Övningar till Logaritmlagarna - Versionshistorik

Taifun den 13 mars 2017 kl. 11.00

2017-03-13T11:00:50Z

Taifun den 13 mars 2017 kl. 10.57

2017-03-13T10:57:44Z

Taifun den 13 mars 2017 kl. 10.55

2017-03-13T10:55:30Z

Taifun den 13 mars 2017 kl. 10.48

2017-03-13T10:48:06Z

Taifun den 13 mars 2017 kl. 10.30

2017-03-13T10:30:20Z

Taifun den 13 mars 2017 kl. 10.24

2017-03-13T10:24:02Z

Taifun den 13 mars 2017 kl. 10.04

2017-03-13T10:04:11Z

Taifun den 12 mars 2017 kl. 17.43

2017-03-12T17:43:58Z

Taifun: /* Övning 5 */

2017-03-12T17:40:41Z

‎Övning 5

Taifun den 12 mars 2017 kl. 17.37

2017-03-12T17:37:07Z

@@ Rad 350: / Rad 350: @@
 {{#NAVCONTENT:Svar 7|1.7 Svar 7|Lösning 7|1.7 Lösning 7}}
 <!-- Appens fullständiga lösning:
-En värdeminskning på | 17\% | innebär en förändringsfaktor (FF) på | 1 - 0,17 = 0,83\, |.
+Från modellen:
 <br><br>
-Vi inför följande beteckningar:
+| \quad \begin{align}       42,5 \cdot (1,028)\,^x & = 63,7 \cdot (1,003)\,^x \quad & &\;| \; /\,42,5\,/\,(1,003)\,^x \\
-<br><br>
+                  {(1,028)\,^x \over (1,003)\,^x} & = {63,7 \over 42,5}    \\
-| \qquad x =\, | Antal år efter inköpet
+               \left({1,028 \over 1,003}\right)^x & = {63,7 \over 42,5}  \quad & &\;| \; \lg\,(\,\cdot\,)  \\
-<br><br>
+          \lg\left({1,028 \over 1,003}\right)^x & = \lg\left({63,7 \over 42,5}\right)  \\
-| \qquad y =\, | Bilens aktuella värde
+     x\cdot \lg\left({1,028 \over 1,003}\right) & = \lg\left({63,7 \over 42,5}\right)  \\
-<br><br>
+                                       x & = {\lg\left({63,7 \over 42,5}\right) \over \lg\left({1,028 \over 1,003}\right)} \\
-Så kan vi ställa upp följande modell för bilens värdeminskning:
+                                       x & = 16,4373
-<br><br>
+         \end{align} |
-| \quad  y = 325\,000 \cdot (0,83)\,^x |
-<br><br>
-Därav får man följande ekvation genom att sätta y till | 100\,000 | kr:
-<br><br>
-| \quad  100\,000 = 325\,000 \cdot (0,83)\,^x |
-<br><br>
-Lösningen:
-<br><br>
-| \quad \begin{align} 325\,000 \cdot (0,83)\,^x & = 100\,000 & &\;| \; /\,325\,000              \\
-                                     (0,83)\,^x & = {100 \over 325}                   \quad  & &\;| \;\lg\,(\,\cdot\,) \\
-                              \lg\,((0,83)\,^x) & = \lg\,\left({100 \over 325}\right) \quad  & &: \;\text{Logaritmlag 3 i VL} \\
-                              x \cdot \lg(0,83) & = \lg \,\left({100 \over 325}\right)  \\
-                                              x & = {\lg \,\left({100 \over 325}\right) \over \lg(0,83)} \\
-                                              x & = 6,32565
          \end{align}|
 <br><br>
 För att omvandla decimaldelen till månader måste den multipliceras med | \, 12\, |:
 <br><br>
-| \quad  0,32565 \cdot 12 \, = \, 3,91 |
+| \qquad 0,4373 \cdot 12 = 5,25 |
 <br><br>
-Detta blir avrundat | \, 4\, | månader. Därför:
+Detta blir avrundat | 5\, | månader. Därför:
 <br><br>
-Bilens värde har minskat till |100\,000| efter | \, 6\, | år och | \, 4\, | månader.
+Det tar | \, 16\, | år och | \, 5 \, | månader tills båda länderna har lika många invånare.
 -->
 </div>

← Äldre version		Versionen från 13 mars 2017 kl. 10.57
Rad 349:		Rad 349:

