Skillnad mellan versioner av "3.3 Terasspunkter"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Terasspunkter) |
||
| Rad 18: | Rad 18: | ||
== Terasspunkter == | == Terasspunkter == | ||
| − | I förra avsnitt lärde vi oss två metoder för att hitta en funktions extrempunkter dvs | + | I förra avsnitt lärde vi oss två metoder för att hitta en funktions extrempunkter dvs maxima eller minima: |
* Med andraderivata: Funktionens derivata <math> \, = \, 0 \, </math> och andraderivatan <math> \, < \, 0 \, </math> eller <math> \, > \, 0 \, </math> dvs <math> \, \neq \, 0 \, </math>. | * Med andraderivata: Funktionens derivata <math> \, = \, 0 \, </math> och andraderivatan <math> \, < \, 0 \, </math> eller <math> \, > \, 0 \, </math> dvs <math> \, \neq \, 0 \, </math>. | ||
| Rad 43: | Rad 43: | ||
| − | +++ För att få reda på +++ | + | +++ För att få reda på +++ |
| − | + | ||
== Regeln om terasspunkter == | == Regeln om terasspunkter == | ||
Versionen från 28 december 2014 kl. 00.42
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | --> Nästa avsnitt |
Lektion 31 Kurvkonstruktion med derivata I
Lektion 32 Kurvkonstruktion med derivata II
Innehåll
Terasspunkter
I förra avsnitt lärde vi oss två metoder för att hitta en funktions extrempunkter dvs maxima eller minima:
- Med andraderivata: Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) och andraderivatan \( \, < \, 0 \, \) eller \( \, > \, 0 \, \) dvs \( \, \neq \, 0 \, \).
- Med teckenstudium: Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) och derivatan byter tecken kring sitt nollställe.
Båda metoder uteslöt följande alternativ:
- Med andraderivata: Både funktionens derivata och andraderivata \( \, = \, 0 \, \).
- Med teckenstudium: Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) och derivatan byter inte tecken kring sitt nollställe, utan behåller sitt tecken.
Detta alternativ tar vi upp nu: Vad händer om funktionens derivata och andraderivata \( \, = \, 0 \, \) eller om funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) och behåller sitt tecken kring sitt nollställe?
Ett sådant fall föreligger i följande enkelt exempel:
- \[ f(x) \, = \, x^3 \]
- \[ f'(x) \, = \, 3\,x^2 \]
- \[ f''(x) \, = \, 6\,x \]
+++ För att få reda på +++
Regeln om terasspunkter
Två kriterier behövs för att få reda på en funktions maxima och minima: ett om derivatans nollställen, ett om andraderivatans tecken. Båda måste vara uppfyllda. Följande regler gäller:
:
Derivatans nollställen och andraderivatans tecken avgör för vilka \(\, x \) en funktion har maxima resp. minima:
Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har ett maximum i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om derivatan \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och andraderivatan \( {\color{White} x} f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 {\color{White} x}. \)
Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har ett minimum i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om derivatan \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och andraderivatan \( {\color{White} x} f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 {\color{White} x}. \)
Om derivatan \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och andraderivatan \( {\color{White} x} f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} =}} \, 0 {\color{White} x} \) har funktionen varken ett maximum eller ett minimum.
| Reglerna ovan säger i ord:
|
Där derivatan är \( \, 0 \) och andraderivatan är negativ har funktionen ett maximum.
Där derivatan är \( \, 0 \) och andraderivatan är positiv har funktionen ett minimum. Där både derivatan och andraderivatan är \( \, 0 \) föreligger varken ett maximum eller ett minimum. Vad som gäller då behandlas i nästa avsnitt. |
