Skillnad mellan versioner av "1.5 Potenslagarna"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Definition av potens) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Definition av potens) |
||
| Rad 9: | Rad 9: | ||
== Definition av potens == | == Definition av potens == | ||
| − | Om <math> x\, </math> är ett positivt heltal och <math> a \neq 0 </math> kan | + | Ett uttryck av formen <math> a^x\, </math> kallas <span style="color:red">potens</span>. <math> a\, </math> heter <span style="color:red">basen</span> och <math> x\, </math> <span style="color:red">exponenten</span>. |
| + | |||
| + | Om <math> x\, </math> är ett positivt heltal och <math> a \neq 0 </math> kan potensen <math> a^x\, </math> definieras som en förkortning för <span style="color:red">upprepad multiplikation</span> av a med sig själv: | ||
::::<math> a^x = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x} </math> | ::::<math> a^x = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x} </math> | ||
| Rad 20: | Rad 22: | ||
| − | + | <math> a^x\, </math> läses "a upphöjt till x". Att ta a upphöjt till x är en räkneoperation som kallas <span style="color:red">potensiering</span>. | |
== Potenslagarna == | == Potenslagarna == | ||
Versionen från 6 mars 2011 kl. 15.55
| Teori | Övningar |
Innehåll
Definition av potens
Ett uttryck av formen \( a^x\, \) kallas potens. \( a\, \) heter basen och \( x\, \) exponenten.
Om \( x\, \) är ett positivt heltal och \( a \neq 0 \) kan potensen \( a^x\, \) definieras som en förkortning för upprepad multiplikation av a med sig själv:
- \[ a^x = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x} \]
Dvs \( a\, \) multiplicerat med sig själv \( x\, \) gånger. T.ex.:
- \[ a^2 = a \cdot a \]
- \[ a^3 = a \cdot a \cdot a \]
\( a^x\, \) läses "a upphöjt till x". Att ta a upphöjt till x är en räkneoperation som kallas potensiering.
Potenslagarna
Följande lagar gäller för potenser:
Potenslagarna ovan gäller även för exponenter \( x\, \) som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensen \( a^x\, \) endast för positiva heltal \( x\, \).
Bevis av några potenslagar
Påstående (Produkt av potenser med samma bas):
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
- \[ a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 \]
Påstående (Nollte potens):
- \[ a^0 \; = \; 1 \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:
- \[ a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 \]
Påstående (Negativ exponent):
- \[ a^{-x} \; = \; {1 \over a^x} \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas samt lagen om nollte potensen:
- \[ a^{-x} \; = \; a^{0-x} \; = \; {a^0 \over a^x} \; = \; {1 \over a^x} \]
