Skillnad mellan versioner av "2.3 Gränsvärde"

Versionen från 25 september 2014 kl. 14.58

Lektion 12 Gränsvärde

Gränsvärde av en funktion

Exempel

Funktionen \( y = f(x) = \) \( {10 \over x\,-\,2} \) har följande graf: \( \qquad \) Fil:Ex 1 Gransvarde 70a.jpg

Vad händer med funktionen när \( {\color{White} x} x \to \infty {\color{White} x} \) och \( {\color{White} x} x \to - \infty {\color{White} x} \)?

Som grafen visar närmar sig kurvan \(\, x\)-axeln utan att skära eller ens beröra den. Dvs funktionen går mot \( 0\, \) utan att nå själva värdet \( 0\, \) någon gång. \( f(x)\, \) blir allt mindre ju större \( x \, \) blir. Funktionen närmar sig \( 0\, \) när \( x \, \) växer både i positiv och negativ riktning. Kurvan skär aldrig \( \, x \)-axeln. Därför har funktionen inget nollställe. Detta bekräftas av funktionsuttrycket: Täljaren är konstanten \( 10\, \) som aldrig kan bli \( 0\, \). Därför kan hela funktionsuttrycket aldrig bli \( 0\, \). Ett sätt att beskriva detta beteende är:

\[ {10 \over x\,-\,2} \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to \infty \qquad {\color{White} x} {\rm vilket\;läses\;så\;här:} {\color{White} x} \qquad {10 \over x\,-\,2} \;\, {\rm går\;mot} \;\, 0 \quad {\rm när} \quad x \;\, {\rm går\;mot} \;\, \infty \]

Det strikt matematiska sättet att uttrycka samma sak är:

\[ \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2}\,=\,0 \qquad\qquad\qquad\, {\color{White} x} {\rm vilket\;läses\;så\;här:} {\color{White} x} \quad\; {\color{White} x} {\rm Limes\;\,av} \; {10 \over x\,-\,2} \quad {\rm då} \; x \; {\rm går\;mot} \, \infty \quad {\rm är} \; 0 \, {\rm ,\;vilket\;betyder:} \]

\[ {\color{White} x} {\rm Gränsvärdet\;\,för} \; {10 \over x\,-\,2} \quad {\rm då} \; x \; {\rm går\;mot} \, \infty \quad {\rm är} \; 0 \;{\rm .}\]

Förkortningen  lim  står för det latinska ordet  Limes   som betyder gräns. Limesbegreppet är centralt i matematiken och kommer att användas i nästa avsnitt för att definiera derivatan.

Vad händer när \( {\color{White} x} x \to - \infty {\color{White} |}\)?

Grafen visar ett ganska liknande beteende när \( x \, \) går mot "stora" negativa värden, dvs när \( x \to \, {\color{Red} {- \infty}} \): Även där går \( f(x)\, \) mot \( 0\, \) när \( x\, \) går mot \( {\color{Red} {- \infty}} \). I termer av limes:

\[ \lim_{x \to \, {\color{Red} {- \infty}}}\,{10 \over x - 2}\,=\,0 \]

Skillnaden är bara att nu \( f(x)\, \) närmar sig \( 0 \, \) från negativt håll (nedifrån).

Resultatet är identiskt både när \( x\, \) går mot \( \infty \) och när \( x\, \) går mot \( -\infty \), nämligen att \( f(x) \to 0 \, \). Vi kan sammanfatta:

Gränsvärde saknas

Vi stannar hos exemplet ovan, men byter frågeställning: Vi tittar inte längre på \( x \to \pm\infty \) utan på \( {\color{Red} {x = 2}} \, \):

Funktionen \( y = f(x) = \) \( {10 \over x\,-\,2} \) har följande graf: \( \qquad \)   Fil:Ex 1 Gransvarde 70a.jpg

Vad händer med funktionen i punkten \( {\color{White} x} x = 2 {\color{White} x} \) ?

Kurvan skjuter upp i höjden å ena sidan och ner i "djupet" å andra sidan av punkten \( x = 2\, \), därför att \( {10 \over x\,-\,2} \):s nämnare blir \( 0\, \) för \( x = 2\, \). Dvs \( f(x)\, \) är inte definierad för \( x = 2\, \). Följaktligen visar grafen i \( x = 2\, \) en diskontinuitet av typ oändlighetsställe. Annars är \( f(x)\, \) kontinuerlig i hela sin definitionsmängd som består av alla \( x \neq 2\, \).

Vi vill nu undersöka hur man kan beskriva \( \,f(x)\):s beteende för \( \, x = 2 \) med hjälp av limes?

