Skillnad mellan versioner av "2.3 Gränsvärde"

Versionen från 21 oktober 2017 kl. 11.38

Genomgång

Vårt mål i detta kapitel är att definiera begreppet derivata. Men eftersom derivata är ett gränsvärde, måste vi först veta vad gränsvärde är för något.

Förutsättning i detta avsnitt är att alla funktioner \( \, y = f(x) \, \) är kontinuerliga för alla \( \, x \, \) av det betraktade området.

Introduktion till gränsvärde

En fallskärmshoppare faller fritt med hastigheten

\( \qquad\quad\;\;\; \)

\( v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) \)

där \( \, t = \, \) tiden i sek. Finns det en maximal hastighet

\( \, v_{max} \, \) som hopparen inte kan överskrida?

Om ja, bestäm den. </div>

Grafisk och fysikalisk tolkning:

Grafen till \( \, v(t) \, \) visar att det finns en maximal hastighet \( \, v_{max} = 80 \) m/s \( \;\; \) </td>

</td>

</tr> </table> som hopparen inte kan överskrida: \( \, v < v_{max} \). Efter ca. 40 sek är \( v \, \approx \, v_{max} \, \) då hastigheten blir konstant \( \, \approx 80 \) m/s.

Enligt Newtons fösta lag är summan av alla krafter \( \, = 0 \, \) när ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet (och omvänt).

Därav följer: \( \qquad \) Luftmotstånd \( \, \approx \, \) gravitation \( \qquad \) dvs \( \qquad \) rörelsen är ett fritt fall med luftmotstånd.

Matematisk beskrivning:

\( \)Gränsvärdet för \( \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, \), då \( \,t \, \) går mot \( \, \infty \; \), är \( \, 80\) .

Man skriver: \( \qquad \displaystyle {\color{Red} {\lim_{t \to \infty}}}\,{\left(80\,(1 - 0,88\,^t)\right)} {\color{Red} { \; = \; 80}} \qquad \) och läser:

\( \qquad\;\; \) Limes av \( \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, \), då \( t \) går mot \( \infty \, \), är \( 80 \).

\( {\color{Red} {\lim}} \, \) står för det latinska ordet \( \, {\color{Red} {\rm limes}} \, \) som betyder gräns.

Limes kan beräknas:

\( v_{max} \, = \, \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\,(1 - 0,88\,^t))} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{(80 - 80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} - \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 80 \, - \, 0 \, = \, 80 \, \),

eftersom \( \qquad\;\; \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} \cdot \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 80 \cdot 0 \, = \, 0 \quad \) pga \( \quad 0,88 \, < \, 1 \; \).

Gränsvärde för en funktion

Exempel

Funktionen \( y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \) är given: \( \qquad\qquad \) Vad händer med \( \, y \, \) när \( \; x \to \infty \; \)?

\( \quad \)

\( \quad \)

Gränsvärdet för \( \, \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \, \), då \( \,x \, \) går mot \( \, \infty \; \), är \( \, 0\) :

\( \quad\qquad\qquad\qquad\, \displaystyle {\color{Red} {\lim_{x \to \infty}}}\,{10 \over x\,-\,2} {\color{Red} { \; = \; 0}} \)

Grafiskt: Kurvan närmar sig \( \, x \)-axeln när \( \, x \, \) växer, dvs \( \, y\, \) blir allt mindre ju större \( \, x \, \) blir.

Men kurvan skär aldrig \( \, x \)-axeln. Funktionen går mot \( \, 0\, \) utan att nå \( \, 0 \).

Analytiskt: Ekvationen \( \, \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \, = \, 0 \, \) saknar lösning, därför att täljaren \( \, 10\, \) är en konstant som aldrig kan bli \( \, 0 \). Så kan inte heller hela uttrycket i vänsterled bli \( \, 0 \, \) oavsett \( \, x \). Nämnaren växer däremot obegränsat när \( \, x \, \) växer. Därför går hela uttrycket i vänsterled mot \( \, 0 \).

Man säger: \( \; \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \; {\rm går\;mot} \, 0 \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, \infty \, \), kort: \( \;\; \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to \infty \;\; \), bättre uttryckt: \( \, \boxed{ \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2} \, = \, 0} \, \).

Vad händer med \( \, y \, \) när \( \; x \to - \infty \; \)?

