Skillnad mellan versioner av "2.3 Gränsvärde"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 227: | Rad 227: | ||
=== <b><span style="color:#931136">Existens av gränsvärden</span></b> === | === <b><span style="color:#931136">Existens av gränsvärden</span></b> === | ||
| − | Inledningsvis bestämdes i detta avsnitt [[2.3_Gränsvärde#Exempel|<b><span style="color:blue">gränsvärdet</span></b>]] av <math> \, \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2} \, </math> till <math> \, 0 \, </math> utan att fråga om den överhuvudtaget ''existerade''. Själva bestämmandet av gränsvärdet <math> \, 0 \, </math> bevisade ju existensen. | + | Inledningsvis bestämdes i detta avsnitt [[2.3_Gränsvärde#Exempel|<b><span style="color:blue">gränsvärdet</span></b>]] av <math> \, \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2} \, </math> till <math> \, 0 \, </math> utan att fråga om den överhuvudtaget ''existerade''. Själva bestämmandet av gränsvärdet <math> \, 0 \, </math> bevisade ju existensen. Men det finns faktiskt fall där ett gränsvärde ''inte'' existerar och därför inte heller kan bestämmas. |
| − | + | Som exempel tar vi samma funktion som i det inledande [[2.3_Gränsvärde#Exempel|<b><span style="color:blue">exemplet</span></b>]], men byter frågeställningen: | |
| − | + | ||
| − | + | ||
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
Versionen från 10 oktober 2016 kl. 11.58
| \( \pmb{\gets} \) Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt \( \pmb{\to} \) |
Detta kapitels mål är att att definiera begreppet derivata som är ett gränsvärde. Därför måste vi först förstå vad ett gränsvärde är för något, närmare bestämt:
Gränsvärde för en funktion
Exempel
Funktionen \( y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \) är given: \( \qquad\qquad \) Vad händer med \( \, y \, \) när \( \; x \to \infty \; \)?
\( \quad \) |
\( \quad \) | Gränsvärdet för \( \; \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \; -\) då \( \,x \, \) går mot \( \, \infty \, -\) är \( \, 0\) :
|
Kurvan närmar sig \( \, x \)-axeln när \( \, x \, \) växer, dvs \( \, y\, \) blir allt mindre ju större \( \, x \, \) blir. Man säger: \( \; y \; {\rm går\;mot} \, 0 \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, \infty \, \), kort: \( \;\; \boxed{ \; y \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to \infty\,} \)
Men kurvan skär aldrig \( \, x \)-axeln. Dvs funktionen går mot \( \, 0\, \) utan att nå \( \, 0 \), vilket bekräftas av funktionsuttrycket\( \; y = \displaystyle{10 \over x\,-\,2} \, \):
Täljaren är konstanten \( 10\, \) som aldrig kan bli \( 0\, \). Därför kan inte heller hela uttrycket någonsin bli \( \, 0 \)
Vad händer med \( \, y \, \) när \( \; x \to - \infty \; \)?
Något liknande visas när \( \, x \, \) går mot negativa värden, dvs när \( x \to \, {\color{Red} {- \infty}} \): \( \,y\, \) mot \( \,0\, \) bara att \( \, y\, \) nu närmar sig \( \, 0 \, \) nedifrån, kort: \( \;\; \boxed{ \; y \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to {\color{Red} {- \infty}}\,} \)
"Paradoxen" att funktionen allt mer närmar sig \( \, 0 \, \) utan att någonsin bli \( \, 0 \), löses upp och kan därmed hanteras algebraiskt med hjälp av \( {\color{Red} {\rm limes}}\)-begreppet.
Limesbegreppet är centralt i matematiken och beskriver generellt fenomenet att närma sig ett värde allt mer utan att nå det.
I detta kapitel kommer vi att använda limes för att definiera derivatan algebraiskt som ett gränsvärde. För att kunna göra det måste vi kunna beräkna gränsvärden.
