Skillnad mellan versioner av "2.5 Övningar till Deriveringsregler"

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
+__NOTOC__
 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
-{{Not selected tab|[[2.4 Deriveringsregler|Teori]]}}
+{{Not selected tab|[[2.4 Derivatans definition| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
-{{Selected tab|[[2.4 Övningar till Deriveringsregler|Övningar]]}}
+{{Not selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Genomgång]]}}
+{{Selected tab|[[2.5 Övningar till Deriveringsregler|Övningar]]}}
+{{Not selected tab|[[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|Fördjupning]]}}
+{{Not selected tab|[[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 | style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 |}
-__NOTOC__
-Anta alltid <math> y = f(x)\, </math>.
-== G-övningar: 1-4 ==
+<big><big><big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-6</span> <math> \qquad\qquad\qquad\quad </math> <small> Anta alltid<span style="color:black">:</span> <math> \; \quad y \; = \; f(x)\, </math> </small> </big></big></big>
-== Övning 1 ==
-<div class="ovning">
+== <b>Övning 1</b> ==
+<div class="ovnE">
 Ställ upp derivatan av följande funktioner med hjälp av deriveringsreglerna:
-a) <math> y = -8\, </math>
+a) &nbsp; <math> y = -8\, </math>
-b) <math> y = 12\,x + 7 </math>
+b) &nbsp; <math> y = 12\,x + 7 </math>
-c) <math> y = 4\,x^2 - 25\,x + 32 </math>
+c) &nbsp; <math> y = 4\,x^2 - 25\,x + 32 </math>
-d) <math> y = x\, </math>
+d) &nbsp; <math> y = x\, </math>
-e) <math> y = - x\, </math>
+e) &nbsp; <math> y = - x\, </math>
-f) <math> y = x + 6\, </math>
+f) &nbsp; <math> y = x + 6\, </math>
-g) <math> y = - x + 25\, </math>
+g) &nbsp; <math> y = - x + 25\, </math>
-</div> {{#NAVCONTENT:Svar 1a|2.4 Svar 1a|Svar 1b|2.4 Svar 1b|Svar 1c|2.4 Svar 1c|Svar 1d|2.4 Svar 1d|Svar 1e|2.4 Svar 1e|Svar 1f|2.4 Svar 1f|Svar 1g|2.4 Svar 1g}}
+{{#NAVCONTENT:Svar 1a|2.4 Svar 1a|Svar 1b|2.4 Svar 1b|Svar 1c|2.4 Svar 1c|Svar 1d|2.4 Svar 1d|Svar 1e|2.4 Svar 1e|Svar 1f|2.4 Svar 1f|Svar 1g|2.4 Svar 1g}}</div>
-Alternativt:
-:<small><small>[[2.4 Svar 1a|Svar 1a]] | [[2.4 Svar 1b|Svar 1b]] | [[2.4 Svar 1c|Svar 1c]] | [[2.4 Svar 1d|Svar 1d]] | [[2.4 Svar 1e|Svar 1e]] | [[2.4 Svar 1f|Svar 1f]] | [[2.4 Svar 1g|Svar 1g]]</small></small>
-== Övning 2 ==
-<div class="ovning">
+== <b>Övning 2</b> ==
+<div class="ovnE">
 Derivera med hjälp av deriveringsreglerna:
-a) <math> y = {x \over 2} </math>
+a) &nbsp; <math> \displaystyle y = {x \over 2} </math>
-b) <math> y = 0,2\,x^5 + x </math>
+b) &nbsp; <math> y = 0,2\,x^5 + x </math>
-c) <math> y = {x^2 \over 2} - {3 \over 4}\,x + 25 </math>
+c) &nbsp; <math> \displaystyle y = {x^2 \over 2} - {3 \over 4}\,x + 25 </math>
