Skillnad mellan versioner av "1.1 Övningar till Polynom"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(40 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.1 Repetition Algebra från Matte 2|Repetition: Potenser & Ekvationer]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom|Genomgång]]}}
−
{{Selected tab|[[1.1 Polynom|Genomgång]]}}
+
{{Selected tab|[[1.1 Övningar till Polynom|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.1 Övningar till Polynom|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3.pdf|Formelsamling Matte 3]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.1 Fördjupning till Polynom|Fördjupning]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.1 Fördjupning till Polynom|Fördjupning]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa demoavsnitt -->]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.2 Faktorisering av polynom|Nästa avsnitt  >> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
|}
 
|}
  
  
 +
<Big><Big><Big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-6</span></Big></Big></Big>
  
−
[[Media: Lektion_1_Polynom_Rutad.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 1 Polynom</span></strong>]]
 
  
−
[[Media: Lektion_2_PolynomF_Rutab.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 2 Polynom: Fördjupning</span></strong>]]
+
== <b>Övning 1</b> ==
−
__NOTOC__  <!-- __TOC__ -->
+
<div class="ovnE">
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel på polynom</span></b> ==
+
Två förstagradspolynom är givna:
  
−
<div class="border-divblue">
+
:::<math> 3\,x - 5 \qquad {\rm och} \qquad - 8\,x - 6 </math>
−
::<math> 4\,x + 12 </math>
+
  
−
::<math> 3\,x^2 + 5\,x - 16 </math>
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>Bilda deras
  
−
::<math> 8\,x^3 + 4\,x^2 - 7\,x + 6</math>
 
  
−
::<math> 3\,x^4 - 8\,x^3 + 12\,x^2 - 54\,x + 9\quad</math>
 
−
</div>
 
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
+
</td>
−
Uttrycken ovan kallas för <strong><span style="color:red">polynom</span></strong>, eftersom de består av många (<strong><span style="color:red">poly</span></strong> på latin) termer (<strong><span style="color:red">nom</span></strong> på latin). Varje polynom är en summa av ett antal termer.
+
  <td><math> \qquad </math> a) &nbsp; summa
  
−
En term består av ett tal gånger en <math> \, x</math>-potens, t.ex. <math> 3\,x^4 </math>.
+
<math> \qquad </math> c) &nbsp; produkt
 +
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math> b) &nbsp; differens
  
−
Man brukar inleda polynom med den term som har den högsta <math> \,x</math>-potensen. Sedan fortsätter man med termer i avtagande ordning på <math> x</math>-potenserna.
+
<math> \qquad </math> d) &nbsp; kvot.
−
</div> <!-- tolv1 -->
+
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
<div class="exempel">
+
Förenkla så mycket som möjligt.
−
=== <span style="color:#931136">Exempel på icke-polynom</span> ===
+
−
<big>
+
−
Följande uttryck är inga polynom, eftersom de inte kan skrivas som summor av termer där varje term har formen "tal gånger en <math> \, x</math>-potens" som i exemplen ovan:
+
  
−
::::<math> \displaystyle{1 \over x} \qquad\qquad\qquad \displaystyle{\sqrt x} \qquad\qquad\qquad \displaystyle{a^x} \; , \quad {\rm där} \quad a = {\rm const.} </math>
+
Ange varje gång om resultatet är ett polynom.  
  
−
I polynom måste <math> x</math>-potensernas exponenter vara positiva heltal eller <math> \, 0 </math>, dvs de får inte vara negativa eller bråk. Därför är <big><big><math> 1 \over x </math></big></big> <math> = x^{-1}\, </math> och <big><math> \sqrt x = x^{1\over2} </math></big> inga polynom.
+
I fall att det är polynom ange polynomets grad samt polynomets koefficienter.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.1 Svar 1aa|Lösning 1a|1.1 Lösning 1aa|Svar 1b|1.1 Svar 1bb|Lösning 1b|1.1 Lösning 1bb|Svar 1c|1.2 Svar 1c|Lösning 1c|1.2 Lösning 1c|Svar 1d|1.2 Svar 1d|Lösning 1d|1.1 Lösning 1d}}</div>
  
−
I polynom får inte heller variabeln <math> x </math> förekomma i exponenten. Därför är <math> \, a^x </math> inget polynom. Se även [[1.1_Polynom#Allm.C3.A4n_definition|<strong><span style="color:blue">Allmän definition</span></strong>]] längre fram och repetitionsfliken om [[Potenser|<strong><span style="color:blue">... Potenser</span></strong>]].
 