Beräkning av gränsvärden
I princip kan limes av en funktion beräknas genom att sätta in i funktionsuttrycket det värde som \( \,x \, \) ska gå emot. Men ofta ger detta odefinierade uttryck.
Därför måste man först förenkla uttrycket, ev. flera gånger. Sedan sätts in det värde som \( \,x \, \) ska gå emot, i funktionsuttrycket.
Exempel 1
Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \)
Lösning:
För \( \, x = 0 \, \) är uttrycket \( \, \displaystyle{x^2 + 7\,x \over x} \, \) inte definierat därför att nämnaren blir \( \, 0 \).
Därför måste vi förenkla uttrycket.
Vi faktoriserar uttryckets täljare för att kolla om man ev. kan förkorta.
Täljaren kan faktoriseras genom att bryta ut \( x \, \):
- \[ \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \, = \, \lim_{x \to 0}\, {{\color{Red} x}\:(x + 7) \over {\color{Red} x}} \, = \, \lim_{x \to 0}\, (x + 7) \, = \, 0 + 7 \, = \, 7 \]
Exempel 2
Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \)
Lösning:
Vi förenklar uttrycket i limes genom att separera summan i uttrycket:
- \[ {4\,x\,+\,5 \over x} = {4\,{\color{Red} x} \over {\color{Red} x}} \,+\,{5 \over x} \,=\, 4 \,+\, {5 \over x} \]
\( \displaystyle{5 \over x} \) går mot \( 0 \): \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {5 \over x} \, = \, 0 \)
Därför kan vi bestämma limes för hela uttrycket:
- \[ \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, 4\,+\,0 \,= \, 4 \;\, \]
Exempel 3
Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \)
Lösning:
Insättningen av \( \, x = 2 \, \) i uttrycket ger det odefinierade uttrycket \( \, \displaystyle{0 \over 0} \).
Vi faktoriserar både täljaren och nämnaren för att kolla om man ev. kan förkorta.
Täljaren kan faktoriseras med hjälp av konjugatreglen och nämnaren genom att bryta ut:
- \[ x^2\,-\,4 = (x\,+\,2)\cdot(x\,-\,2) \]
- \[ 5\,x - 10 = 5\,(x\,-\,2) \]
Nu kan vi förkorta uttrycket och beräkna limes:
- \[ \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \, = \, \lim_{x \to 2}\, {(x + 2) \cdot {\color{Red} {(x-2)}} \over 5\,{\color{Red} {(x-2)}}} \, = \, \lim_{x \to 2} \, {x + 2 \over 5} \, = \, {2 + 2 \over 5} \, = \, {4 \over 5} \, = \, 0,8 \]
Exempel 4
Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \)
Lösning:
Insättningen av \( \, x = 3 \, \) i uttrycket ger det odefinierade uttrycket \( \, \displaystyle{0 \over 0} \).
För att kunna se om man ev. kan förkorta uttrycket faktoriserar vi täljaren:
- \[ x^2 - x - 6 = 0 \, \]
\(p\)-\( q\)-formeln kan användas, men enligt Vieta gäller för lösningarna \( \, x_1\,\) och \( \, x_2 \, \) (går snabbare) :
- \[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-1) = 1 \\ x_1 \cdot x_2 & = - 6 \end{align}\]
Två tal vars produkt är \( \, -6 \, \) är t.ex. \( \, 3 \, \) och \( \, -2 \). Men även deras summa är \( \, 1 \). Därför:
- \[ \begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = - 2 \end{align}\]
Täljarens faktorisering blir då:
- \[ x^2 - x - 6 = (x - 3) \cdot (x + 2) \]
Nu kan vi förkorta uttrycket mot nämnaren och beräkna limes:
- \[ \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \, = \, \lim_{x \to 3}\, {{\color{Red} {(x-3)}} \cdot (x + 2) \over {\color{Red} {(x-3)}}} \, = \, \lim_{x \to 3}\, (x + 2) \, = \, 3 + 2 \, = \, 5 \]
Exempel 5
Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \)
Lösning:
För att förenkla uttrycket i limes divideras uttryckets täljare och nämnare med den högsta \( \,x\)-potensen, nämligen med \( \,x^3 \):
- \[ \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3/x^3\,-\,2/x^3 \over 2\,x^3/x^3\,+\,3\,x/x^3\,-\,4/x^3} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \]
För att förenkla sista uttrycket använder vi:
- \[ \lim_{x \to \infty}\, {\color{Red} {2 \over x^3}} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, {\color{Blue} {3 \over x^2}} \, = \, \lim_{x \to \infty} \, {\color{ForestGreen} {4 \over x^3}} \, = \, 0 \]
Insatt i det sista uttrycket blir det:
- \[ \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\quad \cdots \quad = \, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \,=\, {1\,-\,{\color{Red} 0} \over 2\,+\,{\color{Blue} 0}\,-\,{\color{ForestGreen} 0}} \,=\, {1 \over 2} \]
Exempel 6
Funktionen \( \; f(x) = x^2 \; \) är given. Bestäm gränsvärdet \( \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \; \).
