Skillnad mellan versioner av "1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(124 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|<-- Förra avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 
{{Selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Fördjupning]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Fördjupning]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Nästa avsnitt -->]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
 +
<!-- [[Media: Lektion 10 Kontin diskreta funktioner Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 10 Kontinuerliga & diskreta funktioner</span></b>]] -->
 +
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
 +
I matematiken betyder <b><span style="color:red">diskret</span></b> åtskild, avgränsad eller separerad och är motsatsen till kontinuerlig.
 +
 +
Heltalen bildar en diskret mängd därför att de är avgränsade från sina "grannar" på tallinjen med ett helsteg. Det finns inget heltal mellan <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 3 \, </math> och inte heller mellan de andra heltalen.
 +
 +
"Antal" är alltid heltal och därmed diskret. Därför är t.ex. "antal ägg" diskret: Det finns inga halva eller bråkdel ägg.
 +
</div> <!-- tolv1 -->
  
−
[[Media: Lektion 9 Kontin. & diskreta funktioner Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 8 Kontinuerliga & diskreta funktioner</span></strong>]]
 
−
__NOTOC__
 
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 Diskret funktion</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 Diskret funktion</span></b> ==
 
<big>
 
<big>
−
En torghandlare säljer ägg för <math> \, 3 </math> kr per styck.
 
−
 
−
Ställ upp och rita grafen till prisfunktionen som beskriver priset <math> y \, </math> i kr som en funktion av antalet <math> n \, </math> sålda ägg.
 
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
−
   <td>
+
   <td>En torghandlare säljer ägg för <math> \, 3 </math> kr per styck.
−
'''Lösning:'''
+
  
 
<math> {\color{Red} 1} \; </math> ägg kostar <math> {\color{Red} 1} \cdot 3 \;{\rm kr,} </math>
 
<math> {\color{Red} 1} \; </math> ägg kostar <math> {\color{Red} 1} \cdot 3 \;{\rm kr,} </math>
Rad 28: Rad 32:
 
<math> {\color{Red} 2} \; </math> ägg kostar <math> {\color{Red} 2} \cdot 3 \;{\rm kr,} </math>
 
<math> {\color{Red} 2} \; </math> ägg kostar <math> {\color{Red} 2} \cdot 3 \;{\rm kr,} </math>
  
−
<math> {\color{Red} 3} \; </math> ägg kostar <math> {\color{Red} 3} \cdot 3 \;{\rm kr,} </math>
+
<math> {\color{Red} 3} \; </math> ägg kostar <math> {\color{Red} 3} \cdot 3 \;{\rm kr,} \qquad \cdots </math>
−
 
+
−
<math> \qquad \cdots </math>
+
  
 
<math> {\color{Red} n} \; </math> ägg kostar <math> {\color{Red} n} \cdot 3 \;{\rm kr} </math> eller <math> 3\;{\color{Red} n} \;{\rm kr.} </math>
 
<math> {\color{Red} n} \; </math> ägg kostar <math> {\color{Red} n} \cdot 3 \;{\rm kr} </math> eller <math> 3\;{\color{Red} n} \;{\rm kr.} </math>
Rad 36: Rad 38:
 
Därför är prisfunktionen:
 
Därför är prisfunktionen:
  
−
<div style="border:1px solid black;
+
<div class="smallBoxVariant"><math> y = 3\;{\color{Red} n} \, , \quad  
−
display:inline-block !important;
+
  {\rm där } \quad {\color{Red} n}\,= {\rm {\color{Red} {heltal}}\,.} </math></div>
−
margin-left: 0px !important;
+
−
padding:10px 20px 10px 20px;
+
−
-webkit-border-radius: 10px;
+
−
-moz-border-radius: 5px;
+
−
border-radius: 5px;"><math> y = 3\;{\color{Red} n} \, , \quad  
+
−
  {\rm där } \quad {\color{Red} n}\,= {\rm {\color{Red} {heltal}}\,.} </math>
+
−
</div>
+
 
</td>
 
</td>
−
   <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; [[Image: Diskret prisfunktion agg 50.jpg]]</td>
+
   <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; [[Image: Diskret_prisfunktion_agg.jpg]]</td>
−
   <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; Grafen till prisfunktionen visar priset <math> y \, </math> i kr (vertikal axel)
+
   <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; Grafen till prisfunktionen visar priset <math> y \, </math> i kr (vertikal axel)
  
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; som en funktion av <strong><span style="color:red">antalet</span></strong> <math> {\color{Red} n} \, </math> (horisontell axel).
+
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; som en funktion av <b><span style="color:red">antalet</span></b> <math> {\color{Red} n} \, </math> (horisontell axel).
  
