Skillnad mellan versioner av "Kapitel 4 Integraler"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 215: | Rad 215: | ||
<small> <math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> kallas för <b><span style="color:red">bestämd integral</span></b>. Dess resultat är ett tal. | <small> <math> \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx </math> kallas för <b><span style="color:red">bestämd integral</span></b>. Dess resultat är ett tal. | ||
| − | <math> \displaystyle \, \int\limits f(x) \, dx </math> kallas för <b><span style="color:red">obestämd integral</span></b> vars resultat är en primitiv funktion med en integrationskonstant. | + | <math> \displaystyle \, \int\limits f(x) \, dx </math> kallas för <b><span style="color:red">obestämd integral</span></b> vars resultat är en primitiv funktion med en integrationskonstant <math> \, C \, </math>. |
För att bestämma integrationskonstanten måste ett villkor (begynnelsevillkor) vara givet. | För att bestämma integrationskonstanten måste ett villkor (begynnelsevillkor) vara givet. | ||
Versionen från 20 februari 2019 kl. 13.57
| << Förra kapitel | Genomgångar | Formelsamling Integraler | Planering Matte 3c | Nästa kapitel >> |
F.o.m. detta kapitel finns kursens övningar inte på webben (pga tidsbrist). Därför:
Läs igenom genomgångarna här, men använd för övningarna boken Matematik 5000.
Utdrag ur planeringen:
4.1 Primitiva funktioner \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Övningar: Boken, sid 175
Hittills: En funktion är given. Vi söker funktionens derivata. Nu vänder vi på steken och ställer upp:
Det omvända problemet:
OBS! Byte av beteckning:
\( \; f\,(x) \, \) är en given derivata av en okänd funktion som vi kallar för \( \, \color{red} {F\,(x)} \, \).
Exempel 1:
Givet: \( \quad\;\; f\,(x) \, = \, 2\,x \, = \, \) Derivatan av någon funktion
Sökt: \( \quad\;\;\, F(x) \quad \) så att \( \quad F\,'(x) = 2\,x \)
Lösning: \( \;\; F(x) = \boxed{\textstyle x\,^2 \, + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} \)
Kontroll: \( \;\; F\,'(x) = 2\,x + 0 \, = \, 2\,x \, = \, f\,(x) \)
Att hitta en primitiv funktion kallas för integration.\( \qquad\;\;\, \) Primitiv funktion = "Anti"derivata
Exempel 2: Givet: \( \quad\;\; f\,(x) \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, \) Derivatan av någon funktion Sökt: \( \quad\;\;\, F(x) \quad \) så att \( \quad F\,'(x) = x\,^3 + 5 \) Lösning: \( \;\; F(x) = \boxed{\textstyle \frac{1}{4} x\,^4 + 5 \, x + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} \) Kontroll: \( \;\; F\,'(x) = \frac{4}{4} x\,^3 + 5 + 0 \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, f\,(x) \) |
\( \quad \) | Allmän definition: Givet: \( \quad f\,(x) \) Sökt: \( \quad \) En funktion \( \;\; F\,(x) \;\; \) så att: \( \qquad\qquad\quad\; \boxed{F\,'\,(x) = f\,(x)} \) Funktionen \( \, F\,(x) \, \) kallas för primitiv funktion. |
- Integration är deriveringens inversa (omvända) operation. Därför:
- Integrationsregler för olika funktionstyper följer genom att vända om deriveringsreglerna. T.ex.:
Integrationsregeln för en potens: Om \( f(x) = x\,^n \qquad {\rm där} \qquad\, n = {\rm const.} \neq -1\) då \(\; F(x) = \boxed{\frac{x\,^{n+1}}{n+1} \, + \, C\;} \;, C = \) integrationskonstanten |
\( \quad \) |
Exempel: För \( \, f(x) \, = \, x^4 \; \) blir den primitiva funktionen:
|
- Bevis: \( \, F\,'(x) = \displaystyle \frac{(n+1) \, x\,^{n+1-1}}{n+1} \, + \, 0 \, = \, \frac{(n+1) \, x\,^{n}}{n+1} = x\,^n = f\,(x) \qquad \) Exempel: \( \;\; F\,'(x) \, = \, \displaystyle \frac{5}{5} \, x\,^4 \, + \, 0 \, = \, x\,^4 \, = \, f\,(x) \qquad \)
- Regeln ovan gäller inte bara för positiva \( \, n \, \) utan även för negativa (undantaget \( -1 \)) och rationella exponenter.
- Ytterligare regler om primitiva funktioner anges senare.
