Skillnad mellan versioner av "2.5 Lösning 7"
Taifun (Diskussion | bidrag) (Skapade sidan med 'Att bestämma <math> C \, </math>: :<math> \begin{array}{rcl} B\,(t) & = & C \cdot e\,^{k\,t} \end{array}</math> "I början mättes <math> 150\, </math> bakterier i...') |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (43 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | + | Vi bestämmer <math> C \, </math>: | |
:<math> \begin{array}{rcl} B\,(t) & = & C \cdot e\,^{k\,t} | :<math> \begin{array}{rcl} B\,(t) & = & C \cdot e\,^{k\,t} | ||
| Rad 12: | Rad 12: | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | + | Vi bestämmer <math> k \, </math>: | |
:<math> \begin{array}{rclcl} B\,(t) & = & 150 \cdot e\,^{k\,t} & & \\ | :<math> \begin{array}{rclcl} B\,(t) & = & 150 \cdot e\,^{k\,t} & & \\ | ||
| Rad 21: | Rad 21: | ||
:<math> \begin{array}{rcrcl} B\,'(8) & = & 150 \cdot k \cdot e\,^{k\,\cdot\, 8} & = & 350 \\ | :<math> \begin{array}{rcrcl} B\,'(8) & = & 150 \cdot k \cdot e\,^{k\,\cdot\, 8} & = & 350 \\ | ||
| − | & & | + | & & 150 \cdot k \cdot e\,^{8\,k} & = & 350 \\ |
| − | & & | + | & & k \cdot e\,^{8\,k} & = & {350 \over 150} \\ |
| − | + | & & k \cdot e\,^{8\,k} & = & {7 \over 3} | |
| − | & & | + | |
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | + | För att lösa ekvationen ovan för <math> k\, </math> används grafräknaren. Ett startvärde för räknarens ekvationslösare erhålls genom att rita grafen till funktionen <math> y \,=\, x \cdot e\,^{8\,x} \,-\, {7 \over 3} </math> och avläsa nollstället, vilket ger närmevärdet <math> x \approx 0,3 </math> . | |
| − | :<math> | + | Enligt instruktionerna i [[Grafritning_och_ekvationslösning_med_räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|<strong><span style="color:blue">Ekvationslösning med miniräknare</span></strong>]] får vi med detta startvärde följande lösning till ekvationen <math> x \cdot e\,^{8\,x} \,-\, {7 \over 3} \,=\, 0 </math>: |
| + | |||
| + | ::::::<math> x \,=\, 0,2697122\ldots \,=\, k </math> | ||
| + | |||
| + | Med detta värde för <math> k\, </math> specificerar vi vår modell för bakteriernas tillväxt: | ||
| + | |||
| + | ::::::<math> B\,(t) \, = \, 150 \, e\,^{0,2697122\,t} </math> | ||
| + | |||
| + | "Efter hur många timmar och minuter har antalet bakterier <u>nått</u> <math> 2\,000 </math>?" innebär att lösa följande ekvation för <math> t\, </math> : | ||
| + | |||
| + | ::::::<math> 150 \, e\,^{0,2697122\,t} \, = \, 2\,000 </math> | ||
| + | |||
| + | Grafräknaren används. Ett startvärde erhålls genom att rita grafen till funktionen <math> y \,=\, 150\, e\,^{0,2697122\,x} \,-\, 2\,000 </math> och avläsa nollstället, vilket ger närmevärdet <math> x \approx 10 </math>. Med detta startvärde får vi i räknarens [[Grafritning_och_ekvationslösning_med_räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|<strong><span style="color:blue">Ekvationslösning med miniräknare</span></strong>]] följande lösning till ekvationen <math> 150\, e\,^{0,2697122\,x} \,-\, 2\,000 \,=\, 0 </math>: | ||
| + | |||
| + | ::::::<math> x \,=\, 9,603819\ldots </math> | ||
| + | |||
