Skillnad mellan versioner av "3.2 Lokala maxima och minima"

Exempel 2 Maximal företagsvinst

Vi återgår till Exempel 3 i förra avsnitt, men byter frågeställning:

Efter statistiska observationer har man kommit fram till att ett företags vinst kan beräknas enligt funktionen:

\[ V(t) \; = \; -3\,t^3\,+\,27\,t^2\,-\,72\,t\,+\,60 \]

där    \( V \; = \)   företagets vinst i \( 1\,000 \) kr och

         \( t \;\, = \)   tiden i antalet år efter årsskiftet 2009/2010 \(. \qquad \) Definitionsområde: \( \; 1 \leq t \leq 5 \)

a)   Ställ upp första- och andraderivatan. Rita graferna till \( \,V(t) \), \( \,V\,'(t) \) och \( \,V\,''(t) \) i separata koordinatsystem.

b)   När har företaget maximal vinst?

c)   Hur stor är företagets maximala vinst?

Frågorna b) och c) ska besvaras algebraiskt. Dessutom ska b) lösas både med andraderivatan och teckentabellen.

Lösning:

a)

b)   Derivatan är en 2:a gradsfunktion och har två reella nollställen. För att få reda på dem sätter vi derivatan till \( \, 0 \):

\[\begin{array}{rcrcl} V'(t) & = & -9\,t^2 + 54\,t - 72 & = & 0 \\ & & t^2 - 6 \,t + 8 & = & 0 \end{array}\]

2:a gradsekvationen kan enkelt och snabbt lösas med Vieta:

\[ \begin{array}{rcl} t_1 \cdot t_2 & = & 8 \\ t_1 + t_2 & = & -(-6) = 6 \\ &\Downarrow& \\ t_1 & = & 2 \\ t_2 & = & 4 \end{array}\]

Dvs \( V'(2) = V'(4) = 0\, \) vilket innebär att tangenterna till kurvan \( V(t)\, \) i punkterna \( t_1 = 2 \, \) och \( t_2 = 4 \, \) har lutningen \( 0\, \) dvs är horisontella.

Horisontella tangenter kan innebära att kurvan har maximum eller minimum i dessa punkter.

För att skilja mellan maximum och minimum har vi två metoder till förfogande: andraderivatan och teckentabellen. Vi använder dem en i taget:

b) med andraderivatan:

Reglerna om max/min med andraderivatan som kräver andraderivatans tecken tillämpas enskilt på vart och ett nollställe till derivatan.

Nollställe 1: \( \; t_1 = 2 \quad \; \)

Vi sätter in \( t_1 = 2 \, \) i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:

\[ V\,''(t) \, = \, -18\,t + 54 \]

\[ V\,''(2) \, = \, -18\cdot 2 + 54 = 18 > 0 \]

Andraderivatan är positiv för \( t_1 = 2 \, \). Slutsats: \( V(t) \, \) har ett minimum i \( t_1 = 2 \, \).

Nollställe 2: \( \; t_2 = 4 \quad \; \)

Vi sätter in \( t_2 = 4 \, \) in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:

\[ V\,''(4) \, = \, -18\cdot 4 + 54 = -18 < 0 \]

Andraderivatan är negativ för \( t_2 = 4 \, \). Slutsats: \( V(t) \, \) har ett maximum i \( t_2 = 4 \, \).

Alltså har företaget sin största vinst efter \( t_2 = 4 \, \) år efter årsskiftet 2009/2010, dvs vid årsskiftet 2013/2014.

b) med teckenstudium:

Alternativt kräver reglerna om max/min med teckenstudium derivatans teckenbyte i en nära omgivning av derivatans nollställen.

Vi tillämpar regeln enskilt på vart och ett nollställe.

Nollställe 1: \( \; t_1 = 2 \)

Vi väljer t.ex. punkterna \( \, t = 1,9 \) och \( \, t = 2,1 \) på t-axeln och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:

\[ V'(t) = -9\,t^2 + 54\,t - 72 \]

\[ V' (1,9) = -9\cdot 1,9^2 + 54\cdot 1,9 - 72 = -1,89 < 0 \]

\[ V' (2,1) = -9\cdot 2,1^2 + 54\cdot 2,1 - 72 = 1,71 > 0 \]

Nollställe 2: \( \; t_2 = 4 \)

Vi väljer t.ex. punkterna \( \, t = 3,9 \) och \( \, t = 4,1 \) på t-axeln nära \( t_2 \) och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:

\[ V' (3,9) = -9\cdot 3,9^2 + 54\cdot 3,9 - 72 = 1,71 > 0 \]

\[ V' (4,1) = -9\cdot 4,1^2 + 54\cdot 4,1 - 72 = -1,89 < 0 \]

Resultaten från båda nollställena skrivs in i följande teckentabell:

Man kan förenkla teckentabellen ovan, eftersom derivatan inte har fler nollställen än \( \, t_1 = 2 \) och \( \, t_2 = 4 \).

Därför kan derivatans teckenbyten inte vara fler än de angivna. Därför kan derivatan inte ha något teckenbyte mellan nollställena.

Av samma anledning är själva \( \, t\)-värdena kring nollställena irrelevanta.

Endast att derivatan byter tecken när man byter sida kring nollställena är av intresse:

Även slutsatserna ur reglerna om max/min med teckenstudium finns med i teckentabellen:

• \( V(t)\, \) har ett minimum i \( \, t_1 = 2 \), därför att \( V\,'(2) = 0 \) och \( V\,'(t) \) byter tecken från \(-\) till \( + \) kring \( \, 2 \).

• \( V(t)\, \) har ett maximum i \( \, t_2 = 4 \), därför att \( V\,'(4) = 0 \) och \( V\,'(t) \) byter tecken från \(+\) till \( - \) kring \( \, 4 \).

Resultatet är förstås det samma som vi fick när vi löste uppgiften med andraderivatan:

Företaget har sin största vinst efter \( t_{max} = 4 \, \) år efter årsskiftet 2009/2010, dvs vid årsskiftet 2013/2014.

c)   För att få företagets maximala vinst sätter vi in \( t_{max} = 4 \, \) i vinstfunktionen:

\[ V(t) = -3\,t^3 + 27\,t^2 - 72\,t + 60 \]

\[ V(t_{max}) = V(4) = -3\cdot 4^3 + 27\cdot 4^2 - 72\cdot 4 + 60 = 12 \]

      Alltså är företagets maximala vinst \( 12\,000 \) kr som antas vid årsskiftet 2013/2014.