Skillnad mellan versioner av "2.4 Derivatans definition"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 126: | Rad 126: | ||
| + | <div class="exempel"> | ||
==== Exempel Oljetank (utvidgat) ==== | ==== Exempel Oljetank (utvidgat) ==== | ||
| Rad 133: | Rad 134: | ||
Ställ upp utströmningsfunktionens derivata med hjälp av derivatans definition. Rita grafen till den nya funktionen. | Ställ upp utströmningsfunktionens derivata med hjälp av derivatans definition. Rita grafen till den nya funktionen. | ||
| + | </div> | ||
| − | |||
| + | ==== Lösning: ==== | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="exempel"> | ||
Först ställer vi upp de uttryck som ingår i derivatans definition och förenklar dem: | Först ställer vi upp de uttryck som ingår i derivatans definition och förenklar dem: | ||
| Rad 151: | Rad 156: | ||
:<math> f\,'\,(x) \; = \; \lim_{h \to 0}\,\,{f(x + h) \, - \, f(x) \over h} \,=\, \lim_{h \to 0}\,{(8\,x + 4\,h - 380)} \,=\, 8\,x - 380 </math> | :<math> f\,'\,(x) \; = \; \lim_{h \to 0}\,\,{f(x + h) \, - \, f(x) \over h} \,=\, \lim_{h \to 0}\,{(8\,x + 4\,h - 380)} \,=\, 8\,x - 380 </math> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
<div class="border-div"> | <div class="border-div"> | ||
Versionen från 9 november 2015 kl. 12.44
| <-- Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt --> |
Lektion 18 Derivatans definition
Derivatan i en punkt
Exempel Oljetank
| En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten (Exempel 3 i förra avsnitt).
Oljans utströmning beskrivs av funktionen:
där \( \quad\; x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)
a) Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \quad \) \( \;\;\, \) som ett uttryck i \( \, h > 0 \, \) (något positivt tal). b) Beräkna oljans momentana utströmningshastighet i punkten \( \, x = 0 \) genom att \( \;\;\, \) i uttrycket från a) låta \( \, h \, \) gå mot \( \, 0 \). |
 |
Lösning:
a) Den allmänna definitionen till genomsnittlig förändringshastighet är:
- \[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \]
I exemplet Oljetank är \( \,x_1 = 0 \). Då har vi:
- \[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(0 + h) \, - \, f(0) \over h} \; = \; {f(h) \, - \, f(0) \over h} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \]
För \( \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \, \) får vi \( \, f\,(h) \, = \, 4\,h^2 - 380\,h + 9\,000 \, \) och \( \, f\,(0) \, = \, 9\,000 \).
Då blir oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \, \):
- \[ {\Delta y \over \Delta x} \,=\, {f(h) \, - \, f(0) \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h + 9\,000 \,-\, 9\,000 \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h \over h} \,=\, {{\color{Red} h}\,(4\,h - 380) \over {\color{Red} h}} \,=\, 4\,h - 380 \]
b) Nu låter vi i uttrycket \( 4\,h - 380 \) för den genomsnittliga utströmningshastigheten \( \, h\, \) gå mot \( 0\, \) för att få oljans momentana utströmningshastighet i \( \, x = 0\, \).
Dvs vi beräknar gränsvärdet:
- \[ \qquad \displaystyle \lim_{h \to 0}\, {(4\,h - 380)} \,=\, -\,380 \]
\( -\,380\, \) är oljans momentana utströmningshastighet i \( \, x = 0 \, \). Dvs vid denna tidpunkt sjunker oljan med exakt \( 380\, \) liter per minut.
Ett annat ord för den momentana utströmningshastigheten är derivatan. Vi fick den genom att först (a) ställa upp den genomsnittliga förändringshastigheten i intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \, \) som ett uttryck i \( \, h \, \) och sedan (b) beräkna uttryckets gränsvärde för \( \, h \to 0 \). Resultatet kan uttryckas så här:
Funktionen \( \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \, \) har i punkten \( \, x = 0 \; \) derivatan \( \; -\,380 \; \).
Tidigare (Exempel 3 d) hade vi fått \( -\,379,6\, \) för den genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,1 \), vilket är ett närmevärde för derivatan, som nu visar sig vara ganska bra. Närmevärdet hade blivit ännu precisare om vi hade valt t.ex. intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,01 \) eller \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,001 \) osv. Det exakta värdet \( -\,380 \, \) får man om man i intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \) låter \( h \to 0 \).