  
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; Grafen till en <strong><span style="color:red">diskret funktion</span></strong> ritas med
+
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; Grafen till en diskret funktion ritas med <b><span style="color:red">separerade</span></b>
  
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; separerade punkter och inte med en genomdragen linje.
+
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; <b><span style="color:red">punkter</span></b> och inte med en genomdragen linje.
  
  
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; För att rita en diskret funktions graf måste man lyfta pennan.
+
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; För att rita en diskret funktions graf måste man
 +
 
 +
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; lyfta pennan.
 
   </td>
 
   </td>
 
</tr>
 
</tr>
 
</table>
 
</table>
 +
<math> \quad\; y \, </math> är priset i kr. <math> \quad\; \color{Red} n \, </math> är antalet ägg.
  
−
 
+
<math> y = 3\;{\color{Red} n} </math> är en <div class="smallBox"><b><span style="color:red">diskret funktion</span></b></div> &nbsp;&nbsp; därför att dess <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är en <div class="smallBox"><b><span style="color:red">diskret mängd</span></b></div> &nbsp;&nbsp; nämligen alla <b><span style="color:red"> heltal </span></b> <math> {\color{Red} n} \geq 0\, </math>.  
−
<math> y = 3\;{\color{Red} n} </math> är en <div style="border:1px solid black;
+
−
display:inline-block !important;
+
−
margin-left: 10px !important;
+
−
padding:10px 10px 10px 10px;
+
−
-webkit-border-radius: 10px;
+
−
-moz-border-radius: 5px;
+
−
border-radius: 5px;"><strong>diskret funktion</strong></div> &nbsp;&nbsp; därför att dess definitionsmängd: alla <math> {\color{Red} n} \geq 0\, </math> med <math> {\color{Red} n} \, </math> <strong><span style="color:red"> = heltal </span></strong> är en diskret mängd.  
+
 
</big>
 
</big>
 
</div> <!-- exempel -->
 
</div> <!-- exempel -->
Rad 75: Rad 66:
  
 
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
 
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
−
I matematiken betyder <strong><span style="color:red">diskret</span></strong> åtskild, avgränsad eller separerad och är motsatsen till kontinuerlig. Heltalen bildar en diskret mängd därför att de är avgränsade från sina "grannar" på tallinjen med ett helsteg. Det finns inget heltal mellan <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 3 \, </math> och inte heller mellan de andra heltalen. "Antal" är alltid heltal och därmed diskret. Därför är även "antal ägg" diskret: Det finns inga halva eller bråkdel ägg.
+
I matematiken betyder <b><span style="color:red">kontinuerlig</span></b> sammanhängande och är motsatsen till diskret.
−
</div> <!-- tolv1 -->
+
  
 +
De rationella och reella talen är kontinuerliga mängder därför att mellan två sådana tal - hur nära varandra de än mår vara - finns alltid oändligt många andra tal.
 +
 +
En mängd vätska t.ex. är kontinuerlig: Det finns halva eller alla möjliga bråkdelar av mängden.
 +
</div> <!-- tolv1 -->
  
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
Rad 88: Rad 82:
  
 
granatäppeljuice för <math> \, 30 </math> kr per liter.  
 
granatäppeljuice för <math> \, 30 </math> kr per liter.  
−
 
−
Ställ upp och rita grafen till prisfunktionen
 
−
 
−
som beskriver priset <math> y \, </math> kr för <math> x \, </math> liter.
 
−
 
−
'''Lösning:'''
 
  
 
Av samma anledning som i <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> är
 
Av samma anledning som i <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> är
Rad 99: Rad 87:
 
prisfunktionen här:
 
prisfunktionen här:
  
−
<div style="border:1px solid black;
+
<div class="smallBoxVariant"><math> y = 30\;{\color{Red} x} \, , \quad  
−
display:inline-block !important;
+
−
margin-left: 0px !important;
+
−
padding:10px 20px 10px 20px;
+
−
-webkit-border-radius: 10px;
+
−
-moz-border-radius: 5px;
+
−
border-radius: 5px;"><math> y = 30\;{\color{Red} x} \, , \quad  
+
 
  {\rm där } \quad {\color{Red} x}\,= {\rm {\color{Red} {reellt\;tal}}\,.} </math>
 
  {\rm där } \quad {\color{Red} x}\,= {\rm {\color{Red} {reellt\;tal}}\,.} </math>
 
</div>
 
</div>
 +
<math> \quad\; y \, </math> är priset i kr. <math> \quad\;\;\; \color{Red} x \, </math> är mängden i liter.
 +
 +
<math> y = 30\;{\color{Red} x} </math> är en <div class="smallBox"><b><span style="color:red">kontinuerlig funktion</span></b></div>
 
