Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har en terasspunkt i <math> \; x = a \qquad\;\;\, \Longrightarrow \qquad\quad f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 \; </math>.
----
<math> f\,(x) \, </math> är ett tredjegradspolynom som har en terasspunkt <math> \quad \Longrightarrow \quad f\,'(x) \, </math> är ett andragradspolynom som

endast har ett nollställe, dvs nollstället är en dubbelrot.
</div>

Alternativt till användning av derivator finns det alltid möjligheten att genomföra en teckenstudie för att känna igen en terasspunkt:

==== Regeln om terasspunkt med teckenstudie ====
<div class="border-divblue">
<math> f\,'(a) = 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) </math> inte byter tecken i <math> \, x=a \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har en terasspunkt i <math> \; x = a \; </math>.
 
</div>

Med andra ord, i en terasspunkt <math> \, x=a </math> måste derivatan vara <math> \, 0 </math>, utan att byta tecken i <math> \, a </math>, dvs derivatan är antingen positiv eller negativ på båda sidor av <math> \, x=a </math>.

<div class="ovnE">
==== Exempel på terasspunkt med teckenstudie ====
Undersök med en teckenstudie vilken typ av kritisk punkt funktionen <math> \, f(x) = x\,^3 \, </math> har i punkten <math> \, x = 0 \, </math>.

'''Lösning med teckenstudie:'''
<table>
<tr>
<td>Vi hade redan bestämt att

derivatan var <math> \, 0 </math> för <math> \, x = 0 \, </math>:

</td>
<td>     </td>
<td>
::<math> f(x) = x^3 </math>

::<math> f'(x) = 3\,x^2 </math>

::<math> f'(0) = 3\cdot 0^2 = 3\cdot 0 = 0 </math>
</td>
</tr>
</table>
Nu ska vi undersöka derivatans tecken till vänster och till höger om nollstället <math> \, x = 0 </math>.

Vi väljer t.ex. punkterna <math> \, x = -0,1 </math> och <math> \, x = 0,1 </math> och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:

<table>
<tr>
<td>
::<math> f' (-0,1) = 3\cdot (-0,1)^2 = 3\cdot 0,01 = 0,03 > 0 </math>

::<math> f' (0,1) = 3\cdot (0,1)^2 = 3\cdot 0,01 = 0,03 > 0 </math>
</td>
<td> <table RULES="ALL" class="spaced-table" style="margin-left:50px;">
<tr>
<td><math>x</math></td>
<td><math>-0,1</math></td>
<td><math>0</math></td>
<td><math>0,1</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math> f\,'(x) </math></td>
<td><math>+</math></td>
<td><math>0</math></td>
<td><math>+</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math> \,f(x) </math></td>
<td> <big><big>↗</big></big> </td>
<td> Terass </td>
<td> <big><big>↗</big></big> </td>
</tr>
</table>
</td>
</tr>
</table>
Dessa resultat är infogade i teckentabellen till höger som visar:

# <math> \, f\,'(0) = 0 \, </math>
# Derivatan har tecknet <math>+</math> till vänster och även <math> + </math> till höger om <math> \, 0 \, </math> dvs derivatan byter inte tecken kring sitt nollställe.

Enligt regeln om terasspunkt med teckenstudie drar vi slutsatsen att funktionen <math> f(x)\, </math> har en terasspunkt i <math> \, x = 0 </math>.
</div>

Avgörande för att teckenstudie är en korrekt algebraisk metod är förutsättningen att <math> \; y \, = \, f(x) \; </math> är [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner|kontinuerlig]] i alla punkter av det betraktade området.

<div class="forsmak">
==== Hur grafen kan lura oss ====
<table>
<tr>
<td>[[Image: Hur grafen kan lura oss.jpg]]</td>
<td>      </td>
<td>Har funktionen

:::::<math> f(x) = x^3 + \, 0,5\,x </math>

vars graf visas till vänster en terasspunkt i <math> \, x = 0 \, </math>?

Kurvan är av samma typ som <math> g(x) = x^3 </math> till höger.

Ritar man båda funktioners grafer i miniräknarens

display är det svårt att se skillnaden. Slutsatsen att

även <math> f(x) </math> har en terasspunkt i <math> x = 0 </math> ligger nära.