−
</big></div>
 
  
 +
== <b>Övning 2</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Gör samma sak som i övning 1 med andragradspolynomen
  
−
<div class="tolv">
+
::<math> 4\,x^2 - 7\,x + 2 \qquad {\rm och} \qquad -4\,x^2 - 5\,x </math>
−
Att <strong><span style="color:red">utveckla</span></strong> ett algebraiskt uttryck till ett polynom betyder att förenkla uttrycket genom att:
+
  
−
# lösa upp alla parenteser,
+
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.2 Svar 2a|Lösning 2a|1.2 Lösning 2a|Svar 2b|1.2 Svar 2b|Lösning 2b|1.2 Lösning 2b|Svar 2c|1.2 Svar 2c|Lösning 2c|1.2 Lösning 2c|Svar 2d|1.2 Svar 2d|Lösning 2d|1.2 Lösning 2d}}</div>
−
# sammanfoga alla termer som går att sammanfoga och
+
−
# skriva resultatet som en summa av termer, helst ordnad efter <math> x</math>-potenser i avtagande ordning.  
+
−
</div>
+
  
  
−
<div class="border-divblue">
+
== <b>Övning 3</b> ==
−
<strong><span style="color:red">Utveckla</span></strong> följande uttryck till ett polynom:
+
<div class="ovnE">
 +
Följande uttryck är givet:
  
−
:<math> 6\,x^3 - 4\,x^2\,(3\,x + 8) + 2\,x\,(5 + 9\,x) </math>
+
:<math> P(x) = 4\,x^3 - 2\,x^2\,(2\,x + 6) + 7\,x\,(3 + 2\,x) </math>
  
−
Vi löser upp parenteserna, sammanfogar de termer som går att sammanfoga och ordnar <math> x</math>-potenserna i fallande ordning:
+
a) &nbsp; Utveckla <math> P(x)\, </math> till ett polynom.
  
−
:<math> 6\,x^3 - 4\,x^2\,(3\,x + 8) + 2\,x\,(5 + 9\,x) = \,6\,x^3 -\,12\,x^3\,-\,32\,x^2 +\,10\,x\,+\,18\,x^2 = \underline{-6\,x^3 - 14\,x^2 +\,10\,x} \, </math>
+
b) &nbsp; Använd polynomet från a) för att beräkna <math> P(-1)\, </math>.
−
</div>  <!-- border-divblue -->
+
  
 +
c) &nbsp; Bestäm alla [[1.1_Polynom#Ett_polynoms_nollst.C3.A4llen.2C_.C3.A4ven_kallade_r.C3.B6tter|<b><span style="color:blue">nollställen</span></b>]] till <math> P(x)\, </math>.
  
−
== <b><span style="color:#931136">Grad</span></b> ==
+
{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.2 Svar 3a|Lösning 3a|1.2 Lösning 3a|Svar 3b|1.2 Svar 3b|Lösning 3b|1.2 Lösning 3b|Svar 3c|1.2 Svar 3c|Lösning 3c|1.2 Lösning 3c}}</div>
−
<div class="tolv">
+
−
Den högsta förekommande exponenten till <math> x</math>-potenserna bland polynomets alla termer kallas polynomets <strong><span style="color:red">grad</span></strong>.  
+
−
</div>
+
  
−
<div class="exempel12">
 
−
Följande polynom har graden <math> \, 4\,</math>:
 
  
−
:::<math> x^4 - 29\;x^2 + 100 </math>  
+
== <b>Övning 4</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Utveckla följande uttryck och ordna termerna så att det blir ett polynom:
  
−
eftersom den största exponenten till <math> \, x</math>-potenserna är <math> \, 4 </math>.
+
a) &nbsp; <math> \displaystyle (x-2)^2 + (x+1)^2 </math>
  
−
I de inledande exemplen [[1.1_Polynom#Exempel_p.C3.A5_polynom|<strong><span style="color:blue">Exempel på polynom</span></strong>]] har polynomen där graderna <math> \, 1, \, 2, \, 3, \, </math> och <math> \, 4 \, </math> i den ordning de är angivna där.
+
b) &nbsp; Beräkna värdet av polynomet du fick fram i a) för <math> x = -2\, </math>.  
−
</div>
+
  
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.2 Svar 4a|Lösning 4a|1.2 Lösning 4a|Svar 4b|1.2 Svar 4b|Lösning 4b|1.2 Lösning 4b}}</div>
  
−
== <b><span style="color:#931136">Koefficienter</span></b> ==
 
−
<div class="tolv">
 
−
Talen framför <math> x</math>-potenserna kallas för polynomets <strong><span style="color:red">koefficienter</span></strong>.
 
−
</div>
 
  
 +
== <b>Övning 5</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
En rakets bana beskrivs av polynomfunktionen:
  
−
<div class="exempel12">
+
::<math> y = 90\,x - 4,9\,x^2 </math>
  
−
* 1:a gradspolynomet <math> \qquad 4\,x + 12 \qquad\qquad\quad </math> har koefficienterna <math> \quad 4 \,</math> och <math> \, 12 </math>.
+
där y är höjden i meter och x tiden i sekunder.
  
−
* 2:a gradspolynomet <math> \qquad 3\,x^2 + 5\,x - 16 \qquad </math> har koefficienterna <math> \quad 3 \, </math> och <math> \, 5 \, </math> och <math> \, -16</math>.
+
a) &nbsp; Visa att raketen har både efter 2,586 och 15,781 sekunder en höjd på 200 meter över marken.
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Konstanterna <math> 12\, </math> och <math> -16\, </math> i exemplen ovan är också koefficienter, fast de inte (synligt) står framför någon <math> x</math>-potens, därför att <math> 12\, </math> kan skrivas som:
+
b) &nbsp; Vilken maximal höjd når raketen? Svara i hela meter.
  
