Visa källkod för Kapitel 5 Trigonometri

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
{{Not selected tab|[[Kapitel 4 Integraler| <<&nbsp;&nbsp;Förra kapitel]]}}
{{Selected tab|[[Kapitel 5 Trigonometri|Kap 5 Trigonometri]]}}
{{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3 Trig.pdf|Formelsamling Trigonometri]]}}
{{Not selected tab|[[Matte 3c Planering|Planering Matte 3c]]}}
{{Not selected tab|[[Diagnosprov kap 4 och 5 Integraler och Trigonometri|Diagnos kap 4-5 Integr. & Trigon.]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
|}

<big>
<br>
Detta kapitels övningar finns inte på webben (pga tidsbrist). Därför:

Läs igenom genomgångarna här, men använd för övningarna boken <i>Matematik 5000</i>.

== <b><span style="color:#931136">Utdrag ur planeringen:</span></b> ==
<br>
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 30px;"> [[Image: Planering_Integr_Rubrik_2019_800a.jpg]] </div>
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 30px;"> [[Image: Planering_Trigonometri_2019_800.jpg]] </div>
<br>
== <b><span style="color:#931136">Lektion 34: &nbsp; 5.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar <math> \qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: &nbsp; Boken, sid 208</small></small></span></b> ==
<br>
<big><b><span style="color:#931136">Tangens för <math> \, v \, < \, 90^\circ </math></span></b></big>
<table>
<tr>
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 1 Tangens_55.jpg]] </div>


<div class="ovnA">
<big>{{#NAVCONTENT:Flera exempel på tangens|Exempel på tangens}}</big>
</div>
</td>
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 20px;"> [[Image: 2 Tangensproblemet_55.jpg]] </div>





&nbsp;&nbsp;<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 12px;"> [[Image: 3 OmvantProblem_55.jpg]] </div>
</td>
</tr>
</table>


<big><b><span style="color:#931136">Sinus och Cosinus för <math> \, v \, < \, 90^\circ </math></span></b></big>

<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 5 SinusCosinus_55.jpg]] </div>
<br>
== <b><span style="color:#931136">Lektion 35: &nbsp; 5.2 Exakta trigonometriska värden / Enhetscirkeln <math> \;\; </math> <small><small>Övningar: &nbsp; Boken, sid 209 / 210</small></small></span></b> ==
<br>
<big><b><span style="color:#931136">Två speciella vinklar<span style="color:black">:</span> <math> \, 45^\circ \, </math> och <math> \, 60^\circ \, </math> </span></b></big>

Pythagoras satsen används på halva kvadraten med sidan <math> \, 1 \, </math> för att få diagonalen <math> \, \sqrt{2} </math>. Sedan bestäms <math> \, \sin 45^\circ \, </math> och <math> \, \tan 45^\circ </math><span style="color:black">:</span>

<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 6_Exakta_trig_varden_45_60.jpg]] </div>

På liknande sätt används Pythagoras på halva liksidiga triangeln med sidan <math> \, 2 \, </math> för att få höjden <math> \, \sqrt{3} </math>. Sedan bestäms <math> \, \sin 60^\circ </math> och <math> \, \cos 60^\circ </math>.

"Exakt" betyder: Gå inte över till decimaltal, dvs:

::* &nbsp;&nbsp; Bibehåll bråk med endast heltal i täljare och nämnare,
::* &nbsp;&nbsp; Bibehåll rötter som inte ger heltal.

En konsekvens blir att inte ens rötter ska stå kvar i bråkens nämnare. Ta upp dem genom förlängning med <math> \, \sqrt{{\color{White} {\cdots}}}  </math>, t.ex.<span style="color:black">:</span>

::<math> \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \, = \, \frac{1 \, \cdot \, {\color{Red} {\sqrt{2}}}}{\sqrt{2} \cdot {\color{Red} {\sqrt{2}}}} \, = \, \frac{\sqrt{2}}{2} \, = \, \frac{1}{2} \, \sqrt{2} </math>

                              
<big><b><span style="color:#931136">Ytterligare exakta trigonometriska värden </span></b></big>

Andra geometriska satser ger följande exakta värden<span style="color:black">:</span>

<div style="border:0px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 6_Exakta_trig_varden.jpg]] </div>


<big><b><span style="color:#931136">Enhetscirkeln</span></b></big>

''Cirkel'' <math> \, = \, </math> Mängden av alla punkter som har samma avstånd (radien <math> \, r \, </math>) från en punkt (medelpunkten <math> \, M \, </math>).