Men <math> f\,'(0) \neq 0 </math> visar att detta inte är fallet:
<td>      </td>
<td>[[Image: Hur grafen kan lura oss 2.jpg]]</td>
</tr>
</table>
:::<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 + \, 0,5\,x \\
f'(x) & = & 3\,x^2 + \, 0,5 \\
f'(0) & = & 3\cdot 0^2 + \, 0,5 = 3\cdot 0 \, + \, 0,5 = 0 \, + \, 0,5 \, = \, 0,5 \, \neq \, 0
\end{array}</math>

Dvs redan första kravet i [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_derivator|regeln om terasspunkt med derivator]], nämligen att derivatan ska vara <math> \, 0 \, </math> för <math> \, x = 0 \, </math> är inte uppfyllt: <math> \, f(x) \, </math> har ingen terasspunkt i <math> \, x = 0 \, </math>. Grafen har lurat oss.
</div> 

Vill man använda grafer borde man först undersöka funktionen med de strikta algebraiska reglerna och sedan rita grafer för att visualisera resultatet. I det här fallet är det lämpligt att även rita tangenten till <math> \, f(x) \, </math> i <math> \, x = 0 \, </math>. Lägger man till graferna till derivatan och andraderivatan får man en fullständig överblick över funktionens beteende i och kring <math> \, x = 0 \, </math>:

[[Image: Inflexionspunkt 1a.jpg]]      [[Image: Inflexionspunkt 2a.jpg]]      [[Image: Inflexionspunkt 3a.jpg]]

'''Bilden till vänster''' visar funktionens graf samt tangenten till kurvan i <math> \, x = 0 </math>. Tangenten är inte horisontell dvs har inte lutningen <math> \, 0 </math>. I beräkningen ovan hade vi fått: <math> f'(x) = 0,5 \neq 0 </math>. Därmed är även tangentens lutning <math> \, 0,5 \, </math> och dess ekvation: <math> y = 0,5\,x </math>. Därför föreligger i <math> \, x = 0 \, </math> inte en terasspunkt.

'''Bilden i mitten''' visar att derivatan inte har något nollställe vilket visar att funktionen varken har extrempunkter eller terasspunkter. Derivatan är alltid positiv och antar i <math> x = 0 </math> värdet <math> \, 0,5 \, </math>. Om detta värde hade varit <math> \, 0 \, </math> hade funktionen haft en terasspunkt i <math> x = 0 </math>.

'''Bilden till höger''' visar att andraderivatan har ett nollställe i <math> \, x = 0 \, </math>, där grafen skär <math> \, x</math>-axeln. Vad innebär detta? Vi har inte haft ett sådant fall där derivatan är skild från <math> \, 0 \, </math>, men andraderivatan är <math> \, 0 \, </math>. Därför handlar det om en speciell punkt på kurvan som varken är extrem- eller terasspunkt, för i dessa fall borde ju derivatan vara <math> \, 0 \, </math>. Faktiskt handlar det om en ny typ av punkt som kallas inflexionspunkt.

=== Inflexionspunkter ===
<div class="ovnC">
<table>
<tr>
<td>[[Image: Inflexionspunkt 4.jpg]]</td>
<td>     </td>
<td>Om du föreställer dig att du kör bil på S-kurvan på bilden till vänster,

svänger du ratten först till höger tills du kommer till S-kurvans mitt:

<math> \, x = 2 \, </math>. Sedan byter du svängriktning och rattar till vänster.

Punkten i <math> \, x = 2 \, </math> där du byter svängriktning kallas för inflexionspunkt.

Inflexionspunkter är sådana där kurvan går över från en högersväng

(''konkav'' kurva) till en vänstersväng (''konvex'' kurva) eller tvärtom <math>-</math>

allt sett från vänster och underifrån.

På bilden finns även tangenten ritad i <math> \, x = 2 \, </math> vars lutning är negativ.

Hade lutningen varit <math> \, 0 \, </math> hade <math> \, x = 2 \, </math> varit en terasspunkt. Därför:
</td>
</tr>
</table>
Terasspunkter är specialfall av inflexionspunkter, eftersom kurvan byter alltid svängriktning i en terasspunkt.

