2.3a Lösning 11 - Versionshistorik

Taifun den 19 oktober 2017 kl. 22.51

2017-10-19T22:51:49Z

2017-10-19T22:49:11Z

2017-10-19T22:48:55Z

2017-10-19T22:48:01Z

2017-10-19T22:46:40Z

2017-10-19T22:46:14Z

2014-09-30T11:24:45Z

2014-09-30T11:24:00Z

2014-09-30T11:15:38Z

2014-09-30T09:52:13Z

@@ Rad 3: / Rad 3: @@
 :<math> x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x} \,=\, {(x - \sqrt{x^2 - x}) \cdot (x + \sqrt{x^2 - x}) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \,=\, {x^2 - (x^2 - x) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \, = \, </math>
-:<math> \qquad\qquad\qquad\;\;\; = \, {x \over x + \sqrt{x^2 - x}} </math>
+:<math> \qquad\qquad\qquad\;\; = \, {x \over x + \sqrt{x^2 - x}} </math>
 Sedan fortsätter vi med att förenkla uttrycket genom att förkorta det med <math> x \, </math>:

@@ Rad 7: / Rad 7: @@
 Sedan fortsätter vi med att förenkla uttrycket genom att förkorta det med <math> x \, </math>:
-:<math> \begin{array}{rcl} displaystyle{x \over x + \sqrt{x^2 - x}} & = & {x/x \over x/x + \displaystyle{ {\sqrt{x^2 - x} \over x}} }\,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ {\sqrt{x^2 - x\over x^2} }} } \,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{{x^2 \over x^2} - {x \over x^2} }} } \,=\, \\
+:<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle{x \over x + \sqrt{x^2 - x}} & = & {x/x \over x/x + \displaystyle{ {\sqrt{x^2 - x} \over x}} }\,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ {\sqrt{x^2 - x\over x^2} }} } \,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{{x^2 \over x^2} - {x \over x^2} }} } \,=\, \\
                                                          & = & {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{1 - {1 \over x}}} }
 \end{array}</math>

@@ Rad 7: / Rad 7: @@
 Sedan fortsätter vi med att förenkla uttrycket genom att förkorta det med <math> x \, </math>:
-:<math> \begin{array}{rcl} {x \over x + \sqrt{x^2 - x}} & = & {x/x \over x/x + \displaystyle{ {\sqrt{x^2 - x} \over x}} }\,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ {\sqrt{x^2 - x\over x^2} }} } \,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{{x^2 \over x^2} - {x \over x^2} }} } \,=\, \\
+:<math> \begin{array}{rcl} displaystyle{x \over x + \sqrt{x^2 - x}} & = & {x/x \over x/x + \displaystyle{ {\sqrt{x^2 - x} \over x}} }\,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ {\sqrt{x^2 - x\over x^2} }} } \,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{{x^2 \over x^2} - {x \over x^2} }} } \,=\, \\
                                                          & = & {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{1 - {1 \over x}}} }
 \end{array}</math>

@@ Rad 3: / Rad 3: @@
 :<math> x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x} \,=\, {(x - \sqrt{x^2 - x}) \cdot (x + \sqrt{x^2 - x}) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \,=\, {x^2 - (x^2 - x) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \, = \, </math>
-:<math> \qquad\qquad\qquad\quad = \, {x \over x + \sqrt{x^2 - x}} </math>
+:<math> \qquad\qquad\qquad\;\;\; = \, {x \over x + \sqrt{x^2 - x}} </math>
 Sedan fortsätter vi med att förenkla uttrycket genom att förkorta det med <math> x \, </math>:

@@ Rad 3: / Rad 3: @@
 :<math> x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x} \,=\, {(x - \sqrt{x^2 - x}) \cdot (x + \sqrt{x^2 - x}) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \,=\, {x^2 - (x^2 - x) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \, = \, </math>
-:<math> \qquad\qquad = \, {x \over x + \sqrt{x^2 - x}} </math>
+:<math> \qquad\qquad\qquad\quad = \, {x \over x + \sqrt{x^2 - x}} </math>
 Sedan fortsätter vi med att förenkla uttrycket genom att förkorta det med <math> x \, </math>:

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
 Vi förenklar uttrycket i limes först genom att förlänga det med konjugatet:
-:<math> x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x} \,=\, {(x - \sqrt{x^2 - x}) \cdot (x + \sqrt{x^2 - x}) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \,=\, {x^2 - (x^2 - x) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \,=\, {x \over x + \sqrt{x^2 - x}} </math>
+:<math> x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x} \,=\, {(x - \sqrt{x^2 - x}) \cdot (x + \sqrt{x^2 - x}) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \,=\, {x^2 - (x^2 - x) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \, = \, </math>
 Sedan fortsätter vi med att förenkla uttrycket genom att förkorta det med <math> x \, </math>:

← Äldre version		Versionen från 30 september 2014 kl. 11.24
Rad 11:		Rad 11:
	Nu kan vi beräkna gränsvärdet:		Nu kan vi beräkna gränsvärdet:

−	:<math> \lim_{x \to \infty}\,(\,x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x}\,) \,=\, \lim_{x \to \infty}\,{1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{1 - {1 \over x}}} } \,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{1 - 0}} } \,=\, 1 \over 2 </math>	+	:<math> \lim_{x \to \infty}\,(\,x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x}\,) \,=\, \lim_{x \to \infty}\,{1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{1 - {1 \over x}}} } \,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{1 - 0}} } \,=\, {1 \over 2} </math>