Något liknande visas när \( \, x \, \) går mot negativa värden, dvs när \( x \to \, {\color{Red} {- \infty}} \): \( \,y\, \) mot \( \,0\, \) bara att \( \, y\, \) nu närmar sig \( \, 0 \, \) nedifrån, kort: \( \;\; y \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to {\color{Red} {- \infty}} \; \).

"Paradoxen" att funktionen allt mer närmar sig \( \, 0 \, \) utan att någonsin bli \( \, 0 \), löses upp och kan därmed hanteras analytiskt med hjälp av limes som generellt beskriver fenomenet att närma sig ett värde allt mer utan att nå det någonsin.

Limesbegreppet är centralt inom Analys\(-\) den gren av matematiken som Newton och Leibniz på 1700-talet la grunden till, även kallad Differential- och Integralkalkyl, på engelska Calculus. Det är därför vi numera använder begreppet "analytiskt" istället för "algebraiskt".

I detta kapitel kommer vi att använda limes för att definiera derivatan analytiskt som ett gränsvärde. För att kunna göra det måste vi lära oss att beräkna gränsvärden. </big>

Beräkning av gränsvärden

I princip kan limes av en funktion beräknas genom att sätta in i funktionsuttrycket det värde som \( \,x \, \) ska gå emot. Men ofta ger detta odefinierade uttryck.

Därför måste man först förenkla uttrycket, ev. flera gånger. Sedan sätts in det värde som \( \,x \, \) ska gå emot, i funktionsuttrycket.

Exempel 1

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \)

Lösning:

För \( \, x = 0 \, \) är uttrycket \( \, \displaystyle{x^2 + 7\,x \over x} \, \) inte definierat därför att nämnaren blir \( \, 0 \).

Därför måste vi förenkla uttrycket.

Vi faktoriserar uttryckets täljare för att kolla om man ev. kan förkorta.

Täljaren kan faktoriseras genom att bryta ut \( x \, \):

\[ \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \, = \, \lim_{x \to 0}\, {{\color{Red} x}\:(x + 7) \over {\color{Red} x}} \, = \, \lim_{x \to 0}\, (x + 7) \, = \, 0 + 7 \, = \, 7 \]

Exempel 2

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \)

Lösning:

Vi förenklar uttrycket i limes genom att separera summan i uttrycket:

\[ {4\,x\,+\,5 \over x} = {4\,{\color{Red} x} \over {\color{Red} x}} \,+\,{5 \over x} \,=\, 4 \,+\, {5 \over x} \]

\( \displaystyle{5 \over x} \) går mot \( 0 \): \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {5 \over x} \, = \, 0 \)

Därför kan vi bestämma limes för hela uttrycket:

\[ \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, 4\,+\,0 \,= \, 4 \;\, \]

Exempel 3

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \)

Lösning:

Insättningen av \( \, x = 2 \, \) i uttrycket ger det odefinierade uttrycket \( \, \displaystyle{0 \over 0} \).

Vi faktoriserar både täljaren och nämnaren för att kolla om man ev. kan förkorta.

Täljaren kan faktoriseras med hjälp av konjugatreglen och nämnaren genom att bryta ut:

\[ x^2\,-\,4 = (x\,+\,2)\cdot(x\,-\,2) \]

\[ 5\,x - 10 = 5\,(x\,-\,2) \]

Nu kan vi förkorta uttrycket och beräkna limes:

\[ \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \, = \, \lim_{x \to 2}\, {(x + 2) \cdot {\color{Red} {(x-2)}} \over 5\,{\color{Red} {(x-2)}}} \, = \, \lim_{x \to 2} \, {x + 2 \over 5} \, = \, {2 + 2 \over 5} \, = \, {4 \over 5} \, = \, 0,8 \]

Exempel 4

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \)

Lösning:

Insättningen av \( \, x = 3 \, \) i uttrycket ger det odefinierade uttrycket \( \, \displaystyle{0 \over 0} \).