-d) <math> y = {4\,x^2 - 8\,x \over 5} </math>
+d) &nbsp; <math> \displaystyle y = {4\,x^2 - 8\,x \over 5} </math>
-e) <math> y = 15 - {x + 3 \over 2} </math>
+e) &nbsp; <math> \displaystyle y = 15 - {x + 3 \over 2} </math>
-</div> {{#NAVCONTENT:Svar 2a|2.4 Svar 2a|Lösning 2a|2.4 Lösning 2a|Svar 2b|2.4 Svar 2b|Lösning 2b|2.4 Lösning 2b|Svar 2c|2.4 Svar 2c|Lösning 2c|2.4 Lösning 2c|Svar 2d|2.4 Svar 2d|Lösning 2d|2.4 Lösning 2d|Svar 2e|2.4 Svar 2e}}
-Alternativt:
-:<small><small>[[2.4 Svar 2a|Svar 2a]] | [[2.4 Lösning 2a|Lösning 2a]] | [[2.4 Svar 2b|Svar 2b]] | [[2.4 Lösning 2b|Lösning 2b]] | [[2.4 Svar 2c|Svar 2c]] | [[2.4 Lösning 2c|Lösning 2c]] | [[2.4 Svar 2d|Svar 2d]] | [[2.4 Lösning 2d|Lösning 2d]] | [[2.4 Svar 2e|Svar 2e]]</small></small>
-== Övning 3 ==
+f) &nbsp; <math> y = (3\,x - 5)^2 </math>
-<div class="ovning">
-I det introducerande avsnittet [[2.1 Vad är derivatan?|Vad är derivatan?]] sysslade vi med följande aktivitet:
-Lisa tävlar i simhopp. Hennes hopp från 10-meterstorn följer en bana som beskrivs av funktionen
+{{#NAVCONTENT:Svar 2a|2.4 Svar 2a|Lösning 2a|2.4 Lösning 2a|Svar 2b|2.4 Svar 2b|Lösning 2b|2.4 Lösning 2b|Svar 2c|2.4 Svar 2c|Lösning 2c|2.4 Lösning 2c|Svar 2d|2.4 Svar 2d|Lösning 2d|2.4 Lösning 2d|Svar 2e|2.4 Svar 2e|Lösning 2e|2.4 Lösning 2e|Svar 2f|2.4 Svar 2f|Lösning 2f|2.4 Lösning 2f}}</div>
-::::::<math> y = f(x) = – 9\,x^2 + 6\,x + 10\, </math>
-där <math> y\, </math> är Lisas höjd över vattnet (i meter) och <math> x\, </math> är tiden efter hon lämnat brädan (i sekunder).
+== <b>Övning 3</b> ==
+<div class="ovnE">
+Ställ upp derivatan av följande funktioner med hjälp av deriveringsreglerna:
+a) &nbsp; <math> \displaystyle y = {2 \over x} </math>
+b) &nbsp; <math> \displaystyle y = -{3 \over x} + \sqrt{5} </math>
+c) &nbsp; <math> y = 6 - 2\,\sqrt{x} </math>
+d) &nbsp; <math> \displaystyle y = 7\,x^4 - {25 \over x} </math>
+e) &nbsp; <math> \displaystyle y = {1 \over x^2} </math>
+f) &nbsp; <math> \displaystyle y = {1 \over \sqrt{x}} </math>
+{{#NAVCONTENT:Svar 3a|2.4 Svar 3a|Lösning 3a|2.4 Lösning 3a|Svar 3b|2.4 Svar 3b|Lösning 3b|2.4 Lösning 3b|Svar 3c|2.4 Svar 3c|Lösning 3c|2.4 Lösning 3c|Svar 3d|2.4 Svar 3d|Lösning 3d|2.4 Lösning 3d|Svar 3e|2.4 Svar 3e|Lösning 3e|2.4 Lösning 3e|Svar 3f|2.4 Svar 3f|Lösning 3f|2.4 Lösning 3f}}</div>
+== <b>Övning 4</b> ==
+<div class="ovnE">
+Derivera med hjälp av deriveringsreglerna:
+a) &nbsp; <math> \displaystyle y = {x^2 + 3 \over x} </math>
+b) &nbsp; <math> \displaystyle y = {x^2\,\sqrt{x}\over 5} </math>
+c) &nbsp; <math> \displaystyle y = {2 \over 3}\,x\,\sqrt{x} - {1 \over x^2} </math>
+d) &nbsp;&nbsp; Beräkna <math> \; f\,'(4)\, \; </math> om <math> \displaystyle \; f(x) = x^3 + {\sqrt{x} \over 2} \; </math> med 3 decimaler.
