Skillnad mellan versioner av "3.3 Terasspunkter"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Terasspunkter) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 45: | Rad 45: | ||
Funktionens graf till vänster visar att det inte föreligger en extrempunkt i <math> x = 0 </math>, varken ett maximum eller ett minimum. Det handlar snarare om en typ av kritisk punkt som är ny för oss. Kritiskt, därför att <math>-</math> precis som hos extrempunkter <math>-</math> tangenten till kurvan i denna punkt är horisontell dvs har lutningen <math> \, 0 \, </math>. Denna nya typ av kritisk punkt kallas <strong><span style="color:red">terasspunkt</span></strong>. | Funktionens graf till vänster visar att det inte föreligger en extrempunkt i <math> x = 0 </math>, varken ett maximum eller ett minimum. Det handlar snarare om en typ av kritisk punkt som är ny för oss. Kritiskt, därför att <math>-</math> precis som hos extrempunkter <math>-</math> tangenten till kurvan i denna punkt är horisontell dvs har lutningen <math> \, 0 \, </math>. Denna nya typ av kritisk punkt kallas <strong><span style="color:red">terasspunkt</span></strong>. | ||
| − | Bilden i mitten visar att <math> \, x = 0 \, </math> | + | Bilden i mitten visar att derivatan har ett nollställe i <math> \, x = 0 \, </math>. Det speciella med detta nollställe är att kurvan inte skär <math> \, x</math>-axeln utan bara berör den. Med andra ord, <math> \, x = 0 \, </math> är en [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Dubbelrot|<strong><span style="color:blue">dubbelrot</span></strong>]] till andragradsfunktionen <math> \, f'(x) = 3\,x^2 \, </math>. Detta gör att derivatan inte byter tecken kring <math> \, x = 0 \, </math> utan är positiv både till vänster om och till höger om nollstället. Att derivatan är positiv innebär i sin tur att själva funktionen <math> \, f(x) = x^3 \, </math> är växande både till vänster om och till höger om <math> \, x = 0 \, </math> <math>-</math> ett kännetecken för terasspunkter. |
| − | + | Bilden till höger visar att även andraderivatan har ett nollställe i <math> \, x = 0 \, </math>. Till skillnad från derivatans nollställe är detta nollställe av enkel typ, vilket framgår av att grafen verkligen skär <math> \, x</math>-axeln dvs byter tecken kring <math> \, x = 0 \, </math>. I självaste punkten <math> \, x = 0 \, </math> är andraderivatan varken positiv eller negativ, varav följer att <math> \, x = 0 \, </math> inte är någon extrempunkt för funktionen <math> \, f(x) = x^3 -</math> ytterliare ett kännetecken för terasspunkter. | |
| − | Vi har inte ritat grafen till tredjederivatan <math> \, f'''(x) = 6 </math>, men den är <math> \neq 0 \, </math> vilket är | + | Vi har inte ritat grafen till tredjederivatan <math> \, f'''(x) = 6 </math>, men den är <math> \neq 0 \, </math> vilket <math>-</math> och det är det nya hos terasspunkter <math>-</math> är ett nödvändigt villkor för att funktionen har en terasspunkt i <math> \, x = 0 \, </math>. Därmed lämnar vi vårt enkla exempel och kommer till det allmänna fallet: |
== Regler om terasspunkter == | == Regler om terasspunkter == | ||
| − | Tre kriterier behövs för att få reda på en funktions terasspunkt: ett om derivatans nollställen, det andra om andraderivatans nollställen och det tredje om att tredjederivatan inte får vara <math> \, 0 \, </math>. Alla tre måste vara uppfyllda: | + | Tre kriterier behövs för att få reda på en funktions terasspunkt: ett om derivatans nollställen, det andra om andraderivatans nollställen och det tredje om att tredjederivatan inte får vara <math> \, 0 \, </math>. Alla tre måste vara uppfyllda. Generellt gäller nämligen: |
<span style="color:white">:</span> | <span style="color:white">:</span> | ||
Versionen från 28 december 2014 kl. 12.06
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | --> Nästa avsnitt |
Lektion 31 Kurvkonstruktion med derivata I
Lektion 32 Kurvkonstruktion med derivata II
Innehåll
Terasspunkter
I förra avsnitt lärde vi oss två metoder för att hitta en funktions extrempunkter dvs maxima eller minima:
- Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) och andraderivatan \( \, < \, 0 \, \) eller \( \, > \, 0 \, \) dvs \( \, \neq \, 0 \, \).
- Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) och derivatan byter tecken kring sitt nollställe.
Båda metoder uteslöt följande alternativ:
- Både funktionens derivata och andraderivata \( \, = \, 0 \, \).
- Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) och derivatan inte byter tecken kring sitt nollställe.
Dessa alternativ tar vi upp nu: Vad händer om funktionens derivata och andraderivata är \( \, 0 \, \) eller om derivatan är \( \, 0 \, \) och bibehåller sitt tecken kring nollstället?
Ett sådant fall föreligger i följande enkelt exempel:
- \[\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 \\ f'(x) & = & 3\,x^2 \\ f''(x) & = & 6\,x \end{array}\]
Vi ska undersöka funktionen \( \, f(x) = x^3 \, \) i och kring punkten \( \, x = 0 \, \) genom att titta på följande grafer:
Funktionens graf till vänster visar att det inte föreligger en extrempunkt i \( x = 0 \), varken ett maximum eller ett minimum. Det handlar snarare om en typ av kritisk punkt som är ny för oss. Kritiskt, därför att \(-\) precis som hos extrempunkter \(-\) tangenten till kurvan i denna punkt är horisontell dvs har lutningen \( \, 0 \, \). Denna nya typ av kritisk punkt kallas terasspunkt.
Bilden i mitten visar att derivatan har ett nollställe i \( \, x = 0 \, \). Det speciella med detta nollställe är att kurvan inte skär \( \, x\)-axeln utan bara berör den. Med andra ord, \( \, x = 0 \, \) är en dubbelrot till andragradsfunktionen \( \, f'(x) = 3\,x^2 \, \). Detta gör att derivatan inte byter tecken kring \( \, x = 0 \, \) utan är positiv både till vänster om och till höger om nollstället. Att derivatan är positiv innebär i sin tur att själva funktionen \( \, f(x) = x^3 \, \) är växande både till vänster om och till höger om \( \, x = 0 \, \) \(-\) ett kännetecken för terasspunkter.
Bilden till höger visar att även andraderivatan har ett nollställe i \( \, x = 0 \, \). Till skillnad från derivatans nollställe är detta nollställe av enkel typ, vilket framgår av att grafen verkligen skär \( \, x\)-axeln dvs byter tecken kring \( \, x = 0 \, \). I självaste punkten \( \, x = 0 \, \) är andraderivatan varken positiv eller negativ, varav följer att \( \, x = 0 \, \) inte är någon extrempunkt för funktionen \( \, f(x) = x^3 -\) ytterliare ett kännetecken för terasspunkter.
Vi har inte ritat grafen till tredjederivatan \( \, f'''(x) = 6 \), men den är \( \neq 0 \, \) vilket \(-\) och det är det nya hos terasspunkter \(-\) är ett nödvändigt villkor för att funktionen har en terasspunkt i \( \, x = 0 \, \). Därmed lämnar vi vårt enkla exempel och kommer till det allmänna fallet:
Regler om terasspunkter
Tre kriterier behövs för att få reda på en funktions terasspunkt: ett om derivatans nollställen, det andra om andraderivatans nollställen och det tredje om att tredjederivatan inte får vara \( \, 0 \, \). Alla tre måste vara uppfyllda. Generellt gäller nämligen:
:
Derivatans och andraderivatans nollställen samt att tredjederivatan \( \, \neq 0 \, \) avgör för vilka \(\, x \) en funktion har terasspunkter:
Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har en terasspunkt i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och \( {\color{White} x} f\,'''(a) \, {\bf {\color{Red} \neq}} \, 0 {\color{White} x}. \)
+++ Om derivatan \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och andraderivatan \( {\color{White} x} f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} =}} \, 0 {\color{White} x} \) har funktionen varken ett maximum eller ett minimum.
| Reglerna ovan säger i ord:
|
Där derivatan är \( \, 0 \) och andraderivatan är negativ har funktionen ett maximum.
Där derivatan är \( \, 0 \) och andraderivatan är positiv har funktionen ett minimum. Där både derivatan och andraderivatan är \( \, 0 \) föreligger varken ett maximum eller ett minimum. Vad som gäller då behandlas i nästa avsnitt. |