−
::::<math> 12 \cdot x^0 </math>
+
{{#NAVCONTENT:Svar & lösning 5a|1.2 Lösning 5a|Svar 5b|1.2 Svar 5b|Lösning 5b|1.2 Lösning 5b}}</div>
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Detta pga <math> x^0 = 1\, </math>. Samma sak gäller för koefficienten <math> -16 \, = \, -16\,x^0 </math>, se repetitionsfliken om [[Potenser|<strong><span style="color:blue">... Potenser</span></strong>]].
 
  
−
* 4:e gradspolynomet <math> \qquad x^4 - 29\,x^2 + 100 \qquad </math> har koefficienterna <math> \quad 1, \quad  0, \quad  -29, \quad  0, \quad  100</math>
+
== <b>Övning 6</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Betrakta raketens bana i övning 5. Använd din grafritande räknare för att genomföra följande uppgifter:
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Anledningen till att två koefficienter är <math> \, 0 \,</math> är att <math>x^3</math>- och <math>x^1</math>-termerna saknas i polynomet. Det betyder att deras koefficienter är <math> \, 0 \, </math>. Man skulle kunna skriva polynomet även så här:
+
a) &nbsp; Undersök vilka min- och max-värden samt vilken skala man lämpligast bör använda på x- och y-axeln
  
−
::::<math> x^4 + 0\cdot x^3 - 29\;x^2 + 0\cdot x^1 + 100\cdot x^0 </math>
+
:för att rita raketbanans graf. Ange dem i din räknares WINDOW.
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Att man inte gör det beror på att termerna med koefficienten <math> \, 0 \, </math> bidrar inget till polynomets värde. Man föredrar skrivsättet <math> \, x^4 - 29\,x^2 + 100 \, </math> för det är enklare att skriva så.
+
b) &nbsp; Rita raketbanans graf och den räta linjen som åskådliggör höjden 200 m i samma koordinatsystem.
−
</div>
+
  
 +
c) &nbsp; När slår raketen i marken? Använd din räknares ekvationslösare. Svara med tre decimaler.
  
−
<div class="tolv">
+
{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.2 Svar 6a|Lösning 6a|1.1 Lösning 6a|Svar 6b|1.2 Svar 6b|Lösning 6b|1.2 Lösning 6b|Svar 6c|1.2 Svar 6c|Lösning 6c|1.2 Lösning 6c}}</div>
−
För enkelhetens skull brukar man utelämna de termer som räknemässigt inte bidrar till polynomets värde. Men formellt är de där och bör tas hänsyn till när man räknar upp koefficienterna. På så sätt kan man alltid använda den fullständiga koefficientlistan som en definition på polynomet.  
+
−
</div>
+
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Ett polynoms värde</span></b> ==
 
−
<div class="tolv">
 
  
−
Eftersom ett polynom är en speciell form av ett uttryck är ett polynoms värde inget annat än uttryckets värde. Ett polynom har inget givet värde för sig utan får ett värde för något specificerat värde för <math>x\,</math>.
 
−
</div>
 
  
 +
<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 7-10</span></Big></Big></Big>
  
−
<div class="exempel12">
 
−
<b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b> &nbsp;&nbsp; Beräkna följande polynoms värde för <math> \, x = 0,5 </math>:
 
  
−
::::::::<math> 8\,x^3 - 4\,x </math>
+
== <b>Övning 7</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
Följande två [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#En_familj_av_h.C3.B6gre_grads_polynomfunktioner|<b><span style="color:blue">Chebyshevpolynom</span></b>]] är givna<span style="color:black">:</span>
  
−
<b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> &nbsp;&nbsp; Vi sätter in <math> 0,5\,</math> för <math>x\,</math> i polynomets alla termer och beräknar polynomets värde:
+
::<math> U_3(x) = 8\,x^3\,-\,4\,x </math>
  
−
::::::::<math> 8 \cdot 0,5^3 - 4 \cdot 0,5 = 8 \cdot 0,125 - 2 = 1 - 2 = -1 \,</math>
+
::<math> U_4(x) = 16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1 </math>
  
−
Det givna polynomets värde för <math> x = 0,5\, </math> är <math> -1\,</math>. För andra värden på <math>x\,</math> kommer polynomet att ha andra värden.
+
Beräkna <math> \displaystyle U_5(x) </math> utgående från <math> \, U_3(x) \, </math> och <math> \, U_4(x) \, </math> med hjälp av
−
</div>
+
  
 +
Chebyshevpolynomens rekursionsformel<span style="color:black">:</span>
  
−
== <b><span style="color:#931136">Att räkna med polynom</span></b> ==
+
::<math> U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... </math>
−
<div class="tolv">
+
−
Man räknar med polynom precis på samma sätt som man gör det med uttryck därför att polynom är en speciell form av uttryck. Man kan addera, subtrahera och multiplicera polynom med varandra. Resultatet blir ett nytt polynom. Följande gäller:
+
−
</div>
+
  
 +
Tips: Se [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#Anv.C3.A4ndning_av_rekursionsformeln|<b><span style="color:blue">Användning av rekursionsformeln</span></b>]], där <math> \, U_4(x) </math> beräknas
  