+e) &nbsp;&nbsp; Beräkna <math> \; f\,'(1)\, \; </math> om <math> \displaystyle \; f(x) = {x^3 + x^2 + x - 1 \over x} </math>.
+{{#NAVCONTENT:Svar 4a|2.4 Svar 4a|Lösning 4a|2.4 Lösning 4a|Svar 4b|2.4 Svar 4b|Lösning 4b|2.4 Lösning 4b|Svar 4c|2.4 Svar 4c|Lösning 4c|2.4 Lösning 4c|Svar 4d|2.4 Svar 4d|Lösning 4d|2.4 Lösning 4d|Svar 4e|2.4 Svar 4e|Lösning 4e|2.4 Lösning 4e}}</div>
+== <b>Övning 5</b> ==
+<div class="ovnE">
+I avsnittet [[2.1 Introduktion till derivata|<strong><span style="color:blue">Introduktion till derivata</span></strong>]] sysslade vi med följande aktivitet:
+Yulia Koltunova tävlar i simhopp. Hennes hopp från 10-meterstorn följer en bana som beskrivs av funktionen
+::::::<math> y = f(x) = - 9\,x^2 + 6\,x + 10\, </math>
+där <math> y\, </math> är Yulias höjd över vattnet (i meter) och <math> x\, </math> är tiden efter hon lämnat brädan (i sekunder).
-Hon slår i vattnet efter 1,45 sekunder.
+I aktiviteten hade vi grafiskt bestämt ett närmevärde till Yulias hastighet med vilken hon slår i vattnet efter 1,45 sekunder.
-a) Ställ upp med deriveringsreglerna derivatan av <math> f(x)\, </math>.
+a) &nbsp; Ställ upp med deriveringsreglerna derivatan av <math> f(x)\, </math>.
-b) Beräkna med hjälp av derivatan från a) med vilken hastighet Lisa slår i vattnet?
+b) &nbsp; Beräkna med hjälp av derivatan från a) med vilken exakt (momentan) hastighet Yulia slår i vattnet?
-</div> {{#NAVCONTENT:Svar 3a|2.4 Svar 3a|Lösning 3a|2.4 Lösning 3a|Svar 3b|2.4 Svar 3b|Lösning 3b|2.4 Lösning 3b}}
+{{#NAVCONTENT:Svar 5a|2.4 Svar 5a|Lösning 5a|2.4 Lösning 5a|Svar 5b|2.4 Svar 5b|Lösning 5b|2.4 Lösning 5b}}</div>
-Alternativt:
-:<small><small>[[2.4 Svar 3a|Svar 3a]] | [[2.4 Lösning 3a|Lösning 3a]] | [[2.4 Svar 3b|Svar 3b]] | [[2.4 Lösning 3b|Lösning 3b]] </small></small>
-== Övning 4 ==
-<div class="ovning">
+== <b>Övning 6</b> ==
+<div class="ovnE">
 Följande parabel är given:
 ::<math> y = x^2 + 5\,x - 8 </math>
-a) Vilken lutning har parabeln i punkten <math> x = 1\, </math>?
+a) &nbsp; Vilken lutning har parabeln i punkten <math> x = 1\, </math>?
