Skillnad mellan versioner av "1.5 Potenslagarna"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Exempel på potenslagars användning) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Definition av potens) |
||
| Rad 9: | Rad 9: | ||
== Definition av potens == | == Definition av potens == | ||
| − | Ett uttryck av formen <math> a^x\, </math> kallas <span style="color:red">potens</span>. <math> a\, </math> heter <span style="color:red">basen</span> och <math> x\, </math> <span style="color:red">exponenten</span>. | + | Ett uttryck av formen <math> a^x\, </math> läses "a upphöjt till x" och kallas <span style="color:red">potens</span>. <math> a\, </math> heter <span style="color:red">basen</span> och <math> x\, </math> <span style="color:red">exponenten</span>. |
| − | Om <math> x\, </math> är ett positivt heltal och <math> a \neq 0 </math> kan potensen <math> a^x\, </math> definieras som en förkortning för <span style="color:red">upprepad multiplikation</span> av a med sig själv: | + | Om <math> x\, </math> är ett positivt heltal och <math> a\, </math> en given konstant <math> \neq 0 </math> kan potensen <math> a^x\, </math> definieras som en förkortning för <span style="color:red">upprepad multiplikation</span> av a med sig själv: |
::::<math> a^x = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x} </math> | ::::<math> a^x = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x} </math> | ||
| − | + | T.ex.: | |
| − | + | ||
| − | + | ||
::::<math> a^2 = a \cdot a </math> | ::::<math> a^2 = a \cdot a </math> | ||
::::<math> a^3 = a \cdot a \cdot a </math> | ::::<math> a^3 = a \cdot a \cdot a </math> | ||
| − | + | Att ta a upphöjt till x är en räkneoperation som kallas <span style="color:red">exponentiering</span>. | |
| − | + | ||
Anta att <math> x\, </math> är en okänd variabel och <math> b \neq 0 </math> och <math> c \neq 0 </math> givna konstanter. Då kallas | Anta att <math> x\, </math> är en okänd variabel och <math> b \neq 0 </math> och <math> c \neq 0 </math> givna konstanter. Då kallas | ||
| − | :::::::::funktioner av typ <math> y = 10^x\, </math> <span style="color:red">exponentialfunktioner</span>. Generellt: <math> y = | + | :::::::::funktioner av typ <math> y = 10^x\, </math> <span style="color:red">exponentialfunktioner</span>. Generellt: <math> y = c \cdot a^x\, </math>. |
| − | :::::::::ekvationer av typ <math> 10^x\,= 125 </math> <span style="color:red">exponentialekvationer</span>. Generellt: <math> | + | :::::::::ekvationer av typ <math> 10^x\,= 125 </math> <span style="color:red">exponentialekvationer</span>. Generellt: <math> a^x\, = b </math>. |
:::::::::funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> <span style="color:red">potensfunktioner</span>. Generellt: <math> y = x^b\, </math>. | :::::::::funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> <span style="color:red">potensfunktioner</span>. Generellt: <math> y = x^b\, </math>. | ||
Versionen från 6 mars 2011 kl. 18.39
| Teori | Övningar |
Innehåll
Definition av potens
Ett uttryck av formen \( a^x\, \) läses "a upphöjt till x" och kallas potens. \( a\, \) heter basen och \( x\, \) exponenten.
Om \( x\, \) är ett positivt heltal och \( a\, \) en given konstant \( \neq 0 \) kan potensen \( a^x\, \) definieras som en förkortning för upprepad multiplikation av a med sig själv:
- \[ a^x = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x} \]
T.ex.:
- \[ a^2 = a \cdot a \]
- \[ a^3 = a \cdot a \cdot a \]
Att ta a upphöjt till x är en räkneoperation som kallas exponentiering.
Anta att \( x\, \) är en okänd variabel och \( b \neq 0 \) och \( c \neq 0 \) givna konstanter. Då kallas
- funktioner av typ \( y = 10^x\, \) exponentialfunktioner. Generellt\[ y = c \cdot a^x\, \].
- ekvationer av typ \( 10^x\,= 125 \) exponentialekvationer. Generellt\[ a^x\, = b \].
- funktioner av typ \( y = x^3\, \) potensfunktioner. Generellt\[ y = x^b\, \].
- ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) potensekvationer. Generellt\[ x^b\, = c \].
Medan potensekvationer löses genom rotdragning löses exponentialekvationer genom logaritmering, se avsnitt 1.6 Logaritmer.
Potenslagarna
Följande lagar gäller för potenser:
Potenslagarna ovan gäller även för exponenter \( x\, \) som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensen \( a^x\, \) endast för positiva heltal \( x\, \).
Bevis av några potenslagar
Påstående (Produkt av potenser med samma bas):
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} \]
Påstående (Nollte potens):
- \[ a^0 \; = \; 1 \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:
- \[ a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 \]
Påstående (Negativ exponent):
- \[ a^{-x} \; = \; {1 \over a^x} \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas samt lagen om nollte potensen:
- \[ a^{-x} \; = \; a^{0-x} \; = \; {a^0 \over a^x} \; = \; {1 \over a^x} \]
Exempel på potenslagars användning