Cirkelns ekvation:

<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 7_Cirkelns_ekvation_70.jpg]] </div>


''Enhetscirkeln'' är cirkeln med radien <math> \, r \, = \, 1 \, </math> och medelpunkten <math> \, M \, = \, O \, </math> (origo).

Om en punkt <math> \, P\,(x, y) \, </math> snurrar på enhetscirkeln och <math> \, v \, </math> är vinkeln mellan <math> \, x</math>-axeln och <math> \, \overline{OP} </math>, så gäller<span style="color:black">:</span>
<table>
<tr>
  <td><div style="border:0px solid black;display:inline-table;margin-left: 25px;"> [[Image: 7_Enhetscirkeln.jpg]] </div>
</td>
  <td><math> \qquad\qquad\quad </math>
</td>
  <td><div class="border-divblue">
<math>\begin{array}{rcl}  x & = & \cos v  \\
                          y & = & \sin v
      \end{array}</math></div>







</td>
</tr>
</table>
I cirklar med radien <math> \, r \, > \, 1 \, </math> förblir vinkeln <math> \, v \, </math> den samma och därmed <math> \, \cos v = \displaystyle \frac{r \cdot \; x}{r} = x \, </math> och <math> \, \sin v = \displaystyle \frac{r \cdot \; y}{r} = y </math>, precis som ovan.

Detta används för att definiera de trigonometriska funktionerna i godtyckliga trianglar, dvs för vinklar <math> \, v \, \geq \, 90^\circ \, </math>.


== <b><span style="color:#931136">Lektion 36: &nbsp; 5.3 Godtyckliga trianglar <math> \qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: &nbsp; Boken, sid 215 </small></small></span></b> ==
<br>
<big><b><span style="color:#931136">Sinus och Cosinus för vinklar i intervallet<span style="color:#931136">:</span> <math> \quad 90^\circ \, \leq \, v \, \leq \, 180^\circ </math> </span></b></big>

Exempel<span style="color:black">:</span>
:::<math> \sin 150^\circ \, = \, \sin (180^\circ - 30^\circ) \, = \, \sin 30^\circ \, = \, \frac{1}{2} </math>
:::<math> \cos 120^\circ \, = \, \cos (180^\circ - 60^\circ) \, = \, -\cos 60^\circ \, = \, -\frac{1}{2} </math>
Förklaring med enhetscirkeln:

Punkten till vinkeln <math> \, v \, </math> har samma <math> \, y</math>-koordinat (<math>=\sin v</math>) som punkten till vinkeln <math> \, 180-v </math>.

Punkten till vinkeln <math> \, v \, </math> har samma <math> \, x</math>-koordinat (<math>=\cos v</math>) som punkten till vinkeln <math> \, 180-v \, </math> med omvänt tecken.
<table>
<tr>
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 8 Godtyckliga trianglar_400.jpg]] </div>
</td>
  <td><big><b> &nbsp;&nbsp; <span style="color:#931136">Ekvationer</span>&nbsp;&nbsp; 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <span style="color:#931136">med</span>

&nbsp;&nbsp; <span style="color:#931136">Sin & Cos:</span></b></big>





























</td>
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 9 Ex Godtyckliga vinklar_400.jpg]] </div>
</td>
</tr>
</table>


<big><b><span style="color:#931136">Sinus, Cosinus och Tangens för alla vinklar</span></b></big>
<table>
<tr>
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 10 Alla vinklar_400.jpg]] </div>




</td>
  <td><big><b> &nbsp; <span style="color:#931136">En gång till</span>&nbsp;&nbsp; 

&nbsp;&nbsp; <span style="color:#931136">Sin & Cos</span>

&nbsp;&nbsp;<span style="color:#931136">för <math> v \geq 90^\circ </math></span>

&nbsp;&nbsp;&nbsp;<span style="color:#931136">i trianglar:</span></b></big>



























</td>
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 10a En gang till Sin Cos 400.jpg]] </div>


</td>
</tr>
</table>

<div class="border-divblue">En <b><span style="color:red">sinus</span></b>ekvation har i intervallet <math> \, 0^\circ \leq v \leq 180^\circ \, </math> alltid <b><span style="color:red">två</span></b> lösningar.<br><br>
En cosinusekvation har i samma intervall endast en lösning.</div>


== <b><span style="color:#931136">Lektion 37: &nbsp; 5.4 Triangelsatserna <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: &nbsp; Boken, sid 218 </small></small></span></b> ==


Det finns tre triangelsatser: <b><span style="color:#931136">Areasatsen</span></b>, <b><span style="color:#931136">Sinussatsen</span></b> och <b><span style="color:#931136">Cosinussatsen</span></b>.