+b) &nbsp; Ange koordinaterna till parabelns och tangentens beröringspunkt samt ekvationen för tangenten till parabeln i i punkten <math> x = 1\, </math>.
+c) &nbsp; Rita grafen till både parabeln och tangenten i samma koordinatsystem. Markera beröringspunkten.
+{{#NAVCONTENT:Svar 6a|2.4 Svar 6a|Lösning 6a|2.4 Lösning 6a|Svar 6b|2.4 Svar 6b|Lösning 6b|2.4 Lösning 6b|Lösning 6c|2.4 Lösning 6c}}</div>
+<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 7-8</span></Big></Big></Big>
+== <b>Övning 7</b> ==
+<div class="ovnC">
+Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan
-b) Ställ upp ekvationen för tangenten till parabeln i denna punkt.
+::<math> y = x^2 + 5\,x - 1\, </math>
-</div> {{#NAVCONTENT:Svar 4a|2.4 Svar 4a|Lösning 4a|2.4 Lösning 4a|Svar 4b|2.4 Svar 4b|Lösning 4b|2.4 Lösning 4b}}
+i punkten <math> x = -1\, </math> .
-Alternativt:
-:<small><small>[[2.4 Svar 4a|Svar 4a]] | [[2.4 Lösning 4a|Lösning 4a]] | [[2.4 Svar 4b|Svar 4b]] | [[2.4 Lösning 4b|Lösning 4b]]</small></small>
-== VG-övningar: 5-6 ==
+{{#NAVCONTENT:Svar 7|2.4 Svar 7|Lösning 7|2.4 Lösning 7}}</div>
-== Övning 5 ==
-<div class="ovning">
-I [[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet#Exempel_2|förra avsnitt, Exempel 2]] i Teori-delen betraktade vi följande problem:
-En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:
+== <b>Övning 8</b> ==
+<div class="ovnC">
+I en bakteriekultur växer antalet bakterier y enligt följande modell
-:::<math> y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 </math>
+::<math> y = 60\,x^4 + 3\,250 </math>
-där
+där <math> x\, </math> är tiden i timmar.
-:::<math> x \, = \, </math> Tiden i minuter
+Efter hur många timmar kommer bakteriernas tillväxthastighet att vara <math> 2\,000 </math> bakterier per timme?
-:::<math> y \, = \, </math> Oljans volym i liter
+Svara i hela timmar och hela minuter.
-a) Beräkna oljans utströmningshastighet vid tiden <math> x = 25\, </math>.
+{{#NAVCONTENT:Svar 8|2.4 Svar 8|Lösning 8|2.4 Lösning 8}}</div>
-b) Efter hur många minuter läcker oljan med <math> 300\, </math> liter per minut?
-</div> {{#NAVCONTENT:Svar 5a|2.4 Svar 5a|Lösning 5a|2.4 Lösning 5a|Svar 5b|2.4 Svar 5b|Lösning 5b|2.4 Lösning 5b}}
-Alternativt:
-:<small><small>[[2.4 Svar 5a|Svar 5a]] | [[2.4 Lösning 5a|Lösning 5a]] | [[2.4 Svar 5b|Svar 5b]] | [[2.4 Lösning 5b|Lösning 5b]]</small></small>
-== Övning 6 ==
-<div class="ovning">
-a) Beräkna med derivatans definition derivatan till parabeln
-::<math> y \, = \, x^2 </math>
+<Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 9-10</span></Big></Big></Big>
-i punkten med
-::<math> x \, = \, -3 </math>
+== <b>Övning 9</b> ==
+<div class="ovnA">
+Tangenten till kurvan:
-b) Ställ upp ekvationen för tangenten till parabeln i samma punkt.
+::<math> y = f(x) = a\,x^2 + b\,x </math>
-c) Rita grafen till både parabeln och tangenten i samma koordinatsystem.
+har i beröringspunkten <math> (5, -6)\, </math> lutningen <math> \,4 </math> .