Men inte alla inflexionspunkter är terasspunkter. Inflexionspunkter kan ha tangenter med vilken lutning som helst.

Terasspunkter är sådana inflexionspunkter där tangenten har lutningen <math> \, 0 \, </math>.

Pga funktionens kontinuitet finns alltid en inflexionspunkt mellan två extrempunkter.
</div>

==== Regeln om inflexionspunkter ====
<div class="border-divblue">
<math> f\,''(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'''(a) \, \neq \, 0 \; \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y \, = \, f(x) \; </math> har en inflexionspunkt i <math> \; x = a \; </math>.
----
Om dessutom <math> \; f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> är <math> \; x = a \; </math> en terasspunkt.            (Samma som [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_derivator|tidigare]])
----
En terasspunkt är alltid en inflexionspunkt, men inte tvärtom.
</div>

För att hitta inflexionspunkter ställer man alltså upp andraderivatan, sätter den till <math> \, 0 \, </math> och beräknar<math> \, x </math>, dvs andraderivatans nollställen. Sedan kontrollerar man om tredjederivatan verkligen är skild från <math> \, 0 \, </math> för andraderivatans nollställen.

I inflexionspunkter går funktionens graf över från en konkav kurva till en konvex kurva eller tvärtom. När är en funktion konvex eller konkav?

=== Konvexa och konkava funktioner ===
<div class="border-divblue">
<math> f\,''(x) > 0 \, </math> i ett visst intervall <math> \; \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> är konvex i intervallet.

T.ex. är kurvan konvex till höger om inflexionspunkten <math> \, x = 2 \, </math> i grafen ovan.
----
<math> f\,''(x) < 0 \, </math> i ett visst intervall <math> \; \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> är konkav i intervallet.

T.ex. är kurvan konkav till vänster om inflexionspunkten <math> \, x = 2 \, </math> i grafen ovan.
----
Allt sett från vänster och underifrån, dvs i axlarnas växande riktning.
</div>
</big>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

Repetition: 10-logaritmer

2025-09-26T10:12:11Z

Taifun:

Repetition: 10-logaritmer

2025-09-26T09:00:00Z

Taifun:

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-26T08:57:44Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}



== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==
<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil 5 miljoner decimalerna av talet <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>
Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:
<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>
<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====
<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==
<big>
[[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt gäller:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==
<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-26T08:56:43Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[Repetition: Exponentialfunktioner|Rep.: Exp.funktioner]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: Logaritmlagarna|Rep.: Logaritmlagarna]]}}

| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==
<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil 5 miljoner decimalerna av talet <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>
Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:
<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>
<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====
<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==
<big>
[[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt gäller:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==
<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-26T08:55:59Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[Repetition: Exponentialfunktioner|Rep.: Exponentialfunktioner]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: Logaritmlagarna|Rep.: Logaritmlagarna]]}}

| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==
<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil 5 miljoner decimalerna av talet <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>
Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:
<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>
<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====
<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==
<big>
[[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt gäller:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==
<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-25T19:09:54Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}



== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==
<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil 5 miljoner decimalerna av talet <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>
Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:
<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>
<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====
<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==
<big>
[[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt gäller:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==
<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-25T19:08:40Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}



== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==
<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil 5 miljoner decimaler av talet <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>
Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:
<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>
<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====
<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==
<big>
[[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt gäller:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==
<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-25T19:02:35Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}



== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==
<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första 5 miljoner decimaler av talet [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>
Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:
<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>
<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====
<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==
<big>
[[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt gäller:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==
<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-25T19:01:52Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[Repetition: Exponentialfunktioner|Rep.: Exponentialfunktioner]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: Logaritmlagarna|Rep.: Logaritmlagarna]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==
<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första 5 miljoner decimaler av talet [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>
Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:
<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>
<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====
<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==
<big>
[[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt gäller:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==
<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-25T18:54:13Z

Taifun:

__TOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[Repetition: Exponentialfunktioner|Rep.: Exponentialfunktioner]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: Logaritmlagarna|Rep.: Logaritmlagarna]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==
<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första 5 miljoner decimaler av talet [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>
Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:
<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>
<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====
<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==
<big>
[[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt gäller:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==
<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-25T18:36:54Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[Repetition: Exponentialfunktioner|Rep.: Exponentialfunktioner]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: Logaritmlagarna|Rep.: Logaritmlagarna]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==
<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första 5 miljoner decimaler av talet [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>
Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:
<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>
<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====
<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==
<big>
[[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt gäller:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==
<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-25T18:35:37Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[Repetition: Exponentialfunktioner|Rep.: Exponentialfunktioner]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: Logaritmlagarna|Rep.: Logaritmlagarna]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==
<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första 5 miljoner decimaler av talet [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>
Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>
<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====
<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==
<big>
[[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt gäller:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==
<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-25T18:32:29Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[Repetition: Exponentialfunktioner|Rep.: Exponentialfunktioner]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: Logaritmlagarna|Rep.: Logaritmlagarna]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==
<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första 5 miljoner decimaler av talet [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>
Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====

<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==
<big>
[[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt gäller:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==
<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-25T18:30:05Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[Repetition: Exponentialfunktioner|Rep.: Exponentialfunktioner]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: Logaritmlagarna|Rep.: Logaritmlagarna]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==
<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första 5 miljoner decimaler av talet [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>
Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====

<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==
<big>
[[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Den_naturliga_logaritmen|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==
<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-25T18:27:14Z

Taifun:

__TOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[Repetition: Exponentialfunktioner|Rep.: Exponentialfunktioner]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: Logaritmlagarna|Rep.: Logaritmlagarna]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==
<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första 5 miljoner decimaler av talet [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>
Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====

<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==
<big>
[[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Experiment_2|Experiment 2]] visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Experiment_2|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==
<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-25T18:24:30Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[Repetition: Exponentialfunktioner|Rep.: Exponentialfunktioner]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: Logaritmlagarna|Rep.: Logaritmlagarna]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==
<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första 5 miljoner decimaler av talet [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>
Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====

<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==
<big>
[[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Experiment_2|Experiment 2]] visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Experiment_2|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==
<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-25T18:17:15Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[Repetition: Exponentialfunktioner|Rep.: Exponentialfunktioner]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: Logaritmlagarna|Rep.: Logaritmlagarna]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==
<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första 5 miljoner decimaler av talet [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>
Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====

<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper: ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==
<big>
Experiment 2 visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Experiment_2|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==
<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-25T18:13:45Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[Repetition: Exponentialfunktioner|Rep.: Exponentialfunktioner]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: Logaritmlagarna|Rep.: Logaritmlagarna]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==
<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första 5 miljoner decimaler av talet [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>
Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper ====

<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==

<big>
Experiment 2 visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Experiment_2|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==

<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-25T18:11:28Z

Taifun:

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-25T18:08:56Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[Repetition: Exponentialfunktioner|Rep.: Exponentialfunktioner]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: Logaritmlagarna|Rep.: Logaritmlagarna]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==
<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första 5 miljoner decimaler av talet [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>
Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper ====

<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==

<big>
Experiment 2 visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Experiment_2|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==

<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-25T18:07:55Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==
<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första 5 miljoner decimaler av talet [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>
Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper ====

<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==

<big>
Experiment 2 visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Experiment_2|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==

<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-25T18:04:48Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[Repetition: Exponentialfunktioner|Rep.: Exponentialfunktioner]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: Logaritmlagarna|Rep.: Logaritmlagarna]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==
<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första 5 miljoner decimaler av talet [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>
Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper ====

<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==

<big>
Experiment 2 visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Experiment_2|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==

<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-25T18:03:12Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[Repetition: Exponentialfunktioner|Rep.: Exponentialfunktioner]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: Logaritmlagarna|Rep.: Logaritmlagarna]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==
<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första 5 miljoner decimaler av talet [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>

Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper ====

<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==

<big>
Experiment 2 visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Experiment_2|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==

<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-25T18:02:46Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[Repetition: Exponentialfunktioner|Rep.: Exponentialfunktioner]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: Logaritmlagarna|Rep.: Logaritmlagarna]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}


== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==
<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första 5 miljoner decimaler av talet [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>

Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper ====

<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==

<big>
Experiment 2 visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Experiment_2|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==

<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

2025-09-25T18:01:54Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[Repetition: Exponentialfunktioner|Rep.: Exponentialfunktioner]]}}
{{Not selected tab|[[Repetition: Logaritmlagarna|Rep.: Logaritmlagarna]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}



