Skillnad mellan versioner av "1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
| − | {{Not selected tab|[[1. | + | {{Not selected tab|[[1.1 Polynom|<-- Förra demoavsnitt]]}} |
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Genomgång]]}} | {{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Genomgång]]}} | ||
{{Selected tab|[[1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Övningar]]}} | {{Selected tab|[[1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Övningar]]}} | ||
{{Not selected tab|[[1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Fördjupning]]}} | {{Not selected tab|[[1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Fördjupning]]}} | ||
| − | {{Not selected tab|[[ | + | {{Not selected tab|[[Detta diagnosprov ingår inte i demon.|<strong><span style="color:red">Diagnosprov kap 1 --></span>]]}} |
<!-- {{Not selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Nästa avsnitt --> <!-- ]]}} --> | <!-- {{Not selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Nästa avsnitt --> <!-- ]]}} --> | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
| Rad 12: | Rad 12: | ||
| − | <Big><Big><Big><span style="color: | + | <Big><Big><Big><span style="color:#A4A4A4">E-övningar: 1-5</span></Big></Big></Big> |
| − | == | + | <div class="ovnE"> |
| − | < | + | == <b><span style="color:#931136">Övning 1</span></b> == |
Bestäm för varje graf om den visar en diskret eller en kontinuerlig funktion. | Bestäm för varje graf om den visar en diskret eller en kontinuerlig funktion. | ||
| Rad 25: | Rad 25: | ||
[[Image: Övn 1.jpg]] | [[Image: Övn 1.jpg]] | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.5a Svar 1a|Svar 1b|1.5a Svar 1b|Svar 1c|1.5a Svar 1c|Svar 1d|1.5a Svar 1d}}</div> | |
| − | + | ||
| − | <div class=" | + | <div class="ovnE"> |
| − | a) Rita grafen till den diskreta funktionen | + | == <b><span style="color:#931136">Övning 2</span></b> == |
| + | a) Rita grafen till den diskreta funktionen | ||
::<math> y = x^2\, </math> | ::<math> y = x^2\, </math> | ||
| Rad 37: | Rad 38: | ||
Undersök om din grafräknare kan rita diskreta funktioner. Om ja gör det, annars rita manuellt på rutat papper. | Undersök om din grafräknare kan rita diskreta funktioner. Om ja gör det, annars rita manuellt på rutat papper. | ||
| − | b) Rita med grafräknaren grafen till den kontinuerliga funktionen | + | b) Rita med grafräknaren grafen till den kontinuerliga funktionen |
::<math> y = x^2\, </math> | ::<math> y = x^2\, </math> | ||
| Rad 45: | Rad 46: | ||
Fundera själv vilka min- och max-värden du borde ange för räknarens display (WINDOW-knappen). | Fundera själv vilka min- och max-värden du borde ange för räknarens display (WINDOW-knappen). | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.5a Svar 2a|Svar 2b|1.5a Svar 2b}}</div> | |
| − | + | ||
| − | <div class=" | + | <div class="ovnE"> |
| − | Anta att varje ruta i grafen | + | == <b><span style="color:#931136">Övning 3</span></b> == |
| + | På bilden visas grafen till en funktion. Den ihåliga ringen i grafen betyder att detta värde inte tillhör funktionens värdemängd, medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden. Anta att varje ruta i grafen har längdenheten <math> 1\, </math>. | ||
[[Image: Övn 3 60a.jpg]] | [[Image: Övn 3 60a.jpg]] | ||
| − | a) Är funktionen <math> f(x)\, </math> diskret eller kontinuerlig? | + | a) Är funktionen <math> f(x)\, </math> diskret eller kontinuerlig? |
| − | b) Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen <math> f(x)\, </math> för <math> x = 4\, </math>? | + | b) Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen <math> f(x)\, </math> för <math> x = 4\, </math>? |
| − | c) För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> inte definierad i det ritade intervallet? | + | c) För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> inte definierad i det ritade intervallet? |
| − | d) För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> inte kontinuerlig i det ritade intervallet? | + | d) För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> inte kontinuerlig i det ritade intervallet? |
Motivera dina svar. | Motivera dina svar. | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.5a Svar 3a|Svar 3b|1.5a Svar 3b|Svar 3c|1.5a Svar 3c|Svar 3d|1.5a Svar 3d}}</div> | |
