Skillnad mellan versioner av "3.2 Lokala maxima och minima"

Versionen från 19 januari 2016 kl. 00.50

Genomgång

Lektion 30 Lokala maxima och minima I

Lektion 31 Lokala maxima och minima II

Avsnittet handlar om att få reda på en funktions maxima och minima. För detta ändamål måste vi titta på derivatans nollställen och på andraderivatans tecken.

Även i det här avsnittet förutsätts att alla funktioner \( \; y \, = \, f(x) \; \) vi behandlar är kontinuerliga i alla punkter av det betraktade området.

Regler om max/min med andraderivatan

Det är derivatans nollställen och andraderivatans tecken som avgör om en funktion har maxima eller minima:

Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) har ett maximum i \( \; x = a \; \) om derivatan \( \; f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och andraderivatan \( \; f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 \;. \)

Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) har ett minimum i \( \; x = a \; \) om derivatan \( \; f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och andraderivatan \( \; f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 \;. \)

Om derivatan \( \; f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och andraderivatan \( \; f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} =}} \, 0 \; \) kan ett teckenstudium avgöra saken.

Reglerna ovan säger i ord:

Där derivatan är \( \, 0 \) och andraderivatan är negativ har funktionen ett maximum.

Där derivatan är \( \, 0 \) och andraderivatan är positiv har funktionen ett minimum.

Där både derivatan och andraderivatan är \( \, 0 \) borde ett teckenstudium genomföras, vilket tas upp längre fram.

Dessutom kan teckenstudium även användas som en oberoende alternativ metod för att skilja mellan maximum och minimum.

Andraderivata

Med derivata menas alltid första derivatan.

Med andraderivata menas derivatans derivata som betecknas med \( \, f\,''(x) \, \) och läses \( \; {\rm "}\!f \; {\rm biss\;av\; } x\,{\rm"} \, \).

Man får andraderivatan genom att derivera derivatans funktion en gång till enligt deriveringsreglerna.

I exemplet nedan, där en funktion behandlas vars graf visar ett minimum, ges exempel på andraderivatan. En algebraisk metod används för att med hjälp av reglerna ovan hitta detta minimum. I praktiken bestäms först det \(\, x \) för vilket funktionen antar sitt minsta värde. Med detta \(\, x \) beräknas sedan funktionens minimum.

Exempel 1 Vinternattens kallaste tidpunkt

Under en vinternatt varierar temperaturen enligt funktionen

\[ y \, = \, f(x) \, = \, 0,24\,x^2\,-\,2,4\,x\,+\,7 \]

där \( y \;\, = \) temperaturen i grader Celsius och

\( x \;\, = \) tiden i timmar efter midnatt

Funktionen \(\, f(x)\):s definitionsmängd: \( \quad 0 \leq x \leq 8 \)

a) Ställ upp första- och andraderivatan.

Rita graferna till \( \,f(x) \), \( \,f\,'(x) \) och \( \,f\,''(x) \) i separata koordinatsystem.

b) Bestäm nattens kallaste tidpunkt med andraderivatan.

c) Bestäm nattens lägsta temperatur.

Lösning med andraderivatan:

a) \( f(x) \, = \, 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 \qquad\qquad\qquad\quad\;\; f\,'(x) \, = \, 0,48\,x - 2,4 \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\; f\,''(x) \, = \, 0,48 \)

b) Reglerna om max/min med andraderivatan kräver derivatans nollställen. Därför sätter vi derivatan till \( \, 0 \, \) och beräknar \( \, x \):

\[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & 0,48\,x - 2,4 & = & 0 \\ & & 0,48\,x & = & 2,4 \\ & & x & = & {2,4 \over 0,48} \\ & & x & = & 5 \end{array}\]

Derivatan blir \( \, 0 \, \) för \( \, x = 5 \): Tangenten till kurvan \( \, y = f(x) \, \) har lutningen \( \, 0\, \) dvs är horisontell i \( \, x = 5 \, \).

Av detta följer att \( \, x = 5 \, \) är en extrempunkt. Men en extrempunkt kan vara ett maximum eller ett minimum.

För att avgöra om denna extrempunkt är ett maximum eller ett minimum kräver regeln andraderivatans tecken.

