Skillnad mellan versioner av "2.5 Fördjupning till Deriveringsregler"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 36: | Rad 36: | ||
== Derivatan av en konstant == | == Derivatan av en konstant == | ||
| − | '''Påstående''' | + | '''Påstående:''' |
<div class="border-div2"><big> | <div class="border-div2"><big> | ||
<b>Derivatan av en konstant är 0.</b> | <b>Derivatan av en konstant är 0.</b> | ||
| Rad 45: | Rad 45: | ||
</big></div> | </big></div> | ||
| − | '''Bevis''' | + | '''Bevis:''' |
Om vi tillämpar derivatans definition på <math> f(x) = c\, </math> kan vi skriva: | Om vi tillämpar derivatans definition på <math> f(x) = c\, </math> kan vi skriva: | ||
| Rad 53: | Rad 53: | ||
Att <math> f(x+h) = c\, </math> inser man när man preciserar den givna funktionen <math> f(x) = c\, </math> genom att betona <strong><span style="color:red">för alla </span></strong> <math> {\color{Red} x} </math>. Dvs funktionen <math> \,f(x)</math>:s värde är alltid konstant oavsett vad man sätter in för <math> x\, </math> i <math> \,f(x)</math>. Detta även om man sätter in ett uttryck för <math> x\, </math>, i det här fallet <math> x+h\, </math>. | Att <math> f(x+h) = c\, </math> inser man när man preciserar den givna funktionen <math> f(x) = c\, </math> genom att betona <strong><span style="color:red">för alla </span></strong> <math> {\color{Red} x} </math>. Dvs funktionen <math> \,f(x)</math>:s värde är alltid konstant oavsett vad man sätter in för <math> x\, </math> i <math> \,f(x)</math>. Detta även om man sätter in ett uttryck för <math> x\, </math>, i det här fallet <math> x+h\, </math>. | ||
| − | '''Exempel''' | + | '''Exempel:''' |
För funktionen <math> f(x) = -5\, </math> blir derivatan: | För funktionen <math> f(x) = -5\, </math> blir derivatan: | ||
::::<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, - \, (-5) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, + \, 5 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} = 0 </math> | ::::<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, - \, (-5) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, + \, 5 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} = 0 </math> | ||
Versionen från 12 oktober 2014 kl. 11.02
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | Fördjupning | Nästa avsnitt --> |
Lektion 26 Deriveringsregler I
Lektion 27 Deriveringsregler II
Deriveringsreglernas bevis (härledning)
I detta avsnitt kommer vi att gå igenom och (delvis) bevisa regler som ska hjälpa oss att derivera de viktigaste typer av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition direkt. De kallas deriveringsregler. I bevisen tillämpas derivatans definition en gång för alla på respektive funktionstyp. Sedan kan man använda reglerna i fortsättningen utan att behöva härleda dem.
I slutet kommer vi att sammanställa alla deriveringsregler i en tabell som vi kommer att använda hela tiden.
Ur praktisk problemlösningssynpunkt är därför det här avsnittet om inte det viktigaste, så dock det mest använda i Matte 3c-kursens övningar.
I förra avsnitt hade vi ställt upp derivatans definition för en funktion \( y = f(x)\, \) i en viss punkt \( x = a\, \). Låter vi \( a\, \) variera, kan vi skriva derivatans definition så här:
- \[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} \]
Denna definition kommer att ligga till grund för alla våra bevis för deriveringsreglerna i detta avsnitt.
Derivatan av en konstant
Påstående:
Derivatan av en konstant är 0.
Om \( {\color{White} x} f(x) = c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)
då \( {\color{White} x} f\,'(x) = 0 \).
Bevis:
Om vi tillämpar derivatans definition på \( f(x) = c\, \) kan vi skriva:
- \[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {c \, - \, c \over h} \; = \; \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} \; = \; 0 \]
Att \( f(x+h) = c\, \) inser man när man preciserar den givna funktionen \( f(x) = c\, \) genom att betona för alla \( {\color{Red} x} \). Dvs funktionen \( \,f(x)\):s värde är alltid konstant oavsett vad man sätter in för \( x\, \) i \( \,f(x)\). Detta även om man sätter in ett uttryck för \( x\, \), i det här fallet \( x+h\, \).
Exempel:
För funktionen \( f(x) = -5\, \) blir derivatan:
- \[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, - \, (-5) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, + \, 5 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} = 0 \]
