Skillnad mellan versioner av "1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner"

Versionen från 24 september 2015 kl. 23.08

Fördjupning

Lektion 8 Kontinuerliga & diskreta funktioner

I genomgången sades att kontinuerlig (motsatsen till diskret) betydde sammanhängande.

Definitionsmängder till kontinuerliga funktioner är kontinuerliga mängder som t.ex. de rationella eller de reella talen. Som exempel på en kontinuerlig funktion ritades grafen till en linjär funktion med en genomdragen rät linje. Kontinuerliga funktioners grafer kan man rita utan att lyfta pennan. Allt detta är fortfarande sant, men alla dessa resonemang är intuitiva.

Här följer en mer exakt matematisk definition:

Allmän definition för kontinuerliga funktioner

En funktion \( \, y = f(x) \, \) är kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = a}} \, \) om:

\[ f(x) \to f(a) \quad {\rm när} \quad x \to a \]

Läs den andra raden i definitionen så här \( \; {\rm " }f(x) \, \) går mot \( f(a)\, \) när \( x\, \) går mot \( a \, {\rm "} \).

Observera att definitionen är punktvis, dvs den talar om när en funktion är kontinuerlig för ett visst \( {\color{Red} x}\, \)-värde nämligen för \( {\color{Red} {x = a}}\, \).

Man skulle kunna lägga till att en funktion i sin helhet är kontinuerlig om den är kontinuerlig för alla \( \, x\, \). Då måste även kontinuitet prövas för varje \( \, x\, \).

Exempel 1

Låt oss titta på följande rationell funktion:

\( \displaystyle{y = 5 \over x \, - \, 1} \)

vars graf ser ut så här:

a) Är denna funktion enligt definition kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = 1}}\, \)?

I definitionen ersätter vi \( \, a \, \) med \( \, 1 \, \) och \( \, f(x) \, \) med \( \displaystyle{5 \over x \, - \, 1}\).

Definitionen säger: \( y = f(x) = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, \) är kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = 1}}\, \) om \( \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \to f(1) \quad {\rm när} \quad x \to 1 \).

Vi kontrollerar detta både i funktionsuttrycket och i grafen: Låter vi \( \, x \, \) gå mot \( \, 1 \, \), går \( \, y\, \) mot \( +\infty \) eller \( -\infty \).

Dvs \( \, f(1)\, \) dvs \( \displaystyle{5 \over 0} \) är inte ens definierad. \( \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, \) kan inte gå mot något som inte är definierat. Därmed är definitionens krav inte uppfyllt.

Slutsats: Funktionen \( \, y = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, \) är inte kontinuerlig för \( \, x = 1 \).

Exemplet visar att en funktion måste åtminstone vara definierad för ett visst \( \, x \), för att den ska vara kontinuerlig för detta \( \, x \). Att vara definierad är en förutsättning för att en funktion ska vara kontinuerlig.

b) Är samma funktion enligt definition kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = 2}}\, \)?

För att tillämpa definitionen på vårt exempel ersätter vi där \( a \, \) med \( 2 \, \) och \( f(x) \, \) med \( 1 \over x \). Definitionen säger: \( y = f(x) = \displaystyle {1 \over x} \) är kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = 2}}\, \) om:

\[ {1 \over x} \to {1 \over 2} \quad {\rm när} \quad x \to 2 \]

Titta på grafen: Närmar man sig \( 2\, \) på \( x\, \)-axeln från höger eller från vänster, närmar sig \( y\, \) värdet \( 1 \over 2 \) i båda fall, därör att \( f(2) = \) \( 1 \over 2 \). Därmed är dfinitionens krav uppfyllt.

Slutsats: Funktionen \( y = \) \( 1 \over x \) är kontinuerlig för \( x = 2\, \).

På samma sätt kan man undersöka om funktionen är kontinuerlig för andra \( {\color{Red} x}\, \). Sammanfattningsvis blir resultatet:

Funktionen \( y = \) \( 1 \over x \) är kontinuerlig för alla \( x \neq 0\, \).

Resultatet kan också ses i grafen: Endast i \( x=0\, \) skenar kurvorna iväg mot oändligheten, den ena mot \( + \infty\, \), den andra mot \( - \infty\, \), annars är de sammanhängande. </div>

Exempel 2

Inom datateknik används en funktion som heter Heavisidefunktionen:

\( y \, = \, H(x) \, = \, \begin{cases} -1 & \mbox{om } x < 0 \\ 0 & \mbox{om } x = 0 \qquad x \;\mbox{reellt tal} \\ 1 & \mbox{om } x > 0 \end{cases} \)

vars graf ser ut så här:

De ihåliga ringarna vid \( y = 1 \, \) och \( y = -1 \, \) betyder att dessa värden inte tillhör funktionens värdemängd, medan den ifyllda ringen vid origo innebär att detta värde tillhör värdemängden.

Grafen visar en signal vars amplitud skiftar från 0 till 1 \(-\) en egenskap som liknar impulserna inom datornätverk med ettor och nollor. Funktionens skapare Oliver Heaviside använde den för att modellera strömmen genom elektriska kretsar.

