3.2 Lokala maxima och minima - Versionshistorik

Taifun den 11 januari 2019 kl. 09.53

2019-01-11T09:53:27Z

Taifun den 11 januari 2019 kl. 09.50

2019-01-11T09:50:11Z

Taifun den 11 januari 2019 kl. 09.45

2019-01-11T09:45:53Z

Taifun den 11 januari 2019 kl. 09.43

2019-01-11T09:43:15Z

Taifun den 11 januari 2019 kl. 09.41

2019-01-11T09:41:14Z

Taifun den 11 januari 2019 kl. 09.33

2019-01-11T09:33:02Z

Taifun den 11 januari 2019 kl. 09.32

2019-01-11T09:32:14Z

Taifun den 11 januari 2019 kl. 09.30

2019-01-11T09:30:11Z

Taifun den 11 januari 2019 kl. 09.28

2019-01-11T09:28:32Z

Taifun den 11 januari 2019 kl. 08.37

2019-01-11T08:37:45Z

@@ Rad 393: / Rad 393: @@
 :Andraderivatan är negativ för <math> t_2 = 4 \, </math>. Slutsats<span style="color:black">:</span> <math> V(t) \, </math> har ett <b><span style="color:red">maximum</span></b> i <math> t_2 = 4 \, </math>.
-:Alltså har företaget sin största vinst <math> \, t_2 = 4 \, </math> år efter årsskiftet 2009/2010, dvs vid årsskiftet 2013/2014.
+:Alltså har företaget sin största vinst <math> \, 4 \, </math> år efter årsskiftet 2009/2010, dvs vid årsskiftet 2013/2014.
 ----
@@ Rad 492: / Rad 492: @@
 :Resultatet är förstås det samma som i '''b) forts. med andraderivata''':
-:Företaget har sin största vinst efter <math> \, t_2 \, = \, t_{max} \, = \, 4 \, </math> år efter årsskiftet 2009/2010, dvs vid årsskiftet 2013/2014.
+:Företaget har sin största vinst <math> \, t_2 \, = \, t_{max} \, = \, 4 \, </math> år efter årsskiftet 2009/2010, dvs vid årsskiftet 2013/2014.
 </small></div>

@@ Rad 393: / Rad 393: @@
 :Andraderivatan är negativ för <math> t_2 = 4 \, </math>. Slutsats<span style="color:black">:</span> <math> V(t) \, </math> har ett <b><span style="color:red">maximum</span></b> i <math> t_2 = 4 \, </math>.
-:Alltså har företaget sin största vinst efter <math> t_2 = 4 \, </math> år efter årsskiftet 2009/2010, dvs vid årsskiftet 2013/2014.
+:Alltså har företaget sin största vinst <math> \, t_2 = 4 \, </math> år efter årsskiftet 2009/2010, dvs vid årsskiftet 2013/2014.
 ----

@@ Rad 283: / Rad 283: @@
            \end{array}</math>
-&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; För att avgöra om <math> \, x = 5 \, </math> är ett maximum eller ett minimum kräver regeln andraderivatans tecken.
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; För att avgöra om <math> \, x = 5 \, </math> är ett maximum eller ett minimum kräver regeln <b><span style="color:red">andraderivatans tecken</span></b>.
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Därför sätter vi <math> \, x = 5 \, </math> in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ<span style="color:black">:</span>

@@ Rad 283: / Rad 283: @@
            \end{array}</math>
-&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Derivatan blir <math> \, 0 \, </math> för <math> \, x = 5 </math>. För att avgöra om <math> \, x = 5 \, </math> är ett maximum eller ett minimum kräver regeln andraderivatans tecken.
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; För att avgöra om <math> \, x = 5 \, </math> är ett maximum eller ett minimum kräver regeln andraderivatans tecken.
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Därför sätter vi <math> \, x = 5 \, </math> in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ<span style="color:black">:</span>