Lösning:
- \[ f(2+h) \, = \, (2+h)\,^2 \, = \, {\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}} \]
- \[ f(2) \, = \, 2\,^2 \, = \, {\color{Blue} 4} \]
- \[ \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}}\,\,-\,\,{\color{Blue} 4} \over h} = \lim_{h \to 0} {4\,h + h^2 \over h} = \]
- \[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(4 + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (4 + h) = 4 \]
Exempel 7
Funktionen \( \; f(x) = x^2 \; \) är given. Bestäm gränsvärdet \( \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \; \).
Lösning:
Eftersom uttrycket i limes involverar två variabler \( \, x \, \) och \( \, h \, \) kommer även limes inte längre vara ett tal utan ett uttryck.
\( \displaystyle \lim_{\color{Red} {h \to 0}} \, \) innebär att gränsvärdet ska bildas för \( \, {\color{Red} {h \to 0}} \). Därför borde \( \, x\, \) under gränsprocessen anses som en konstant.
- \[ f(x+h) \, = \, (x+h)^2 \, = \, {\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \]
- \[ f(x) \, = \, {\color{Blue} {x\,^2}} \]
- \[ \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \, - \, {\color{Blue} {x\,^2}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = \]
- \[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(2\,x + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) = 2\,x \]
Observera att Exempel 6 är ett specialfall av Exempel 7 för \( x = 2 \, \).
Existens av gränsvärden
Inledningsvis bestämdes i detta avsnitt gränsvärdet av \( \, \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2} \, \) till \( \, 0 \, \) utan att fråga om den överhuvudtaget existerade. Själva bestämmandet av gränsvärdet \( \, 0 \, \) bevisade ju existensen. Men det finns faktiskt fall där ett gränsvärde inte existerar och därför inte heller kan bestämmas.
Som exempel tar vi samma funktion som i det inledande exemplet, men byter frågeställningen:
Exempel på att gränsvärde saknas
Funktionen \( y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \) är given: \( \qquad\qquad\qquad \) Vad händer med \( \, y \, \) när \( \; x \to 2 \; \)?
| Dvs bestäm \( \qquad\quad \displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2} \)
Svar: \( \quad\;\; f(x)\, \) är inte definierad för \( x = 2\, \). \( \qquad\qquad\qquad\qquad\quad \Downarrow \) \( \displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2} \quad \) existerar inte :
|
\( \qquad \) |  |
Grafen visar att kurvan skjuter upp i höjden å ena sidan och ner i "djupet" å andra sidan av punkten \( \, x = 2 \).
Dvs \( \, f(x)\, \) går mot \( +\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från höger och mot \( -\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från vänster.
\( f(x)\, \) är inte definierad för \( x = 2\, \), därför att \( \displaystyle{10 \over x\,-\,2} \):s nämnare blir \( \, 0\, \) för \( \, x = 2 \).