== Talet  <big><math> e \,</math></big> ==

<div class="ovnE">
<big>Experiment 1</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller talet <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) Eulers tal].
</div>

<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal olika typer av tal].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett irrationellt tal, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling icke-periodisk decimalutveckling] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första 5 miljoner decimaler av talet [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil <big><math> \, e \, </math></big>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
  OBS! <math> \quad e \; </math> är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter:

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys matematiska analysen], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|gränsvärden]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|derivator]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|integraler]] och differentialekvationer.
</big>

<div class="exempel">
== Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till? ==
<big>

Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <big><math> e \,</math></big>:

::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>

== Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. exponentialfunktionen <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> med basen <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div>       med grafen:       [[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big>
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper ====

<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid positiv: <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden: alla <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>

<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
</big>

== Den naturliga logaritmen ==
<div class="ovnC">
<big>Experiment 2</big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> ''^'' <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen.
# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början.

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big>ogaritmus <big>N</big>aturalis, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<math> \, 10</math>-logaritmer]].

När man skriver står <math>\ln</math> för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <math>\ln</math>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
Exempel:

<math>\ln 3 \, </math> = Exponent som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math>:

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren: <math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
Definition:

<math>\ln a \, </math> = Exponenten <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math>:

<math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>

Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>:

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div>       med grafen:        [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::Den naturliga logaritmfunktionen
</big>

<div class="ovnC">
==== Egenskaper ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för positiva <math> \, x\, </math>. Definitionsmängden: <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

  OBS!   Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.
</div>

<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==

<big>
Experiment 2 visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>

:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]

<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Experiment_2|Experiment 2]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math> ==

<big>
Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen.
</big>

<div class="ovnE">
<big>Exempel</big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\
x & = & \ln\,68 & \\
x & = & 4,219507705\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div></div>

== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

Huvudsida

2025-09-25T17:35:34Z

Taifun:

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[Matte 3c Innehållsförteckning|Innehållsförteckning]]}}

{{Not selected tab|[[Media: Centralt_innehall_Ma3c.pdf|Centralt innehåll]]}}
{{Not selected tab|[[Media: Kunskapskrav_Ma3c.pdf|Kunskapskrav]]}}
{{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3.pdf|Formelsamling Matte 3]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Aktuell lektion]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

<big><big><big>Välkommen till Matte 3c i  [http://www.mathonline.se Math Online] <math>-</math> ett webbaserat digitalt läromedel för matematik</big></big></big>
<table>
<tr>
<td>     [[Image: Bild_till_vad_ar_mathonline_a.jpg]]
</td>
<td><math> \qquad\quad </math></td>
<td>

[[Image: Chebyshev_Polyn_2nd_60a.jpg]]

::<big><big>  [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#En_familj_av_h.C3.B6gre_grads_polynomfunktioner|Polynomfunktioner av grad <math> \, n = 0, 1, \ldots , 5</math>]]</big></big>
</td>
</tr>
</table>

<div class="ovnE">
Matematik 3c är en fortsättningskurs och förutsätter förkunskaper från kurser motsvarande Matematik 1c och 2c.

Det som står i fokus av denna kurs är begreppet derivata. För att förbereda eleven på begreppet derivata gås igenom en hel del algebra.

Även olika typer av funktioner som introducerades i kursen Matematik 2c, vidareutvecklas och fördjupas, inkl. naturliga logaritmer.

I kapitlet Användning av derivata lär vi oss att lösa praktiska problem med hjälp av derivata, speciellt extremvärdesproblem.

Kursen fortsätter med derivatans omvända operation, nämligen integration. Det avslutande kapitlet handlar om trigonometri –

läran om beräkning av trianglar. För detaljerat upplägg se [[Matte 3c Innehållsförteckning|innehållsförteckningen]].

Matematik 3c är obligatorisk för gymnasiets Naturvetenskapsprogram (NA) och Teknikprogram (TE) och kan ge meritpoäng även som

frivillig kurs för gymnasiets andra program. Den passar också för vuxenutbildningen.

Kursen följer [http://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-och-kurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/mat?tos=gy&subjectCode=mat&lang=sv Skolverkets ämnesplan GY 2011].