I exemplet ovan är oljans momentana utströmningshastighet derivatans fysikaliska tolkning.
Men derivatan har även en geometrisk tolkning som är ganska intuitiv:
Från sekanten till tangenten
Vi ställer frågan efter kurvan \( \, y = f\,(x)\):s lutning i en given punkt \( \, x = a \, \), som är identisk med tangentens lutning i denna punkt. Med denna lutning samt punkten \( \, (a,\,f(a)) \, \) kan vi ställa upp tangentens ekvation. Men hur får vi tangentens lutning?
Tangentens lutning får vi genom att först beräkna sekantens lutning och sedan låta sekanten gå över till tangenten.
Derivatan som ett tal
Derivatan som en funktion
Exemplet ovan visar att derivatan av en andragradsfunktion (parabel) är en linjär funktion (rät linje).
Medan både det fysikaliska Exemplet Oljetank och den geometriska tolkningen Från sekanten till tangenten beräknade derivatan lokalt som ett tal definierar exemplet ovan derivatan som en ny funktion.
Detta resultat fick vi genom att betrakta punkten \( \, a \, \) inte längre som en konstant utan som en variabel \( \, x \). Med andra ord, vi tillämpade den lokala definitionen av derivatan (i en punkt) på varenda punkt \( \, a \, \) på \( \, x\)-axeln. Tänker man sig att alla dessa derivatvärden är tilldelade sina respektive \( \, x\)-värden, bildar denna tilldelning en ny funktion som är den ursprungliga funktionens derivata, fast inte längre som ett tal utan som ett uttryck i \( \, x \).
Ett annat sätt att skriva derivatan av en funktion \( y = f(x)\, \) som anknyter till \( \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \), är \( \displaystyle {dy \over dx} \) vilket vi dock inte kommer att använda i detta kapitel.
Allmän definition
Derivatan till funktionen \( \, y = f\,(x) \, \) är \( \, \displaystyle f\,\,{\color{Red} '}\,\,(x) \; = \; \lim_{h \to 0}\,\,{f(x + h) \, - \, f(x) \over h} \)
\( {\color{Red} '} \; \) är symbolen för derivatan. \( \;\, f\,{\color{Red} '}(x) \; \) läses så här: "\(f \) prim av \( \, x \, \)" .
Exempel Oljetank (utvidgat)
En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:
- \[ y \, = \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]
Ställ upp utströmningsfunktionens derivata med hjälp av derivatans definition. Rita grafen till den nya funktionen.
Lösning:
Först ställer vi upp de uttryck som ingår i derivatans definition och förenklar dem:
\[ \begin{array}{lcl} f(x + h) & = & 4\,(x+h)^2 - 380\,(x+h) + 9\,000 = 4\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - 380\,x - 380\,h + 9\,000 = \\ & = & 4\,x^2 + 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,x - 380\,h + 9\,000 \\ f(x + h) - f(x) & = & 4\,x^2 + 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,x - 380\,h + 9\,000 - (4\,x^2 - 380\,x + 9\,000) = \\ & = & 4\,x^2 + 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,x - 380\,h + 9\,000 - 4\,x^2 + 380\,x - 9\,000 \;\;\, =\\ & = & 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,h \, = \, h\,(8\,x + 4\,h - 380) \\ {f(x + h) - f(x) \over h} & = & {h\,(8\,x + 4\,h - 380) \over h} \, = \, 8\,x + 4\,h - 380 \end{array}\]
| Nu sätter vi in det förenklade uttrycket ovan i derivatans definition och beräknar gränsvärdet:
\[ f\,'\,(x) \; = \; \lim_{h \to 0}\,\,{f(x + h) \, - \, f(x) \over h} \,=\, \lim_{h \to 0}\,{(8\,x + 4\,h - 380)} \,=\, 8\,x - 380 \] </div>
\( f\,'\,(x) = 8\,x - 380 \) är derivatan till oljans utströmningsfunktion \( y = f\,(x) \).
Att derivatan är en linjär funktion och dess graf en rät linje är ingen tillfällighet utan ett exempel på regeln: Derivatan av andragradsfunktioner är linjära.
|
<td> Fil:Oljetank derivata.jpg</td>