Dessutom finns det två olika resultat beroende på om \( \, x \) går mot \( \, 2 \) från höger eller från vänster. \( y \;{\rm går\;mot} \, +\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;höger:} \; \qquad y \to +\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^+ \)
\( y \; {\rm går\;mot} \, -\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;vänster:} \; \qquad y \to -\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^- \)
där \( x \to 2^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 2 \) från höger (\( \, x > 2 \)) och \( x \to 2^- \) att närma sig \( \, x = 2 \) från vänster (\( \, x < 2 \)).
Följande modifierad variant av Exempel 2 (\( \, {\color{Red} {x \to 0}} \, \) istället för \( \, x \to \infty \)) visar samma sak:
Exempel 2 a
Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \)
Lösning:
- \[ \lim_{x \to 0^+}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^+}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, +\infty \]
- \[ \lim_{x \to 0^-}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^-}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, -\infty \]
där \( x \to 0^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 0 \) från höger (\( \, x > 0 \)) och \( x \to 0^- \) att närma sig \( \, x = 0 \) från vänster (\( \, x < 0 \)).
Anmärkning: Sättet att skriva limes som ovan är nytt och förklaras nedan i Ensidiga och oegentliga gränsvärden.
Svar: \( \qquad\;\; \) Gränsvärde saknas.
Men även om en funktion skulle gå mot t.ex. mot \( +\,\infty \), för ett visst \( \, x \) både från höger och vänster, t.ex. \( \displaystyle {f(x) = {1 \over x^2}} \) för \( \, x = 0 \), skulle det strikt matematiskt inte vara korrekt att säga att limes existerar och är \( +\,\infty \), därför att \( \infty \) inte är något värde. Med andra ord:
Därför är det strikt matematiskt korrekt att säga: Gränsvärdena \( \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \) och \( \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} \) saknas. Detta gäller i alla fall enligt en strikt definition av gränsvärdesbegreppet vars intuitiva innebörd återgavs inledningsvis.
Ensidiga och oegentliga gränsvärden
Skiljer man närmandet från höger till \( \, x = 2 \, \) från närmandet från vänster kan man bilda s.k. ensidiga gränsvärden:
- \[ \lim_{x \to 2^{+}}\,{10 \over x - 2}\,=\,+\,\infty \qquad\quad \; {\rm och} \; \qquad\quad \lim_{x \to 2^{-}}\,{10 \over x - 2}\,=\,-\,\infty \]
där \( x \to 2^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 2 \) från höger (\( \, x > 2 \)) och \( x \to 2^- \) att närma sig \( \, x = 2 \) från vänster (\( \, x < 2 \)).
Man pratar om höger- och vänstergränsvärdet genom att skilja mellan de två sätten att närma sig talet \( \, 2 \) på \( \, x\)-axeln: från höger \( x \to 2^+ \) och från vänster \( x \to 2^- \), därav beteckningen ensidig. I vårt exempel ger de också två olika resultat.
Gränsvärden av funktioner som går mot oändligheten (och därmed strikt talat inte existerar), men ändå skrivs med limessymbolen, kallar man oegentliga gränsvärden.
Exempel
|
\( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}}\,=\,+\,\infty \)
när \( \, x \to 0 \) från höger (\( \, x > 0 \)) och från vänster (\( \, x < 0 \)). Visserligen är gränsvärdet entydigt, men det är oändligt och kallas därför oegentligt.
|
\( \qquad \) |  |
Att man använder det ovannämnda skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden sker av praktiska skäl. Man ersätter pilarna som vi använde inledningsvis med att beskriva gränsprocessen med limessymbolen istället. Det är bekvämt att använda en enhetlig notation för att beskriva gränsprocesser. Är man medveten om att limes enligt den strikta definitionen inte existerar är det o.k.
OBS! Av skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden följer fortfarande inte att \( \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \) eller \( \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} \) existerar.
Internetlänkar
https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs
https://www.youtube.com/watch?v=StP64lMXZjA
https://www.youtube.com/watch?v=fPOX0QX8AH0
Copyright © 2011-2015 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
