Skillnad mellan versioner av "1.3 Fördjupning till Rationella uttryck"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Praktisk förklaring) |
||
| Rad 81: | Rad 81: | ||
<b>Slutsatser:</b> <math> \displaystyle \quad {1 \over 0} </math> är inget tal och därmed inte definierat. | <b>Slutsatser:</b> <math> \displaystyle \quad {1 \over 0} </math> är inget tal och därmed inte definierat. | ||
| + | |||
| + | <div class="border-divblue"> | ||
| + | ===== <b><span style="color:#931136">Division med <math> \, 0 \, </math> är inte definierad. ===== | ||
| + | </div> <!-- border-divblue --> | ||
<span style="color:#FFD9CB"><b>Slutsatser:</b> </span> <math> \quad </math>Det är matematiskt inte korrekt att skriva <math> \displaystyle \, {1 \over 0} = \infty \, </math>. Korrekt<span style="color:black">:</span> <math> \displaystyle \, {1 \over x} \, \to \, \infty \, </math> när <math> \, x \, \to \, 0 </math>. | <span style="color:#FFD9CB"><b>Slutsatser:</b> </span> <math> \quad </math>Det är matematiskt inte korrekt att skriva <math> \displaystyle \, {1 \over 0} = \infty \, </math>. Korrekt<span style="color:black">:</span> <math> \displaystyle \, {1 \over x} \, \to \, \infty \, </math> när <math> \, x \, \to \, 0 </math>. | ||
| Rad 89: | Rad 93: | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| + | |||
=== <b><span style="color:#931136">Teoretisk förklaring</span></b> === | === <b><span style="color:#931136">Teoretisk förklaring</span></b> === | ||
Versionen från 9 september 2017 kl. 16.16
| Repetition: Tal i bråkform | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Nästa avsnitt >> |
Lektion 8 Rationella uttryck: Fördjupning
Varför är division med 0 inte definierad?
Om du matar in \( \, 1 \, / \, 0 \, \) i din miniräknare, kommer du att få ERROR på displayen. Räknaren kan inte genomföra denna operation.
Division med 0 är den viktigaste "förbjudna" operationen i matematiken.
Både i bråktal och i uttryck får nämnaren inte bli \( \, 0\, \) eftersom division med \( \, 0\, \) inte är definierad.
Men vad beror det på att man inte kan dividera med \( \, 0\, \)? Det visar sig att det är en praktisk omöjlighet:
Praktisk förklaring
Istället för att mata in i din miniräknare \( \, 1 \, / \, 0-\) för då får du ERROR \(-\) mata in i din miniräknare t.ex.:
- \[ \boxed{1 \, / \, 0,1} \qquad \boxed{1 \, / \, 0,01} \qquad \boxed{1 \, / \, 0,001} \qquad \boxed{1 \, / \, 0,0001} \qquad \ldots \]
|
\( \qquad\qquad \) | Eller rita grafen \( \, y \, = \, 1/x \, \) och titta på \( \, x \rightarrow 0 \,\):
|
Både tabellen och grafen: Ju mindre \( \, x \, \) blir desto större blir \( \, 1/x \, \). I gränsfallet \( \, x=0 \, \) blir \( \, 1/x \, \) oändligt stort.
Man säger: \( \displaystyle {1 \over x} \) går mot oändligheten när \( \, x\, \) går mot \( \, 0\, \) och skriver: \( \, \displaystyle {1 \over x} \to \infty \, \) när \( \, x \, \to \, 0 \).
\( \infty \) är symbolen för oändligheten. Det är omöjligt att ange \( \infty \) som ett tal som man kan räkna med.
Vilket tal man än anger så kan man alltid göra \( \, + \, 1 \, \) och få ett större tal. Det tar aldrig slut.
Slutsatser: \( \displaystyle \quad {1 \over 0} \) är inget tal och därmed inte definierat.
Division med \( \, 0 \, \) är inte definierad.
