Skillnad mellan versioner av "2.3 Gränsvärde"

Versionen från 30 augusti 2014 kl. 14.28

Lektion 12 Gränsvärde

Gränsvärde av en funktion

Exempel

Funktionen \( y = f(x) = \) \( {10 \over x\,-\,2} \) har följande graf: \( \qquad \) Fil:Ex 1 Gransvarde 70a.jpg

Vad händer med funktionen när \( {\color{Red} x} \, \) växer, både åt höger mot positiva \( \, x\)-värden och åt vänster mot negativa \( x\)-värden?

Som grafen visar närmar sig kurvan \(\, x\)-axeln utan att skära eller ens beröra den. Dessutom är funktionen kontinuerlig där hela tiden. Dvs \( f(x)\, \) blir allt mindre ju större \( x \, \) blir. Funktionen närmar sig \( 0\, \) när \( x \, \) växer utan att bli \( 0\, \) någon gång. Kurvan skär aldrig \( \, x \)-axeln. Därför har funktionen inget nollställe. Detta bekräftas av funktionsuttrycket: Täljaren är konstanten \( 10\, \) som aldrig kan bli \( 0\, \). Därför kan hela funktionsuttrycket aldrig bli \( 0\, \). Ett sätt att beskriva detta beteende är:

\[ {10 \over x\,-\,2} \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to \infty \qquad {\color{White} x} {\rm vilket\;läses\;så\;här:} {\color{White} x} \qquad {10 \over x\,-\,2} \;\, {\rm går\;mot} \;\, 0 \quad {\rm när} \quad x \;\, {\rm går\;mot} \;\, \infty \]

Det strikt matematiska sättet att uttrycka samma sak är:

\[ \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2}\,=\,0 \qquad\qquad\qquad\, {\color{White} x} {\rm vilket\;läses\;så\;här:} {\color{White} x} \quad\; {\color{White} x} {\rm Limes\;\,av} \; {10 \over x\,-\,2} \quad {\rm då} \; x \; {\rm går\;mot} \, \infty \quad {\rm är} \; 0 \, {\rm ,\;vilket\;betyder:} \]

\[ {\color{White} x} {\rm Gränsvärdet\;\,för} \; {10 \over x\,-\,2} \quad {\rm då} \; x \; {\rm går\;mot} \, \infty \quad {\rm är} \; 0 \;{\rm .}\]

Förkortningen  lim  står för det latinska ordet  Limes   som betyder gräns. Limesbegreppet är centralt i matematiken och kommer att användas i nästa avsnitt för att definiera derivatan.

Vad händer för negativa \( x\, \) ?

När man tittar på grafen kan man se att \( f(x)\, \) visar ett ganska liknande beteende när \( x \, \) går mot "stora" negativa värden, dvs när \( x \to \, {\color{Red} {- \infty}} \). För det första är även där funktionen kontinuerlig. För det andra går även där \( f(x)\, \) mot \( 0\, \) när \( x\, \) går mot \( {\color{Red} {- \infty}} \). I termer av limes karakteriseras detta så här:

\[ \lim_{x \to \, {\color{Red} {- \infty}}}\,{10 \over x - 2}\,=\,0 \]

Skillnaden är bara att nu \( f(x)\, \) närmar sig \( 0 \, \) från negativt håll (nedifrån).

Eftersom resultatet är identiskt både när \( x\, \) går mot \( \infty \) och när \( x\, \) går mot \( -\infty \), nämligen att \( f(x) \to 0 \, \), säger man:

Gränsvärdet för \( {\color{White} x} {10 \over x\,-\,2} {\color{White} x} \) då \( \,x \) går mot \( \infty {\color{White} x} \) existerar    och är \( {\color{Red} 0} \),    kort:

Gränsvärde saknas

Vi stannar hos exemplet ovan, men byter frågeställning:

Funktionen \( y = f(x) = \) \( {10 \over x\,-\,2} \) har följande graf: \( \qquad \) Fil:Ex 1 Gransvarde 70a.jpg

Vad händer med funktionen i punkten \( {\color{Red} {x = 2}}\, \)?    Kurvan skjuter i höjden å ena sidan och i "djupet" å andra sidan. Varför?

Därför att \( {10 \over x\,-\,2} \):s nämnare blir \( 0\, \) för \( x = 2\, \). Dvs \( f(x)\, \) är inte definierad för \( x = 2\, \). Följaktligen visar grafen i \( x = 2\, \) en diskontinuitet av typ oändlighetsställe. Annars är \( f(x)\, \) kontinuerlig i hela sin definitionsmängd som består av alla \( x \neq 2\, \).