−
<div class="border-divblue">
+
utgående från <math> \, U_2(x) \, </math> och <math> \, U_3(x) \, </math> med hjälp av rekursionsformeln.
−
<big>Summan, differensen och produkten av polynom är alltid ett polynom.</big>
+
−
</div>
+
  
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 7|1.2 Svar 7|Lösning 7|1.2 Lösning 7}}</div>
  
−
<div class="exempel">
 
−
=== <span style="color:#931136">Exempel på räkning med polynom</span> ===
 
−
<big>
 
−
Två polynom är givna:
 
  
−
::<math> 6\,x^2 + 2\,x - 3 </math>
+
== <b>Övning 8</b> ==
−
::<math> -6\,x^2 - 3\,x + 4 </math>
+
<div class="ovnC">
 +
Ställ upp ett polynom av 4:e grad som har koefficienterna:
  
−
Bilda deras summa, differens och produkt.
+
::<math> \displaystyle a_4 = 3, \quad a_3 = 2, \quad a_2 = -3, \quad a_1 = -4, \quad a_0 = -3 </math>
  
−
<b>Summa = resultat av addition:</b>  
+
{{#NAVCONTENT:Svar 8|1.2 Svar 8|Lösning 8|1.2 Lösning 8}}</div>
  
−
<math> (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,+\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) \, = \, 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,-\,6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4 \, = \, \underline{-\,x\,+\,1} </math>
 
  
−
<b>Differens = resultat av subtraktion:</b>
+
== <b>Övning 9</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
Visa att följande uttryck är identiskt med polynomet från övning 8 ovan:
  
−
<math> (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,-\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) \, = \, 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,+\,6\,x^2\,+\,3\,x\,-\,4 \, = \, \underline{12\,x^2\,+\,5\,x\,-\,7}</math>
+
::<math> 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 </math>
  
−
<b>Produkt = resultat av multiplikation:</b>
+
{{#NAVCONTENT:Lösning 9|1.2 Svar 9}}</div>
  
−
<math> (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,\cdot\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) \, = \, -36\,x^4\,-\,18\,x^3\,+\,24\,x^2\,-\,12\,x^3\,-\,6\,x^2\,+\,8\,x\,+\,18\,x^2\,+\,9\,x\,-\,12 \, = \, </math>
 
  
−
<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\, = \, \underline{-36\,x^4\,-\,30\,x^3\,+\,36\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12} </math>
+
== <b>Övning 10</b> ==
−
</big></div>
+
<div class="ovnC">
 +
Två polynom är givna:
  
 +
::<math> P(x) = 2\,a \cdot x + 3\,a - 4\,b </math>
  
−
<div class="tolv">
+
::<math> Q(x) = 4 \cdot x - 6 </math>
−
Det man gör hela tiden i exemplet ovan är att först lösa upp parenteserna och sedan sammanfoga de termer som går att sammanfoga, det är de termer som har samma exponent.
+
  
−
Som man ser blir alla resultat polynom. Vid addition och subtraktion blir resultatens grad samma eller mindre än utgångspolynomen. I additionsexemplet blir graden mindre eftersom de kvadratiska termerna tar ut varandra. Multiplikationen däremot förstorar graden. I exemplet är faktorerna 2:a gradspolynom medan deras produkt blir av graden 4. Generellt gäller det att produktpolynomets grad blir <math> \, m + n \, </math> om faktorernas grader är <math> \, m \, </math> och <math> \, n \, </math>, vilket är en konsekvens av första potenslagen.
+
För vilka värden av <math> a\, </math> och <math> b\, </math> är <math> P(x) = Q(x)\, </math>? Använd jämförelse av koefficienter.
  
−
Till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom i regel inte ett polynom.
+
{{#NAVCONTENT:Svar 10|1.2 Svar 10|Lösning 10|1.2 Lösning 10}}</div>
−
</div>
+
  
  
−
<div class="border-divblue">
 
−
<big>Kvoten av två polynom är i regel inget polynom.</big>
 
−
</div>
 
  
  
−
<div class="tolv">
+
<Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 11-12</span></Big></Big></Big>
−
Det enklaste exemplet nämndes i [[1.1_Polynom#Exempel_p.C3.A5_icke-polynom|<strong><span style="color:blue">Exempel på icke-polynom</span></strong>]] dvs kvoten mellan polynomet <math> 1 \, </math> (av graden 0) och polynomet <math> x \, </math> (av graden 1):
+
  
−
:::<math> {1 \over x} \qquad {\rm eller} \qquad x^{-1} </math>
 
  
−
Uttrycken är enligt [[Potenser#Potenslagarna|<strong><span style="color:blue">potenslagarna</span></strong>]] identiska. Man ser att exponenten är negativ. Men i ett polynom får exponenterna till <math> x</math>-potenserna inte vara negativa. Därför är uttrycket ovan inget polynom <math>-</math> ett exempel på att kvoten av två polynom i regel inte är polynom.
+
== <b>Övning 11</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Följande 2:a gradspolynom är givet:
  
−
Division av polynom leder oss till en ny klass av uttryck som <big><big><math> 1 \over x </math></big></big> är ett exempel på. Denna nya klass av uttryck kallas <strong><span style="color:red">rationella uttryck</span></strong> och behandlas i [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<strong><span style="color:blue">avsnitt 1.3</span></strong>]].
+
::<math> P(x) = x^2 - 10\,x + 16 </math>
−
</div>
+
  
 +
a) &nbsp; Utveckla uttrycket <math> Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) </math> till ett polynom. Bestäm <math> a\, </math> och <math> b\, </math> så att <math> P(x) = Q(x)\, </math>.
  
