Skillnad mellan versioner av "Kapitel 5 Trigonometri"

Utdrag ur planeringen:

Lektion 34:   5.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar \( \qquad\;\; \) Övningar:   Boken, sid 208

Tangens för \( \, v \, < \, 90^\circ \)

Exempel på tangens Exempel på tangens Exempel på tangens   Hämtar... Visa mindre Visa mer Dölj allt Visa allt

Sinus och Cosinus för \( \, v \, < \, 90^\circ \)

Lektion 35:   5.2 Exakta trigonometriska värden / Enhetscirkeln \( \;\; \) Övningar:   Boken, sid 209 / 210

Två speciella vinklar: \( \, 45^\circ \, \) och \( \, 60^\circ \, \)

Pythagoras satsen används på halva kvadraten med sidan \( \, 1 \, \) för att få diagonalen \( \, \sqrt{2} \). Sedan bestäms \( \, \sin 45^\circ \, \) och \( \, \tan 45^\circ \):

På liknande sätt används Pythagoras på halva liksidiga triangeln med sidan \( \, 2 \, \) för att få höjden \( \, \sqrt{3} \). Sedan bestäms \( \, \sin 60^\circ \) och \( \, \cos 60^\circ \).

"Exakt" betyder: Gå inte över till decimaltal, dvs:

• Bibehåll bråk med endast heltal i täljare och nämnare,
• Bibehåll rötter som inte ger heltal.

En konsekvens blir att inte ens rötter ska stå kvar i bråkens nämnare. Ta upp dem genom förlängning med \( \, \sqrt{{\color{White} {\cdots}}} \), t.ex.:

\[ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \, = \, \frac{1 \, \cdot \, {\color{Red} {\sqrt{2}}}}{\sqrt{2} \cdot {\color{Red} {\sqrt{2}}}} \, = \, \frac{\sqrt{2}}{2} \, = \, \frac{1}{2} \, \sqrt{2} \]

Ytterligare exakta trigonometriska värden

Andra geometriska satser ger följande exakta värden:

Enhetscirkeln

Cirkel \( \, = \, \) Mängden av alla punkter som har samma avstånd (radien \( \, r \, \)) från en punkt (medelpunkten \( \, M \, \)).

Cirkelns ekvation:

Enhetscirkeln är cirkeln med radien \( \, r \, = \, 1 \, \) och medelpunkten \( \, M \, = \, O \, \) (origo).

Om en punkt \( \, P\,(x, y) \, \) snurrar på enhetscirkeln och \( \, v \, \) är vinkeln mellan \( \, x\)-axeln och \( \, \overline{OP} \), så gäller:

\( \qquad\qquad\quad \)

\(\begin{array}{rcl} x & = & \cos v \\ y & = & \sin v \end{array}\)

I cirklar med radien \( \, r \, > \, 1 \, \) förblir vinkeln \( \, v \, \) den samma och därmed \( \, \cos v = \displaystyle \frac{r \cdot \; x}{r} = x \, \) och \( \, \sin v = \displaystyle \frac{r \cdot \; y}{r} = y \), precis som ovan.

Detta används för att definiera de trigonometriska funktionerna i godtyckliga trianglar, dvs för vinklar \( \, v \, \geq \, 90^\circ \, \).

Lektion 36:   5.3 Godtyckliga trianglar \( \qquad\qquad\;\; \) Övningar:   Boken, sid 215

Sinus och Cosinus för vinklar: \( \quad 90^\circ \, \leq \, v \, \leq \, 180^\circ \)

Exempel:

\[ \sin 150^\circ \, = \, \sin (180^\circ - 30^\circ) \, = \, \sin 30^\circ \, = \, \frac{1}{2} \]

\[ \cos 120^\circ \, = \, \cos (180^\circ - 60^\circ) \, = \, -\cos 60^\circ \, = \, -\frac{1}{2} \]

Förklaring med enhetscirkeln:

Punkten till vinkeln \( \, v \, \) har samma \( \, y\)-koordinat (\(=\sin v\)) som punkten till vinkeln \( \, 180-v \).

Punkten till vinkeln \( \, v \, \) har samma \( \, x\)-koordinat (\(=\cos v\)) som punkten till vinkeln \( \, 180-v \, \) med omvänt tecken.