Vi vill undersöka nu hur \( f(x)\, \) beter sig för \( \, x = 2 \). Hur kan man beskriva detta beteende med hjälp av limes?

Som grafen visar - och beräkningar med funktionsuttrycket bekräftar - går \( f(x)\, \) mot \( +\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från höger och mot \( -\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från vänster. Om vi uttrycker detta med pilar ser det ut så här:

\[ {10 \over x - 2} \to +\, \infty \quad {\rm när} \; x \to 2^+ \qquad {\color{White} x} {\rm och} {\color{White} x} \qquad {10 \over x - 2} \to -\, \infty \quad {\rm när} \; x \to 2^- \]

där \( x \to 2^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 2 \) från höger (\( \, x > 2 \)) och \( x \to 2^- \) att närma sig \( \, x = 2 \) från vänster (\( \, x < 2 \)).

Eftersom det finns två olika resultat beroende på om \( \, x \) går mot \( \, 2 \) från höger eller från vänster säger man:

Gränsvärdet för \( {\color{White} x} {10 \over x\,-\,2} {\color{White} x} \) då \( \,x \) går mot \( \, 2 {\color{White} x} \) existerar inte,     kort:

Att ett matematiskt objekt - i det här fallet limes - inte samtidigt (dvs inte för samma \( \,x \)) kan närma sig två olika värden är uppenbart.

Men även om en funktion skulle gå mot t.ex. \( +\,\infty \) för ett visst \( \, x\)-värde både från höger och vänster, skulle det strikt matematiskt inte vara korrekt att säga att limes av denna funktion existerar och är \( +\,\infty \), därför att \( \infty \) inte är något tal eller värde och därmed inte heller något gränsvärde.

Även i vårt exempel ovan skulle det vara strikt matematiskt korrekt att säga: Gränsvärde saknas. Ändå beskriver man ofta av bekvämlighetsskäl beteendet av \( f(x)\, \) för \( \, x = 2 \) med hjälp av limes:

\[ \lim_{x \to 2^{+}}\,{10 \over x - 2}\,=\,+\,\infty \qquad\quad {\color{White} x} {\rm och} {\color{White} x} \qquad\quad \lim_{x \to 2^{-}}\,{10 \over x - 2}\,=\,-\,\infty \]

där \( x \to 2^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 2 \) från höger (\( \, x > 2 \)) och \( x \to 2^- \) att närma sig \( \, x = 2 \) från vänster (\( \, x < 2 \)).

OBS! Av detta följer fortfarande inte att ett gränsvärde för \( 10 \over x\,-\,2 \) existerar när \( x \to 2 \), utan man ersätter framställningen med pilar som vi använde inledningsvis med att beskriva samma sak med limes istället. Av praktiska skäl föredrar man den enhetliga limesnotationen för att beskriva gränsprocesser.

Ibland kallar man gränsvärden som strikt talat inte existerar, men ändå skrivs på det ovannämnda sättet, för oegentliga gränsvärden.

Beräkning av gränsvärden

Exempel 1

Bestäm

\[ \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \]

Lösning:

För \( x = 0 \, \) är uttrycket under limes inte definierat. Därför måste vi faktorisera uttryckets täljare för att se om man ev. kan förkorta. Täljaren kan faktoriseras genom att bryta ut \( x \, \):

\[ \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \, = \, \lim_{x \to 0}\, {{\color{Red} x}\:(x + 7) \over {\color{Red} x}} \, = \, \lim_{x \to 0}\, (x + 7) \, = \, 0 + 7 \, = \, 7 \]

Exempel 2

a) Bestäm

\[ \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \]

Lösning:

För att kunna bestämma limes måste vi först forma om uttrycket under limes:

\[ {4\,x\,+\,5 \over x} = {4\,{\color{Red} x} \over {\color{Red} x}} \,+\,{5 \over x} \,=\, 4 \,+\, {5 \over x} \]

Deluttrycket \( {5 \over x} \) går mot \( 0 \) både när \( x \to +\infty \) och \( x \to -\infty \):

\[ \lim_{x \to +\infty}\, {5 \over x} \, = \, \lim_{x \to -\infty}\, {5 \over x} \, = \, 0 \]

Därför kan vi nu bestämma limes för hela uttrycket:

\[ \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, 4\,+\,0 \,= \, 4\]

b) Bestäm

\[ \lim_{x \to 0}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \]

Lösning:

\[ \lim_{x \to 0^+}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^+}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, +\infty \]

\[ \lim_{x \to 0^-}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^-}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, -\infty \]

där \( x \to 0^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 0 \) från höger (\( \, x > 0 \)) och \( x \to 0^- \) att närma sig \( \, x = 0 \) från vänster (\( \, x < 0 \)).