Därför sätter vi \( \, x = 5 \, \) in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:

\[ f\,''(x) \, = \, 0,48 \]

\[ f\,''(5) = 0,48 \,>\, 0 \]

Andraderivatan är positiv (konstant) för alla \( x \, \) och därmed även för \( x = 5 \, \). Därav följer att \( \, f(x) \, \) har ett minimum i \( \; \boxed{x_{min} = 5} \; \).

Alltså är nattens kallaste tidpunkt kl \( \, 5 \, \).

c) Temperaturen vid kl \( \, 5 \, \) är:

\[ f(x_{min}) = f(5) = 0,24 \cdot 5^2 - 2,4 \cdot 5 + 7 = 1 \]

Alltså är nattens lägsta temperatur \( \, 1 \, \) grad Celsius.

Alternativt till andraderivatan finns det möjligheten att genomföra ett teckenstudium för att skilja mellan minimi- och en maximipunkter.

Även här finns det två kriterier för att få reda på en funktions maxima och minima: ett om derivatans nollställen, ett om derivatans teckenbyte. Till skillnad från metoden med andraderivatan klarar sig teckenstudium med endast första derivatan. Närmare bestämt gäller följande regler:

Regler om max/min med teckenstudium

Det är derivatans nollställen och derivatans teckenbyte som avgör om en funktion har maxima eller minima:

Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) har ett maximum i \( \; x = a \; \) om \( \; f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter tecken från \( \; + \; \) till \( \; - \; \) kring \( \, a \).

Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) har ett minimum i \( \; x = a \; \) om \( \; f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter tecken från \( \; - \; \) till \( \; + \; \) kring \( \, a \).

Om derivatan \( \, f\,'(a) = 0 \, \) men \( \, f\,'(x) \, \) inte byter tecken kring \( \, a \) har \( \, f(x) \, \) varken ett maximum eller ett minimum i \( \, x = a \, \). Vilka slutsatser man då kan dra behandlas i nästa avsnitt.

För att demonstrera regeln ovan tar vi samma Exempel 1 Vinternattens kallaste tidpunkt som behandlades tidigare. Vi bibehåller frågeställningen, men byter lösningsmetod:

Exempel 1 Vinternattens kallaste tidpunkt med teckenstudium

Under en vinternatt varierar temperaturen enligt funktionen

\[ y \, = \, f(x) \, = \, 0,24\,x^2\,-\,2,4\,x\,+\,7 \]

där \( y \;\, = \) temperaturen i grader Celsius och

\( x \;\, = \) tiden i timmar efter midnatt

Funktionen \(\, f(x)\):s definitionsmängd: \( \quad 0 \leq x \leq 8 \)

Bestäm nattens kallaste tidpunkt med teckenstudium.

Lösning med teckenstudium:

Vi bestämmer fortfarande derivatans nollställen, men använder teckenstudium för att skilja mellan max/min.

Derivatans nollställe \( \, x = 5 \, \) tar vi över från Lösning med andraderivatan och bekräftar:

\[ f(x) = 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 \]

\[ f'(x) = 0,48\,x - 2,4 \]

\[ f' (5) = 0,48\cdot 5 - 2,4 = 0 \]

För att avgöra om \( \, x = 5 \, \) är maximi- eller minimipunkt måste vi undersöka derivatans tecken till vänster och till höger om denna punkt.

Vi väljer t.ex. punkterna \( \, x = 4,9 \, \) och \( \, x = 5,1 \, \) på \( \, x\)-axeln och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:

\[ f' (4,9) = 0,48\cdot 4,9 - 2,4 = - 0,048 < 0 \]

\[ f' (5,1) = 0,48\cdot 5,1 - 2,4 = 0,048 > 0 \]

\(x\)	\(4,9\)	\(5\)	\(5,1\)
\( f\,'(x) \)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\( \,f(x) \)	↘	Min	↗

Dessa resultat är infogade i teckentabellen till höger och visar att \( \, f(x)\, \) antar ett minimum i \( \; \boxed{x_{min} = 5} \; \),

därför att \( \, f\,'(5) = 0 \) och derivatan byter tecken från \(-\) till \( + \) kring \( \, 5 -\) allt enligt reglerna ovan.

Därför inträffar nattens kallaste tidpunkt kl \( \, 5 \).