Ekvationer           med    Sin & Cos:

Sinus, Cosinus och Tangens för alla vinklar

En gång till      Sin & Cos   för \( v \geq 90^\circ \)    i trianglar:

Lektion 37:   5.4 Triangelsatserna \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Övningar:   Boken, sid 218

Det finns tre triangelsatser: Areasatsen, Sinussatsen och Cosinussatsen.

Areasatsen

Formulering utan beteckningar:   En triangelarea kan beräknas med areasatsen när två sidor och   den mellanliggande vinkeln av triangeln är givna (SVS-struktur).

Det omvända problemet:

När arean och två sidor av en triangel är givna och den mellanliggande vinkeln är sökt, ger areasatsen två lösningar och därmed två trianglar:

Areasatsen med beteckningarna ovan gäller endast för de standardbeteckningar som införts inledningsvis.

Samma gäller för alla formler som följer: Sinussatsen och Cosinussatsen.

Lektion 38:   5.5 Sinussatsen \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Övningar:   Boken, sid 220 / 224-225

Formulering utan beteckningar: I en triangel är kvoten mellan vinklarnas Sinus och deras motstående sidor lika stor.

Exempel på sinussatsen (två lösningar)

Att det finns två lösningar (två trianglar) beror på att problemet inte har SVS-struktur, dvs:

Triangelns två sidor \( \, b = 27 \, \) och \( \, c = 35 \, \) är givna, men inte den mellanliggande vinkeln, utan den som ligger mittemot \( \, b \).

Lektion 39:   5.6 Cosinussatsen \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Övningar:   Boken, sid 229-230

Cosinussatsen

Pythagoras är ett specialfall av cosinussatsen för fallet: \( \quad A , B , {\rm eller\;} C \, = \, 90^\circ \quad \Rightarrow \quad \cos 90^\circ \, = \, 0 \).

Cosinussatsen utvidgar Pythagoras med en term som involverar två sidor och den mellanliggande vinkeln.

När två sidor i en triangel och den mellanliggande vinkeln är givna (SVS-struktur), ger cosinussatsen den tredje sidan (endast en lösning) genom enkel rotdragning.

När två sidor är givna samt en vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur) ger cosinussatsen en andragradsekvation som i regel har två lösningar, se exemplet nedan.

Samma exempel med cosinussatsen

Cosinussatsen ger samma två lösningar som sinussatsen, se ovan.

Problemets icke-SVS-struktur är orsaken till två lösningar och därmed två trianglar.

Det här med SVS-struktur förekommer i geometrikapitlet av Matte 1c-kursen, där man behandlar kongruensbegreppet.

Kongruens hos geometriska figurer betyder att de har inte bara samma form – då gäller likformighet – utan även samma storlek.

Två trianglar är kongruenta, om de uppfyller ett av följande kriterier:

1. De överensstämmer i två sidor och den mellanliggande vinkeln: SVS.
2. De överensstämmer i två vinklar och den mellanliggande sidan: VSV.
3. De överensstämmer i alla tre sidor: SSS .

Kriterierna ovan anger i själva verket när en triangel är entydigt bestämd. I alla andra fall är nämligen en triangel inte entydigt bestämd. Därför finns i icke-SVS-VSV-SSS-strukturer alltid två trianglar som uppfyller de givna egenskaperna, se exemplet i sinus- och cosinussatsen ovan.

De två trianglarna som lösning av uppgiften ovan beror alltså varken på sinus- eller cosinussatsen. De är en konsekvens av vad som är givet och vad som är sökt i uppgiften (icke-SVS-struktur).

Lektion 40:   5.7 Användning av trigonometri \( \qquad\qquad\;\; \) Övningar:   Boken, sid 232-233

Svar

Svar

5.7 Svar fel i 5.7

  Hämtar...

Visa mindre Visa mer Dölj allt Visa allt

\[ \underline{\rm Lösning:} \quad {\rm Vi\;ritar\;figuren\;till\;höger\;(modellering).} \] \[{\rm Sidovinkeln} \quad u \, = \, 180^\circ - 72,5^\circ \, = \, 107,5^\circ \] \[{\rm Vinkelsumman\;i\;triangeln\;} ABC {\rm \;ger} \] \[ v \, = \, 180^\circ - 56,4^\circ - 107,5^\circ\, = \, 16,1^\circ \]