Skillnad mellan versioner av "Potenser"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Några begrepp)
m
 
(158 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[1.5 Potenser|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[Repetitioner från Matte 2| <<&nbsp;&nbsp;Repetitioner]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.5 Övningar till Potenser|Övningar]]}}
+
{{Selected tab|[[Potenser|Genomgång]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Quiz till Potenser|Quiz]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Övningar till Potenser|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom|1:a avsnitt: Polynom&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
[[Media: Lektion 9 Potenslagarna.pdf|Lektion 9 Potenser]]
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>[[Image: Potens Bas Exponent_80.jpg]]</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<div class="border-divblue">
 +
<big>Exempel på potens:
  
−
== Några begrepp ==
+
::<math> 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 8</math>
  
−
Ett uttryck av formen <math> a^x\, </math> läses "a upphöjt till x" och kallas <span style="color:red">potens</span>. <math> a\, </math> heter <span style="color:red">basen</span> och <math> x\, </math> <span style="color:red">exponenten</span>.
+
<b><span style="color:#931136">Potens</span></b> = upprepad <b><span style="color:red">multiplikation</span></b>
  
−
Om <math> x\, </math> är ett positivt heltal och <math> a\, </math> ett tal <math> \neq 0 </math> kan potensen <math> a^x\, </math> definieras som en förkortning för <span style="color:red">upprepad multiplikation</span> av <math> a\, </math> med sig själv <math> x\, </math> gånger:
+
av <math> \, 2 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger.
−
::::<math> a^x = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x\;\,\text{styck}} </math>
+
</big></div></td>
−
Exempel:
+
</tr>
−
::::<math> a^2 = a \cdot a </math>
+
</table>
  
−
::::<math> a^3 = a \cdot a \cdot a </math>
 
  
−
För negativa heltalexponenter kan potensen <math> a^{-x}\, </math> definieras som en förkortning för <math>1 /\,</math> <span style="color:red">upprepad division</span> av <math> a\, </math> med sig själv <math> x\, </math> gånger:
+
<big>
−
::::<math> a^{-x} = 1 / \underbrace{a / a / a / \quad \ \cdots \quad / a}_{x\;\,\text{styck}} </math>
+
<b><span style="color:red">OBS!</span></b>&nbsp;&nbsp; Förväxla inte begreppen<span style="color:black">:</span> <math> \, 2\,^3 \, </math> är själva potensen, medan <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är <b><span style="color:red">exponenten</span></b> och  <math> \, {\color{green} 2}\, </math> förstås <b><span style="color:green">basen</span></b>.
−
Uppfattar man a som ett bråk med nämnaren 1 dvs <math> {a \over 1} </math> och ersätter i uttrycket ovan divisionerna med a med multiplikationer med det omvända (inversa) bråket <math> {1 \over a} </math>, kan man skriva om uttrycket ovan så här:
+
−
::::<math> a^{-x} = 1 \cdot \underbrace{{1 \over a} \cdot {1 \over a} \cdot {1 \over a} \cdot \quad \cdot \cdots \quad \cdot {1 \over a}}_{x\;\,\text{styck}} = {1 \over a^x} </math>
+
−
Vi får följande formel för potenser med negativa heltalexponenter:
+
−
::::<math> a^{-x} = {1 \over a^x} </math>
+
−
Exempel på negativa heltalsexponenter:
+
−
::::<math> a^{-2} = {1 \over a^2} = {1 \over a \cdot a} </math>
+
  
−
::::<math> a^{-3} = {1 \over a^3} = {1 \over a \cdot a \cdot a} </math>
+
Exponenten <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att<span style="color:black">:</span>
  