Triangelsatsernas formulering baseras på de standardbeteckningar för trianglar som införs här:

<big><b><span style="color:#931136">Areasatsen</span></b></big>

<u>Givet:</u> <math> \quad </math>  Två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel.

<u>Sökt:</u> <math> \quad\, </math> Triangelns area.

<table>
<tr>
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 11 Areasatsen_400_0b.jpg]]</div>



</td>
<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
  <td>
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 11 Areasatsen_400a.jpg]]</div>

&nbsp; Areasatsen i vanliga ord (utan beteckningar):

<div class="border-divblue">En triangels area är produkten av <b><span style="color:red">två sidor</span></b>

och den <b><span style="color:red">mellanliggande vinkelns</span></b> sinus,

delad med <math> \, 2 \, </math> (<b><span style="color:red">SVS</span></b>-struktur).</div>
</td>
</tr>
</table>
<big><b><span style="color:#931136">Det omvända problemet:</span></b></big>

<u>Givet:</u> <math> \quad </math> Arean och två sidor av en triangel.

<u>Sökt:</u> <math> \quad\, </math> Den mellanliggande vinkeln <math> \, v \, </math>.
<table>
<tr>
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 11 Areasatsen_400_0c.jpg]]</div>

</td>
<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
  <td>






<div class="ovnE">
{{#NAVCONTENT:Varför två lösningar?|Varför två lösningar}}
</div>
</td>
</tr>
</table>
Det geometriska problemet har två lösningar. Areasatsen ger båda:

Areasatsen leder till en sinusekvation som pga sina två lösningar resulterar i två vinklar och därmed två trianglar.


== <b><span style="color:#931136">Lektion 38: &nbsp; 5.5 Sinussatsen <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: &nbsp; Boken, sid 220 / 224-225 </small></small></span></b> ==

<u>Givet:</u> <math> \quad </math>  Två sidor och en vinkel eller två vinklar och en sida i en triangel.

<u>Sökt:</u> <math> \quad\, </math> Triangelns tredje sida eller två andra sidor.

<table>
<tr>
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 12 Sinussatsen_400.jpg]] </div>

</td>
<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
  <td>








Sinussatsen i vanliga ord (utan beteckningar):

<div class="border-divblue">I en triangel är kvoten mellan

vinklarnas sinus och deras

motstående sidor lika stor.</div>

</td>
</tr>
</table>

==== <b><span style="color:#931136">Exempel på sinussatsen (två lösningar)</span></b> ====

<u>Givet:</u> <math> \quad </math>  Två sidor och den vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur).

<u>Sökt:</u> <math> \quad\, </math> Triangelns tredje sida.

<table>
<tr>
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 12 Sinussatsens_2_fall_400.jpg]] </div>
</td>
<td>&nbsp;&nbsp;</td>
  <td>
















<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 12 Tva trianglar.jpg]] </div>
</td>
<td>






















<div class="ovnE">
{{#NAVCONTENT:Varför två lösningar?|Varför två lösningar}}
</div>
</td>
</tr>
</table>
Att det finns två lösningar (två trianglar) beror på att problemet inte har [[Kap_5_Trigonometri#Lektion_37:_.C2.A0_5.4_Triangelsatserna_.5C.28_.5Cqquad.5Cqquad.5Cqquad.5C.3B.5C.3B_.5C.29_.C3.96vningar:_.C2.A0_Boken.2C_sid_218|<b><span style="color:blue">SVS</span></b>]]-struktur, dvs:

Triangelns två sidor <math> \, b = 27 \, </math> och <math> \, c = 35 \, </math> är givna, men inte den mellanliggande vinkeln, utan den som ligger mittemot <math> \, b </math>.