Precis som hos Fibonaccis funktion har man även här utnyttjat möjligheten att för en och samma funktion definiera olika funktionsuttryck i olika delar av dess definitionsmängd. Kanske kan formeln ovan samt grafen, inkl. de ihåliga och ifyllda ringarna, förstås bättre med följande förenkling (OBS! Matematiskt inte korrekt):

\[\begin{array}{rcl} H(\mbox{negativa}\; x) & = & -1 \\ H(0) & = & 0 \\ H(\mbox{positiva}\; x) & = & 1 \end{array}\]

Dvs \( \, H(x) \, \) har för negativa \( \, x \, \) värdet \( \, -1 \, \), för \( \, x = 0 \, \) värdet \( \, 0 \, \) och för positiva \( \, x \, \) värdet \( \, 1 \, \).

Låt oss nu med hjälp av den allmänna definitionen för kontinuerliga funktioner undersöka om Heavisidefunktionen är kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = 0}} \). Enligt definitionen borde då:

\[ H(x) \to H(0) \quad {\rm när} \quad x \to 0 \]

Närmar man sig \( 0\, \) på \( x\, \)-axeln från höger närmar sig \( H(x)\, \) värdet \( 1\, \). Närmar man sig \( 0\, \) från vänster närmar sig \( H(x)\, \) värdet \( -1\, \). Dvs \( H(x) \to 1\, \) och \( \to -1\, \) när \( x \to 0 \).

Men \( H(0) = 0\, \). \( H(x)\, \) går dock inte mot \( H(0) = 0\, \) när \( x \to 0 \), vilket den borde göra om den hade varit kontinuerlig för \( x = 0\, \).

Därmed är definitionens krav inte uppfyllt. Funktionen \( H(x)\, \) är inte kontinuerlig för \( x = 0\, \).

Undersökar man vidare kontinuiteten för andra \( x\, \) kommer det att visa sig att \( H(x)\, \) är kontinuerlig för alla andra \( x\, \):

Funktionen \( H(x)\, \) är kontinuerlig för alla \( x \neq 0\, \).

Resultatet kan också ses i grafen: Endast i \( x=0\, \) har den ett hopp, annars är den sammanhängande.

Olika typer av diskontinuitet

Tittar man bara på resultatet kan man inte upptäcka någon skillnad mellan Exempel 1 och Exempel 2: Båda funktionerna är kontinuerliga för alla \( x \neq 0 \). Men graferna \(-\) och även funktionernas definition \(-\) visar ändå en ganska markant skillnad. Faktiskt handlar det om två helt olika typer av diskontinuitet i \( x = 0\, \):

Diskontinuitet av typ oändlighetsställe

I Exempel 1 är funktionen inte kontinuerlig för \( x = 0\, \) därför att \( y = \) \( 1 \over x \) överhuvudtaget inte är definierad för \( x = 0\, \). Kurvorna skenar iväg mot oändligheten, den ena mot \( + \infty\, \), den andra mot \( - \infty\, \). Detta beror förstås på uttrycket \( 1 \over x \) som inte är definierad för \( x = 0\, \). Vi har ett slags oändlighetsställe i \( x = 0\, \) vilket är ganska typiskt för rationella funktioner. Den här typen av diskontinuitet är en konsekvens av funktionens icke-definierbarhet i \( x = 0\, \). Annars är funktionen kontinuerlig i sin definitionsmängd.

Diskontinuitet av typ hopp

I Exempel 2 är Heavisidefunktionen inte kontinuerlig för \( x = 0\, \) därför att \( H(x)\, \) har ett hopp i sitt förlopp just i \( x = 0\, \). Den har ett väl definierat värde för \( x = 0\, \), nämligen \( H(0) = 0\, \). Men hoppet från \( -1\, \) till \( 0\, \) och vidare från \( 0\, \) till \( 1\, \) gör att det uppstår en diskontinuitet just där. Att denna diskontinuitet är av en annan typ än oändlighetsstället i Exempel 1 är uppenbart. Till skillnad från Exempel 1 är funktionen i alla fall beräknebar, trots diskontinuiteten. Ja, den är t.o.m en bra modell för verkligheten, för så beter sig en signal när den hoppar från noll till ett, nämligen diskontinuerligt.

Det finns även andra typer av diskontinuitet, men oändlighetsställe och hopp är de oftast förekommande hos kontinuerliga funktioner.

@@ Rad 55: / Rad 55: @@
 Definitionen säger<span style="color:black">:</span> <math> y = f(x) = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, </math> är kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 1}}\, </math> om <math> \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \to f(1) \quad {\rm när} \quad x \to 1 </math>.
-Vi kontrollerar detta både i funktionsuttrycket och i grafen: Låter vi <math> \, x \, </math> gå mot <math> \, 1 \, </math>, går <math> \, y\, </math> mot <math> +\infty </math> eller <math> -\infty </math>. Dvs <math> \, f(1)\, </math> dvs <math> \displaystyle{5 \over 0} </math> är inte ens definierad. <math> \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, </math> kan inte gå mot något som inte är definierat. Därmed är definitionens krav inte uppfyllt.
+Vi kontrollerar detta både i funktionsuttrycket och i grafen: Låter vi <math> \, x \, </math> gå mot <math> \, 1 \, </math>, går <math> \, y\, </math> mot <math> +\infty </math> eller <math> -\infty </math>.
+Dvs <math> \, f(1)\, </math> dvs <math> \displaystyle{5 \over 0} </math> är inte ens definierad. <math> \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, </math> kan inte gå mot något som inte är definierat. Därmed är definitionens krav inte uppfyllt.
 <strong><span style="color:#931136">Slutsats:</span></strong> Funktionen <math> \, y = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, </math> är inte kontinuerlig för <math> \, x = 1 </math>.