Skillnad mellan versioner av "3.5 Övningar till Extremvärdesproblem"

Följande är grafen till derivatan \( {\color{White} x} y' = f'(x) {\color{White} x} \) av en funktion \( \, y = f(x) \, \):

Lös följande uppgifter genom att endast använda grafen ovan:

a)   Vilka slutsatser kan man dra om funktionen \( \, y = f(x) \, \) i derivatans nollställen? Motivera dina slutsatser.

b)   Sammanfatta dina resultat från a) i en teckentabell och rita en enkel skiss över funktionen \( \, y = f(x)\).

Följande funktion är given:

\[ y = f(x) = {(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) \over 3} \]

a)   Beräkna koordinaterna till funktionens maximi- resp. minimipunkter exakt.

b)   Rita graferna till funktionen \( \, y = f(x) \, \) och derivatan \( \, y\,' = f\,'(x) \, \) i två olika koordinatsystem. Markera funktionens maximi- resp. minimipunkter och derivatans nollställen.

a)   Bestäm konstanterna \( \, a, \, b \, \) och \( \, c \, \) så att funktionen

\[ y = f(x) = a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x \]

      får ett maximum i punkten \( \, (-1, 7) \, \) och dessutom ett minimum för \( \, x = 2 \, \).

      Ange funktionen \( \, y = f(x) \, \).

b)   Rita graferna till funktionen \( \, y = f(x) \, \) och dess derivata i två olika koordinatsystem.

      Kontrollera om graferna visar de angivna extrema.

En tomt har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i meter:

På tomten ska en rektangulär boyta väljas så att boytans area \( \, A(x) \, \) blir maximal.

a)   Ställ upp ett uttryck för arean \( \, A(x) \, \) som endast beror av \( \, x \, \).

      Tips:   Kalla rektangelns andra sida för t.ex. \( \, y \,\). Ställ upp ett samband mellan \( \, y \,\) och \( \, x \, \).

                 Detta samband bestäms rektangelns "fria" hörn som är bunden till triangelns hypotenusa.

                 Inför ett koordinatsystem så att triangelns längre katet faller på \( x\)- och den kortare på \( y\)-axeln

                 och hypotenusan blir del av en rät linje vars ekvation ger det önskade sambandet.

b)   Bestäm \( \, x \, \) så att funktionen \( \, A(x) \, \) antar sitt maximum och beräkna den maximala boytan.

c)   Kontrollera dina resultat genom att rita graferna till funktionen \( A(x) \) och dess derivata i två olika koordinatsystem.

För att inte varje gång behöva räkna om övn. 10 för olika mått på tomter betraktas rätvinkliga trianglar av följande form:

där \( \, a \, \) och \( \, b \, \) är kateternas konstanta längder, dvs \( \, a > 0 \, \) och \( \, b > 0 \, \).

a)   Ställ upp ett uttryck för arean \( \, A(x, a, b) \). Tips: se övn. 10.

Behandla i fortsättningen arean som en funktion \( \, A(x) \, \) av endast variabeln \( \, x \, \). Betrakta \( \, a, b\, \) som konstanter.

b)   Bestäm \( \, x \, \) så att funktionen \( \, A(x) \, \) antar sitt maximum. Pga de obestämda konstanterna kommer \( \, x \, \) att vara ett uttryck i \( \, a \, \) resp. \( \, b \, \).

      Ställ upp boytans maximala area som ett uttryck i \( \, a \, \) och \( \, b \, \)

c)   Kontrollera om du får samma resultat som i övn. 10 när du i uttrycken här sätter in värdena \( \, a = 20 \, \) och \( \, b = 30 \, \) från övn. 10.