| + | |||
| − | == | + | <div class="ovnE"> |
| − | < | + | == <b><span style="color:#931136">Övning 4</span></b> == |
| − | Anta att varje ruta i grafen nedan har längdenheten <math> 1\, </math>. | + | Kom ihåg att de ihåliga ringarna i grafen nedan betyder att dessa värden inte tillhör funktionens värdemängd, medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden. Anta att varje ruta i grafen nedan har längdenheten <math> 1\, </math>. |
[[Image: Övn 4 60.jpg]] | [[Image: Övn 4 60.jpg]] | ||
| − | a) Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen <math> f(x)\, </math> för <math> x = 4\, </math>? | + | a) Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen <math> f(x)\, </math> för <math> x = 4\, </math>? |
| − | b) Är funktionen <math> f(x)\, </math> definierad för alla <math> x\, </math> i det ritade intervallet? | + | b) Är funktionen <math> f(x)\, </math> definierad för alla <math> x\, </math> i det ritade intervallet? |
| − | c) Är funktionen <math> f(x)\, </math> kontinuerlig för alla <math> x\, </math> i det ritade intervallet? | + | c) Är funktionen <math> f(x)\, </math> kontinuerlig för alla <math> x\, </math> i det ritade intervallet? |
| − | d) För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> kontinuerlig och för vilka är den diskontinuerlig?. | + | d) För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> kontinuerlig och för vilka är den diskontinuerlig?. |
Motivera dina svar. | Motivera dina svar. | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.5a Svar 4a|Svar 4b|1.5a Svar 4b|Svar 4c|1.5a Svar 4c|Svar 4d|1.5a Svar 4d}}</div> | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | <div class="ovnE"> | |
| + | == <b><span style="color:#931136">Övning 5</span></b> == | ||
| + | I genomgången beräknades de <math> \, 12 \, </math> första fibonaccitalen. Ta reda på de två första fibonaccitalen och använd mönstret att summan av två på varandra följande fibonaccital ger nästa fibonaccital. | ||
| − | + | a) Komplettera med miniräknaren beräkningen med ytterligare <math> \, 12 \, </math> fibonaccital, dvs beräkna <math> \, F(13) - F(24) </math>. Hur många kaninpar kommer att finnas om två år? | |
| + | |||
| + | b) I genomgången visades grafen för de 12 första fibonaccitalen. Rita Fibonaccis diskreta funktion för fibonaccitalen <math> F(12) - F(24) </math>. | ||
Undersök om din grafräknare kan rita diskreta funktioner. Om ja gör det, annars rita manuellt på rutat papper | Undersök om din grafräknare kan rita diskreta funktioner. Om ja gör det, annars rita manuellt på rutat papper | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.5a Svar 5a|Svar 5b|1.5a Svar 5b}}</div> | |
| − | |||
| − | + | <Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 6-8</span></Big></Big></Big> | |
| − | < | + | |
| − | + | ||
| − | |||
| − | + | <div class="ovnC"> | |
| + | == <b><span style="color:#931136">Övning 6</span></b> == | ||
| + | Använd Excel för att beräkna de första <math> \, 24 \, </math> fibonaccitalen <math> \, F(n), \quad n = 1, 2, 3, \cdots , 24 </math>. Följ [[Algoritm i Excel|<strong><span style="color:blue">algoritmen</span></strong>]] som visades på genomgången. | ||
| − | + | Fortsätt i Excel med att i en 3:e kolumn beräkna kvoten <math> \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} </math> för varje <math> \, n = 1, 2, 3, \cdots , 24 </math>. | |
| − | + | a) Mot vilket värde går kvoten <math> \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} \, </math> när <math> n\, </math> växer? Ange svaret med <math> \, 9 \, </math> decimaler. | |
| − | + | Det värde du har hittat för kvoten ovan är ett närmevärde till det s.k. gyllene snittets proportionella förhållande (skala). För att få reda på vad detta innebär lös b): | |
| − | + | b) En sträcka kan delas i två delar där den längre delen är <math> \, 1 \, </math> och den kortare delen är <math> x\, </math>: | |
| − | + | ::::[[Image: Övn 6 60a.jpg]] | |
| − | + | Om delningen är vald så att hela sträckan förhåller sig till den längre delen som denna bit förhåller sig till den kortare delen, så sägs sträckan vara delad enligt [http://sv.wikipedia.org/wiki/Gyllene_snittet <strong><span style="color:blue">gyllene snittet</span></strong>]. Översatt till ekvation blir det: | |