−
== <b><span style="color:#931136">Allmän definition</span></b> ==
+
:Använd jämförelse av koefficienter.
−
<div class="tolv">
+
  
−
Inledningsvis kallades en konstant gånger en <math> x</math>-potens för en term:
+
b) &nbsp; Visa att de värden du får för <math> a\, </math> och <math> b\, </math> i a)-delen är lösningar till 2:a gradsekvationen:
  
−
:::<math> 8 \cdot x^3 \qquad\qquad {\rm Generellt:} \qquad\qquad a \cdot x^n </math>
+
::<math> x^2 - 10\,x + 16 = 0 </math>
  
−
Som en summa av många sådana termer har ett polynom följande allmän definition:
+
{{#NAVCONTENT:Svar 11a|1.2 Svar 11a|Lösning 11a|1.2 Lösning 11a|Svar & lösning 11b|1.2 Lösning 11b}}</div>
−
</div>
+
  
  
−
<div class="border-divblue">
+
== <b>Övning 12</b> ==
−
<big>Ett &nbsp; <span style="color:red">polynom av grad <math>n\,</math></span> &nbsp; har formen:
+
<div class="ovnA">
 +
Visa att 2:a gradspolynomet <math> P(x) = 8\,x^2 + 7\,x - 1 </math> kan skrivas som
  
−
:<math> a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 \; , \quad
+
::<math> (a\,x + b) \cdot (c\,x + d) </math>
−
{\rm där } \quad {\color{Red} {n\,= {\rm positivt\;heltal}}\;{\rm eller}\;{\color{Red} 0}\,.} </math>
+
  
−
Koefficienterna <math> \, a_n </math> är godtyckliga kända konstanter, medan <math>x\,</math> är en variabel.</big>
+
vilket innebär en faktorisering av polynomet <math> P(x)\, </math>. Bestäm a, b, c och d genom att:
−
</div>
+
  
 +
a) &nbsp; Hitta först polynomet <math> P(x)\, </math>:s nollställen (rötter) <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> exakt, dvs bibehåll bråkformen.
  
−
<div class="tolv">
+
b) &nbsp; Sätt sedan <math> P(x) = k \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) </math> och bestäm k genom jämförelse av koefficienter.
−
Istället för att använda beteckningarna <math> \, a, \, b, \, c, \, \dots </math> för koefficienterna inför man s.k. indicerade beteckningar <math> \, a_1, \, a_2, \, a_3, \, \dots </math>. Det nedsänkta <math>\,{\color {Red} {_n}}</math>-et i <math>a_n\,</math> är en del av beteckningen och kallas <strong><span style="color:red">index</span></strong> (subscript, nedsänkt skrivet). Dessa indicerade beteckningar används för att associera koefficienten till <math>\,x</math>-potensens exponent.  
+
  
−
<math> a_n\, </math> kallas för polynomets <strong><span style="color:red">ledande koefficient</span></strong>.
+
:Ange a, b, c och d.
  
−
<math> a_0\, </math> kallas polynomets <strong><span style="color:red">konstanta term</span></strong>.
+
{{#NAVCONTENT:Svar 12a|1.2 Svar 12a|Lösning 12a|1.2 Lösning 12a|Svar 12b|1.2 Svar 12b|Lösning 12b|1.2 Lösning 12b}}</div>
  
−
Generellt kan ett polynom definieras via sina samtliga koefficienter.
 
−
</div>
 
  
 +
<!--
 +
<Big><Big><Big><span style="color:blue"><u>Facit</u></span></Big></Big></Big>
  
−
<div class="exempel">
 
−
=== <span style="color:#931136">Exempel</span> ===
 
−
<big>
 
−
:Polynomet <math> \quad x^5 + 3\,x^4 - 8\,x^3 - 54\,x + 9 \quad </math> av grad <math> \, 5 \, </math> har koefficienterna:
 
  
−
::<math>a_5 = 1 \; , \qquad a_4 = 3 \; , \qquad a_3 = -8 \; , \qquad a_2 = 0 \; , \qquad a_1 = -54 \; , \qquad a_0 = 9</math>
 
−
</big></div>
 
  
 +
== 1a) ==
 +
<math> - 5\,x - 11 </math>
  
−
<div class="tolv">
+
Polynom av grad 1. Koefficienter: -5 och -11.
−
<b>Konvention:</b> Ur ren beräkningssynpunkt är det irrelevant i vilken ordning man skriver ett polynoms termer. Men, för att höja läsligheten och hålla sig till en bra struktur, brukar man börja med den term som har den högsta <math> x</math>-potensen, skriva termerna i avtagande ordning på <math> x</math>-potensernas exponenter och avsluta med den konstanta termen.
+
−
</div>
+
  
