Skillnad mellan versioner av "1.1 Övningar till Polynom"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (41 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
| − | |||
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom|Genomgång]]}} | {{Not selected tab|[[1.1 Polynom|Genomgång]]}} | ||
{{Selected tab|[[1.1 Övningar till Polynom|Övningar]]}} | {{Selected tab|[[1.1 Övningar till Polynom|Övningar]]}} | ||
| + | {{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3.pdf|Formelsamling Matte 3]]}} | ||
{{Not selected tab|[[1.1 Fördjupning till Polynom|Fördjupning]]}} | {{Not selected tab|[[1.1 Fördjupning till Polynom|Fördjupning]]}} | ||
| − | {{Not selected tab|[[1.2 Faktorisering av polynom|Nästa avsnitt | + | {{Not selected tab|[[1.2 Faktorisering av polynom|Nästa avsnitt >> ]]}} |
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
| − | <Big><Big><Big><span style="color:# | + | <Big><Big><Big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-6</span></Big></Big></Big> |
| + | == <b>Övning 1</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
Två förstagradspolynom är givna: | Två förstagradspolynom är givna: | ||
| − | ::<math> 3\,x - 5 \qquad {\rm och} \qquad - 8\,x - 6 </math> | + | :::<math> 3\,x - 5 \qquad {\rm och} \qquad - 8\,x - 6 </math> |
| − | + | <table> | |
| − | + | <tr> | |
| − | + | <td>Bilda deras | |
| − | |||
| − | |||
| − | d) kvot | + | </td> |
| + | <td><math> \qquad </math> a) summa | ||
| + | |||
| + | <math> \qquad </math> c) produkt | ||
| + | </td> | ||
| + | <td><math> \qquad </math> b) differens | ||
| + | |||
| + | <math> \qquad </math> d) kvot. | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
Förenkla så mycket som möjligt. | Förenkla så mycket som möjligt. | ||
| Rad 35: | Rad 43: | ||
I fall att det är polynom ange polynomets grad samt polynomets koefficienter. | I fall att det är polynom ange polynomets grad samt polynomets koefficienter. | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.1 Svar 1aa|Lösning 1a|1.1 Lösning 1aa|Svar 1b|1.1 Svar 1bb|Lösning 1b|1.1 Lösning 1bb|Svar 1c|1.2 Svar 1c|Lösning 1c|1.2 Lösning 1c|Svar 1d|1.2 Svar 1d|Lösning 1d|1.1 Lösning 1d}}</div> | |
| − | {{#NAVCONTENT:Svar 1a|1. | + | |
| + | == <b>Övning 2</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
Gör samma sak som i övning 1 med andragradspolynomen | Gör samma sak som i övning 1 med andragradspolynomen | ||
| Rad 48: | Rad 55: | ||
| + | == <b>Övning 3</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
Följande uttryck är givet: | Följande uttryck är givet: | ||
| − | + | :<math> P(x) = 4\,x^3 - 2\,x^2\,(2\,x + 6) + 7\,x\,(3 + 2\,x) </math> | |
a) Utveckla <math> P(x)\, </math> till ett polynom. | a) Utveckla <math> P(x)\, </math> till ett polynom. | ||
| Rad 58: | Rad 65: | ||
b) Använd polynomet från a) för att beräkna <math> P(-1)\, </math>. | b) Använd polynomet från a) för att beräkna <math> P(-1)\, </math>. | ||
| − | c) Bestäm alla [ | + | c) Bestäm alla [[1.1_Polynom#Ett_polynoms_nollst.C3.A4llen.2C_.C3.A4ven_kallade_r.C3.B6tter|<b><span style="color:blue">nollställen</span></b>]] till <math> P(x)\, </math>. |
{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.2 Svar 3a|Lösning 3a|1.2 Lösning 3a|Svar 3b|1.2 Svar 3b|Lösning 3b|1.2 Lösning 3b|Svar 3c|1.2 Svar 3c|Lösning 3c|1.2 Lösning 3c}}</div> | {{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.2 Svar 3a|Lösning 3a|1.2 Lösning 3a|Svar 3b|1.2 Svar 3b|Lösning 3b|1.2 Lösning 3b|Svar 3c|1.2 Svar 3c|Lösning 3c|1.2 Lösning 3c}}</div> | ||