</td>
 
</td>
−
   <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  [[Image: Kontinuerlig prisfunktion ris 50.jpg]]</td>
+
   <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; [[Image: Kontinuerlig_prisfunktion_ris.jpg]]</td>
−
   <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  Grafen till Funktionen <math> y = 30\;{\color{Red} x} </math> visar priset <math> y \, </math>  
+
   <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; Grafen till Funktionen <math> y = 30\;{\color{Red} x} </math> visar priset <math> y \, </math>  
  
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  som en funktion av <strong><span style="color:red">volymen</span></strong> <math> {\color{Red} x} </math> (i liter).
+
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; som en funktion av <b><span style="color:red">mängden</span></b> <math> {\color{Red} x} </math> (i liter).
  
  
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  En kontinuerlig funktions graf ritas med en  
+
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; Grafen till en kontinuerlig funktion ritas med en  
  
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  genomdragen linje och inte med prickar.
+
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; <b><span style="color:red">genomdragen linje</span></b> och inte med separerade punkter.
  
  
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  En kontinuerlig funktions graf kan man rita
+
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; En kontinuerlig funktions graf kan man rita
  
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  utan att lyfta pennan.
+
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; utan att lyfta pennan.
 
   </td>
 
   </td>
 
</tr>
 
</tr>
 
</table>
 
</table>
−
 
+
därför att dess <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är en <div class="smallBox"><b><span style="color:red">kontinuerlig mängd</span></b></div>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;nämligen alla <b><span style="color:red"> reella tal</span></b> <math> {\color{Red} x} \geq 0\, </math>.
−
 
+
−
<math> y = 30\;{\color{Red} x} </math> med <math> {\color{Red} x} \, </math> <strong><span style="color:red"> = reellt tal </span></strong> är en <div style="border:1px solid black;
+
−
display:inline-block !important;
+
−
margin-left: 10px !important;
+
−
padding:10px 10px 10px 10px;
+
−
-webkit-border-radius: 10px;
+
−
-moz-border-radius: 5px;
+
−
border-radius: 5px;"><strong>kontinuerlig funktion</strong></div>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;därför att dess definitionsmängd: alla <math> {\color{Red} x} \geq 0\, </math> med <math> {\color{Red} x} \, </math> <strong><span style="color:red"> = volymen</span></strong> (i liter) består av reella tal som är kontinuerliga. Alla bråktal ingår i dem.
+
 
</big>
 
</big>
 
</div> <!-- exempel -->
 
</div> <!-- exempel -->
Rad 140: Rad 117:
  
 
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
 
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
−
I matematiken betyder <strong><span style="color:red">kontinuerlig</span></strong> sammanhängande och är motsatsen till diskret. De rationella och reella talen är kontinuerliga mängder därför att mellan två sådana tal - hur nära varandra de än mår vara - finns alltid oändligt många andra tal.  
+
Kontinuerliga funktioner används ofta som matematiska modeller för att beskriva verkligheten. Men i vissa fall föredrar man diskreta modeller som studeras i en speciell disciplin av matematiken som heter [http://sv.wikipedia.org/wiki/Diskret_matematik <b><span style="color:blue">Diskret matematik</span></b>]. Mängdlära, grafteori, kombinatorik och talteori som tas upp i Matte 5 är typiska ämnen i Diskret matematik.
  
−
Kontinuitet är en matematisk abstraktion som förekommer i talmängder eller andra matematiska objekt. Kontinuerliga funktioner är matematiska modeller som man i regel använder för att beskriva verkligheten. Men i vissa fall föredrar man diskreta modeller som studeras i en speciell disciplin av matematiken som heter [http://sv.wikipedia.org/wiki/Diskret_matematik <strong><span style="color:blue">Diskret matematik</span></strong>].
+
Ett exempel på problem som med fördel kan modelleras med diskreta funktioner är följande uppgift som den italienske matematikern [http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibBio.html <b><span style="color:blue">Leonardo Pisano Fibonacci</span></b>] år 1202 formulerade i sin bok [http://liberabaci.blogspot.se/ <b><span style="color:blue">Liber abaci</span></b>] (Boken om räknekonsten). [http://www.math.fau.edu/MathCircle_at_FAU/MC130713Problems.pdf <b><span style="color:blue">Fibonaccis problem</span></b>] handlar om kaniners fortplantning:
−
 