| − | + | ::::::::<math> {\color{White} x} {1+x \over 1} \, = \, {1 \over x} </math> | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | ::::<math> {\color{White} x} {1+x \over 1} \, = \, {1 \over x} </math> | + | |
Lös denna ekvation exakt. Ange dess positiva lösning - kallad <math> g\, </math> (= gyllene snittet) samt ett närmevärde till <math> g\, </math> med nio decimaler. Jämför resultatet med a). | Lös denna ekvation exakt. Ange dess positiva lösning - kallad <math> g\, </math> (= gyllene snittet) samt ett närmevärde till <math> g\, </math> med nio decimaler. Jämför resultatet med a). | ||
| + | c) Hur skulle man kunna matematiskt beskriva sambandet mellan fibonaccitalen och gyllene snittet? | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.5a Svar 6a|Lösning 6a|1.5a Lösning 6a|Svar 6b|1.5a Svar 6b|Lösning 6b|1.5a Lösning 6b|Svar 6c|1.5a Svar 6c}}</div> | |
| − | |||
| − | == | + | <div class="ovnC"> |
| − | < | + | == <b><span style="color:#931136">Övning 7</span></b> == |
Rita graferna till följande funktioner. | Rita graferna till följande funktioner. | ||
| Rad 151: | Rad 137: | ||
| − | a) <math> | + | a) <math> f(x) = </math> <big><big><math> {x^2\,-\,3\,x\,-\,4 \over x\,-\,2} </math></big></big> |
| − | b) <math> | + | b) <math> g(x) \, = \, \begin{cases} 3\,x - 2 & \mbox{om } x \leq 0 \\ |
-2 & \mbox{om } x > 0 \\ | -2 & \mbox{om } x > 0 \\ | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
| Rad 160: | Rad 146: | ||
| − | c) <math> | + | c) <math> h(x) \, = \, \begin{cases} 2\,x + 1 & \mbox{om } x \leq 1 \\ |
5 & \mbox{om } x > 1 \\ | 5 & \mbox{om } x > 1 \\ | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
</math> | </math> | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Lösning 7a|1.5a Svar 7a|Lösning 7b|1.5a Svar 7b|Lösning 7c|1.5a Svar 7c}}</div> | |
| − | + | ||
| − | <div class=" | + | <div class="ovnC"> |
| + | == <b><span style="color:#931136">Övning 8</span></b> == | ||
Följande graf till en funktion <math> y = f(x)\, </math> är given: | Följande graf till en funktion <math> y = f(x)\, </math> är given: | ||
:[[Image: Övn 8.png]] | :[[Image: Övn 8.png]] | ||
| − | a) Ställ upp ett funktionsuttryck för <math> f(x)\, </math>. | + | a) Ställ upp ett funktionsuttryck för <math> f(x)\, </math>. |
Utnyttja möjligheten att för en och samma funktion ställa upp olika uttryck i olika delar av funktionens definitionsmängd. | Utnyttja möjligheten att för en och samma funktion ställa upp olika uttryck i olika delar av funktionens definitionsmängd. | ||
| − | b) Undersök med hjälp av den [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Allm.C3.A4n_definition|<strong><span style="color:blue">allmänna definitionen</span></strong>]] för kontinuerliga funktioner om <math> f(x)\, </math> är kontinuerlig för <math> x = 0\, </math>. | + | b) Undersök med hjälp av den [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Allm.C3.A4n_definition|<strong><span style="color:blue">allmänna definitionen</span></strong>]] för kontinuerliga funktioner om <math> f(x)\, </math> är kontinuerlig för <math> x = 0\, </math>. |
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 8a|1.5a Svar 8a|Svar 8b|1.5a Svar 8b}}</div> | |
| − | |||
| − | = | + | <Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 9-11</span></Big></Big></Big> |
| − | <div class=" | + | |
| + | |||
| + | <div class="ovnA"> | ||
| + | == <b><span style="color:#931136">Övning 9</span></b> == | ||
Följande funktion är given: | Följande funktion är given: | ||
::<math> y = f(x) = {x^2 - 9 \over x-3}\;,\qquad x\quad\text{reell} </math> | ::<math> y = f(x) = {x^2 - 9 \over x-3}\;,\qquad x\quad\text{reell} </math> | ||
| − | a) Rita funktionens graf. Kan man av grafen dra slutsatsen att <math> f(x)\, </math> är kontinuerlig för alla <math> \,x</math>? Om inte, ange för vilka <math> x\, </math> funktionen är diskontinuerlig. Motivera ditt svar. | + | a) Rita funktionens graf. Kan man av grafen dra slutsatsen att <math> f(x)\, </math> är kontinuerlig för alla <math> \,x</math>? Om inte, ange för vilka <math> x\, </math> funktionen är diskontinuerlig. Motivera ditt svar. |