| + | == <b>Övning 4</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
Utveckla följande uttryck och ordna termerna så att det blir ett polynom: | Utveckla följande uttryck och ordna termerna så att det blir ett polynom: | ||
| Rad 74: | Rad 81: | ||
| + | == <b>Övning 5</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
En rakets bana beskrivs av polynomfunktionen: | En rakets bana beskrivs av polynomfunktionen: | ||
| Rad 89: | Rad 96: | ||
| + | == <b>Övning 6</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
Betrakta raketens bana i övning 5. Använd din grafritande räknare för att genomföra följande uppgifter: | Betrakta raketens bana i övning 5. Använd din grafritande räknare för att genomföra följande uppgifter: | ||
| − | a) Undersök vilka min- och max-värden samt vilken skala man lämpligast bör använda på x- och y-axeln för att rita raketbanans graf. Ange dem i din räknares WINDOW. | + | a) Undersök vilka min- och max-värden samt vilken skala man lämpligast bör använda på x- och y-axeln |
| + | |||
| + | :för att rita raketbanans graf. Ange dem i din räknares WINDOW. | ||
b) Rita raketbanans graf och den räta linjen som åskådliggör höjden 200 m i samma koordinatsystem. | b) Rita raketbanans graf och den räta linjen som åskådliggör höjden 200 m i samma koordinatsystem. | ||
| Rad 107: | Rad 116: | ||
| + | == <b>Övning 7</b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | + | Följande två [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#En_familj_av_h.C3.B6gre_grads_polynomfunktioner|<b><span style="color:blue">Chebyshevpolynom</span></b>]] är givna<span style="color:black">:</span> | |
| − | Följande två [[1.1_Fördjupning_till_Polynom# | + | |
::<math> U_3(x) = 8\,x^3\,-\,4\,x </math> | ::<math> U_3(x) = 8\,x^3\,-\,4\,x </math> | ||
| Rad 115: | Rad 124: | ||
::<math> U_4(x) = 16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1 </math> | ::<math> U_4(x) = 16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1 </math> | ||
| − | + | Beräkna <math> \displaystyle U_5(x) </math> utgående från <math> \, U_3(x) \, </math> och <math> \, U_4(x) \, </math> med hjälp av | |
| + | |||
| + | Chebyshevpolynomens rekursionsformel<span style="color:black">:</span> | ||
::<math> U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... </math> | ::<math> U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... </math> | ||
| − | Tips: Se [[1.1_Fördjupning_till_Polynom# | + | Tips: Se [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#Anv.C3.A4ndning_av_rekursionsformeln|<b><span style="color:blue">Användning av rekursionsformeln</span></b>]], där <math> \, U_4(x) </math> beräknas |
| + | |||
| + | utgående från <math> \, U_2(x) \, </math> och <math> \, U_3(x) \, </math> med hjälp av rekursionsformeln. | ||
{{#NAVCONTENT:Svar 7|1.2 Svar 7|Lösning 7|1.2 Lösning 7}}</div> | {{#NAVCONTENT:Svar 7|1.2 Svar 7|Lösning 7|1.2 Lösning 7}}</div> | ||
| + | == <b>Övning 8</b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | |||
Ställ upp ett polynom av 4:e grad som har koefficienterna: | Ställ upp ett polynom av 4:e grad som har koefficienterna: | ||
| Rad 133: | Rad 146: | ||
| + | == <b>Övning 9</b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | |||
Visa att följande uttryck är identiskt med polynomet från övning 8 ovan: | Visa att följande uttryck är identiskt med polynomet från övning 8 ovan: | ||
| Rad 142: | Rad 155: | ||
| + | == <b>Övning 10</b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | |||