Matematik 3c motsvarar i stora delar den kurs som i den gamla kursplanen hette Matematik C.
</div>

== Att komma igång med Matte 3c-kursen ==

<table>
<tr>
<td><big>
*   Ovan på sidan hittar du flikar till kursens [[Matte 3c Planering|planering]] och [[Matte 3c Innehållsförteckning|innehålls-]]   [[Matte 3c Innehållsförteckning|förteckning]] som följer Skolverkets [[Media: Centralt_innehall_Ma3c.pdf|centrala innehåll]] (kursplan).

*   I vänsterspalten ser du länkar till kursens innehåll som du kan an-   vända för att navigera genom materialet.

*   Kursen är indelad i fem kapitel. Varje kapitel innehåller ett antal av-   snitt och avslutas med diagnosprov samt fullständiga lösningar.

*   Varje avsnitt börjar med en [[1.1 Polynom|genomgång]] som behandlar grundbe-   grepp med hjälp av enkla lösta exempel och förklaringar.

*   Vissa avsnitt har repeterande, fördjupande eller tillämpande under-   avsnitt. T.ex. är [[Potenser|Potenser]] ett repeterande underavsnitt i avsnittet   [[1.1 Polynom|Polynom]].

*   Till varje avsnitt finns det [[1.1 Övningar till Polynom|övningar]] indelad i tre kategorier: E-, C-   och A-nivå samt svar (facit) och fullständiga lösningar.  Ex.:  <math> \to </math>

*   När man är klar med ett kapitel är det dags för [[Diagnosprov 1 i Matte 3 kap 1 Algebra och funktioner|diagnosprov]] som   ska förbereda på det riktiga provet.

*   Till varje diagnosprov finns [[Lösningar till diagnosprov 1 i Matte 3 kap 1 Algebra och funktioner|fullständiga lösningar]] som man kan   använda för att själv (eller låta en kompis) rätta sitt diagnosprov.
</big>
</td>
<td>     </td>
<td><math> \quad </math> <big>>> <math> \quad </math> <div class="ovnE">{{#NAVCONTENT:Exempel på en övning|1.2 Övning 3a}}</div></big>

<math> \quad </math> <big>>> <math> \quad </math> <div class="ovnC">{{#NAVCONTENT:Exempel på övningens svar|1.2 Svar 3a}}</div></big>

<math> \quad </math> <big>>> <math> \quad </math> <div class="ovnA">{{#NAVCONTENT:Exempel på övningens fullständiga lösning|1.2 Lösning 3a}}</div></big>
</td>
</tr>
</table>
<big>
*   Diagnosprovens resultat kan diskuteras med din lärare för att få både [http://www.jisc.ac.uk/guides/feedback-and-feed-forward feedback] och [http://www.edweek.org/tsb/articles/2012/03/01/02formative.h05.html feed-forward] samt kunna vidareutveckla dina mattekunskaper.

*   Inför det nationella provet i Matte 3c kan man förbereda sig genom att träna på [[Gammalt nationellt prov 2 i Matte 3c|gamla nationella prov]] med fullständiga lösningar och [[Repetitionsuppgifter inför nationella provet i Matte 3c|repetitionsuppgifter]].

*   Alla avsnitt innehåller [[1.1_Polynom#Internetl.C3.A4nkar|Internetlänkar]] till kompletterande material, ofta små videos på YouTube, demos, animationer, små spel eller extraövningar.

*   Man kan även söka efter ett matematiskt begrepp i sökfältet Sök längst ner i vänsterspalten för att få fram de sidor som innehåller sökordet.
</big>

<div class="forsmak">
== Exempel och försmak på Math Online:s pedagogik ==

<table>
<tr>
<td><big><big>1. Exempelorienterad undervisning:</big></big>

<big><big>2. [[1.7_Potenser#Varf.C3.B6r_.C3.A4r_.5C.28_.5C.3B_5.5C.2C.5E0_.5C.2C_.3D_.5C.2C_1_.5C.3B_.5C.29.3F|Varför är <math> \; 5\,^0 \, = \, 1 </math>, medan <math> \, 5 \cdot 0 \, = \, 0 \; </math>?]]</big></big>

