Skillnad mellan versioner av "Kapitel 5 Trigonometri"

Utdrag ur planeringen:

5.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar

Genomgång: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \) Övningar:     Boken, sid 208

Tangens för \( \, v \, < \, 90^\circ \)

Exempel på tangens

Sinus och Cosinus för \( \, v \, < \, 90^\circ \)

5.2 Exakta trigonometriska värden / Enhetscirkeln

Genomgång: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \) Övningar:     Boken, sid 209 / 210

Två speciella vinklar: \( \, 45^\circ \, \) och \( \, 60^\circ \, \)

Pythagoras satsen används på halva kvadraten med sidan \( \, 1 \, \) för att få diagonalen \( \, \sqrt{2} \). Sedan bestäms \( \, \sin 45^\circ \, \) och \( \, \tan 45^\circ \):

På liknande sätt används Pythagoras på halva liksidiga triangeln med sidan \( \, 2 \, \) för att få höjden \( \, \sqrt{3} \). Sedan bestäms \( \, \sin 60^\circ \) och \( \, \cos 60^\circ \).

"Exakt" betyder: Gå inte över till decimaltal, dvs:

• Bibehåll bråk med endast heltal i täljare och nämnare,
• Bibehåll rötter som inte ger heltal.

En konsekvens blir att inte ens rötter ska stå kvar i bråkens nämnare. Ta upp dem genom förlängning med \( \, \sqrt{{\color{White} {\cdots}}} \), t.ex.:

\[ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \, = \, \frac{1 \, \cdot \, {\color{Red} {\sqrt{2}}}}{\sqrt{2} \cdot {\color{Red} {\sqrt{2}}}} \, = \, \frac{\sqrt{2}}{2} \, = \, \frac{1}{2} \, \sqrt{2} \]

Ytterligare exakta trigonometriska värden

Andra geometriska satser ger följande exakta värden:

Enhetscirkeln

Cirkel \( \, = \, \) Mängden av alla punkter som har samma avstånd (radien \( \, r \, \)) från en punkt (medelpunkten \( \, M \, \)).

Cirkelns ekvation:

Enhetscirkeln är cirkeln med radien \( \, r \, = \, 1 \, \) och medelpunkten \( \, M \, = \, O \, \) (origo).

Om en punkt \( \, P\,(x, y) \, \) snurrar på enhetscirkeln och \( \, v \, \) är vinkeln mellan \( \, x\)-axeln och \( \, \overline{OP} \), så gäller:

\( \qquad\qquad\quad \)

\(\begin{array}{rcl} x & = & \cos v \\ y & = & \sin v \end{array}\)

I cirklar med radien \( \, r \, > \, 1 \, \) förblir vinkeln \( \, v \, \) den samma och därmed \( \, \cos v = \displaystyle \frac{r \cdot \; x}{r} = x \, \) och \( \, \sin v = \displaystyle \frac{r \cdot \; y}{r} = y \), precis som ovan.

Detta används för att definiera de trigonometriska funktionerna i godtyckliga trianglar, dvs för vinklar \( \, v \, \geq \, 90^\circ \, \).

5.3 Godtyckliga trianglar

Genomgång: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \) Övningar:     Boken, sid 215

Sinus och Cosinus för vinklar: \( \quad 90^\circ \, \leq \, v \, \leq \, 180^\circ \)

Exempel:

\[ \sin 150^\circ \, = \, \sin (180^\circ - 30^\circ) \, = \, \sin 30^\circ \, = \, \frac{1}{2} \]

\[ \cos 120^\circ \, = \, \cos (180^\circ - 60^\circ) \, = \, -\cos 60^\circ \, = \, -\frac{1}{2} \]

Förklaring med enhetscirkeln:

Punkten till vinkeln \( \, v \, \) har samma \( \, y\)-koordinat (\(=\sin v\)) som punkten till vinkeln \( \, 180-v \).

Punkten till vinkeln \( \, v \, \) har samma \( \, x\)-koordinat (\(=\cos v\)) som punkten till vinkeln \( \, 180-v \, \) med omvänt tecken.

Ekvationer           med    Sin & Cos:

Sinus, Cosinus och Tangens för alla vinklar

5.4 Triangelsatserna: Areasatsen, Sinussatsen, Cosinussatsen

Genomgång: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \) Övningar:     Boken, sid 218

Areasatsen

Areasatsens formel ovan gäller endast för de standardbeteckningar som införts i figuren inledningsvis.

Samma gäller för alla formler som följer: Sinussatsen och Cosinussatsen.

5.5 Sinussatsen / Sinussatsens två fall

Genomgång: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \) Övningar:     Boken, sid 220 / 224-225

Sinussatsen

Sinussatsens två fall

5.6 Cosinussatsen

Genomgång: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \) Övningar:     Boken, sid 229-230

Cosinussatsen

Exempel på Cosinussatsen

5.7 Användning av trigonometri

Genomgång: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \) Övningar:     Boken, sid 232-233