Fysikalisk tolkning:
| \( \quad \) |  |
\( \quad \) Hastighetsmätaren deriverar. \( \;\; \)
|
\( \quad \)  |
Integration är den inversa operationen till derivering. \( \quad \) Primitiv funktion = "Anti"derivata
Derivata Integral Fysikalisk tolkning: Hastighet Sträcka Geometrisk tolkning: Kurvans lutning Area under kurvan Matematisk tolkning: Limes av differenskvot Limes av oändlig summa
Integrationskonstanten \( \, C \, \):
Om en given funktion har en primitiva funktion så har den pga \( \, C={\rm const.} \, \) oändligt
många primitiva funktioner.
För att få endast en primitiv funktion \( \, F(x) \, \) ställs vissa villkor på \( \, F(x) \, \). I fysiken kallas
de för begynnelsevillkor. Villkoren används för att bestämma integrationskonstanten \( \, C \, \). \( \; {\bf {\color{Red} {\downarrow}}} \)
4.2 Primitiva funktioner med villkor \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Övningar: Boken, sid 177
I fysikaliska tillämpningar är den typiska formen av villkor begynnelsevillkor. Frågan är:
Vad gällde i början, dvs vilket vägmärke passerades vid \( \, t = 0 \, \). Eller: Vad visade trippmätaren vid \( \, t = 0 \, \)?
Problemet ovan kallas även för en differentialekvation med begynnelsevillkor som kommer att behandlas i Matte 4 och 5.
Geometriskt exempel på primitiv funktion med en annan typ av villkor:
4.3 Integral som area under kurvan \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Övningar: Boken, sid 180
I början av Analysen \(-\) den gren av matematiken som handlar om derivator och integraler och som på 1700-talet utvecklades av Newton och Leibniz \(-\) stod bl.a. följande frågeställning (se även Derivatans definition):
\( \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx \) läses "Integralen över \( f(x) \; dx \, \) från \( \, a \, \) till \( \, b \, \)". \( \, f(x) \, \) kallas för integranden.
\( \, a \, \) och \( \, b \, \) kallas för integrationsgränser och ersätter integrationskonstanten \( \, C \, \).
\( \displaystyle \, \int\limits_a^b f(x) \, dx \) kallas för bestämd integral. Dess resultat är ett tal.
\( \displaystyle \, \int\limits f(x) \, dx \) kallas för obestämd integral vars resultat är en primitiv funktion med en integrationskonstant \( \, C \, \).
För att bestämma integrationskonstanten måste ett villkor (begynnelsevillkor) vara givet.
Fysikaliskt exempel: \( \quad \) Likformig rörelse med konstant hastighet 60 km/h
\( \qquad\; v\,\text{-}\,t\) diagrammet (till vänster): Kör man med med \( \, 60 \, \) km/h i \( \, 4 \, \) timmar har man kört en sträcka på \( \, 60 \cdot 4 = 240 \, \) km.
\( \qquad\; \text{Sträckan} \, 240 \, = \, \text{Arean under hastighetskurvan} \, = \, \text{Integralen} \, \displaystyle \int\limits_0^4 \color{Red}{60} \, dt \, = \, \left[ \, \color{Red}{60\,t} \, \right]_0^4 \, = \, 60\cdot4 \, - \, 60\cdot0 \, = \, 240 \)
\( \qquad\; \)Generellt:
Integralen över hastigheten = Arean under hastighetskurvan = Sträckan.
Rörelse med variabel hastighet (konstant acceleration):
4.4 Beräkning av integraler \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Övningar: Boken, sid 185
Integrationsregler för exponentialfunktioner: Om \( \; f(x) \, = \; e\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, k = {\rm const.} \) då är den primitiva funktionen \( \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{e\,^{k\,x}}{k} \, + \, C\;} \; \) Om \( \; f(x) \, = \; a\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, a, k = {\rm const.} \) då är den primitiva funktionen \( \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{a\,^{k\,x}}{k\,\ln a} \, + \, C\;} \; \) |
\( \quad \) |
Exempel: Om \( \, f(x) \, = \, e\,^{4x} \; \) då är den primitiva funktionen:
Om \( \, f(x) \, = \, 2\,^{3x} \; \) då är den primitiva funktionen:
|
4.5 Användning av integraler \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Övningar: Boken, sid 188-90
Exempel
Röster i melodifestivalen
Antalet inkommande röster per minut i melodifestivalen beskrivs av funktionen:
\( \qquad\qquad\qquad\qquad r(x)\, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 \)
där \( \,\, r \,\, \) är antalet inkommande röster per minut
och \( \, x \, \) tiden i minuter efter röstningens start.
Totalt kom in \( \, 14,5 \, \) miljoner röster under röstningsperioden.
Beräkna hur länge röstningen pågick.
Kontrollera ditt resultat med grafräknarens verktyg för numerisk integration.