</div>
<b>Slutsatser:</b> \( \quad \)Det är matematiskt inte korrekt att skriva \( \displaystyle \, {1 \over 0} = \infty \, \). Korrekt: \( \displaystyle \, {1 \over x} \, \to \, \infty \, \) när \( \, x \, \to \, 0 \). </div>
<b>Teoretisk förklaring</b>
Vad betyder <b>division</b>? Vad betyder t.ex. \( \, 12 / 4 \, \)?
- \[ 12 / 4 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 4 = 12 \]
Uppenbarligen är detta tal \( \quad {\color{Red} {x = 3}} \quad \) därför att \( \, {\color{Red} 3} \cdot 4 = 12 \).
Nu ersätter vi \( \, 4 \, \) med \( \, 0 \, \):
Vad betyder då \( \, 12 / 0 \, \)?
- \[ 12 / 0 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 0 = 12 \quad {\rm {\color{Red} {Motsägelse!}}} \]
Det finns inget sådant tal \( {\color{Red} x} \) därför att \( \quad {\color{Red} x} \cdot 0 = 0 \quad \neq 12 \, \).
<b>Alternativt:</b>
Ett annat sätt att förklara omöjligheten av division med \( \, 0 \, \) är att tolka <b>divisionen</b> som en
<b>upprepad subtraktion</b>. Operationen \( \, 12 / 4 \, \) kan nämligen tolkas som:
- \[ 12 \; \underbrace{- \, 4 \, - \, 4 \, - \, 4}_{3\;\times} \; = \; 0 \qquad {\rm Därför:} \qquad 12 \, / \, 4 \; = \; 3\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 \]
Nu ersätter vi \( \, 4 \, \) med \( \, 0 \, \).
Operationen \( \, 12 / 0 \, \) kan tolkas som:
- \[ 12 \; - \, 0 \, - \, 0 \, - \, \ldots - \, 0 \; = \; 12 \]
Man kan alltså dra av hur många nollor som helst från \( \, 12 \, \) utan att det blir mindre:
En oändlig process ger inget resultat.
<b>Slutsats:</b> Division med \( 0 \,\) är inte definierad.
Se även: <b>Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?</b>
<b>Rationella funktioner</b>
Ett bra sätt att studera rationella uttryck är att bilda funktioner med dem och visualiserar dem med grafer.
En <b>rationell funktion</b> är ett rationellt uttryck som tilldelas en annan variabel, t.ex. \( \, y\).
Exempel 1
Det rationella uttrycket \( \, \displaystyle{\frac{1}{x}} \, \) tilldelas variabeln \( \, y \, \), vilket ger den <b>rationella funktionen</b> samt grafen:
- <b>Funktionen är diskontinuerlig i \( \; {\color{Red} {x = 0}} \). </b>
Till skillnad från polynomfunktioners graf har denna graf två skilda grenar, uttryckt i matematiska termer:
En polynomfunktion är alltid kontinuerlig: Dess graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet.
I grafen ovan måste vid \( x = 0\, \) pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra.
Dvs grafen är inte sammanhängande i \( x = 0\, \).
Man säger att funktionen är <b>diskontinuerlig</b> (icke-kontinuerlig) i \( \, x = 0 \).
Anledningen till denna <b>diskontinuitet</b> är att \( \; y = \) \( \displaystyle {1 \over x} \; \) inte är definierad för \( x = 0\, \).
När \( \, x \, \) närmar sig \( 0\, \) går \( y\, \) mot oändligheten, vilket kan inses både algebraiskt och grafiskt.
Man måste undanta \( x = 0\, \) från funktionens definitionsmängd:
Den rationella funktionen \( y = \) \( \displaystyle {1 \over x}\):s <b>definitionsmängd</b> är: \( \quad {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 0 \).
Matte 2:
En funktions <b>definitionsmängd</b> är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka funktionen är definierad.
Diskontinuiteten för vissa \( \, x \, \) är något typiskt för alla rationella funktioner och
det är det som skiljer dem från polynomfunktioner som är definierade och kontinuerliga för alla \( x\, \).
Diskontinuiteten för vissa \( \, x\, \) innebär att det är bara några isolerade \( \, x\)-värden som en rationell funktion kan vara diskontinuerlig för.