Två polynom är givna: | Två polynom är givna: | ||
| Rad 160: | Rad 173: | ||
| + | == <b>Övning 11</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
| − | |||
Följande 2:a gradspolynom är givet: | Följande 2:a gradspolynom är givet: | ||
::<math> P(x) = x^2 - 10\,x + 16 </math> | ::<math> P(x) = x^2 - 10\,x + 16 </math> | ||
| − | a) Utveckla uttrycket <math> Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) </math> till ett polynom. Bestäm <math> a\, </math> och <math> b\, </math> så att <math> P(x) = Q(x)\, </math>. Använd jämförelse av koefficienter. | + | a) Utveckla uttrycket <math> Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) </math> till ett polynom. Bestäm <math> a\, </math> och <math> b\, </math> så att <math> P(x) = Q(x)\, </math>. |
| + | |||
| + | :Använd jämförelse av koefficienter. | ||
b) Visa att de värden du får för <math> a\, </math> och <math> b\, </math> i a)-delen är lösningar till 2:a gradsekvationen: | b) Visa att de värden du får för <math> a\, </math> och <math> b\, </math> i a)-delen är lösningar till 2:a gradsekvationen: | ||
| Rad 175: | Rad 190: | ||
| + | == <b>Övning 12</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
| − | |||
Visa att 2:a gradspolynomet <math> P(x) = 8\,x^2 + 7\,x - 1 </math> kan skrivas som | Visa att 2:a gradspolynomet <math> P(x) = 8\,x^2 + 7\,x - 1 </math> kan skrivas som | ||
| Rad 185: | Rad 200: | ||
a) Hitta först polynomet <math> P(x)\, </math>:s nollställen (rötter) <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> exakt, dvs bibehåll bråkformen. | a) Hitta först polynomet <math> P(x)\, </math>:s nollställen (rötter) <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> exakt, dvs bibehåll bråkformen. | ||
| − | b) Sätt sedan <math> P(x) = k \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) </math> och bestäm k genom jämförelse av koefficienter. Ange a, b, c och d. | + | b) Sätt sedan <math> P(x) = k \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) </math> och bestäm k genom jämförelse av koefficienter. |
| + | |||
| + | :Ange a, b, c och d. | ||
{{#NAVCONTENT:Svar 12a|1.2 Svar 12a|Lösning 12a|1.2 Lösning 12a|Svar 12b|1.2 Svar 12b|Lösning 12b|1.2 Lösning 12b}}</div> | {{#NAVCONTENT:Svar 12a|1.2 Svar 12a|Lösning 12a|1.2 Lösning 12a|Svar 12b|1.2 Svar 12b|Lösning 12b|1.2 Lösning 12b}}</div> | ||
| Rad 373: | Rad 390: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved. |
Nuvarande version från 6 maj 2019 kl. 18.21
| Genomgång | Övningar | Formelsamling Matte 3 | Fördjupning | Nästa avsnitt >> |
E-övningar: 1-6
Övning 1
Två förstagradspolynom är givna:
- \[ 3\,x - 5 \qquad {\rm och} \qquad - 8\,x - 6 \]
| Bilda deras
|
\( \qquad \) a) summa
\( \qquad \) c) produkt |
\( \qquad \) b) differens
\( \qquad \) d) kvot. |
Förenkla så mycket som möjligt.
Ange varje gång om resultatet är ett polynom.
I fall att det är polynom ange polynomets grad samt polynomets koefficienter.
Svar 1a
Hämtar...
Lösning 1a
Svar 1b
Lösning 1b
Svar 1c
Lösning 1c
Svar 1d
Lösning 1d
Övning 2
Gör samma sak som i övning 1 med andragradspolynomen
- \[ 4\,x^2 - 7\,x + 2 \qquad {\rm och} \qquad -4\,x^2 - 5\,x \]
Svar 2a
Lösning 2a
Svar 2b
Lösning 2b
Svar 2c
Lösning 2c
Svar 2d
Lösning 2d
Övning 3
Följande uttryck är givet:
\[ P(x) = 4\,x^3 - 2\,x^2\,(2\,x + 6) + 7\,x\,(3 + 2\,x) \]
a) Utveckla \( P(x)\, \) till ett polynom.
b) Använd polynomet från a) för att beräkna \( P(-1)\, \).
c) Bestäm alla nollställen till \( P(x)\, \).