Som grafen visar \(-\) och beräkningar med funktionsuttrycket bekräftar \(-\) går \( f(x)\, \) mot \( +\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från höger och mot \( -\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från vänster. Om vi uttrycker detta med pilar ser det ut så här:

\[ {10 \over x - 2} \to +\, \infty \quad {\rm när} \; x \to 2^+ \qquad {\color{White} x} {\rm och} {\color{White} x} \qquad {10 \over x - 2} \to -\, \infty \quad {\rm när} \; x \to 2^- \]

där \( x \to 2^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 2 \) från höger (\( \, x > 2 \)) och \( x \to 2^- \) att närma sig \( \, x = 2 \) från vänster (\( \, x < 2 \)).

Eftersom det finns två olika resultat beroende på om \( \, x \) går mot \( \, 2 \) från höger eller från vänster säger man:

Funktionen går mot två olika håll för \( \, x = 2 \). Men att gränsvärdet inte kan ha två olika värden för ett och samma \( \,x \) är uppenbart. Limes måste ha ett entydigt värde.

Men även om en funktion skulle gå mot t.ex. mot \( +\,\infty \), för ett visst \( \, x \) både från höger och vänster, skulle det strikt matematiskt inte vara korrekt att säga att limes existerar och är \( +\,\infty \), därför att \( \infty \) inte är något värde. Med andra ord:

Därför är det i vårt exempel strikt matematiskt korrekt att säga: Gränsvärdet \( \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \) saknas.

Ensidiga och oegentliga gränsvärden

Skiljer man däremot närmandet från höger till \( \, x = 2 \) från närmandet från vänster kan man bilda s.k. ensidiga gränsvärden:

\[ \lim_{x \to 2^{+}}\,{10 \over x - 2}\,=\,+\,\infty \qquad\quad {\color{White} x} {\rm och} {\color{White} x} \qquad\quad \lim_{x \to 2^{-}}\,{10 \over x - 2}\,=\,-\,\infty \]

där \( x \to 2^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 2 \) från höger (\( \, x > 2 \)) och \( x \to 2^- \) att närma sig \( \, x = 2 \) från vänster (\( \, x < 2 \)).

Man skiljer mellan de två sätten att närma sig talet \( \, 2 \) på \( \, x\)-axeln: från höger \( x \to 2^+ \) och från vänster \( x \to 2^- \) och pratar om höger- och vänstergränsvärdet. I vårt exempel ger de också två olika resultat.

Att man ibland använder skrivsättet ovan sker av bekvämlighetsskäl. Man ersätter framställningen med pilar som vi använde inledningsvis med att beskriva samma sak med limes istället. Av praktiska skäl föredrar man den enhetliga limesnotationen för att beskriva gränsprocesser.

Gränsvärden som går mot oändligheten (och därmed strikt talat inte existerar), men ändå skrivs på det ovannämnda sättet, kallar man oegentliga gränsvärden.

OBS! Av skrivsättet ovan följer fortfarande inte att ett gränsvärde för \( 10 \over x\,-\,2 \) existerar när \( x \to 2 \).

Beräkning av gränsvärden

Exempel 1

Bestäm

\[ \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \]

Lösning:

För \( x = 0 \, \) är uttrycket under limes inte definierat. Därför måste vi faktorisera uttryckets täljare för att se om man ev. kan förkorta. Täljaren kan faktoriseras genom att bryta ut \( x \, \):

\[ \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \, = \, \lim_{x \to 0}\, {{\color{Red} x}\:(x + 7) \over {\color{Red} x}} \, = \, \lim_{x \to 0}\, (x + 7) \, = \, 0 + 7 \, = \, 7 \]

Exempel 2

a) Bestäm

\[ \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \]

Lösning:

För att kunna bestämma limes måste vi först forma om uttrycket under limes:

\[ {4\,x\,+\,5 \over x} = {4\,{\color{Red} x} \over {\color{Red} x}} \,+\,{5 \over x} \,=\, 4 \,+\, {5 \over x} \]

Deluttrycket \( {5 \over x} \) går mot \( 0 \) både när \( x \to +\infty \) och \( x \to -\infty \):

\[ \lim_{x \to +\infty}\, {5 \over x} \, = \, \lim_{x \to -\infty}\, {5 \over x} \, = \, 0 \]

Därför kan vi nu bestämma limes för hela uttrycket:

\[ \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, 4\,+\,0 \,= \, 4\]

b) Bestäm

\[ \lim_{x \to 0}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \]

Lösning:

\[ \lim_{x \to 0^+}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^+}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, +\infty \]

\[ \lim_{x \to 0^-}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^-}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, -\infty \]

där \( x \to 0^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 0 \) från höger (\( \, x > 0 \)) och \( x \to 0^- \) att närma sig \( \, x = 0 \) från vänster (\( \, x < 0 \)).