 +
== 1b) ==
 +
<math> 11\,x + 1 </math>
  
−
== <b><span style="color:#931136">Ett polynoms nollställen (rötter)</span></b> ==
+
Polynom av grad 1. Koefficienter: 11 och 1.
−
<div class="tolv">
+
  
−
När polynomets värde blir <math> 0\,</math> kallar man de <math> x\,</math> för vilka polynomets värde blir <math> 0\,</math>, <strong><span style="color:red">polynomets nollställen</span></strong>. Nollställe är i polynomsammanhang synonym till <strong><span style="color:red">rot</span></strong>. Se även [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<strong><span style="color:blue">rotens olika betydelser</span></strong>]].
+
== 1c) ==
 +
<math> -24\,x^2\,+\,22\,x\,+\,30 </math>
  
−
Till skillnad från polynomets värde där vi satt in ett tal för <math> x\,</math> och fick ett värde för polynomet, måste vi nu vända på steken och sätta polynomet till värdet <math> 0\,</math> och beräkna <math> x\,</math>. Det är en mycket svårare uppgift eftersom vi måste lösa en ekvation som i regel är av högre grad. Vi är ju ute efter de <math> x\,</math> för vilka ett polynom av en viss grad blir <math> 0\,</math>. Dessa <math> x\,</math> är polynomets nollställen. Därför kan ett polynom ha flera nollställen medan ett polynoms värde är alltid unikt.
+
Polynom av grad 2. Koefficienter: -24, 22 och 30.
−
</div>
+
  
 +
== 1d) ==
 +
<math> {3\,x - 5 \over - 8\,x - 6} </math>
  
−
<div class="exempel">
+
Inget polynom.
−
=== <span style="color:#931136">Exempel på nollställen</span> ===
+
−
<big>
+
−
Bestäm alla nollställen till polynomet <math> 5\,x^2 -\,20\,x </math>.
+
  
−
Att beräkna polynomets nollställen innebär att sätta polynomet till 0 och lösa följande ekvation:
+
== 2a) ==
 +
<math> - 12\,x + 2</math>
  
−
::<math> 5\,x^2 -\,20\,x = 0 </math>
+
Polynom av grad 1. Koefficienter är -12 och 2.
  
−
Eftersom vänsterledet saknar konstant term kan man bryta ut x som är den gemensamma faktorn i båda termer för att sedan kunna använda nollproduktmetoden:
+
== 2b) ==
 +
<math> 8\,x^2 - 2\,x + 2 </math>
  
−
::<math>\begin{align} 5\,x^2 -\,20\,x & = 0        \\
+
Polynom av grad 2. Koefficienter: 8, -2 och 2.
−
                    x\,(5\,x -\,20) & = 0        \\
+
−
                                x_1 & = 0        \\
+
−
                      5\,x_2 -\,20 & = 0        \\
+
−
                                x_2 & = 4        \\
+
−
    \end{align}</math>
+
  
−
Polynomets nollställen eller rötter är alltså <math> x_1 = 0\, </math> och <math> x_2 = 4\, </math>.
+
== 2c) ==
−
</big></div>
+
<math> -16\,x^4 + 8\,x^3 + 27\,x^2 - 10\,x </math>
  
 +
Polynom av grad 4. Koefficienter: -16, 8, 27 och -10.
  
−
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
+
== 2d) ==
 +
<math> {4\,x^2 - 7\,x + 2 \over -4\,x^2 - 5\,x} </math>
  
−
https://www.youtube.com/watch?v=-O2jvyajf8I&list=PL8F23578B46CAECC9
+
Inget polynom.
  
−
https://www.youtube.com/watch?v=nKpfFc7Tns0
+
== 3a) ==
 +
<math> P(x) = 2\,x^2 +\,21\,x </math>
  
−
http://www.youtube.com/watch?v=IDpnNnjFB1c
+
== 3b) ==
 +
<math> \displaystyle -19 </math>
  
−
http://www.mathsisfun.com/algebra/polynomials.html
+
== 3c) ==
 +
<math> \displaystyle x_1 = 0 </math>
  
−
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/Polynomials.aspx
+
<math> \displaystyle x_2 = -10,5 </math>
  
 +
== 4a) ==
 +
<math> 2\,x^2 - 2\,x + 5 </math>
  
 +
== 4b) ==
 +
<math> \displaystyle 17 </math>
  
 +
== 5a) ==
 +
Vi sätter in 2,586 sekunder för x i funktionen
  
 +
<math> y = f\,(x) = 90\,x - 4,9\,x^2 </math>
  
 +
och får
  
 +
<math> f(2,586) = 90 \cdot 2,586 - 4,9 \cdot 2,586\,^2 = 199,97 </math>
  
 +
vilket avrundat till hela meter ger 200 m.
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
+
Samma sak görs med den andra tiden 15,781 sekunder:
 +
 