	{{#NAVCONTENT:Svar 7\|1.7 Svar 7\|Lösning 7\|1.7 Lösning 7}}		{{#NAVCONTENT:Svar 7\|1.7 Svar 7\|Lösning 7\|1.7 Lösning 7}}
		+
		+	<!-- Appens fullständiga lösning:
		+	En värdeminskning på \| 17\% \| innebär en förändringsfaktor (FF) på \| 1 - 0,17 = 0,83\, \|.
		+	<br><br>
		+	Vi inför följande beteckningar:
		+	<br><br>
		+	\| \qquad x =\, \| Antal år efter inköpet
		+	<br><br>
		+	\| \qquad y =\, \| Bilens aktuella värde
		+	<br><br>
		+	Så kan vi ställa upp följande modell för bilens värdeminskning:
		+	<br><br>
		+	\| \quad y = 325\,000 \cdot (0,83)\,^x \|
		+	<br><br>
		+	Därav får man följande ekvation genom att sätta y till \| 100\,000 \| kr:
		+	<br><br>
		+	\| \quad 100\,000 = 325\,000 \cdot (0,83)\,^x \|
		+	<br><br>
		+	Lösningen:
		+	<br><br>
		+	\| \quad \begin{align} 325\,000 \cdot (0,83)\,^x & = 100\,000 & &\;\| \; /\,325\,000 \\
		+	(0,83)\,^x & = {100 \over 325} \quad & &\;\| \;\lg\,(\,\cdot\,) \\
		+	\lg\,((0,83)\,^x) & = \lg\,\left({100 \over 325}\right) \quad & &: \;\text{Logaritmlag 3 i VL} \\
		+	x \cdot \lg(0,83) & = \lg \,\left({100 \over 325}\right) \\
		+	x & = {\lg \,\left({100 \over 325}\right) \over \lg(0,83)} \\
		+	x & = 6,32565
		+	\end{align}\|
		+	<br><br>
		+	För att omvandla decimaldelen till månader måste den multipliceras med \| \, 12\, \|:
		+	<br><br>
		+	\| \quad 0,32565 \cdot 12 \, = \, 3,91 \|
		+	<br><br>
		+	Detta blir avrundat \| \, 4\, \| månader. Därför:
		+	<br><br>
		+	Bilens värde har minskat till \|100\,000\| efter \| \, 6\, \| år och \| \, 4\, \| månader.
		+	-->
	</div>		</div>

← Äldre version		Versionen från 13 mars 2017 kl. 10.55
Rad 282:		Rad 282:

	{{#NAVCONTENT:Svar 6a\|1.7 Svar 6a\|Lösning 6a\|1.7 Lösning 6a\|Svar 6b\|1.7 Svar 6b\|Lösning 6b\|1.7 Lösning 6b\|Svar 6c\|1.7 Svar 6c\|Lösning 6c\|1.7 Lösning 6c}}		{{#NAVCONTENT:Svar 6a\|1.7 Svar 6a\|Lösning 6a\|1.7 Lösning 6a\|Svar 6b\|1.7 Svar 6b\|Lösning 6b\|1.7 Lösning 6b\|Svar 6c\|1.7 Svar 6c\|Lösning 6c\|1.7 Lösning 6c}}
		+
		+	<!-- Appens fullständiga lösning:
		+	En värdeminskning på \| 17\% \| innebär en förändringsfaktor (FF) på \| 1 - 0,17 = 0,83\, \|.
		+	<br><br>
		+	Vi inför följande beteckningar:
		+	<br><br>
		+	\| \qquad x =\, \| Antal år efter inköpet
		+	<br><br>
		+	\| \qquad y =\, \| Bilens aktuella värde
		+	<br><br>
		+	Så kan vi ställa upp följande modell för bilens värdeminskning:
		+	<br><br>
		+	\| \quad y = 325\,000 \cdot (0,83)\,^x \|
		+	<br><br>
		+	Därav får man följande ekvation genom att sätta y till \| 100\,000 \| kr:
		+	<br><br>
		+	\| \quad 100\,000 = 325\,000 \cdot (0,83)\,^x \|
		+	<br><br>
		+	Lösningen:
		+	<br><br>
		+	\| \quad \begin{align} 325\,000 \cdot (0,83)\,^x & = 100\,000 & &\;\| \; /\,325\,000 \\
		+	(0,83)\,^x & = {100 \over 325} \quad & &\;\| \;\lg\,(\,\cdot\,) \\
		+	\lg\,((0,83)\,^x) & = \lg\,\left({100 \over 325}\right) \quad & &: \;\text{Logaritmlag 3 i VL} \\
		+	x \cdot \lg(0,83) & = \lg \,\left({100 \over 325}\right) \\
		+	x & = {\lg \,\left({100 \over 325}\right) \over \lg(0,83)} \\
		+	x & = 6,32565
		+	\end{align}\|
		+	<br><br>
		+	För att omvandla decimaldelen till månader måste den multipliceras med \| \, 12\, \|:
		+	<br><br>
		+	\| \quad 0,32565 \cdot 12 \, = \, 3,91 \|
		+	<br><br>
		+	Detta blir avrundat \| \, 4\, \| månader. Därför:
		+	<br><br>
		+	Bilens värde har minskat till \|100\,000\| efter \| \, 6\, \| år och \| \, 4\, \| månader.
		+	-->
	</div>		</div>