Svar: Gränsvärde saknas.

Exempel 3

Bestäm

\[ \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \]

Lösning:

För \( x = 2 \, \) är uttrycket under limes inte definierat. Därför måste vi faktorisera uttryckets täljare och nämnare för att se om man ev. kan förkorta. Täljaren kan faktoriseras med hjälp av konjugatreglen och nämnaren genom att bryta ut:

\[ x^2\,-\,4 = (x\,+\,2)\cdot(x\,-\,2) \]

\[ 5\,x - 10 = 5\,(x\,-\,2) \]

Nu kan vi förkorta uttrycket och bestämma limes:

\[ \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \, = \, \lim_{x \to 2}\, {(x + 2) \cdot {\color{Red} {(x-2)}} \over 5\,{\color{Red} {(x-2)}}} \, = \, \lim_{x \to 2} \, {x + 2 \over 5} \, = \, {2 + 2 \over 5} \, = \, {4 \over 5} \, = \, 0,8 \]

Exempel 4

Bestäm

\[ \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \]

Lösning:

Här måste vi, för att förenkla uttrycket under limes, dividera uttryckets täljare och nämnare med den högsta \( \,x\)-potensen. Närmare bestämt betyder detta att dividera alla termer i uttryckets täljare och nämnare med \( \,x^3 \):

\[ \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3/x^3\,-\,2/x^3 \over 2\,x^3/x^3\,+\,3\,x/x^3\,-\,4/x^3} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,2/x^3 \over 2\,+\,3/x^2\,-\,4/x^3} \,=\, {1\,-\,0 \over 2\,+\,0\,-\,0} \,=\, {1 \over 2} \]

I sista skedet av förenklingen ovan har vi använt att:

\[ \lim_{x \to \infty}\, {2 \over x^3} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, {3 \over x^2} \, = \, \lim_{x \to \infty} \, {4 \over x^3} \, = \, 0 \]

Exempel 5

Bestäm

\[ \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \]

Lösning:

Vi måste faktorisera täljaren för att se om man ev. kan förkorta mot nämnaren:

\[ x^2 - x - 6 = 0 \, \]

För lösningarna \( x_1\,\) och \( x_2\,\) måste enligt Vieta gälla:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-1) = 1 \\ x_1 \cdot x_2 & = - 6 \end{align}\]

Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är \( -6 \, \) och vars summa är \( 1 \, \). Med lite provande hittar man \( 3 \, \) och \( -2 \, \) eftersom \( 3 + (-2) = 1\, \) och \( 3 \cdot (-2) = -6 \).

Således:

\[ x^2 - x - 6 = (x - 3) \cdot (x + 2) \]

Nu kan vi faktorisera täljaren och förkorta mot nämnaren för att bestämma limes:

\[ \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \, = \, \lim_{x \to 3}\, {{\color{Red} {(x-3)}} \cdot (x + 2) \over {\color{Red} {(x-3)}}} \, = \, \lim_{x \to 3}\, (x + 2) \, = \, \lim_{x \to 3}\, (3 + 2) \, = \, 5 \]

Exempel 6

Följande funktion är given:

\[ y = f(x) = x^2 \]

Bestäm

\[ \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \]

Lösning:

\[ f(2+h) = (2+h)^2 = 4 + 4\,h + h^2 \]

\[ \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} = \lim_{h \to 0} {(2+h)^2 - 2^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {4 + 4\,h + h^2\,\,-\,\,4 \over h} = \lim_{h \to 0} {4\,h + h^2 \over h} = \]

\[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(4 + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (4 + h) = 4 \]

Exempel 7

Följande funktion är given:

\[ y = f(x) = x^2 \]

Bestäm

\[ \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \]

Lösning:

Eftersom uttrycket under limes involverar två variabler \( x\, \) och \( h\, \) kommer limes, om den existerar, inte längre vara ett tal utan ett uttryck i \( x\, \), därför att gränsvärdet ska bildas för \( h \to 0 \). Under gränsprocessen kan \( x\, \) anses som en konstant.

\[ f(x+h) = (x+h)^2 = x^2 + 2\,x\,h + h^2 \]

\[ \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} {(x+h)^2 - x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {x^2 + 2\,x\,h + h^2 \, - \, x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = \]

\[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(2\,x + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) = 2\,x \]

Observera att Exempel 6 är ett specialfall av Exempel 7 för \( x = 2 \, \).

Internetlänkar

https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs

https://www.youtube.com/watch?v=StP64lMXZjA

https://www.youtube.com/watch?v=fPOX0QX8AH0

Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.