Skillnad mellan versioner av "Potenser"

Felet beror på att man blandar ihop två olika räkneoperationer: multiplikationen med upphöjt till.

Hjärnan associerar \( \, 2 \, \) och \( \, 3 \, \) blind till multiplikationstabellen och ger \( \, 6 \) vilket är fel.

I själva verket betyder \( \, 2\,^{\color{Red} 3} \, \) inte \( \, 2 \cdot 3 \, \) utan \( \, \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, \) som sedan förkortas till \( \, 2\,^{\color{Red} 3} \).

\( \, 2\,^3 \, \) läses \( \, {\color{Red} 2} \) upphöjt till\( \, {\color{Red} 3} \, \) och kallas för  potens. \( \, 2\, \) heter basen och \( \, 3 \, \) exponenten.

Exponenten \( \, {\color{Red} 3} \, \) är inget tal i vanlig bemärkelse utan endast en information om att \( \, 2 \, \) ska multipliceras \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger med sig själv (jfr. upprepad addition).

För att förstå den snabbare lösningen se potenslagarna.

Potensen \( \, a\,^{\color{Red} x} \, \) kan, om exponenten \( \, {\color{Red} x} \, \) är ett positivt heltal och basen \( \, a \, \) ett tal \( \neq 0 \), definieras som

Upprepad multiplikation av \( \, a \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} x} \, \) gånger:

\( a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \)

Den snabbare lösningen är ett exempel på den första potenslagen:

Följande lagar gäller för potenser där basen \( a\, \) är ett tal \( \neq 0 \), exponenterna \( \, x \, \) och \( \, y \, \) godtyckliga tal och \( m,\,n \) heltal (\( n\neq 0 \)):

För enkelhets skull definierades potensbegreppet inledningsvis endast för positiva heltalsexponenter \( \, x \, \) och \( \, y \). Men potenslagarna gäller även för negativa och rationella exponenter. I formuleringen "negativ exponent" antas \( \, x > 0 \).

Påstående (Första potenslagen):

\( a\,^x \cdot a\,^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \)

Bevisidé:

Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:

\( a\,^{\color{Red} x} \cdot a\,^{\color{Red} y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{{\color{Red} x}\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{{\color{Red} y}\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{{\color{Red} {x\,+\,y}}\;\times} \; = \; a\,^{{\color{Red} {x\,+\,y}}} \)

Påstående (Andra potenslagen):

\( \displaystyle {a\,^x \over a\,^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \)

Påstående (Lagen om nollte potens):

\( a^0 \; = \; 1 \)

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:

\( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 \)

Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet \( \, 1 \):

\( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 \)

Av raderna ovan följer påståendet:

\( a^0 \; = \; 1 \)

Påstående (Lagen om negativ exponent, \( \, x > 0 \)):

\( a^{-x} = \displaystyle{1 \over a^x} \)

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda den ovan bevisade lagen om nollte potensen (baklänges) samt andra potenslagen:

\( \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} \)

Vi får påståendet, fast baklänges.

Att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter med nollte potensen däremellan illustrerar följande exempel:

Jämför med:

Potenser med exponenter som är rationella tal (bråktal) kan användas för att beräkna (högre) rötter.

Påstående (högre rötter):

\( a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \; \) \( , \qquad n\neq 0 \)

Bevisidé:

Vi tar specialfallet \( n=3 \), multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:

\( \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \)

Definitionen för 3:e roten ur \( a \) är:

\( \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; \) Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger \( a \).

Men enligt ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger \( a \), just \( a \) \(^{1 \over 3} \). Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur \( a \):

\( \displaystyle a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} \)

Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal \( m\, \) och \( n\neq 0 \, \) (Lagen om rationell exponent):

\( a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \)

Anta i fortsättningen att \( \, x \, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .

Funktioner av typ \( y = x^3\, \) kallas potensfunktioner, generellt \( \; y = c \cdot x^b\, \).

Ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) kallas potensekvationer, generellt \( \; x^b\, = c \).

I potensfunktioner och -ekvationer förekommer \( \, x \, \) i basen. Potensekvationer löses genom rotdragning. För t.ex. potensekvationen \( x^3\, = 8 \) finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:

\[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]

Alternativt (med rationell exponent):

\[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\ (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \\ x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]

Det alternativa sättet att lösa ekvationen ovan visar att rötter även kan uppfattas och skrivas som potenser med rationella exponenter.