Skillnad mellan versioner av "3.5 Övningar till Extremvärdesproblem"

a)   Följande teckentabell innehåller information om funktionen \(\, y = f(x)\):

 Fyll i tabellen på de platser där det står ett frågetecken (?).

b)   Lös övning 1a, men använd här en teckentabell för att visa att du hittat maximipunkten.

En kula skjuts rakt upp i luften och följer en bana som beskrivs av funktionen:

\[ h(t) = - 4\,t^2 + 80\,t \]

där \( {\color{White} x} \; h\, = \, \) kulans höjd över marken i meter

\( {\color{White} {xxxx}} t\, = \, \) tiden efter kastet i sekunder

a)   När når kulan sin högsta höjd?

 Bevisa med en av reglerna (andraderivatan eller teckentabell) att du hittat maximipunkten.

b)   Hur högt når kulan?

Följande funktion är definierad genom: \[ y = f(x) = - 3\,x^3 + 18\,x^2 - 27\,x + 14 \] Använd grafen till höger för att lösa uppgifterna a)-d): a)   Hur många extrempunkter har \( \,f(x) \, \)? b)   För vilka \( \,x \) är funktionens derivata \( \, = \, 0 \) ? Motivera! c)   Beskriv derivatans teckenbyte kring funktions minimum.       Vilken regel är detta ett exempel på? d)   Beskriv derivatans teckenbyte kring funktions maximum.       Vilken regel är detta ett exempel på?

Lös uppgifterna e)-g) algebraiskt:

e)   Ställ upp derivatan \( \, f\,'(x)\, \).

f)   Beräkna derivatan \( \, f\,'(x)\):s nollställen.

g)   Använd en algebraisk metod för att skilja mellan maximi- och minimipunkten.

 Ange maximi- och minimipunktens koordinater.

Följande funktion är given:

\[ f(x) \, = \, {x^4 \over 4} \, - \, 2\,x^2 \]

a)   Ställ upp derivatan \( \, f\,'(x) \, \) och beräkna dess nollställen.

b)   Avgör med någon av metoderna vi lärt oss, vilka av derivatans nollställen är funktionen \( \, f(x)\):s maxima resp. minima.

      Ange alla maximi- och minimipunkter.

c)   Rita graferna till funktionen \( \, y = f(x) \, \) och derivatan \( \, y\,' = f\,'(x) \, \) i två olika koordinatsystem.

 Vilket samband kan man konstatera mellan funktionens graf och derivatans graf?

Följande är grafen till derivatan \( {\color{White} x} y' = f'(x) {\color{White} x} \) av en funktion \( \, y = f(x) \, \):

Besvara följande frågor om funktionen \( \, y = f(x) \, \) genom att använda information från derivatans graf (ovan):

a)   Läs av från grafen och ange derivatans nollställe. Vad kan man säga om funktionen \( \, y = f(x) \, \) i derivatans nollställe?

b)   Vilket teckenbyte har derivatan kring sitt nollställe? Vad följer av detta om funktionen?

c)   Rita en enkel skiss över funktionen \( \, y = f(x)\).

Följande är grafen till derivatan \( {\color{White} x} y' = f'(x) {\color{White} x} \) av en funktion \( \, y = f(x) \, \):

Lös följande uppgifter genom att endast använda grafen ovan:

a)   Vilka slutsatser kan man dra om funktionen \( \, y = f(x) \, \) i derivatans nollställen? Motivera dina slutsatser.

b)   Sammanfatta dina resultat från a) i en teckentabell och rita en enkel skiss över funktionen \( \, y = f(x)\).

Följande funktion är given:

\[ y = f(x) = {(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) \over 3} \]

a)   Beräkna koordinaterna till funktionens maximi- resp. minimipunkter exakt.

b)   Rita graferna till funktionen \( \, y = f(x) \, \) och derivatan \( \, y\,' = f\,'(x) \, \) i två olika koordinatsystem. Markera funktionens maximi- resp. minimipunkter och derivatans nollställen.

a)   Bestäm konstanterna \( \, a, \, b \, \) och \( \, c \, \) så att funktionen

\[ y = f(x) = a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x \]

      får ett maximum i punkten \( \, (-1, 7) \, \) och dessutom ett minimum för \( \, x = 2 \, \).

      Ange funktionen \( \, y = f(x) \, \).

b)   Rita graferna till funktionen \( \, y = f(x) \, \) och dess derivata i två olika koordinatsystem.

      Kontrollera om graferna visar de angivna extrema.

En tomt har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i meter:

På tomten ska en rektangulär boyta väljas så att boytans area \( \, A(x) \, \) blir maximal.

a)   Ställ upp ett uttryck för arean \( \, A(x) \, \) som endast beror av \( \, x \, \).

      Tips:   Kalla rektangelns andra sida för t.ex. \( \, y \,\). Ställ upp ett samband mellan \( \, y \,\) och \( \, x \, \).

                 Detta samband bestäms rektangelns "fria" hörn som är bunden till triangelns hypotenusa.

                 Inför ett koordinatsystem så att triangelns längre katet faller på \( x\)- och den kortare på \( y\)-axeln

                 och hypotenusan blir del av en rät linje vars ekvation ger det önskade sambandet.

b)   Bestäm \( \, x \, \) så att funktionen \( \, A(x) \, \) antar sitt maximum och beräkna den maximala boytan.

c)   Kontrollera dina resultat genom att rita graferna till funktionen \( A(x) \) och dess derivata i två olika koordinatsystem.

För att inte varje gång behöva räkna om övn. 10 för olika mått på tomter betraktas rätvinkliga trianglar av följande form:

där \( \, a \, \) och \( \, b \, \) är kateternas konstanta längder, dvs \( \, a > 0 \, \) och \( \, b > 0 \, \).

a)   Ställ upp ett uttryck för arean \( \, A(x, a, b) \). Tips: se övn. 10.

Behandla i fortsättningen arean som en funktion \( \, A(x) \, \) av endast variabeln \( \, x \, \). Betrakta \( \, a, b\, \) som konstanter.

b)   Bestäm \( \, x \, \) så att funktionen \( \, A(x) \, \) antar sitt maximum. Pga de obestämda konstanterna kommer \( \, x \, \) att vara ett uttryck i \( \, a \, \) resp. \( \, b \, \).

      Ställ upp boytans maximala area som ett uttryck i \( \, a \, \) och \( \, b \, \)

c)   Kontrollera om du får samma resultat som i övn. 10 när du i uttrycken här sätter in värdena \( \, a = 20 \, \) och \( \, b = 30 \, \) från övn. 10.