Svar: Gränsvärde saknas.

Exempel 3

Bestäm

\[ \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \]

Lösning:

För \( x = 2 \, \) är uttrycket under limes inte definierat. Därför måste vi faktorisera uttryckets täljare och nämnare för att se om man ev. kan förkorta. Täljaren kan faktoriseras med hjälp av konjugatreglen och nämnaren genom att bryta ut:

\[ x^2\,-\,4 = (x\,+\,2)\cdot(x\,-\,2) \]

\[ 5\,x - 10 = 5\,(x\,-\,2) \]

Nu kan vi förkorta uttrycket och bestämma limes:

\[ \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \, = \, \lim_{x \to 2}\, {(x + 2) \cdot {\color{Red} {(x-2)}} \over 5\,{\color{Red} {(x-2)}}} \, = \, \lim_{x \to 2} \, {x + 2 \over 5} \, = \, {2 + 2 \over 5} \, = \, {4 \over 5} \, = \, 0,8 \]

Exempel 4

Bestäm

\[ \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \]

Lösning:

För \( x = 2 \, \) är uttrycket under limes inte definierat. Därför måste vi faktorisera uttryckets täljare och nämnare för att se om man ev. kan förkorta. Täljaren kan faktoriseras med hjälp av konjugatreglen och nämnaren genom att bryta ut:

\[ x^2\,-\,4 = (x\,+\,2)\cdot(x\,-\,2) \]

\[ 5\,x - 10 = 5\,(x\,-\,2) \]

Nu kan vi förkorta uttrycket och bestämma limes:

\[ \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \, = \, \lim_{x \to 2}\, {(x + 2) \cdot {\color{Red} {(x-2)}} \over 5\,{\color{Red} {(x-2)}}} \, = \, \lim_{x \to 2} \, {x + 2 \over 5} \, = \, {2 + 2 \over 5} \, = \, {4 \over 5} \, = \, 0,8 \]

Exempel 5

Bestäm

\[ \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \]

Lösning:

Vi måste faktorisera täljaren för att se om man ev. kan förkorta mot nämnaren:

\[ x^2 - x - 6 = 0 \, \]

För lösningarna \( x_1\,\) och \( x_2\,\) måste enligt Vieta gälla:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-1) = 1 \\ x_1 \cdot x_2 & = - 6 \end{align}\]

Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är \( -6 \, \) och vars summa är \( 1 \, \). Med lite provande hittar man \( 3 \, \) och \( -2 \, \) eftersom \( 3 + (-2) = 1\, \) och \( 3 \cdot (-2) = -6 \).

Således:

\[ x^2 - x - 6 = (x - 3) \cdot (x + 2) \]

Nu kan vi faktorisera täljaren och förkorta mot nämnaren för att bestämma limes:

\[ \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \, = \, \lim_{x \to 3}\, {{\color{Red} {(x-3)}} \cdot (x + 2) \over {\color{Red} {(x-3)}}} \, = \, \lim_{x \to 3}\, (x + 2) \, = \, \lim_{x \to 3}\, (3 + 2) \, = \, 5 \]

Exempel 6

Bestäm

\[ \lim_{h \to 0} {(2+h)^2 - 2^2 \over h} \]

Lösning:

\[ \lim_{h \to 0} {(2+h)^2 - 2^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {(2^2 + 4\,h + h^2) - 4 \over h} = \lim_{h \to 0} {4\,h + h^2 \over h} = \]

\[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(4 + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (4 + h) = 4 \]

Exempel 7

Bestäm

\[ \lim_{h \to 0} {(x+h)^2 - x^2 \over h} \]

Lösning:

Eftersom uttrycket under limes involverar två variabler \( x\, \) och \( h\, \) kommer limes, om den existerar, inte längre vara ett tal utan ett uttryck i \( x\, \), därför att gränsvärdet ska bildas för \( h \to 0 \). Under gränsprocessen kan \( x\, \) anses som en konstant.

\[ \lim_{h \to 0} {(x+h)^2 - x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = \]

\[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(2\,x + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) = 2\,x \]

Observera att Exempel 6 är ett specialfall av Exempel 7 för \( x = 2 \, \).

Internetlänkar

https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs

https://www.youtube.com/watch?v=StP64lMXZjA

https://www.youtube.com/watch?v=fPOX0QX8AH0

Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.