@@ Rad 275: / Rad 275: @@
-b) &nbsp; [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_andraderivatan|<b><span style="color:blue">Reglerna om max/min med andraderivatan</span></b>]] kräver derivatans nollställe. Vi tar över <math> \, x = 5 \, </math> från '''Lösning med teckenstudie''' och bekräftar<span style="color:black">:</span>
+b) &nbsp; [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_andraderivatan|<b><span style="color:blue">Reglerna om max/min med andraderivatan</span></b>]] kräver derivatans nollställe. Därför sätter vi derivatan till <math> \, 0 \, </math><span style="color:black">:</span>
-::::<math> f(x) = 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 </math>
+::::<math>\begin{array}{rcrcl}  f(x)  & = & 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7    \\
+                                f'(x) & = & 0,48\,x - 2,4 & = & 0     \\
-::::<math> f'(x) = 0,48\,x - 2,4 </math>
+                                      &   & 0,48\,x       & = & 2,4   \\
+                                      &   &       x       & = & \displaystyle {2,4 \over 0,48} \quad = \quad 5
-::::<math> f' (5) = 0,48\cdot 5 - 2,4 = 0 </math>
+          \end{array}</math>
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Derivatan blir <math> \, 0 \, </math> för <math> \, x = 5 </math>. För att avgöra om <math> \, x = 5 \, </math> är ett maximum eller ett minimum kräver regeln andraderivatans tecken.

@@ Rad 229: / Rad 229: @@
 '''Bilden till höger''' visar att andraderivatan i <math> \, x = 2 </math>, där derivatan växer, är positiv, vilket enligt regeln ovan innebär ett minimum för <math> \, f(x) </math>. Detta bekräftas av funktionens graf till vänster. I <math> \, x = 4 </math>, där derivatan avtar, är andraderivatan negativ, enligt regeln ett maximum. Även detta ser man i funktionens graf.
----
+----
 <math> {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; f\,'(a) = f\,''(a) = 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \; </math> har varken maximum eller minimum i <math> \; x = a </math>.
@@ Rad 237: / Rad 237: @@
 <math> \qquad\quad\; </math> Med andra ord<span style="color:black">:</span> <math> \, f(x) \, </math> kan ha ett maximum eller ett minimum i <math> \, x = a </math>, även om <math> \, f\,'(a) = f\,''(a) = 0 </math>, se [[3.4_Övningar_till_Kurvkonstruktioner#.C3.96vning_6|<b><span style="color:blue">3.4 övning 6</span></b>]].
----
+----
 För att demonstrera regeln ovan tar vi samma [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Exempel_1_Vinternattens_kallaste_tidpunkt_med_teckenstudie|<b><span style="color:blue">exempel</span></b>]] som behandlades tidigare, bibehåller frågeställningen, men byter lösningsmetod:

@@ Rad 218: / Rad 218: @@
 Om <math> \, f\,'(a) = f\,''(a) = 0 \, </math> kan endast en korrekt&nbsp; [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_teckenstudie|<b><span style="color:blue">teckenstudie</span></b>]]&nbsp; eller [[3.3_Terasspunkter|<b><span style="color:blue"><math> \, f\,'''(a) \, </math></span></b>]] avgöra saken.<br>
 </div>
 ==== <b><span style="color:#931136">Förklaring:</span></b> ====
@@ Rad 229: / Rad 228: @@
 '''Bilden till höger''' visar att andraderivatan i <math> \, x = 2 </math>, där derivatan växer, är positiv, vilket enligt regeln ovan innebär ett minimum för <math> \, f(x) </math>. Detta bekräftas av funktionens graf till vänster. I <math> \, x = 4 </math>, där derivatan avtar, är andraderivatan negativ, enligt regeln ett maximum. Även detta ser man i funktionens graf.
 <math> {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; f\,'(a) = f\,''(a) = 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \; </math> har varken maximum eller minimum i <math> \; x = a </math>.
@@ Rad 235: / Rad 235: @@
 <math> \qquad\quad\; </math> Med andra ord<span style="color:black">:</span> <math> \, f(x) \, </math> kan ha ett maximum eller ett minimum i <math> \, x = a </math>, även om <math> \, f\,'(a) = f\,''(a) = 0 </math>, se [[3.4_Övningar_till_Kurvkonstruktioner#.C3.96vning_6|<b><span style="color:blue">3.4 övning 6</span></b>]].
 För att demonstrera regeln ovan tar vi samma [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Exempel_1_Vinternattens_kallaste_tidpunkt_med_teckenstudie|<b><span style="color:blue">exempel</span></b>]] som behandlades tidigare, bibehåller frågeställningen, men byter lösningsmetod:

← Äldre version		Versionen från 11 januari 2019 kl. 08.37
Rad 549:		Rad 549:


−	[[Matte:Copyrights\|Copyright]] © 2011-~~2018~~ Taifun Alishenas. All Rights Reserved.	+	[[Matte:Copyrights\|Copyright]] © 2011-2019 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.