Skillnad mellan versioner av "Kapitel 4 Integraler"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 171: | Rad 171: | ||
<math> \quad\, </math> Vilken slutsats kan man dra därav om vilken typ av fritt fall det handlar om? Se grafen. | <math> \quad\, </math> Vilken slutsats kan man dra därav om vilken typ av fritt fall det handlar om? Se grafen. | ||
| − | <math> \quad\, </math> | + | <math> \quad\, </math> När <math> \, v_{hopparen} \approx v_{max} = 80 </math> m/s är och förblir luftmotståndet <math> \approx </math> gravitationen. Vi har ett exempel på<span style="color:black">:</span> |
| − | <math> \quad\, </math> [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ <b><span style="color:blue">Newtons fösta lag</span></b>]<span style="color:black">:</span> Likformig rörelse med konstant hastighet när summan av alla krafter | + | <math> \quad\, </math> [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ <b><span style="color:blue">Newtons fösta lag</span></b>]<span style="color:black">:</span> Likformig rörelse med konstant hastighet när summan av alla krafter <math> \, \approx 0 \, </math>. |
Versionen från 29 januari 2017 kl. 18.23
| << Förra kapitel | Start Matte 3c | Planering Matte 3c | Formelsamling Integraler | Nästa kapitel >> |
Utdrag ur planeringen:
4.1 Primitiva funktioner
Genomgång: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \) Övningar: Boken, sid 175
Vi vänder på steken: Derivatan är given. Istället söker vi den ursprungliga funktionen.
OBS! Vi byter beteckning:
Definition: Givet: \( \quad f\,(x) \) Sökt: \( \quad \) Den funktion \( \; F\,(x) \; \) som ger \( \; F\,'\,(x) = f\,(x) \) \( \qquad\quad\, \) \( F\,(x) \, \) kallas för primitiv funktion. |
Ex.: \( f\,(x) \; = \; x\,^3 + 5 \) \( F(x) = \frac{1}{4} x\,^4 + 5 x + C \, , \;\; C={\rm const.} \) \( C \, \) kallas för integrationskonstanten. |
Fysikalisk tolkning:
| \( \quad \) |  |
\( \quad \) Hastighetsmätaren deriverar. \( \;\; \)
|
 |
Integration är den inversa operationen till derivering. \( \quad \) Primitiv funktion = "Anti"derivata
Derivata Integral Fysikalisk tolkning: Hastighet Sträcka Geometrisk tolkning: Kurvans lutning Area under kurvan Matematisk tolkning: Limes av differenskvot Limes av oändlig summa
Integrationskonstanten \( \, C \, \) bestäms av villkor (krav) som ställs på den primitiva funktionen \( \, F(x) \, \). \( \;\; {\bf {\color{Red} {\downarrow}}} \)
4.2 Primitiva funktioner med villkor
Genomgång: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \) Övningar: Boken, sid 177
Exempel på primitiva funktion med annan typ av villkor:
4.3 Integral som area under kurvan
Genomgång: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \) Övningar: Boken, sid 180
Ex. på "Area under kurvan" : \( \quad \) Rörelse med konstant hastighet 60 km/h
OBS! Area under kurvan (= Integral) är det inversa till kurvans lutning (= Derivata).
Parentes: Integral som Limes av oändlig summa
4.4 Integralberäkning med primitiv funktion
Genomgång: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \) Övningar: Boken, sid 185
När en integral har bestämda integrationsgränser, så som i exemplen a) och b) ovan, finns inga villkor med i uppgiften. Då ar villkoret inbakat i integrationsgränserna. En sådan integral kallas för bestämd integral och dess resultat är ett tal.
När en integral inte har några integrationsgränser, är dess resultat inte ett tal, utan en funktion, närmare bestämt den primitiva funktionen. Då borde även ett villkor vara med för att entydigt bestämma den primitiva funktionen. Fattas villkoret måste man alltid addera en s.k. integrationskonstant C, vilket gör att resultatet blir oändligt många funktioner. En sådan integral kallas för obestämd integral.
4.5 Användning av integraler
| \( \quad \) | Genomgång: \( \qquad\qquad\qquad \) Övningar: Boken, sid 188-90
3438 (3c-boken, sid 190): En fallskärmshoppare faller fritt utan att öppna fallskärmen. Hastigheten \( \, v \, \) ökar enligt \( \, v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) \, \) där \( \, t = \, \) tiden i sek. Fysikalisk tolkning: \( \; \) Se grafen. Vilken maximal hastighet \( \, v_{max} \, \) kan hopparen inte överskrida? \( v_{max} \, = \, \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\,(1 - 0,88\,^t))} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{(80 - 80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 80 \, \), eftersom \( \qquad\;\; \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 0 \quad \) pga \( \quad 0,88 \, < \, 1 \; \). |
\( \quad \) |  |
\( \quad\, \) Vilken slutsats kan man dra därav om vilken typ av fritt fall det handlar om? Se grafen.
\( \quad\, \) När \( \, v_{hopparen} \approx v_{max} = 80 \) m/s är och förblir luftmotståndet \( \approx \) gravitationen. Vi har ett exempel på:
\( \quad\, \) Newtons fösta lag: Likformig rörelse med konstant hastighet när summan av alla krafter \( \, \approx 0 \, \).
\( \quad\, \) Vår uppgift: Hur långt har hopparen fallit när \( \, v = 40 \, \) m/s ?
Ekonomiskt exempel: Marginalkostnad (derivata) är given. Kostnad (integral) är sökt.
Copyright © 2011-2017 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