 +
<math> \, 2 \, </math> ska multipliceras <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger med sig själv, en förkortning för upprepad multiplikation (jfr. [http://mathonline.se:1800/index.php?title=1.2_R%C3%A4kneordning#Varf.C3.B6r_g.C3.A5r_multiplikation_f.C3.B6re_addition.3F <b><span style="color:blue">upprepad addition</span></b>]).
 +
</big>
 +
 +
 +
<div class="exempel"> <!-- exempel1 -->
 +
=== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> ===
 +
<big>
 +
Förenkla<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} </math>
 +
 +
 +
<b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> <math> \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} </math>
 +
 +
:::::::::::::::::OBS! &nbsp; Förenkla alltid först, räkna sedan!
 +
 +
Snabbare<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} </math>
 +
 +
För att förstå den snabbare lösningen se [[Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]].
 +
</big>
 +
</div>  <!-- exempel1 -->
 +
 +
 +
<big>Generellt:</big>
 +
 +
== <b><span style="color:#931136">Potenser med positiva exponenter</span></b> ==
 +
 +
<div class="ovnE">
 +
Potensen <big><math> \, a\,^{\color{Red} x} \, </math></big> med <b><span style="color:red">positiv</span></b> exponent (<math> x \, </math> heltal <math> > 0 \, </math> och <math> \, a \, \neq 0 </math>) kan definieras som<span style="color:black">:</span>
 +
 +
:::<b>Upprepad multiplikation av <big><math> \, a \, </math></big> med sig själv, <math> \, {\color{Red} x} \, </math> gånger:</b>
 +
 +
:::::<big><math> \quad a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} </math></big>
 +
</div>
 +
 +
 +
== <b><span style="color:#931136">Potenslagarna</span></b> ==
 +
 +
 +
<div class="border-divblue">
 +
<b><span style="color:#931136">Första potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad </math></big>
 +
----
 +
<b><span style="color:#931136">Andra potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\;\;\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad </math></big>
 +
----
 +
<b><span style="color:#931136">Tredje potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad </math></big>
 +
----
 +
<b><span style="color:#931136">Lagen om nollte potens:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\quad\;\;\, a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad </math></big>
 +
----
 +
<b><span style="color:#931136">Lagen om negativ exponent:</span></b> <big><math> \qquad\quad\;\;\; a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad </math></big>
 +
----
 +
<b><span style="color:#931136">Potens av en produkt:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad </math></big>
 
----
 
----
 +
<b><span style="color:#931136">Potens av en kvot:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad </math></big>
 +
</div>
  
−
Själva aktionen <math> a^x\, </math> dvs att ta <math> a\, </math> upphöjt till <math> x\, </math> kallas <span style="color:red">exponentiering</span> och är en ny räkneoperation jämfört med de fyra räknesätten. När x är lika med 2 pratar man om <span style="color:red">kvadrering</span>.
 
  
−
Anta i fortsättningen att <math> x\, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> . Då kallas
+
<big>
 +
Dessa lagar gäller för potenser där baserna <math> \, a,\,b \, </math> är tal <math> \, \neq 0 \, </math> och exponenterna <math> \, x,\,y \, </math> är godtyckliga tal.
 +
</big>
  
−
:::::::funktioner av typ <math> y = 10^x\, </math> <span style="color:red">exponentialfunktioner</span>, generellt: <math> y = c \cdot a^x\, </math>.
 
  
−
:::::::ekvationer av typ <math> 10^x\,= 125 </math> <span style="color:red">exponentialekvationer</span>, generellt: <math> a^x\, = b </math>.
+
<div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
 +
=== <b><span style="color:#931136">Exempel på första potenslagen</span></b> ===
 +
<big>
 +
Förenkla<span style="color:black">:</span> <big><math> \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 </math></big>
  
−
:::::::funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> <span style="color:red">potensfunktioner</span>, generellt: <math> y = c \cdot x^b\, </math>.
 
  
−
:::::::ekvationer av typ <math> x^3\, = 8 </math> <span style="color:red">potensekvationer</span>, generellt: <math> x^b\, = c </math>.
+
<b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b>  
  
−
I exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer x i exponenten. I potensfunktioner och -ekvationer förekommer x i basen. Medan exponentialekvationer löses genom <span style="color:red">logaritmering</span> (se avsnitt [[1.6 Logaritmer|1.6 Logaritmer]]), löses potensekvationer genom <span style="color:red">rotdragning</span>. För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
+
::::<big><math> a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}</math></big>
  
−
::::::::::::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\
+
Snabbare:
−
                      \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8}                    \\
+
−
                                  x  & = 2                              \\
+
−
                  \end{align}</math>
+
−
Alternativt (med bråktal som exponent):
+
−
::::::::::::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\
+
−
                  (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3}                  \\
+
−
              x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3}                  \\
+
−
                                  x  & = 2                              \\
+
−
                  \end{align}</math>
+
  