Exempel 2 Maximal företagsvinst

Vi återgår till Exempel 3 i förra avsnitt, men byter frågeställning:

Efter statistiska observationer har man kommit fram till att ett företags vinst kan beräknas enligt funktionen:

\[ V(t) \; = \; -3\,t^3\,+\,27\,t^2\,-\,72\,t\,+\,60 \]

där \( V \; = \) företagets vinst i \( 1\,000 \) kr och

\( t \;\, = \) tiden i antalet år efter årsskiftet 2009/2010 \(. \qquad \) Definitionsområde: \( \; 1 \leq t \leq 5 \)

a) Ställ upp första- och andraderivatan. Rita graferna till \( \,V(t) \), \( \,V\,'(t) \) och \( \,V\,''(t) \) i separata koordinatsystem.

b) När har företaget maximal vinst?

c) Hur stor är företagets maximala vinst?

Frågorna b) och c) ska besvaras algebraiskt. Dessutom ska b) lösas både med andraderivatan och teckentabellen.

Lösning:

a)

b) Derivatan är en 2:a gradsfunktion och har två reella nollställen. För att få reda på dem sätter vi derivatan till \( \, 0 \):

\[\begin{array}{rcrcl} V'(t) & = & -9\,t^2 + 54\,t - 72 & = & 0 \\ & & t^2 - 6 \,t + 8 & = & 0 \end{array}\]

2:a gradsekvationen kan enkelt och snabbt lösas med Vieta:

\[ \begin{array}{rcl} t_1 \cdot t_2 & = & 8 \\ t_1 + t_2 & = & -(-6) = 6 \\ &\Downarrow& \\ t_1 & = & 2 \\ t_2 & = & 4 \end{array}\]

Dvs \( V'(2) = V'(4) = 0\, \) vilket innebär:

Tangenterna till kurvan \( V(t)\, \) i punkterna \( t_1 = 2 \, \) och \( t_2 = 4 \, \) har lutningen \( 0\, \) dvs är horisontella.

Horisontella tangenter kan innebära att kurvan har maximum eller minimum i dessa punkter.

För att skilja mellan max och min använder vi två metoder: andraderivatan och teckentabellen \(-\) en i taget:

b) forts. med andraderivatan:

Reglerna om max/min med andraderivatan som kräver andraderivatans tecken tillämpas enskilt på vart och ett nollställe till derivatan.

Nollställe 1: \( \; t_1 = 2 \quad \; \)

Vi sätter in \( t_1 = 2 \, \) i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:

\[ V\,''(t) \, = \, -18\,t + 54 \]

\[ V\,''(2) \, = \, -18\cdot 2 + 54 = 18 > 0 \]

Andraderivatan är positiv för \( t_1 = 2 \, \). Slutsats: \( V(t) \, \) har ett minimum i \( t_1 = 2 \, \).

Nollställe 2: \( \; t_2 = 4 \quad \; \)

Vi sätter in \( t_2 = 4 \, \) in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:

\[ V\,''(4) \, = \, -18\cdot 4 + 54 = -18 < 0 \]

Andraderivatan är negativ för \( t_2 = 4 \, \). Slutsats: \( V(t) \, \) har ett maximum i \( t_2 = 4 \, \).

Alltså har företaget sin största vinst efter \( t_2 = 4 \, \) år efter årsskiftet 2009/2010, dvs vid årsskiftet 2013/2014.

b) forts. med teckenstudium:

Alternativt kräver reglerna om max/min med teckenstudium derivatans teckenbyte i en nära omgivning av derivatans nollställen.

Vi tillämpar regeln enskilt på vart och ett nollställe.

Nollställe 1: \( \; t_1 = 2 \)

Vi väljer t.ex. punkterna \( \, t = 1,9 \) och \( \, t = 2,1 \) på t-axeln och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:

\[ V'(t) = -9\,t^2 + 54\,t - 72 \]

\[ V' (1,9) = -9\cdot 1,9^2 + 54\cdot 1,9 - 72 = -1,89 < 0 \]

\[ V' (2,1) = -9\cdot 2,1^2 + 54\cdot 2,1 - 72 = 1,71 > 0 \]

Nollställe 2: \( \; t_2 = 4 \)

Vi väljer t.ex. punkterna \( \, t = 3,9 \) och \( \, t = 4,1 \) på t-axeln nära \( t_2 \) och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:

\[ V' (3,9) = -9\cdot 3,9^2 + 54\cdot 3,9 - 72 = 1,71 > 0 \]

\[ V' (4,1) = -9\cdot 4,1^2 + 54\cdot 4,1 - 72 = -1,89 < 0 \]