| + | "Efter hur många timmar och minuter har antalet bakterier <u>överstigit</u> <math> 2\,000 </math>?" innebär att ange tiden <math> t\, </math> t.ex. med | ||
| + | |||
| + | ::::::<math> t \,=\, 9,60382 \;\, {\rm timmar} </math> | ||
| + | |||
| + | Den decimala bråkdelen omvandlas från timmar till minuter: | ||
| + | |||
| + | <math> t = 9,60382\;{\rm h } \;=\; 9\;{\rm h } + 0,60382\;{\rm h } \;=\; 9\;{\rm h } + 0,60382 \cdot 60 \; {\rm min } \;=\; 9\;{\rm h } + 36,23 \; {\rm min } </math> | ||
| + | |||
| + | Antalet bakterier har säkert överstigit <math> 2\,000 </math> och mjölken har blivit sur efter | ||
| + | |||
| + | ::::::<math> 9\;{\rm timmar\;och\;} 37\;{\rm minuter} </math> | ||
Nuvarande version från 30 november 2018 kl. 12.31
Vi bestämmer \( C \, \):
\[ \begin{array}{rcl} B\,(t) & = & C \cdot e\,^{k\,t} \end{array}\]
"I början mättes \( 150\, \) bakterier i mjölken" innebär:
\[ \begin{array}{rcrcl} B(0) & = & C \cdot e\,^{k\,\cdot\, 0} & = & 150 \\ & & C \cdot e\,^{0} & = & 150 \\ & & C \cdot 1 & = & 150 \\ & & C & = & 150 \end{array}\]
Vi bestämmer \( k \, \):
\[ \begin{array}{rclcl} B\,(t) & = & 150 \cdot e\,^{k\,t} & & \\ B\,'(t) & = & 150 \cdot k \cdot e\,^{k\,t} & & \\ \end{array}\]
"Efter \( 8\, \) timmar förökar sig bakterierna med \( 350\, \) i timmen" innebär:
\[ \begin{array}{rcrcl} B\,'(8) & = & 150 \cdot k \cdot e\,^{k\,\cdot\, 8} & = & 350 \\ & & 150 \cdot k \cdot e\,^{8\,k} & = & 350 \\ & & k \cdot e\,^{8\,k} & = & {350 \over 150} \\ & & k \cdot e\,^{8\,k} & = & {7 \over 3} \end{array}\]
För att lösa ekvationen ovan för \( k\, \) används grafräknaren. Ett startvärde för räknarens ekvationslösare erhålls genom att rita grafen till funktionen \( y \,=\, x \cdot e\,^{8\,x} \,-\, {7 \over 3} \) och avläsa nollstället, vilket ger närmevärdet \( x \approx 0,3 \) .
Enligt instruktionerna i Ekvationslösning med miniräknare får vi med detta startvärde följande lösning till ekvationen \( x \cdot e\,^{8\,x} \,-\, {7 \over 3} \,=\, 0 \):
- \[ x \,=\, 0,2697122\ldots \,=\, k \]
Med detta värde för \( k\, \) specificerar vi vår modell för bakteriernas tillväxt:
- \[ B\,(t) \, = \, 150 \, e\,^{0,2697122\,t} \]
"Efter hur många timmar och minuter har antalet bakterier nått \( 2\,000 \)?" innebär att lösa följande ekvation för \( t\, \) :
- \[ 150 \, e\,^{0,2697122\,t} \, = \, 2\,000 \]
Grafräknaren används. Ett startvärde erhålls genom att rita grafen till funktionen \( y \,=\, 150\, e\,^{0,2697122\,x} \,-\, 2\,000 \) och avläsa nollstället, vilket ger närmevärdet \( x \approx 10 \). Med detta startvärde får vi i räknarens Ekvationslösning med miniräknare följande lösning till ekvationen \( 150\, e\,^{0,2697122\,x} \,-\, 2\,000 \,=\, 0 \):
- \[ x \,=\, 9,603819\ldots \]
"Efter hur många timmar och minuter har antalet bakterier överstigit \( 2\,000 \)?" innebär att ange tiden \( t\, \) t.ex. med
- \[ t \,=\, 9,60382 \;\, {\rm timmar} \]
Den decimala bråkdelen omvandlas från timmar till minuter\[ t = 9,60382\;{\rm h } \;=\; 9\;{\rm h } + 0,60382\;{\rm h } \;=\; 9\;{\rm h } + 0,60382 \cdot 60 \; {\rm min } \;=\; 9\;{\rm h } + 36,23 \; {\rm min } \]
Antalet bakterier har säkert överstigit \( 2\,000 \) och mjölken har blivit sur efter
- \[ 9\;{\rm timmar\;och\;} 37\;{\rm minuter} \]