−
Det alternativa sättet att lösa ekvationen <math> x^3 = 8\, </math> visar att rotdragning kan även uppfattas och skrivas som <span style="color:red">exponentiering med bråktalsexponenter</span>. För att förstå detta måste man känna till potenslagarna som behandlas nedan. Dessa gäller även för exponenter som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensbegreppet för enkelhets skull endast för positiva heltalsexponenter.
+
::::<big><math> a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; a\,^{2\,+\,3} = \; a\,^{\color{Red} 5} </math></big>
 +
</big>
 +
</div> <!-- exempel2 -->
  
−
== Potenslagarna ==
 
  
−
Följande lagar gäller för potenser där basen <math> a\, </math> är ett tal <math> \neq 0 </math>, exponenterna <math> x\, </math> och <math> y\, </math> vilka rationella tal som helst och <math> m,\,n </math> heltal (<math> n\neq 0 </math>), med exempel till höger:
+
<big>
 +
Den snabbare lösningen ovan är ett exempel på den första potenslagen. Nedan följer ett exempel på den andra potenslagen.
 +
</big>
  
−
[[Image: Potenslagarna_70a.jpg]] [[Image: Potens_Ex_60.jpg]]
 
  
−
== Bevis av några potenslagar ==
+
<div class="exempel"> <!-- exempel3 -->
 +
=== <b><span style="color:#931136">Exempel på andra potenslagen</span></b> ===
 +
<big>
  
−
'''Påstående (Produkt av potenser med samma bas)''':
+
::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 </math></big>
  
−
:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} </math>
+
Snabbare:
  
−
'''Bevis''':
+
::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 </math></big>
 +
</big>
 +
</div> <!-- exempel3 -->
 +
 
 +
 
 +
<big>
 +
Potensbegreppet definierades inledningsvis endast för positiva exponenter. Men den definitionen duger varken för negativa exponenter eller för exponenten <math> \, 0 \, </math>:
 +
 
 +
Antalet multiplikationer av basen med sig själv kan inte vara negativt eller <math> \, 0 \, </math>. Det behövs nya definitioner resp. slutsatser.
 +
</big>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Potenser med negativa exponenter</span></b> ==
 +
<div class="exempel">
 +
[[Image: Hur raknar du negativa exponenter 20.jpg]]
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="ovnC">
 +
<big>Potens med negativ exponent<span style="color:black">:</span>
  
−
Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
+
<math> \qquad \displaystyle 2\,^{\color{Red} {-3}} \; = \;\; \frac{1}{2\,^{\color{Red} {3}}} \; = \; \frac{1}{8} \quad </math>
  
−
:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} </math>
+
<b><span style="color:red">Invertera</span></b> potensen med positiv exponent.
  
 
----
 
----
  
−
'''Påstående (Nollte potens)''':
+
Att <b><span style="color:red">"invertera"</span></b> t.ex. <math> \, 10 \, </math> ger <math> \, \displaystyle {1 \over 10} \; </math>.
 +
</big></div>
  
−
:::::<math> a^0 \; = \; 1 </math>
+
 
 +
</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<div class="ovnE">
 +
<big>Andra exempel<span style="color:black">:</span></big>
 +
::<math> \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} </math>
 +
 
 +
::<math> \displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01} </math>
 +
 
 +
::<math> \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} </math>
 +
</div>
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 
 +
<big>Generellt:</big>
 +
 
 +
<div class="ovnC">
 +
'''Påstående''':
 +
 
 +
<div class="border-divblue">
 +
===== <b><span style="color:#931136">Lagen om negativ exponent</span></b> <math> \quad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} </math> =====
 +
</div> <!-- border-divblue -->
  
 
'''Bevis''':
 
'''Bevis''':
  
−
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:
+
::::<big><math> \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} </math></big>
  
−
:::::<math> a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 </math>
+
In den första likheten har vi använt lagen om nollte potens baklänges<span style="color:black">:</span> <math> \; 1 = a^0 \; </math>.
  