Det finns även rationella funktioner som inte har några reella diskontinuiteter, dvs de är kontinuerliga för alla reella \( \, x\, \). Här följer ett exempel:
Exempel 2
En "snäll" rationell funktion samt graf utan reell diskontinuitet:
<b>Grafen</b> visar inga diskontinuiteter.
<b>Algebraiskt</b> har funktionsuttryckets nämnare inga reella nollställen, dvs ekvationen
\( x^2 + 1 = 0\, \) saknar reell lösning. Den ger nämligen \( \, x^2 = -1 \). Och \( \, \sqrt{-1} \, \) är inget reellt tal.
Ekvationen har endast de komplexa lösningarna \( \, x_1 = i \, \) och \( \, x_2 = -i \).
<b>Slutsats:</b> Den rationella funktionen \( \, y_1 \, \) är definierad och kontinuerlig för <b>alla</b> reella \( \, x \).
Exempel 3
En liten ändring i \( \, y_1\):s nämnare från \( \, x^2 \, \bf{{\color{Red} +}} \, 1 \, \) till \( \, x^2 \, \bf{{\color{Red} -}} \, 1 \, \) resulterar i en annan funktion med ett helt annorlunda beteende:
<b>Grafen</b> är updelad i tre grenar och har två diskontinuiteter, dvs två ställen där den inte är kontinuerlig,
dvs inte sammanhängande: \( \, x\, = \, -1 \, \) och \( \, x\, = \, 1 \). När \( \, x\, \) närmar sig dessa två ställen går \( \, y_2\,\) mot oändligheten.
<b>Algebraiskt</b> har nämnaren i \( \, y_2 \, \) nollställena \( \, x = 1 \, \) och \( \, x = -1 \). Därför har \( \, y_2 \, \) diskontinuiteter i dessa punkter.
- \( \Downarrow \)
<b>Slutsats:</b> Den rationella funktionen \( \, y_2 \, \) är definierad och kontinuerlig för alla \( \, \ x \, \neq \, 1 \, \) och \( \, x \, \neq \, -1 \, \).
<b>Två typer av diskontinuitet</b>
Exempel
Vi skriver de rationella uttrycken ovan som funktioner och ritar deras grafer för att besvara
<b>Frågan:</b> Är det <b>en</b> funktion i två olika skepnader eller är det <b>två</b> olika funktioner?
\(\begin{align} f\,(x) & = {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} = {2\,x\,{\color{Red} {(x + 3)}} \over {\color{Red} {(x + 3)}}\,(x - 3)} \\
\\
g\,(x) & = {2\,x \over x - 3}\end{align} \)
Svaret: \( f(x) \, \) och \( \, g\,(x) \, \) är två olika funktioner eftersom deras definitionsmängder är olika: \( f(x)\, \) är definierad för alla \( \ x \, \neq \, -3\) och \( \, x \, \neq \, 3 \). \( g\,(x)\, \) är definierad för alla \( \ x \, \neq \, 3\). |
\( \qquad \) |  |
<b>OBS!</b> Likheten \( \, {2\,x\,{\color{Red} {(x + 3)}} \over {\color{Red} {(x + 3)}}\,(x - 3)} \, = \, {2\,x \over x - 3} \, \) gäller inte för alla \( \, x \, \) utan endast för alla \( \, x \not= -3 \). Anledningen är:
- Förkortningen med \( \, {\color{Red} {(x + 3)}} \, \) är endast korrekt om \( \, x \not= -3 \) eftersom den innebär division med \( \, {\color{Red} {(x + 3)}} \, \) som är \( \, 0\,\) när \( \, x = -3\, \).
- Se upp för division med \( \, 0 \,\) i uttryck, för den är oftast gömd. Läs: <b>Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?</b>.
Graferna lurar oss: Med blotta ögat ser man knappast någon skillnad mellan \( f(x) \, \) och \( \, g\,(x) \). Men om du förstorar \( f(x)\):s graf kan du se i den ett "hål" eller en "lucka" i \( \, x = -3 \), vilket beror på att \( f(x) \, \) inte är definierad där. Grafen "hoppar" över \( \, x = -3 \, \) så att säga. Men till skillnad från \( \, x = 3 \, \) går funktionen inte mot oändligheten i den närmaste omgivningen av \( \, x = -3 \). Anledningen till det är att \( \, x = -3 \, \) är en <b>hävbar diskontinuitet</b>, till skillnad från \( \, x = 3 \, \) som är en <b>icke-hävbar diskontinuitet</b>.