+
−
Ett exempel på problem som med fördel kan modelleras med diskreta funktioner är följande uppgift som den italienske matematikern [http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibBio.html <strong><span style="color:blue">Leonardo Pisano Fibonacci</span></strong>] år 1202 formulerade i sin bok [http://liberabaci.blogspot.se/ <strong><span style="color:blue">Liber abaci</span></strong>] (Boken om räknekonsten). [http://www.math.fau.edu/MathCircle_at_FAU/MC130713Problems.pdf <strong><span style="color:blue">Fibonaccis problem</span></strong>] handlar om kaniners fortplantning:
+
 
</div> <!-- tolv2 -->
 
</div> <!-- tolv2 -->
  
  
−
<div class="exempel">
+
<div class="ovnE">
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel 3 Fibonaccis problem</span></b> ==
+
=== <b><span style="color:#931136">Exempel 3 Fibonaccis problem</span></b> ===
 
<big>
 
<big>
−
::::Ett kaninpar föder från den andra månaden av sin tillvaro ett nytt par varje månad.
+
Ett kaninpar föder från den andra månaden av sin tillvaro
  
−
::::Samma gäller för de nya paren.
+
ett nytt par varje månad. Samma gäller för de nya paren.
  
−
::::Hur många par kommer det att finnas om ett år?
+
Hur många par kommer det att finnas om ett år?
 
</big>
 
</big>
−
</div> <!-- exempel 3 -->
+
</div>
  
 
<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
 
<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
−
Följer vi problemets lydelse kan vi räkna fram kaninpopulationen åtminstone för de första 5 månaderna:
 
−
 
 
De två första månaderna finns det <math> \, {\color{Red} 1} \, </math> kaninpar. De föder sitt första barnpar först efter 2 månader dvs i månad nr 3, varför det finns <math> \, {\color{Red} 2} \, </math> kaninpar i månad 3. I månad 4 föder det första paret sitt andra barnpar, varför det finns <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> par i månad 4. I månad 5 föder det första paret sitt tredje barnpar, men även deras första barnpar föder ett nytt par, eftersom det har gått 2 månader sedan deras födelse. Därför finns det <math> \, {\color{Red} 5} \, </math> par i månad 5 osv. <math> \cdots </math>.
 
De två första månaderna finns det <math> \, {\color{Red} 1} \, </math> kaninpar. De föder sitt första barnpar först efter 2 månader dvs i månad nr 3, varför det finns <math> \, {\color{Red} 2} \, </math> kaninpar i månad 3. I månad 4 föder det första paret sitt andra barnpar, varför det finns <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> par i månad 4. I månad 5 föder det första paret sitt tredje barnpar, men även deras första barnpar föder ett nytt par, eftersom det har gått 2 månader sedan deras födelse. Därför finns det <math> \, {\color{Red} 5} \, </math> par i månad 5 osv. <math> \cdots </math>.
  
−
Praktiskt taget blir det allt svårare att hålla reda på kaninpopulationen när antalet månader växer. Därför modellerar vi problemet matematiskt med följande s.k. [http://matmin.kevius.com/serier.php <strong><span style="color:blue">talföljd</span></strong>] som visar antal kaninpar för varje månad. Talen kallas för [http://sv.wikipedia.org/wiki/Fibonaccital <strong><span style="color:blue">fibonaccitalen</span></strong>]:
+
Praktiskt taget blir det allt svårare att hålla reda på kaninpopulationen när tiden går. Antalet kaninpar för varje månad bildar en s.k. [http://matmin.kevius.com/serier.php <b><span style="color:blue">talföljd</span></b>] som kallas för:
−
 
+
<div class="ovnE">
−
:::::::<math> {\color{Red} 1}, \; {\color{Red} 1}, \; {\color{Red} 2}, \; {\color{Red} 3}, \; {\color{Red} 5}, \; {\color{Red} 8}, \; {\color{Red} {13}}, \; {\color{Red} {21}}, \; \ldots \; </math>
+
[http://sv.wikipedia.org/wiki/Fibonaccital <b><span style="color:blue">Fibonaccitalen</span></b>] <math> \qquad {\color{Red} 1}, \; {\color{Red} 1}, \; {\color{Red} 2}, \; {\color{Red} 3}, \; {\color{Red} 5}, \; {\color{Red} 8}, \; {\color{Red} {13}}, \; {\color{Red} {21}}, \; \ldots \quad </math></div>
  
−
Undersöker man denna talföljd noga kan man upptäcka följande <b>mönster</b>:
+
Undersöker man denna talföljd noga kan man upptäcka följande mönster:
 