−
----
+
In den andra likheten har vi använt andra potenslagen<span style="color:black">:</span> <math> \; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \; </math>.
 +
 
 +
Efter dessa steg får vi påståendet, fast baklänges.
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Potenser med exponenten <math> \, 0 \, </math></span></b> ==
 +
 
 +
<big>Exempel:</big>
 +
 
 +
<div class="ovnE">
 +
<big><math> \quad \displaystyle 2\,^{\color{Red} 0} \;\; = \;\; 1 \quad </math>
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
<big>Generellt:</big>
 +
 
 +
<div class="ovnC">
 +
'''Påstående''':
 +
 
 +
<div class="border-divblue">
 +
===== <b><span style="color:#931136">Lagen om nollte potens</span></b> <math> \quad a^0 \; = \; 1 \; </math> =====
 +
</div> <!-- border-divblue -->
 +
 
 +
'''Bevis''':
 +
 
 +
Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:
 +
 
 +
::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 </math></big>
 +
 
 +
Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet <math> \, 1 </math>:
 +
 
 +
::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 </math></big>
 +
 
 +
Av raderna ovan följer påståendet:
 +
 
 +
::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big>
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<big>I båda föregående påståenden ska alltid gälla<span style="color:black">:</span> <math> \quad x \, </math> heltal <math> > 0 \, </math> och <math> \, a \, \neq 0 \quad </math>.
 +
 
 +
 
 +
Exemplet nedan ska illustrera lagen ovan genom att visa följande:
 +
 
 +
Potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter.
 +
 
 +
<b><span style="color:red">Nollte potensen</span></b> bildar övergången mellan positiva och negativa exponenter, precis som <math> \, 0 \, </math> är övergången mellan positiva och negativa tal:
 +
</big>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5\,^0 \, = \, 1 \; </math>?</span></b> ==
 +
 
 +
<div class="ovnE">
 +
::<math> \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>
 +
 
 +
::<math> \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>
 +
 
 +
::<math> \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 </math>
 +
 
 +
::<math> \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 </math>
 +
 
 +
::<math> \; \boxed{{\color{Red} {5^0 \; = \; 1}}} </math>
 +
 
 +
::<math> \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} </math>
 +
 
 +
::<math> \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} </math>
 +
 
 +
::<math> \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} </math>
 +
 
 +
::<math> \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } </math>
 +
 
 +
Att <math> \; {\color{Red} 1} </math>-orna följer med hela tiden beror på att <b><span style="color:red">multiplikationens enhet</span></b> är <math> \, {\color{Red} 1} </math>, dvs <math> \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a </math>.
 +
 
 +
Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 1} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5^0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit.
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Potenser med rationella exponenter</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
 +
Här ska vi lägga till [[Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]] ytterligare tre lagar om potenser med rationella exponenter.
 +
 
 +
Potenser med rationella exponenter är potenser som har [http://34.248.89.132:1800/index.php?title=1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal <b><span style="color:red">rationella tal</span></b>] (bråktal) i exponenten.
 +
 
 +
De är bara ett annat sätt att skriva rötter, både kvadratrötter och högre rötter:
 +
 
 +
'''Påstående''':
 +
 
 +
<div class="border-divblue">
 +
===== <b><span style="color:#931136">Lagen om kvadratroten</span></b> <math> \quad a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} </math> =====
 +
</div> <!-- border-divblue -->
 +
 
 +
'''Bevis''':
 +
 
 +
Vi multiplicerar <math> a </math><big><math>^{1 \over 2} </math></big> två gånger med sig själv och använder första potenslagen:
 +
 
 +
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} \; = \; a^{{1 \over 2} + {1 \over 2}} \; = \; a^{2 \over 2} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>
 +
 
 +
Vi drar kvadratroten ur båda leden och går vidare<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
:::<big><math>\begin{array}{rclcl}    a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} & = & a        & \qquad | & \sqrt{\,.\,} \\
 +
                              \sqrt{a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2}} & = & \sqrt{a} &          &              \\
 +
                                                        a^{1 \over 2}  & = & \sqrt{a} & \qquad  &              \\
 +
              \end{array}</math></big>
 +
'''V.s.b.''' &nbsp; ('''V'''ilket '''s'''kulle '''b'''evisas)
 +
 
 +
I följande ska <math> \; n \; </math> vara ett heltal <math> > 0 </math> och <math> \, a \, \neq 0 </math>.
  