<big><big>3. [[Varf%C3%B6r_f%C3%A5r_man_inte_dividera_med_0_%3F|Varför får man inte dividera med <math> \, 0 \, </math>?]]</big></big>

<big><big>4. [http://52.210.62.116:1800/index.php/1.2_Räkneordning#Varf.C3.B6r_g.C3.A5r_multiplikation_f.C3.B6re_addition.3F Varför går multiplikation före addition?]</big></big>

<big><big>5. [http://52.210.62.116:1800/index.php/En_matten%C3%B6t En mattenöt:  Cirkel eller kvadrat?]</big></big>

</td>

<td> <math> \quad </math> </td>

<td>Ekvationer: <math> \qquad </math> [http://52.210.62.116:1800/index.php/Flaska_med_pant Flaska med pant] <math> \qquad </math> [http://52.210.62.116:1800/index.php/Att_ställa_upp_en_ekvation Att ställa upp en ekvation] <math> \qquad </math> [http://52.210.62.116:1800/index.php/Lösning_till_flaska_med_pant Lösning] <math> \qquad </math> [http://52.210.62.116:1800/index.php/Svar_till_flaska_med_pant Svar]

Genomsnittlig förändringshastighet: <math> \qquad </math> [http://52.210.62.116:1800/index.php/2.2_Genomsnittlig_f%C3%B6r%C3%A4ndringshastighet#Exempel_1_Marginalskatt Marginalskatt] <math> \qquad </math> [http://52.210.62.116:1800/index.php/2.2_Genomsnittlig_f%C3%B6r%C3%A4ndringshastighet#Exempel_3_Oljetank Oljetank]

Derivata: <math> \qquad </math> [http://52.210.62.116:1800/index.php/2.1_Introduktion_till_derivata Simhopp från 10 meterstorn (Elevaktivitet)]

Extremvärdesproblem: <math> \qquad </math> [http://52.210.62.116:1800/index.php/3.5_Extremvärdesproblem#Exempel_1_Rektangel_i_parabel Rektangel i parabel] <math> \qquad </math> [http://52.210.62.116:1800/index.php/3.5_Extremvärdesproblem#Exempel_2_Glasskiva_.28rektangel_i_triangel.29 Glasskiva] <math> \qquad </math> [http://52.210.62.116:1800/index.php/3.5_Extremvärdesproblem#Exempel_3_Konservburk Konservburk] <math> \qquad </math>

Diskreta funktioner: <math> \qquad </math> [http://52.210.62.116:1800/index.php/1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Exempel_3_Fibonaccis_problem Kaniners fortplantning, även kallad Fibonaccis problem (Digital beräkning med Excel)]

Absolutbelopp: <math> \qquad </math> [http://52.210.62.116:1800/index.php/1.6_Absolutbelopp#N.C3.A5gra_exempel_p.C3.A5_absolutbelopp Några exempel på absolutbelopp] <math> \qquad </math> [http://52.210.62.116:1800/index.php/1.6_Absolutbelopp#Ekvationer_med_absolutbelopp Ekvationer med absolutbelopp] <math> \qquad </math> [http://52.210.62.116:1800/index.php/1.6_Fördjupning_till_Absolutbelopp#Falska_r.C3.B6tter Falska rötter]

[http://52.210.62.116:1800/index.php/Teoretisk_förklaring Teoretisk förklaring] <math> \qquad\quad\;\; </math> [http://52.210.62.116:1800/index.php/Praktisk_förklaring Praktisk förklaring] <math> \qquad\quad\;\; </math> [http://52.210.62.116:1800/index.php/Vad_som_kan_h%C3%A4nda_om_man_%C3%A4nd%C3%A5_dividerar_med_0 Vad som kan hända om man ändå gör det]

[http://52.210.62.116:1800/index.php/Formulering_&_ledning_för_mattenöten Formulering & ledning] <math> \qquad </math> [http://52.210.62.116:1800/index.php/Lösning_till_mattenöten Lösning] <math> \qquad </math> [http://52.210.62.116:1800/index.php/Svar_till_mattenöten Svar]

</td>

</tr>
</table>
</div>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2019 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner

2025-06-12T10:28:28Z

Taifun: