Skillnad mellan versioner av "3.3 Terasspunkter"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Terasspunkter) |
Taifun (Diskussion | bidrag) (→Terasspunkter) |
||
| Rad 45: | Rad 45: | ||
Funktionens graf till vänster visar att det i punkten <math> \, x = 0 \, </math> inte föreligger en extrempunkt, varken maximum eller minimum. Det handlar om en <math>-</math> för oss <math>-</math> ny typ av kritisk punkt som kallas <strong><span style="color:red">terasspunkt</span></strong>. Kritiskt, därför att tangenten till kurvan i denna punkt är horisontell dvs har lutningen <math> \, 0 \, </math>. | Funktionens graf till vänster visar att det i punkten <math> \, x = 0 \, </math> inte föreligger en extrempunkt, varken maximum eller minimum. Det handlar om en <math>-</math> för oss <math>-</math> ny typ av kritisk punkt som kallas <strong><span style="color:red">terasspunkt</span></strong>. Kritiskt, därför att tangenten till kurvan i denna punkt är horisontell dvs har lutningen <math> \, 0 \, </math>. | ||
| − | + | Bilden i mitten visar att <math> \, x = 0 \, </math> är ett nollställe för derivatan. Det speciella med detta nollställe är att derivatans kurva inte skär <math> \, x</math>-axeln utan bara berör den. Med andra ord, <math> \, x = 0 \, </math> är en dubbelrot till andragradsfunktionen <math> \, f'(x) = 3\,x^2 \, </math>. Detta gör att | |
+++ För att få reda på +++ | +++ För att få reda på +++ | ||
Versionen från 28 december 2014 kl. 01.22
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | --> Nästa avsnitt |
Lektion 31 Kurvkonstruktion med derivata I
Lektion 32 Kurvkonstruktion med derivata II
Innehåll
Terasspunkter
I förra avsnitt lärde vi oss två metoder för att hitta en funktions extrempunkter dvs maxima eller minima:
- Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) och andraderivatan \( \, < \, 0 \, \) eller \( \, > \, 0 \, \) dvs \( \, \neq \, 0 \, \).
- Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) och derivatan byter tecken kring sitt nollställe.
Båda metoder uteslöt följande alternativ:
- Både funktionens derivata och andraderivata \( \, = \, 0 \, \).
- Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) och derivatan bibehåller sitt tecken kring sitt nollställe.
Detta alternativ tar vi upp nu: Vad händer om funktionens derivata och andraderivata \( \, = \, 0 \, \) eller om funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) och bibehåller sitt tecken kring sitt nollställe?
Ett sådant fall föreligger i följande enkelt exempel:
- \[\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 \\ f'(x) & = & 3\,x^2 \\ f''(x) & = & 6\,x \end{array}\]
Så här ser graferna ut som vi ska undersöka i och kring punkten \( \, x = 0 \, \):
Funktionens graf till vänster visar att det i punkten \( \, x = 0 \, \) inte föreligger en extrempunkt, varken maximum eller minimum. Det handlar om en \(-\) för oss \(-\) ny typ av kritisk punkt som kallas terasspunkt. Kritiskt, därför att tangenten till kurvan i denna punkt är horisontell dvs har lutningen \( \, 0 \, \).
Bilden i mitten visar att \( \, x = 0 \, \) är ett nollställe för derivatan. Det speciella med detta nollställe är att derivatans kurva inte skär \( \, x\)-axeln utan bara berör den. Med andra ord, \( \, x = 0 \, \) är en dubbelrot till andragradsfunktionen \( \, f'(x) = 3\,x^2 \, \). Detta gör att
+++ För att få reda på +++
Regeln om terasspunkter
Två kriterier behövs för att få reda på en funktions maxima och minima: ett om derivatans nollställen, ett om andraderivatans tecken. Båda måste vara uppfyllda. Följande regler gäller:
:
Derivatans nollställen och andraderivatans tecken avgör för vilka \(\, x \) en funktion har maxima resp. minima:
Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har ett maximum i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om derivatan \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och andraderivatan \( {\color{White} x} f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 {\color{White} x}. \)
Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har ett minimum i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om derivatan \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och andraderivatan \( {\color{White} x} f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 {\color{White} x}. \)
Om derivatan \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och andraderivatan \( {\color{White} x} f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} =}} \, 0 {\color{White} x} \) har funktionen varken ett maximum eller ett minimum.
| Reglerna ovan säger i ord:
|
Där derivatan är \( \, 0 \) och andraderivatan är negativ har funktionen ett maximum.
Där derivatan är \( \, 0 \) och andraderivatan är positiv har funktionen ett minimum. Där både derivatan och andraderivatan är \( \, 0 \) föreligger varken ett maximum eller ett minimum. Vad som gäller då behandlas i nästa avsnitt. |