| − | b) Faktorisera polynomet i funktionsuttryckets täljare. Förkorta sedan. | + | b) Faktorisera polynomet i funktionsuttryckets täljare. Förkorta sedan. |
| − | c) Är resultatet i b) ett uttryck till en ny funktion eller är det bara en annan form till funktionen <math> f(x)\, </math>? Motivera ditt svar. | + | c) Är resultatet i b) ett uttryck till en ny funktion eller är det bara en annan form till funktionen <math> f(x)\, </math>? Motivera ditt svar. |
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 9a|1.5a Svar 9a|Svar 9b|1.5a Svar 9b|Svar 9c|1.5a Svar 9c}}</div> | |
| − | + | ||
| − | <div class=" | + | <div class="ovnA"> |
| + | == <b><span style="color:#931136">Övning 10</span></b> == | ||
Följande funktion är given: | Följande funktion är given: | ||
::<math> y = f(x) = {3\,x^2 + 12\,x + 12 \over x^2\,-\,4}\;,\qquad x\quad\text{reellt tal} </math> | ::<math> y = f(x) = {3\,x^2 + 12\,x + 12 \over x^2\,-\,4}\;,\qquad x\quad\text{reellt tal} </math> | ||
| − | a) Ange funktionens diskontinuiteter. Vilka är [[ | + | a) Ange funktionens diskontinuiteter. Vilka är [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<strong><span style="color:blue">hävbara</span></strong>]] och vilka är [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<strong><span style="color:blue">icke-hävbara</span></strong>]] diskontinuiteter? |
| + | |||
| + | b) Definiera funktionen <math>\,f(x)</math>:s [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<strong><span style="color:blue">kontinuerliga fortsättning</span></strong>]] <math> g(x)\, </math>, dvs en funktion som inte längre har <math>\, f(x)</math>:s hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med <math> f(x)\, </math>. | ||
| − | + | c) Rita graferna till <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Vilka slutsatser kan man dra av grafernas förlopp? | |
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 10a|1.5a Svar 10a|Lösning 10a|1.5a Lösning 10a|Svar 10b|1.5a Svar 10b|Lösning 10b|1.5a Lösning 10b|Lösning 10c|1.5a Lösning 10c}}</div> | |
| − | |||
| − | == | + | <div class="ovnA"> |
| − | < | + | == <b><span style="color:#931136">Övning 11</span></b> == |
Fibonaccis funktion | Fibonaccis funktion | ||
| Rad 225: | Rad 216: | ||
är inte bara diskret utan också rekursiv, vilket betyder att den i sin definition använder sig själv, närmare bestämt de två föregående värdena. Dvs den anropar sig själv fast med olika argument. Man måste alltid känna till de två föregående värdena. Därför har den också två startvärden. | är inte bara diskret utan också rekursiv, vilket betyder att den i sin definition använder sig själv, närmare bestämt de två föregående värdena. Dvs den anropar sig själv fast med olika argument. Man måste alltid känna till de två föregående värdena. Därför har den också två startvärden. | ||
| − | Men det finns även en icke-rekursiv formel för direkt beräkning av fibonaccitalen. Fördelen med denna explicita formel är att man inte behöver känna till några föregående värden. Därför lämpar den sig för direkt beräkning av stora fibonaccital, utan att beräkna alla föregående fibonaccital. Den upptäcktes först 1718 och | + | Men det finns även en icke-rekursiv formel för direkt beräkning av fibonaccitalen. Fördelen med denna explicita formel är att man inte behöver känna till några föregående värden. Därför lämpar den sig för direkt beräkning av stora fibonaccital, utan att beräkna alla föregående fibonaccital. Den upptäcktes först 1718 och har en vacker struktur: |
| − | |||
::<math> F(n) = {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 </math> | ::<math> F(n) = {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 </math> | ||
| − | |||
Bevisa denna explicita formel dvs visa att den uppfyller Fibonaccis rekursionsformel ovan. | Bevisa denna explicita formel dvs visa att den uppfyller Fibonaccis rekursionsformel ovan. | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Ledning 11|1.5a Ledning 11|Lösning 11|1.5a Lösning 11}}</div> | |
| Rad 242: | Rad 231: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved. |
Versionen från 3 juli 2015 kl. 13.55
| <-- Förra demoavsnitt | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Diagnosprov kap 1 --> |
E-övningar: 1-5
Övning 1
Bestäm för varje graf om den visar en diskret eller en kontinuerlig funktion.