För att kunna se om man ev. kan förkorta uttrycket faktoriserar vi täljaren:

\[ x^2 - x - 6 = 0 \, \]

\(p\)-\( q\)-formeln kan användas, men enligt Vieta gäller för lösningarna \( \, x_1\,\) och \( \, x_2 \, \) (går snabbare) :

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-1) = 1 \\ x_1 \cdot x_2 & = - 6 \end{align}\]

Två tal vars produkt är \( \, -6 \, \) är t.ex. \( \, 3 \, \) och \( \, -2 \). Men även deras summa är \( \, 1 \). Därför:

\[ \begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = - 2 \end{align}\]

Täljarens faktorisering blir då:

\[ x^2 - x - 6 = (x - 3) \cdot (x + 2) \]

Nu kan vi förkorta uttrycket mot nämnaren och beräkna limes:

\[ \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \, = \, \lim_{x \to 3}\, {{\color{Red} {(x-3)}} \cdot (x + 2) \over {\color{Red} {(x-3)}}} \, = \, \lim_{x \to 3}\, (x + 2) \, = \, 3 + 2 \, = \, 5 \]

Exempel 5

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \)

Lösning:

För att förenkla uttrycket i limes divideras uttryckets täljare och nämnare med den högsta \( \,x\)-potensen, nämligen med \( \,x^3 \):

\[ \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3/x^3\,-\,2/x^3 \over 2\,x^3/x^3\,+\,3\,x/x^3\,-\,4/x^3} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \]

För att förenkla sista uttrycket använder vi:

\[ \lim_{x \to \infty}\, {\color{Red} {2 \over x^3}} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, {\color{Blue} {3 \over x^2}} \, = \, \lim_{x \to \infty} \, {\color{ForestGreen} {4 \over x^3}} \, = \, 0 \]

Insatt i det sista uttrycket blir det:

\[ \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\quad \cdots \quad = \, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \,=\, {1\,-\,{\color{Red} 0} \over 2\,+\,{\color{Blue} 0}\,-\,{\color{ForestGreen} 0}} \,=\, {1 \over 2} \]

Exempel 6

Funktionen \( \; f(x) = x^2 \; \) är given. Bestäm gränsvärdet \( \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \; \).

Lösning:

\[ f(2+h) \, = \, (2+h)\,^2 \, = \, {\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}} \]

\[ f(2) \, = \, 2\,^2 \, = \, {\color{Blue} 4} \]

\[ \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}}\,\,-\,\,{\color{Blue} 4} \over h} = \lim_{h \to 0} {4\,h + h^2 \over h} = \]

\[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(4 + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (4 + h) = 4 \]

Exempel 7

Funktionen \( \; f(x) = x^2 \; \) är given. Bestäm gränsvärdet \( \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \; \).

Lösning:

Eftersom uttrycket i limes involverar två variabler \( \, x \, \) och \( \, h \, \) kommer limes inte längre vara ett tal utan ett uttryck i \( \, x \).

\( \displaystyle \lim_{\color{Red} {h \to 0}} \, \) innebär att gränsvärdet ska bildas för \( \, {\color{Red} {h \to 0}} \). Därför borde \( \, x\, \) under gränsprocessen anses som en konstant.

\[ {\color{Red} {f(x+h)}} \, = \, (x+h)^2 \, = \, {\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \]

\[ {\color{Blue} {f(x)}} \, = \, {\color{Blue} {x\,^2}} \]

\[ \lim_{h \to 0}\,\,{{\color{Red} {f(x+h)}} - {\color{Blue} {f(x)}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \, - \, {\color{Blue} {x\,^2}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = \]

\[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(2\,x + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) = \boxed{2\,x} \]

Observera att Exempel 6 ovan är ett specialfall av detta exempel för \( x = 2 \, \).

Jämför även med förra avsnittets Exempel 2 Kvadratisk funktion:

\( y \, = \, \boxed{2\,x} \, \) är derivatan av \( \, y \, = \, x^2 \, \), se derivatan som en ny funktion.

Internetlänkar

https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs

https://www.youtube.com/watch?v=StP64lMXZjA

https://www.youtube.com/watch?v=fPOX0QX8AH0

@@ Rad 22: / Rad 22: @@
 <table>
 <tr>
 <td><div class="ovnE0">
-En fallskärmshoppare faller fritt med hastigheten
+<small> En fallskärmshoppare faller fritt med hastigheten
 <math> \qquad\quad\;\;\; </math> <div class="smallBoxVariant"><math> v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math></div>
@@ Rad 32: / Rad 32: @@
 Om ja, bestäm den.
-</div>
+<small> </div>
 <b>Grafisk och fysikalisk tolkning:</b>

Skillnad mellan versioner av "2.3 Gränsvärde"

Versionen från 21 oktober 2017 kl. 11.38

Gränsvärde för en funktion

Exempel

Beräkning av gränsvärden

Exempel 1

Exempel 2

Exempel 3

Exempel 4

Exempel 5

Exempel 6

Exempel 7

Internetlänkar

Navigeringsmeny

Personliga verktyg

Matematik 3c

Sök