 +
<math> f(15,781) = 90 \cdot 15,781 - 4,9 \cdot 15,781\,^2 = 199,99 </math>
 +
 
 +
Även detta ger avrundat 200 m.
 +
 
 +
== 5b) ==
 +
<math> \displaystyle 413 \; \rm m </math>
 +
 
 +
== 6a) ==
 +
Xmin = 0
 +
 
 +
Xmax = 20
 +
 
 +
Xscl = 2
 +
 
 +
Ymin = 0
 +
 
 +
Ymax = 420
 +
 
 +
Yscl = 50
 +
 
 +
== 6b) ==
 +
[[Image: Uppg_6b_Raket_70.jpg]]
 +
 
 +
== 6c) ==
 +
18,367 sekunder efter starten.
 +
 
 +
== 7) ==
 +
<math> U_5(x) = 32\,x^5\,-\,32\,x^3\,+\,6\,x </math>
 +
 
 +
== 8) ==
 +
<math> 3 \, x^4 + 2 \, x^3 - 3 \, x^2 - 4 \, x - 3 </math>
 +
 
 +
== 9) ==
 +
Påstående:
 +
 
 +
<math> \displaystyle 2(x^2 - 1)^2 + (x + 2)(x^3 - 2) - 2x + x^2 - 1 = 3x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x - 3 </math>
 +
 
 +
Bevis:
 +
 
 +
<big>VL</big> = <math> 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 = </math>
 +
 
 +
= <math> 2\,(x^4 - 2\,x^2 + 1) + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = </math>
 +
 
 +
= <math> 2\,x^4 - 4\,x^2 + 2 + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = </math>
 +
 
 +
= <math> 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 </math>
 +
 
 +
<big>HL</big> = <math> 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 </math>
 +
 
 +
<big>VL = HL</big> <math> \Rightarrow </math> påståendet är bevisat.
 +
 
 +
== 10) ==
 +
<math> a = 2\, </math>
 +
 
 +
<math> b = 3\, </math>
 +
 
 +
== 11a) ==
 +
<math> Q(x) = x^2 - (a+b)\cdot x + a\,b </math>
 +
 
 +
<math> a = 2\, </math>
 +
 
 +
<math> b = 8\, </math>
 +
 
 +
== 11b) ==
 +
2 och 8 är lösningar till 2:a gradsekvationen:
 +
 
 +
:<math> x^2 - 10\,x + 16 = 0 </math>
 +
 
 +
Prövning för 2:
 +
 
 +
VL: <math> 2^2 - 10\cdot 2 + 16 = 4 - 20 + 16 = 0 </math>
 +
 
 +
HL: <math> 0 </math>
 +
 
 +
VL <math> = </math> HL <math> \Rightarrow\, </math> 2 är en lösning.
 +
 
 +
Prövning för 8:
 +
 
 +
VL: <math> 8^2 - 10\cdot 8 + 16 = 64 - 80 + 16 = 0 </math>
 +
 
 +
HL: <math> 0 </math>
 +
 
 +
VL <math> = </math> HL <math> \Rightarrow\, </math> 8 är en lösning.
 +
 
 +
== 12a) ==
 +
<math> x_1\, = {1 \over 8} </math>
 +
 
 +
<math> x_2\, = -1 </math>
 +
 
 +
== 12b) ==
 +
<math> k\, = 8 </math>
 +
 
 +
<math> a\, = 8 </math>
 +
 
 +
<math> b\, = -1 </math>
 +
 
 +
<math> c\, = 1 </math>
 +
 
 +
<math> d\, = 1 </math>
 +
-->
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 6 maj 2019 kl. 18.21

       Genomgång          Övningar          Formelsamling Matte 3          Fördjupning          Nästa avsnitt  >>      


E-övningar: 1-6


Övning 1

Två förstagradspolynom är givna:

\[ 3\,x - 5 \qquad {\rm och} \qquad - 8\,x - 6 \]
Bilda deras


\( \qquad \) a)   summa

\( \qquad \) c)   produkt

\( \qquad \) b)   differens

\( \qquad \) d)   kvot.

Förenkla så mycket som möjligt.

Ange varje gång om resultatet är ett polynom.

I fall att det är polynom ange polynomets grad samt polynomets koefficienter.

Svar 1a
1.1 Svar 1aa
Lösning 1a
1.1 Lösning 1aa
Svar 1b
1.1 Svar 1bb
Lösning 1b
1.1 Lösning 1bb
Svar 1c
1.2 Svar 1c
Lösning 1c
1.2 Lösning 1c
Svar 1d
1.2 Svar 1d
Lösning 1d
1.1 Lösning 1d


Övning 2

Gör samma sak som i övning 1 med andragradspolynomen

\[ 4\,x^2 - 7\,x + 2 \qquad {\rm och} \qquad -4\,x^2 - 5\,x \]
Svar 2a
1.2 Svar 2a
Lösning 2a
1.2 Lösning 2a
Svar 2b
1.2 Svar 2b
Lösning 2b
1.2 Lösning 2b
Svar 2c
1.2 Svar 2c
Lösning 2c
1.2 Lösning 2c
Svar 2d
1.2 Svar 2d
Lösning 2d
1.2 Lösning 2d


Övning 3

Följande uttryck är givet:

\[ P(x) = 4\,x^3 - 2\,x^2\,(2\,x + 6) + 7\,x\,(3 + 2\,x) \]

a)   Utveckla \( P(x)\, \) till ett polynom.

b)   Använd polynomet från a) för att beräkna \( P(-1)\, \).

c)   Bestäm alla nollställen till \( P(x)\, \).