Ange även om och i så fall för vilka \( x \, \) funktionerna har diskontinuiteter.
Motivera dina svar.
Hämtar...
Övning 2
a) Rita grafen till den diskreta funktionen
- \[ y = x^2\, \]
vars definitionsmängd är alla heltal \( x\, \) mellan \( -5\, \) och \( 5\, \) dvs \( -5 \leq x \leq 5 \).
Undersök om din grafräknare kan rita diskreta funktioner. Om ja gör det, annars rita manuellt på rutat papper.
b) Rita med grafräknaren grafen till den kontinuerliga funktionen
- \[ y = x^2\, \]
vars definitionsmängd är alla reella tal \( x\, \) mellan \( -5\, \) och \( 5\, \) dvs \( -5 \leq x \leq 5 \).
Fundera själv vilka min- och max-värden du borde ange för räknarens display (WINDOW-knappen).
Övning 3
På bilden visas grafen till en funktion. Den ihåliga ringen i grafen betyder att detta värde inte tillhör funktionens värdemängd, medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden. Anta att varje ruta i grafen har längdenheten \( 1\, \).
a) Är funktionen \( f(x)\, \) diskret eller kontinuerlig?
b) Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen \( f(x)\, \) för \( x = 4\, \)?
c) För vilka \( x\, \) är funktionen \( f(x)\, \) inte definierad i det ritade intervallet?
d) För vilka \( x\, \) är funktionen \( f(x)\, \) inte kontinuerlig i det ritade intervallet?
Motivera dina svar.
Övning 4
Kom ihåg att de ihåliga ringarna i grafen nedan betyder att dessa värden inte tillhör funktionens värdemängd, medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden. Anta att varje ruta i grafen nedan har längdenheten \( 1\, \).
a) Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen \( f(x)\, \) för \( x = 4\, \)?
b) Är funktionen \( f(x)\, \) definierad för alla \( x\, \) i det ritade intervallet?
c) Är funktionen \( f(x)\, \) kontinuerlig för alla \( x\, \) i det ritade intervallet?
d) För vilka \( x\, \) är funktionen \( f(x)\, \) kontinuerlig och för vilka är den diskontinuerlig?.
Motivera dina svar.
Övning 5
I genomgången beräknades de \( \, 12 \, \) första fibonaccitalen. Ta reda på de två första fibonaccitalen och använd mönstret att summan av två på varandra följande fibonaccital ger nästa fibonaccital.
a) Komplettera med miniräknaren beräkningen med ytterligare \( \, 12 \, \) fibonaccital, dvs beräkna \( \, F(13) - F(24) \). Hur många kaninpar kommer att finnas om två år?
b) I genomgången visades grafen för de 12 första fibonaccitalen. Rita Fibonaccis diskreta funktion för fibonaccitalen \( F(12) - F(24) \).
Undersök om din grafräknare kan rita diskreta funktioner. Om ja gör det, annars rita manuellt på rutat papper
C-övningar: 6-8
Övning 6
Använd Excel för att beräkna de första \( \, 24 \, \) fibonaccitalen \( \, F(n), \quad n = 1, 2, 3, \cdots , 24 \). Följ algoritmen som visades på genomgången.
Fortsätt i Excel med att i en 3:e kolumn beräkna kvoten \( \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} \) för varje \( \, n = 1, 2, 3, \cdots , 24 \).
a) Mot vilket värde går kvoten \( \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} \, \) när \( n\, \) växer? Ange svaret med \( \, 9 \, \) decimaler.