== <b><span style="color:#931136">Lektion 39: &nbsp; 5.6 Cosinussatsen <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: &nbsp; Boken, sid 229-230 </small></small></span></b> ==

<u>Givet:</u> <math> \quad </math>  Två sidor och en vinkel i en triangel.

<u>Sökt:</u> <math> \quad\, </math> Triangelns tredje sida.

<table>
<tr>
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 13 Cosinussatsen_400.jpg]] </div>

</td>
<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
  <td>







<div class="border-divblue">Cosinussatsen utvidgar Pythagoras med

en <math> \cos</math>-term som involverar högerledets

två sidor och den mellanliggande vinkeln.</div>

</td>
</tr>
</table>

Pythagoras är ett specialfall av cosinussatsen för fallet<span style="color:black">:</span> <math> \; A , B , {\rm eller\;} C \, = \, 90^\circ \; \Rightarrow \; \cos 90^\circ \, = \, 0 </math>. Då försvinner <math> \cos</math>-termen i cosinussatsen.

När två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel är givna ([[Kap_5_Trigonometri#Lektion_37:_.C2.A0_5.4_Triangelsatserna_.5C.28_.5Cqquad.5Cqquad.5Cqquad.5C.3B.5C.3B_.5C.29_.C3.96vningar:_.C2.A0_Boken.2C_sid_218|<b><span style="color:blue">SVS</span></b>]]-struktur), ger cosinussatsen den tredje sidan som roten ur högerledet: <b><span style="color:red">endast en lösning</span></b>.

När två sidor är givna samt en vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur) ger cosinussatsen en andragradsekvation som i regel har <b><span style="color:red">två lösningar</span></b>, se exemplet nedan.

<big><b><span style="color:#931136">Samma exempel som [[Kap_5_Trigonometri#Exempel_p.C3.A5_sinussatsen_.28tv.C3.A5_l.C3.B6sningar.29|<span style="color:blue">ovan</span>]], nu med cosinussatsen</span></b></big>

<div style="border:0px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 13 Ex Cosinussatsen_1_400.jpg]] </div><br>
<table>
<tr>
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 13 Ex Cosinussatsen_2_400.jpg]] </div>

</td>
<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
  <td>

























<div class="ovnE">
{{#NAVCONTENT:Varför två lösningar?|Varför två lösningar}}
</div>

</td>
</tr>
</table>

Cosinussatsen ger samma två lösningar som sinussatsen, se [[Kap_5_Trigonometri#Exempel_p.C3.A5_sinussatsen_.28tv.C3.A5_l.C3.B6sningar.29|<b><span style="color:blue">ovan</span></b>]].


== <b><span style="color:#931136">Lektion 40: &nbsp; 5.7 Användning av trigonometri <math> \qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: &nbsp; Boken, sid 232-233 </small></small></span></b> ==
<br>
<table>
<tr>
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;">[[Image: 14 Spiraltrappa_750.jpg]]</div>

</td>
  <td>



















































<div class="ovnE">
{{#NAVCONTENT:Svar|5.7 Svar fel i 5.7}}
</div>
</td>
</tr>
</table>


<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> 
<table>
<tr>
  <td>[[Image: 14_2_Balong_Uppg_450.jpg]]

::<math> \underline{\rm Lösning:} \quad {\rm Vi\;ritar\;figuren\;till\;höger\;(modellering).} </math>

::<math>{\rm Sidovinkeln} \quad u \, = \, 180^\circ - 72,5^\circ \, = \, 107,5^\circ </math>

::<math>{\rm Vinkelsumman\;i\;triangeln\;} ABC {\rm \;ger} </math>

::<math> v \, = \, 180^\circ - 56,4^\circ - 107,5^\circ\, = \, 16,1^\circ </math></td>
  <td>[[Image: 14_2_Balong_Bild_300.jpg]]</td>
</tr>
</table>
:[[Image: 14_2_Balong_Losning_450.jpg]]</div>


<table>
<tr>
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;">[[Image: 233 Uppg 4269 Femhorn 4270 Klippa-1_400.jpg]] </div>




</td>
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 20px;">[[Image: 233 Uppg 4269 Femhorn 4270 Klippa-2_400.jpg]] </div></td>
</tr>
</table>


</big>






[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.