← Äldre version		Versionen från 13 mars 2017 kl. 10.48
Rad 300:		Rad 300:

	Hur lång tid tar det tills båda länderna har lika många invånare? Ange svaret i antal år och avrundat antal månader.		Hur lång tid tar det tills båda länderna har lika många invånare? Ange svaret i antal år och avrundat antal månader.
		+	<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 20 (0/2/3) År 16 Månader 5
		+	Landet A hade år 1990 \| \, 42,5 \, \| miljoner invånare med en tillväxttakt på \| \, 2,8\,\% \, \| per år.
		+	<br><br>
		+	Landet B hade samma år \| \, 63,7 \, \| miljoner invånare med en tillväxttakt på \| \, 0,3\,\% \, \| per år.
		+	<br><br>
		+	Man antar att befolkningstillväxten i dessa länder är exponentiell.
		+	<br><br>
		+	Hur lång tid tar det tills båda länderna har lika många invånare?
		+	<br><br>
		+	Ange svaret i antal år och avrundat antal månader.
		+	-->

	{{#NAVCONTENT:Svar 7\|1.7 Svar 7\|Lösning 7\|1.7 Lösning 7}}		{{#NAVCONTENT:Svar 7\|1.7 Svar 7\|Lösning 7\|1.7 Lösning 7}}

@@ Rad 293: / Rad 293: @@
 == <b>Övning 7</b> ==
 <div class="ovnA">
-Landet A hade år 1990 <math> \, 42,5 \, </math> miljoner invånare med en tillväxttakt på 2,8% per år.
+Landet A hade år 1990 <math> \, 42,5 \, </math> miljoner invånare med en tillväxttakt på <math> \, 2,8\,\% \, </math> per år.
 Landet B hade samma år <math> \, 63,7 \, </math> miljoner invånare med en tillväxttakt på 0,3% per år.

@@ Rad 256: / Rad 256: @@
 Ange svaret med 6 decimalers noggrannhet.
 -->
 {{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.7 Svar 5a|Lösning 5a|1.7 Lösning 5a|Svar 5b|1.7 Svar 5b|Lösning 5b|1.7 Lösning 5b|Svar 5c|1.7 Svar 5c|Lösning 5c|1.7 Lösning 5c}}
@@ Rad 274: / Rad 273: @@
 c) &nbsp; Efter hur många år och månader är bilens värde <math> \, 100\,000 \, </math>?
 {{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.7 Svar 6a|Lösning 6a|1.7 Lösning 6a|Svar 6b|1.7 Svar 6b|Lösning 6b|1.7 Lösning 6b|Svar 6c|1.7 Svar 6c|Lösning 6c|1.7 Lösning 6c}}

@@ Rad 264: / Rad 264: @@
 == <b>Övning 6</b> ==
 <div class="ovnC">
-En ny bil köptes för <math> \, 325\,000 \, </math> kr. Värdeminskningen är exponentiell och uppskattas till 17% per år.
+En ny bil köptes för <math> \, 325\,000 \, </math> kr. Värdeminskningen är exponentiell och uppskattas till <math> \, 17\,\% \, </math> per år.

@@ Rad 249: / Rad 249: @@
 c) &nbsp; <math> \lg\,(x+1) \, + \, \lg\,(x-1) \; = \; \lg\,3 \, - \, \lg\,4 </math>
-<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 18 (0/1/2) x -1,356915
+<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 18 (0/1/2) x 1,322876
 Lös ekvationen:
 <br><br>
-| 2 \cdot 3\,^x \; = \; 4 \cdot 5\,^x |
+| \lg\,(x+1) \, + \, \lg\,(x-1) \; = \; \lg\,3 \, - \, \lg\,4 |
 <br><br>
 Ange svaret med 6 decimalers noggrannhet.
@@ Rad 260: / Rad 260: @@
 {{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.7 Svar 5a|Lösning 5a|1.7 Lösning 5a|Svar 5b|1.7 Svar 5b|Lösning 5b|1.7 Lösning 5b|Svar 5c|1.7 Svar 5c|Lösning 5c|1.7 Lösning 5c}}
 </div>
 == <b>Övning 6</b> ==

← Äldre version		Versionen från 12 mars 2017 kl. 17.37
Rad 239:		Rad 239:

	b)   <math> 2 \cdot 3\,^x \; = \; 4 \cdot 5\,^x </math>		b)   <math> 2 \cdot 3\,^x \; = \; 4 \cdot 5\,^x </math>
		+	<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 17 (0/1/2) x -1,356915
		+	Lös ekvationen:
		+	<br><br>
		+	\| 2 \cdot 3\,^x \; = \; 4 \cdot 5\,^x \|
		+	<br><br>
		+	Ange svaret med 6 decimalers noggrannhet.
		+	-->