Svar 3a
1.2 Svar 3a
Lösning 3a
1.2 Lösning 3a
Svar 3b
1.2 Svar 3b
Lösning 3b
1.2 Lösning 3b
Svar 3c
1.2 Svar 3c
Lösning 3c
1.2 Lösning 3c


Övning 4

Utveckla följande uttryck och ordna termerna så att det blir ett polynom:

a)   \( \displaystyle (x-2)^2 + (x+1)^2 \)

b)   Beräkna värdet av polynomet du fick fram i a) för \( x = -2\, \).

Svar 4a
1.2 Svar 4a
Lösning 4a
1.2 Lösning 4a
Svar 4b
1.2 Svar 4b
Lösning 4b
1.2 Lösning 4b


Övning 5

En rakets bana beskrivs av polynomfunktionen:

\[ y = 90\,x - 4,9\,x^2 \]

där y är höjden i meter och x tiden i sekunder.

a)   Visa att raketen har både efter 2,586 och 15,781 sekunder en höjd på 200 meter över marken.

b)   Vilken maximal höjd når raketen? Svara i hela meter.

Svar & lösning 5a
1.2 Lösning 5a
Svar 5b
1.2 Svar 5b
Lösning 5b
1.2 Lösning 5b


Övning 6

Betrakta raketens bana i övning 5. Använd din grafritande räknare för att genomföra följande uppgifter:

a)   Undersök vilka min- och max-värden samt vilken skala man lämpligast bör använda på x- och y-axeln

för att rita raketbanans graf. Ange dem i din räknares WINDOW.

b)   Rita raketbanans graf och den räta linjen som åskådliggör höjden 200 m i samma koordinatsystem.

c)   När slår raketen i marken? Använd din räknares ekvationslösare. Svara med tre decimaler.

Svar 6a
1.2 Svar 6a
Lösning 6a
1.1 Lösning 6a
Svar 6b
1.2 Svar 6b
Lösning 6b
1.2 Lösning 6b
Svar 6c
1.2 Svar 6c
Lösning 6c
1.2 Lösning 6c



C-övningar: 7-10


Övning 7

Följande två Chebyshevpolynom är givna:

\[ U_3(x) = 8\,x^3\,-\,4\,x \]
\[ U_4(x) = 16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1 \]

Beräkna \( \displaystyle U_5(x) \) utgående från \( \, U_3(x) \, \) och \( \, U_4(x) \, \) med hjälp av

Chebyshevpolynomens rekursionsformel:

\[ U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... \]

Tips: Se Användning av rekursionsformeln, där \( \, U_4(x) \) beräknas

utgående från \( \, U_2(x) \, \) och \( \, U_3(x) \, \) med hjälp av rekursionsformeln.

Svar 7
1.2 Svar 7
Lösning 7
1.2 Lösning 7


Övning 8

Ställ upp ett polynom av 4:e grad som har koefficienterna:

\[ \displaystyle a_4 = 3, \quad a_3 = 2, \quad a_2 = -3, \quad a_1 = -4, \quad a_0 = -3 \]
Svar 8
1.2 Svar 8
Lösning 8
1.2 Lösning 8


Övning 9

Visa att följande uttryck är identiskt med polynomet från övning 8 ovan:

\[ 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 \]
Lösning 9
1.2 Svar 9


Övning 10

Två polynom är givna:

\[ P(x) = 2\,a \cdot x + 3\,a - 4\,b \]
\[ Q(x) = 4 \cdot x - 6 \]

För vilka värden av \( a\, \) och \( b\, \) är \( P(x) = Q(x)\, \)? Använd jämförelse av koefficienter.

Svar 10
1.2 Svar 10
Lösning 10
1.2 Lösning 10



A-övningar: 11-12


Övning 11

Följande 2:a gradspolynom är givet:

\[ P(x) = x^2 - 10\,x + 16 \]

a)   Utveckla uttrycket \( Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) \) till ett polynom. Bestäm \( a\, \) och \( b\, \) så att \( P(x) = Q(x)\, \).

Använd jämförelse av koefficienter.

b)   Visa att de värden du får för \( a\, \) och \( b\, \) i a)-delen är lösningar till 2:a gradsekvationen:

\[ x^2 - 10\,x + 16 = 0 \]
Svar 11a
1.2 Svar 11a
Lösning 11a
1.2 Lösning 11a
Svar & lösning 11b
1.2 Lösning 11b


Övning 12

Visa att 2:a gradspolynomet \( P(x) = 8\,x^2 + 7\,x - 1 \) kan skrivas som

\[ (a\,x + b) \cdot (c\,x + d) \]

vilket innebär en faktorisering av polynomet \( P(x)\, \). Bestäm a, b, c och d genom att:

a)   Hitta först polynomet \( P(x)\, \):s nollställen (rötter) \( x_1\, \) och \( x_2\, \) exakt, dvs bibehåll bråkformen.

b)   Sätt sedan \( P(x) = k \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \) och bestäm k genom jämförelse av koefficienter.

Ange a, b, c och d.
Svar 12a
1.2 Svar 12a
Lösning 12a
1.2 Lösning 12a
Svar 12b
1.2 Svar 12b
Lösning 12b
1.2 Lösning 12b






Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=1.1_Övningar_till_Polynom&oldid=36580"