Lösning
\( r(x) \, = \, \) antalet inkommande röster per minut.
Vi inför \( \, R(x) \, = \, \) antalet röster som kommit från början till tidpunkten \( \, x \).
Då blir \( \, r(x) \, \) rösternas förändringshastighet eller derivata: \( \; R\,'(x) \, = \, r(x) \),
vilket betyder att \( \, R(x) \, \) är den primitiva funktionen till \( \, r(x) \, \):
\( \qquad R\,'(x) \, = \, r(x) \, = \, 14\,500\,x \, - \, 150\,x^2 \)
Vi integrerar detta över hela röstningsperioden \( \, t \, \) och får ekvationen:
\( \qquad \displaystyle R(t) \, = \, \int_0^t (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 \)
\( \qquad \left[ \, 7\,250\,x^2 - 50\,x^3 \, \right]_0^t \, = \, 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 \, = \, 14\,500\,000 \)
\( \qquad 7\,250\,t^2 - 50\,t^3 - 14\,500\,000 \, = \, 0 \)
\( \qquad 50\,t^3 - 7\,250\,t^2 + 14\,500\,000 \, = \, 0 \)
Grafräknarens ekvationslösare ger: \( \qquad t \, \approx \, 57,6041146 \)
\( 0,6041146 \, \) minuter är \( \, 0,6041146 \cdot 60 \, = \ 36,25 \, \) sekunder.
Röstningen pågick i \( \, \underline{57\,\,{\rm minuter\;och\;} 36\,\,{\rm sekunder.}} \)
Kontroll
Vi beräknar med grafräknaren \( \, \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, \) och kontrollerar om det blir \( \, 14\,500\,000 \, \).
Beskrivningen bygger på grafräknaren TI-82 STATS, men kan med lite modifikation tillämpas på alla grafräknare.
Numerisk integration med miniräknare
Tryck i miniräknaren på knappen MATH.
Gå med piltangenten till fnInt( som står för numerical Integration.
Tryck på ENTER.
Mata in så att det efteråt står följande i displayen:
- fnInt ( 14500X-150X^2, X, 0, 57.6041146 )
Tryck på ENTER. I displayen visas \( \underline{14\,500\,000} \), vilket betyder:
\( \qquad \displaystyle \int_0^{57,6041146} (14\,500\,x - 150\,x^2) \; dx \, = \, 14\,500\,000 \)
Räknarens funktion fnInt( ) tar fyra argument separerade med komma:
1) Integrandens funktionsuttryck \( \, f(x) \, \), i exemplet ovan \( r(x) \).
2) Variabeln med avseende på vilken \( f(x) \) ska integreras.
3) Den undre integrationsgränsen.
4) Den övre integrationsgränsen.
Fysikaliskt exempel:
En fallskärmshoppare faller fritt utan att öppna fallskärmen med hastigheten:
\( \qquad\qquad\qquad\qquad v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) \)
där \( \, t = \, \) tiden i sek. Hur långt har hopparen fallit när \( \, v = 40 \, \) m/s ?
Fysikalisk tolkning: \( \; \)
| \( \quad \) | Vi ritar grafen till \( \, v(t) \, \) och konstaterar att det finns en maximal hastighet
\( v_{max} = 80 \) m/s som hopparen inte kan överskrida. Algebraiskt: \( v_{max} \, = \, \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\,(1 - 0,88\,^t))} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{(80 - 80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 80 \, \), eftersom \( \qquad\;\; \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 0 \quad \) pga \( \quad 0,88 \, < \, 1 \; \). När \( v \, \approx \, v_{max} = \, 80 \) m/s har vi likformig rörelse med konstant hastighet. Enligt Newtons fösta lag "Ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet, om och endast om summan av alla krafter \( \, = 0 \)" måste gälla: Luftmotstånd \( \, \approx \, \) Gravitation \( \quad \Rightarrow \quad \)Fritt fall med luftmotstånd
|
\( \;\;\; \) |  |
Uppgiften: Givet: \( \, s'(t) \, = \, v(t) \, = \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \)
\( \qquad\qquad\qquad\quad\;\;\, \) Begynnelsevillkor: \( \, s(0) \, = \, 0 \)
\( \qquad\qquad\quad \) Sökt: \( \;\; s(t_1) \, \), där \( \; v(t_1) \, = \, 40 \, \) m/s
Lösningen:
Ekonomiskt exempel: "Marginal"kostnad som (given) derivata av kostnadsfunktionen (sökt integral).
Jfr. med "marginal"skatt \( \, = \, \) (sökt) derivata av skatten som en (given) funktion av lönen.
Appendix: Integral som limes av oändlig summa
Copyright © 2011-2019 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