−
'''Påstående (Rationell exponent)''':
+
'''Påstående''':
  
−
:::::<math> a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} </math>
+
<div class="border-divblue">
 +
===== <b><span style="color:#931136">Lagen om högre rötter</span></b> <math> \quad a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} </math> =====
 +
</div> <!-- border-divblue -->
  
 
'''Bevisidé''':
 
'''Bevisidé''':
  
−
Vi tar specialfallet <math> m=1 </math> och <math> n=3 </math>, multiplicerar <math> a^{1 \over 3} </math> tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:
+
Vi visar påståendet för specialfallet <math> \, n=3 </math>:
  
−
:::::<math> a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math>
+
Vi multiplicerar <math> a </math><big><math>^{1 \over 3} </math></big> tre gånger med sig själv och använder första potenslagen:
  
−
Definitionen för 3:e roten ur a är: <math>\sqrt[3]{a} = </math> Tal som 3 gånger med sig själv ger a. Men enligt raden ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger a, just <math> a^{1 \over 3} </math>. Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur a:
+
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>
  
−
:::::<math> a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} </math>
+
Vi drar 3:e roten ur båda leden och går vidare<span style="color:black">:</span>
 +
:::<big><math>\begin{array}{rclcl}    a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} & = & a        & \qquad | & \sqrt[3]{\,.\,} \\
 +
                            \sqrt[3]{a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3}} & = & \sqrt[3]{a} &          &              \\
 +
                                                                            a^{1 \over 3}  & = & \sqrt[3]{a} & \qquad  &              \\
 +
        \end{array}</math></big>
 +
'''V.s.b.'''
  
−
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal <math> m\, </math> och <math> n\neq 0 </math>.
+
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet, där <math> \, m \, </math> ska vara ett heltal, <math> \, n \, </math> ett heltal <math> > 0 </math>  och <math> \, a \, \neq 0 </math>:
  
−
== Blandade exempel ==
+
<div class="border-divblue">
 +
===== <b><span style="color:#931136">Lagen om rationell exponent</span></b> <math> \quad \displaystyle a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} </math> =====
 +
</div> <!-- border-divblue -->
 +
 
 +
Tabellen över [[Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]] borde kompletteras med dessa lagar för rationella exponenter.
 +
 
 +
</div> <!-- tolv6 -->
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Potensekvationer</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv7 -->
 +
 
 +
Anta i fortsättningen att <math> \, x \, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> .
 +
 
 +
::Funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> kallas för <b><span style="color:red">potensfunktioner</span></b>, generellt <math> \; y = c \cdot x^b\, </math>.
 +
 
 +
::Ekvationer av typ <math> x^3\, = 8 </math> kallas för <b><span style="color:red">potensekvationer</span></b>, generellt <math> \; x^b\, = c </math>.
 +
 
 +
I potensfunktioner och -ekvationer förekommer <math> \, x \, </math> i <b><span style="color:red">basen</span></b>.
 +
 
 +
<div class="border-divblue">Potensekvationer löses genom <b><span style="color:red">rotdragning</span></b>.</div>
 +
 
 +
Rotdragning är ekvivalent (identiskt) med potentiering med rationella exponenter.
 +
 
 +
För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen:
 +
 
 +
:::<big><math>\begin{array}{rclcl}    x^3 & = & 8          & \qquad | & \sqrt[3]{\,.\,} \\
 +
                            \sqrt[3]{x^3} & = & \sqrt[3]{8} &          &                \\
 +
                                        x & = & 2          &          &                \\
 +
              \end{array}</math></big>
 +
 
 +
Alternativt kan rötter skrivas som potenser med rationella exponenter:
 +
 
 +
:::<big><math>\begin{array}{rclcl}    x^3 & = & 8            & \qquad | & (\,\cdot\,)^{1 \over 3} \\
 +
                        (x^3)^{1 \over 3} & = & 8^{1 \over 3} &          &                        \\
 +
                    x^{3\cdot{1 \over 3}} & = & 8^{1 \over 3} &          &                        \\
 +
                                      x  & = & 2            &          &                        \\
 +
              \end{array}</math></big>
 +
 
 +
I övergången från den andra till den tredje raden har den 3:e potenslagen använts på vänsterledet.
 +
</div> <!-- tolv7 -->
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Blandade exempel</span></b> ==
 
[[Image: Potens_Ex_1.jpg]]
 
[[Image: Potens_Ex_1.jpg]]
  
Rad 119: Rad 367:
 
[[Image: Potens_Ex_3.jpg]]
 
[[Image: Potens_Ex_3.jpg]]
  
−
== Internetlänkar ==
+
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
  
 
http://www.youtube.com/watch?v=iYgG4LUqXks
 
http://www.youtube.com/watch?v=iYgG4LUqXks
Rad 130: Rad 380:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2012 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2019 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 22 januari 2019 kl. 17.46

        <<  Repetitioner          Genomgång          Quiz          Övningar          1:a avsnitt: Polynom  >>      


Potens Bas Exponent 80.jpg            

Exempel på potens:

\[ 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 8\]

Potens = upprepad multiplikation

av \( \, 2 \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger.