\(t\)	\(1,9\)	\(2\)	\(2,1\)	\(3,9\)	\(4\)	\(4,1\)
\( V\,'(t) \)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\( \,V(t) \)	↘	Min	↗	↗	Max	↘

Resultaten från båda nollställena skrivs in i teckentabellen ovan till höger som slutligen kan förenklas till följande teckentabell:

\(t\)		\(2\)		\(4\)
\( V\,'(t) \)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\( \,V(t) \)	↘	Min	↗	Max	↘

Slutsatser:

\( V(t)\, \) har ett minimum i \( \, t_1 = 2 \), därför att \( V\,'(2) = 0 \) och \( V\,'(t) \) byter tecken från \(-\) till \( + \) kring \( \, 2 \).

\( V(t)\, \) har ett maximum i \( \, t_2 = 4 \), därför att \( V\,'(4) = 0 \) och \( V\,'(t) \) byter tecken från \(+\) till \( - \) kring \( \, 4 \).

Resultatet är förstås det samma som i b) forts. med andraderivatan:

Företaget har sin största vinst efter \( \, t_2 \, = \, t_{max} \, = \, 4 \, \) år efter årsskiftet 2009/2010, dvs vid årsskiftet 2013/2014.

c) För att få företagets maximala vinst sätter vi in \( t_{max} = 4 \, \) i vinstfunktionen:

\[ V(t) = -3\,t^3 + 27\,t^2 - 72\,t + 60 \]

\[ V(t_{max}) = V(4) = -3\cdot 4^3 + 27\cdot 4^2 - 72\cdot 4 + 60 = 12 \]

Alltså är företagets maximala vinst \( 12\,000 \) kr som antas vid årsskiftet 2013/2014.

Begreppsförklaringar

Lokala maxima och minima är punkter (•) som har största resp. minsta \( \, y\)-värden i sin närmaste omgivning.

Med maxima och minima menas i detta kapitel alltid lokala maxima/minima. Ordet lokalt utelämnas ofta.

Båda tillsammans heter extrema eller extremvärden. På bilden till vänster har vi två extremvärden: \( \, 10 \, \) och \( \, 22 \, \).

De punkter på \( \, x\)-axeln för vilka dessa extremvärden antas heter extrempunkter, på bilden: \( \, 2 \, \) och \( \, 4 \, \).

Minimipunktens koordinater är: \( \, (2, 10) \, \). Maximipunktens koordinater är: \( \, (4, 22) \, \).

Med extrempunkten \( \, {\color{Red} a} \, \) menas alltid \( \, {\color{Red} x}\)-koordinaten \( \, {\color{Red} a} \), t.ex. \( \, 2 \, \) och \( \, 4 \).
Med extremvärdet \( {\color{Red} b} \, \) menas alltid \( {\color{Red} y}\)-koordinaten \( {\color{Red} b} \, \), t.ex. \( \, 10 \, \) och \( \, 22 \).

Gemensamt för alla extrempunkter är att derivatan i dessa punkter är \( \, 0 \), därför att:

Tangenten till funktionens graf i en extrempunkt är horisontell dvs har lutningen \( \, 0 \, \). Följaktligen:

Genom att bilda derivatan, sätta den till \( \, 0 \, \) och beräkna de \( \, x \), kan vi få reda på funktionens extrempunkter.

Sedan gäller det att skilja mellan minimi- och maximipunkter antingen med andraderivatan eller teckenstudium.

Med kring \( \, {\color{Red} a} \, \) i Regler om max/min med teckenstudium menas i en nära omgivning av\( \, a \, \) eller i en tillräckligt liten omgivning av \( \, {\color{Red} a} \, \), vilket i praktiken betyder att man ska undersöka ett ev. teckenbyte i en omgivning som är så nära som möjligt nollstället \( \, x=a \). Vad en tillräckligt liten omgivning av\( \, a \,\) exakt innebär beror på den aktuella funktionen \( \, f(x)\):s egenskaper.

@@ Rad 436: / Rad 436: @@
 == <b><span style="color:#931136">Begreppsförklaringar</span></b> ==
 <big>
-I detta kapitel används en funktions derivata som ett verktyg för att få information om själva funktionen, i detta avsnitt om funktionens <i>lokala maxima</i> och <i>minima</i>.
 <table>
 <tr>