-</div> {{#NAVCONTENT:Svar 6a|2.4 Svar 6a|Lösning 6a|2.4 Lösning 6a|Svar 6b|2.4 Svar 6b|Lösning 6b|2.4 Lösning 6b|Svar 6c|2.4 Svar 6c|Lösning 6c|2.4 Lösning 6c}}
+Bestämma konstanterna <math> a\, </math> och <math> b\, </math> och ange kurvans (specifika) ekvation.
-Alternativt:
-:<small><small>[[2.4 Svar 6a|Svar 6a]] | [[2.4 Lösning 6a|Lösning 6a]] | [[2.4 Svar 6b|Svar 6b]] | [[2.4 Lösning 6b|Lösning 6b]] | [[2.4 Svar 6c|Svar 6c]] | [[2.4 Lösning 6c|Lösning 6c]]</small></small>
-== MVG-övningar: 7-8 ==
+{{#NAVCONTENT:Svar 9|2.4 Svar 9|Lösning 9|2.4 Lösning 9}}</div>
-== Övning 7 ==
-<div class="ovning">
-Bestäm med derivatans definition derivatan till funktionen
-::<math> y \, = \, x^2 </math>
+== <b>Övning 10</b> ==
+<div class="ovnA">
+Kurvan
-i punkten
+::<math> y = 2\,x^2 - 3\,x - 4 </math>
-::<math> x = a\, </math>.
+har en tangent som är parallell till den räta linjen <math> y = x - 4\, </math>.
-Förenkla uttrycket i <math> a\, </math> så långt som möjligt.
+a) &nbsp; Rita kurvan och den räta linjen som är parallel till tangenten i samma koordinatsystem.
-</div> {{#NAVCONTENT:Svar 7|2.4 Svar 7|Lösning 7|2.4 Lösning 7}}
+b) &nbsp; Bestäm <math>\,x</math>- och <math>\,y</math>-koordinaterna till kurvans och tangentens beröringspunkt.
-Alternativt:
-:<small><small>[[2.4 Svar 7|Svar 7]] | [[2.4 Lösning 7|Lösning 7]]</small></small>
-== Övning 8 ==
+c) &nbsp; Ställ upp ekvationen för tangenten.
-<div class="ovning">
-Följande funktion är given:
-::<math> y = 3\,x^2 - 2\,x - 4 </math>
+d) &nbsp; Rita tangentens graf i samma koordinatsystem som i a).
-a) Rita funktionens graf.
+{{#NAVCONTENT:Lösning 10a|2.4 Lösning 10a|Svar 10b|2.4 Svar 10b|Lösning 10b|2.4 Lösning 10b|Svar 10c|2.4 Svar 10c|Lösning 10c|2.4 Lösning 10c|Lösning 10d|2.4 Lösning 10d}}</div>
-b) Beräkna med derivatans definition funktionens derivata i punkten <math> x = 1\, </math>.
-c) Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan <math> y\, </math> i samma punkt.
-d) Rita tangentens graf i samma koordinatsystem.
-</div> {{#NAVCONTENT:Svar 8a|2.4 Svar 8a|Lösning 8a|2.4 Lösning 8a|Svar 8b|2.4 Svar 8b|Lösning 8b|2.4 Lösning 8b|Svar 8c|2.4 Svar 8c|Lösning 8c|2.4 Lösning 8c|Svar 8d|2.4 Svar 8d|Lösning 8d|2.4 Lösning 8d}}
-Alternativt:
-:<small><small>[[2.4 Svar 8a|Svar 8a]] | [[2.4 Lösning 8a|Lösning 8a]] | [[2.4 Svar 8b|Svar 8b]] | [[2.4 Lösning 8b|Lösning 8b]] | [[2.4 Svar 8c|Svar 8c]] | [[2.4 Lösning 8c|Lösning 8c]] | [[2.4 Svar 8d|Svar 8d]] | [[2.4 Lösning 8d|Lösning 8d]]</small></small>
-[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.