Svar 3a
Lösning 3a
Svar 3b
Lösning 3b
Svar 3c
Lösning 3c
Övning 4
Utveckla följande uttryck och ordna termerna så att det blir ett polynom:
a) \( \displaystyle (x-2)^2 + (x+1)^2 \)
b) Beräkna värdet av polynomet du fick fram i a) för \( x = -2\, \).
Övning 5
En rakets bana beskrivs av polynomfunktionen:
- \[ y = 90\,x - 4,9\,x^2 \]
där y är höjden i meter och x tiden i sekunder.
a) Visa att raketen har både efter 2,586 och 15,781 sekunder en höjd på 200 meter över marken.
b) Vilken maximal höjd når raketen? Svara i hela meter.
Övning 6
Betrakta raketens bana i övning 5. Använd din grafritande räknare för att genomföra följande uppgifter:
a) Undersök vilka min- och max-värden samt vilken skala man lämpligast bör använda på x- och y-axeln
- för att rita raketbanans graf. Ange dem i din räknares WINDOW.
b) Rita raketbanans graf och den räta linjen som åskådliggör höjden 200 m i samma koordinatsystem.
c) När slår raketen i marken? Använd din räknares ekvationslösare. Svara med tre decimaler.
Svar 6a
Lösning 6a
Svar 6b
Lösning 6b
Svar 6c
Lösning 6c
C-övningar: 7-10
Övning 7
Följande två Chebyshevpolynom är givna:
- \[ U_3(x) = 8\,x^3\,-\,4\,x \]
- \[ U_4(x) = 16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1 \]
Beräkna \( \displaystyle U_5(x) \) utgående från \( \, U_3(x) \, \) och \( \, U_4(x) \, \) med hjälp av
Chebyshevpolynomens rekursionsformel:
- \[ U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... \]
Tips: Se Användning av rekursionsformeln, där \( \, U_4(x) \) beräknas
utgående från \( \, U_2(x) \, \) och \( \, U_3(x) \, \) med hjälp av rekursionsformeln.
Svar 7
Lösning 7
Övning 8
Ställ upp ett polynom av 4:e grad som har koefficienterna:
- \[ \displaystyle a_4 = 3, \quad a_3 = 2, \quad a_2 = -3, \quad a_1 = -4, \quad a_0 = -3 \]
Svar 8
Lösning 8
Övning 9
Visa att följande uttryck är identiskt med polynomet från övning 8 ovan:
- \[ 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 \]
Lösning 9
Övning 10
Två polynom är givna:
- \[ P(x) = 2\,a \cdot x + 3\,a - 4\,b \]
- \[ Q(x) = 4 \cdot x - 6 \]
För vilka värden av \( a\, \) och \( b\, \) är \( P(x) = Q(x)\, \)? Använd jämförelse av koefficienter.
Svar 10
Lösning 10
A-övningar: 11-12
Övning 11
Följande 2:a gradspolynom är givet:
- \[ P(x) = x^2 - 10\,x + 16 \]
a) Utveckla uttrycket \( Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) \) till ett polynom. Bestäm \( a\, \) och \( b\, \) så att \( P(x) = Q(x)\, \).
- Använd jämförelse av koefficienter.
b) Visa att de värden du får för \( a\, \) och \( b\, \) i a)-delen är lösningar till 2:a gradsekvationen:
- \[ x^2 - 10\,x + 16 = 0 \]
Övning 12
Visa att 2:a gradspolynomet \( P(x) = 8\,x^2 + 7\,x - 1 \) kan skrivas som
- \[ (a\,x + b) \cdot (c\,x + d) \]
vilket innebär en faktorisering av polynomet \( P(x)\, \). Bestäm a, b, c och d genom att:
a) Hitta först polynomet \( P(x)\, \):s nollställen (rötter) \( x_1\, \) och \( x_2\, \) exakt, dvs bibehåll bråkformen.
b) Sätt sedan \( P(x) = k \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \) och bestäm k genom jämförelse av koefficienter.
- Ange a, b, c och d.
Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.