\( x = -3 \) kallas för en <b>hävbar diskontinuitet</b> eftersom \( (x+3) \) kan förkortas bort i \( f(x) \) och försvinner då från nämnaren.
\( \, x = 3 \, \) kallas för en <b>icke-hävbar diskontinuitet</b> eftersom \( \, (x-3) \, \) finns kvar i nämnaren av \( f(x) \).
Men hur häver man en hävbar diskontinuitet?
<b>Kontinuerlig fortsättning</b>
Hävbara diskontinuiteter är "snälla". Funktioner med hävbara diskontinuiteter kan "repareras":
Det gör man genom att definiera en ny funktion som inte längre har den ursprungliga funktionens hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med den.
I exemplet ovan skulle man kunna t.ex. komplettera funktionen \( f(x)\, \):s definition med ett värde för \( \, x = -3 \, \) som gör att den nya funktionen blir kontinuerlig i sin omgivning. Man får fram detta värde genom att beräkna värdet av \( \, \displaystyle {g\,(x) = {2\,x \over x - 3}} \, \) för \( \, x = -3 \):
- \[ g\,(-3) = {2 \cdot (-3) \over -3 - 3} = {-6 \over -6} = 1 \]
Värdet \( \, 1 \, \) läggs till i den nya funktionen för \( \, x = -3 \). Så blir den kontinuerliga fortsättningen en modifierad version av \( f(x) \) som består just av det här tillägget. För alla andra \( \, x \, \) är den nya funktionen identisk med den gamla \( f(x) \).
Så här kan den nya funktionen \(-\) kallad den <b>kontinuerliga fortsättningen</b> av \( f(x) \) \(-\) definieras:
- \( \hat{f}(x) \, = \, \begin{cases} \displaystyle {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} & \mbox{om } x \neq -3 \\ \\ 1 & \mbox{om } x = -3 \end{cases}\)
Denna definition är uppdelad i två olika fall: För alla \( \, x \neq -3\, \) definieras \( \, \hat{f}(x) \, \) enligt det rationella uttrycket för \( \, f(x)\, \).
- För \( \, x = -3 \, \) får \( \hat{f}(x) \, \) värdet \( 1 \), dvs \( \hat{f}(-3) = 1 \).
\(\hat{f}(x) \, \) är både algebraiskt och grafiskt (se exemplet ovan) identisk med den förkortade form vi hade fått tidigare:
- \[ \hat{f}(x) \, = \, g\,(x) \, = \, {2 \, x \over x - 3} \]
I praktiskt beräkningssammanhang, t.ex. när man ritar grafen, föredrar man förstås denna enkla form.
Nackdelen med den är bara att den inte längre innehåller något spår av den ursprungliga funktionen \( f(x)\, \), att den "gömmer" sina rötter. Man ser inte att den är en kontinuerlig fortsättning av \( f(x) \).
Den andra faktorn \( (x-3)\, \) både i \( f(x)\):s och \( \, \hat{f}(x)\):s nämnare som inte kan förkortas ger upphov till den andra diskontinuiteten \( \, x = 3 \, \) som till skillnad från \( \, x = -3\, \) är en icke-hävbar diskontinuitet och inte kan "repareras" på något sätt. När \( \, x\, \) går mot \( \, 3\, \) går \( f(x)\, \) inte mot ett ändligt värde utan mot oändligheten, vilket syns i graferna till både \( f(x)\, \) och \( \hat{f}(x) \). Denna "allvarliga" diskontinuitet finns även kvar i den kontinuerliga fortsättningen \( \hat{f}(x) \).
Så \( \hat{f}(x) \, \) har endast en diskontinuitet kvar medan \( f(x)\, \) hade två diskontinuiteter.
Copyright © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