OBS!   Förväxla inte begreppen: \( \, 2\,^3 \, \) är själva potensen, medan \( \, {\color{Red} 3} \, \) är exponenten och \( \, {\color{green} 2}\, \) förstås basen.

Exponenten \( \, {\color{Red} 3} \, \) är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att:

\( \, 2 \, \) ska multipliceras \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger med sig själv, en förkortning för upprepad multiplikation (jfr. upprepad addition).


Exempel

Förenkla: \( \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \)


Lösning: \( \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)

OBS!   Förenkla alltid först, räkna sedan!

Snabbare: \( \qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)

För att förstå den snabbare lösningen se Potenslagarna.


Generellt:

Potenser med positiva exponenter

Potensen \( \, a\,^{\color{Red} x} \, \) med positiv exponent (\( x \, \) heltal \( > 0 \, \) och \( \, a \, \neq 0 \)) kan definieras som:

Upprepad multiplikation av \( \, a \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} x} \, \) gånger:
\( \quad a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \)


Potenslagarna

Första potenslagen: \( \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad \)

Andra potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad\;\;\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad \)

Tredje potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad \)

Lagen om nollte potens: \( \qquad\qquad\quad\;\;\, a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad \)

Lagen om negativ exponent: \( \qquad\quad\;\;\; a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad \)

Potens av en produkt: \( \qquad\qquad\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad \)

Potens av en kvot: \( \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad \)


Dessa lagar gäller för potenser där baserna \( \, a,\,b \, \) är tal \( \, \neq 0 \, \) och exponenterna \( \, x,\,y \, \) är godtyckliga tal.


Exempel på första potenslagen

Förenkla: \( \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 \)


Lösning:

\( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}\)

Snabbare:

\( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; a\,^{2\,+\,3} = \; a\,^{\color{Red} 5} \)


Den snabbare lösningen ovan är ett exempel på den första potenslagen. Nedan följer ett exempel på den andra potenslagen.


Exempel på andra potenslagen

\( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 \)

Snabbare:

\( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 \)


Potensbegreppet definierades inledningsvis endast för positiva exponenter. Men den definitionen duger varken för negativa exponenter eller för exponenten \( \, 0 \, \):

Antalet multiplikationer av basen med sig själv kan inte vara negativt eller \( \, 0 \, \). Det behövs nya definitioner resp. slutsatser.


Potenser med negativa exponenter

Hur raknar du negativa exponenter 20.jpg


Potens med negativ exponent:

\( \qquad \displaystyle 2\,^{\color{Red} {-3}} \; = \;\; \frac{1}{2\,^{\color{Red} {3}}} \; = \; \frac{1}{8} \quad \)

Invertera potensen med positiv exponent.

Att "invertera" t.ex. \( \, 10 \, \) ger \( \, \displaystyle {1 \over 10} \; \).


      

Andra exempel:

\[ \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} \]
\[ \displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01} \]
\[ \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} \]

Generellt:

Påstående:

Lagen om negativ exponent \( \quad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \)

Bevis:

\( \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} \)

In den första likheten har vi använt lagen om nollte potens baklänges: \( \; 1 = a^0 \; \).

In den andra likheten har vi använt andra potenslagen: \( \; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \; \).

Efter dessa steg får vi påståendet, fast baklänges.


Potenser med exponenten \( \, 0 \, \)

Exempel:

\( \quad \displaystyle 2\,^{\color{Red} 0} \;\; = \;\; 1 \quad \)


Generellt:

Påstående:

Lagen om nollte potens \( \quad a^0 \; = \; 1 \; \)

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:

\( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 \)

Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet \( \, 1 \):

\( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 \)

Av raderna ovan följer påståendet:

\( a^0 \; = \; 1 \)


I båda föregående påståenden ska alltid gälla: \( \quad x \, \) heltal \( > 0 \, \) och \( \, a \, \neq 0 \quad \).


Exemplet nedan ska illustrera lagen ovan genom att visa följande:

Potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter.