Det värde du har hittat för kvoten ovan är ett närmevärde till det s.k. gyllene snittets proportionella förhållande (skala). För att få reda på vad detta innebär lös b):
b) En sträcka kan delas i två delar där den längre delen är \( \, 1 \, \) och den kortare delen är \( x\, \):
Om delningen är vald så att hela sträckan förhåller sig till den längre delen som denna bit förhåller sig till den kortare delen, så sägs sträckan vara delad enligt gyllene snittet. Översatt till ekvation blir det:
- \[ {\color{White} x} {1+x \over 1} \, = \, {1 \over x} \]
Lös denna ekvation exakt. Ange dess positiva lösning - kallad \( g\, \) (= gyllene snittet) samt ett närmevärde till \( g\, \) med nio decimaler. Jämför resultatet med a).
c) Hur skulle man kunna matematiskt beskriva sambandet mellan fibonaccitalen och gyllene snittet?
Övning 7
Rita graferna till följande funktioner.
Avgör om funktionerna är kontinuerliga för alla reella \( x\, \). Om inte, ange för vilka \( x\, \) de är diskontinuerliga samt diskontuiteternas typ. Motivera dina svar.
a) \( f(x) = \) \( {x^2\,-\,3\,x\,-\,4 \over x\,-\,2} \)
b) \( g(x) \, = \, \begin{cases} 3\,x - 2 & \mbox{om } x \leq 0 \\
-2 & \mbox{om } x > 0 \\
\end{cases}
\)
c) \( h(x) \, = \, \begin{cases} 2\,x + 1 & \mbox{om } x \leq 1 \\
5 & \mbox{om } x > 1 \\
\end{cases}
\)
Övning 8
Följande graf till en funktion \( y = f(x)\, \) är given:
a) Ställ upp ett funktionsuttryck för \( f(x)\, \).
Utnyttja möjligheten att för en och samma funktion ställa upp olika uttryck i olika delar av funktionens definitionsmängd.
b) Undersök med hjälp av den allmänna definitionen för kontinuerliga funktioner om \( f(x)\, \) är kontinuerlig för \( x = 0\, \).
A-övningar: 9-11
Övning 9
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = {x^2 - 9 \over x-3}\;,\qquad x\quad\text{reell} \]
a) Rita funktionens graf. Kan man av grafen dra slutsatsen att \( f(x)\, \) är kontinuerlig för alla \( \,x\)? Om inte, ange för vilka \( x\, \) funktionen är diskontinuerlig. Motivera ditt svar.
b) Faktorisera polynomet i funktionsuttryckets täljare. Förkorta sedan.
c) Är resultatet i b) ett uttryck till en ny funktion eller är det bara en annan form till funktionen \( f(x)\, \)? Motivera ditt svar.
Övning 10
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = {3\,x^2 + 12\,x + 12 \over x^2\,-\,4}\;,\qquad x\quad\text{reellt tal} \]
a) Ange funktionens diskontinuiteter. Vilka är hävbara och vilka är icke-hävbara diskontinuiteter?
b) Definiera funktionen \(\,f(x)\):s kontinuerliga fortsättning \( g(x)\, \), dvs en funktion som inte längre har \(\, f(x)\):s hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med \( f(x)\, \).
c) Rita graferna till \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Vilka slutsatser kan man dra av grafernas förlopp?
Övning 11
Fibonaccis funktion
- \[ F(n) \, = \, \begin{cases} 1 & \mbox{om } n = 1 \\ 1 & \mbox{om } n = 2\; , \qquad\qquad n \quad\mbox{heltal} \\ F(n-1) + F(n-2) & \mbox{om } n = 3,\,4,\,5,\,\cdots \end{cases} \]
är inte bara diskret utan också rekursiv, vilket betyder att den i sin definition använder sig själv, närmare bestämt de två föregående värdena. Dvs den anropar sig själv fast med olika argument. Man måste alltid känna till de två föregående värdena. Därför har den också två startvärden.
Men det finns även en icke-rekursiv formel för direkt beräkning av fibonaccitalen. Fördelen med denna explicita formel är att man inte behöver känna till några föregående värden. Därför lämpar den sig för direkt beräkning av stora fibonaccital, utan att beräkna alla föregående fibonaccital. Den upptäcktes först 1718 och har en vacker struktur:
- \[ F(n) = {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 \]
Bevisa denna explicita formel dvs visa att den uppfyller Fibonaccis rekursionsformel ovan.
Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