Nollte potensen bildar övergången mellan positiva och negativa exponenter, precis som \( \, 0 \, \) är övergången mellan positiva och negativa tal:


Varför är \( \; 5\,^0 \, = \, 1 \; \)?

\[ \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
\[ \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
\[ \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \]
\[ \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \]
\[ \; \boxed{{\color{Red} {5^0 \; = \; 1}}} \]
\[ \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} \]
\[ \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} \]
\[ \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} \]
\[ \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } \]

Att \( \; {\color{Red} 1} \)-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens enhet är \( \, {\color{Red} 1} \), dvs \( \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a \).

Därför blir endast \( \, {\color{Red} 1} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5^0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.


Potenser med rationella exponenter

Här ska vi lägga till Potenslagarna ytterligare tre lagar om potenser med rationella exponenter.

Potenser med rationella exponenter är potenser som har rationella tal (bråktal) i exponenten.

De är bara ett annat sätt att skriva rötter, både kvadratrötter och högre rötter:

Påstående:

Lagen om kvadratroten \( \quad a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} \)

Bevis:

Vi multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 2} \) två gånger med sig själv och använder första potenslagen:

\( \displaystyle a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} \; = \; a^{{1 \over 2} + {1 \over 2}} \; = \; a^{2 \over 2} \; = \; a^1 \; = \; a \)

Vi drar kvadratroten ur båda leden och går vidare:

\(\begin{array}{rclcl} a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} & = & a & \qquad | & \sqrt{\,.\,} \\ \sqrt{a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2}} & = & \sqrt{a} & & \\ a^{1 \over 2} & = & \sqrt{a} & \qquad & \\ \end{array}\)

V.s.b.   (Vilket skulle bevisas)

I följande ska \( \; n \; \) vara ett heltal \( > 0 \) och \( \, a \, \neq 0 \).

Påstående:

Lagen om högre rötter \( \quad a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \)

Bevisidé:

Vi visar påståendet för specialfallet \( \, n=3 \):

Vi multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder första potenslagen:

\( \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \)

Vi drar 3:e roten ur båda leden och går vidare:

\(\begin{array}{rclcl} a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} & = & a & \qquad | & \sqrt[3]{\,.\,} \\ \sqrt[3]{a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3}} & = & \sqrt[3]{a} & & \\ a^{1 \over 3} & = & \sqrt[3]{a} & \qquad & \\ \end{array}\)

V.s.b.

Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet, där \( \, m \, \) ska vara ett heltal, \( \, n \, \) ett heltal \( > 0 \) och \( \, a \, \neq 0 \):

Lagen om rationell exponent \( \quad \displaystyle a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \)

Tabellen över Potenslagarna borde kompletteras med dessa lagar för rationella exponenter.


Potensekvationer

Anta i fortsättningen att \( \, x \, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .

Funktioner av typ \( y = x^3\, \) kallas för potensfunktioner, generellt \( \; y = c \cdot x^b\, \).
Ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) kallas för potensekvationer, generellt \( \; x^b\, = c \).

I potensfunktioner och -ekvationer förekommer \( \, x \, \) i basen.

Potensekvationer löses genom rotdragning.

Rotdragning är ekvivalent (identiskt) med potentiering med rationella exponenter.

För t.ex. potensekvationen \( x^3\, = 8 \) finns det två olika sätt att beskriva lösningen:

\(\begin{array}{rclcl} x^3 & = & 8 & \qquad | & \sqrt[3]{\,.\,} \\ \sqrt[3]{x^3} & = & \sqrt[3]{8} & & \\ x & = & 2 & & \\ \end{array}\)

Alternativt kan rötter skrivas som potenser med rationella exponenter:

\(\begin{array}{rclcl} x^3 & = & 8 & \qquad | & (\,\cdot\,)^{1 \over 3} \\ (x^3)^{1 \over 3} & = & 8^{1 \over 3} & & \\ x^{3\cdot{1 \over 3}} & = & 8^{1 \over 3} & & \\ x & = & 2 & & \\ \end{array}\)

I övergången från den andra till den tredje raden har den 3:e potenslagen använts på vänsterledet.


Blandade exempel

Potens Ex 1.jpg

Potens Ex 2.jpg

Potens Ex 3.jpg


Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=iYgG4LUqXks

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html

http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar





Copyright © 2010-2019 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=Potenser&oldid=36234"