</div> <!-- tolv3 -->
 
</div> <!-- tolv3 -->
  
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
<b>Summan av två på varandra följande fibonaccital ger nästa fibonaccital.</b>
+
=== <b><span style="color:#931136">Mönster för fibonaccitalen:</span></b> ===
 +
<big>Summan av två på varandra följande fibonaccital ger nästa fibonaccital.</big>
 
</div>
 
</div>
  
 
<div class="tolv"> <!-- tolv3a -->
 
<div class="tolv"> <!-- tolv3a -->
−
Vi kan använda detta mönster som en [http://www.taifun.se/images/stories/pdf/Csharp_1_Vad_ar_en_algoritm.pdf <strong><span style="color:blue">algoritm</span></strong>] för att beräkna fibonaccitalen. En algoritm är ett tillvägagångssätt för att lösa ett problem.
+
Vi kan använda detta mönster för att bygga en <i>algoritm</i> för beräkning av fibonaccitalen.
 +
 
 +
En <b><span style="color:red">algoritm</span></b> är ett specificerat tillvägagångssätt för att lösa ett problem. Läs [http://www.taifun.se/images/stories/pdf/Csharp_1_Vad_ar_en_algoritm.pdf <b><span style="color:blue">här</span></b>] mer om algoritmer.
  
−
Ännu smartare är det att anlita digitala verktyg för att låta datorn göra beräkningsarbetet. T.ex. lämpar sig kalkylprogrammet Excel utmärkt för en sådan beräkning.   
+
Ännu smartare är det att anlita digitala verktyg för att låta datorn göra jobbet. T.ex. lämpar sig kalkylprogrammet Excel utmärkt för en sådan beräkning.   
 
</div> <!-- tolv3a http://sv.wikipedia.org/wiki/Algoritm -->
 
</div> <!-- tolv3a http://sv.wikipedia.org/wiki/Algoritm -->
  
Rad 185: Rad 161:
 
<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
 
<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
 
Följande algoritm beskriver hur man kan använda Excel för att låta datorn beräkna fibonaccitalen:
 
Följande algoritm beskriver hur man kan använda Excel för att låta datorn beräkna fibonaccitalen:
−
<div class="ovnE"> <!-- ovnE -->
+
<div class="ovnC"> <!-- ovnE -->
 
{{#NAVCONTENT:Klicka här för att följa algoritmen.|Algoritm i Excel}}
 
{{#NAVCONTENT:Klicka här för att följa algoritmen.|Algoritm i Excel}}
 
</div> <!-- ovnE -->
 
</div> <!-- ovnE -->
  
−
Beräkningen i Excel enligt algoritmen ovan visar de <math> \, 12 \, </math> första fibonaccitalen:
+
I [[1.5_Övningar_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#.C3.96vning_6|<b><span style="color:blue">övning 6</span></b>]] kommer du att behöva använda denna algoritm för att låta datorn beräkna de första <math> \, 24 \, </math> fibonaccitalen.
 +
 
 +
Här är de <math> \, 12 \, </math> första fibonaccitalen beräknade:
  
 
<table>
 
<table>
Rad 243: Rad 221:
 
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;   
 
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;   
  
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  Fibonaccitalen bildar en <strong><span style="color:red">diskret funktion</span></strong>
+
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  Fibonaccitalen bildar en <b><span style="color:red">diskret funktion</span></b>
  
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  därför att dess definitionsmängd <math>-</math> bestående
+
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  därför att dess definitionsmängd är <b><span style="color:red">heltal</span></b>,
  
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  av månaderna <math> \, {\color{Red} 1}</math><strong><span style="color:red">-</span></strong><math>{\color{Red} {12}}</math> <math>-</math> är <strong><span style="color:red">heltal</span></strong>.
+
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  bestående av månaderna <math> \, {\color{Red} 1}</math><b><span style="color:red">-</span></b><math>{\color{Red} {12}}</math>.
 
   </td>
 
   </td>
 
   <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  [[Image: Fibonacci 465p.jpg]]</td>
 
   <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  [[Image: Fibonacci 465p.jpg]]</td>
Rad 254: Rad 232:
  
 
Som man ser ökar kaninpopulationen ganska fort, så att vi nu äntligen kan besvara den inledande frågan:  
 
Som man ser ökar kaninpopulationen ganska fort, så att vi nu äntligen kan besvara den inledande frågan:  
−
 
  
 
Det kommer att finnas <math> \, 144 \, </math> kaninpar om ett år.
 
Det kommer att finnas <math> \, 144 \, </math> kaninpar om ett år.
Rad 269: Rad 246:
 
::::<math> F(n)\, = \, {\rm Antalet\;kaninpar\;i\;månaden} \, n </math>
 
::::<math> F(n)\, = \, {\rm Antalet\;kaninpar\;i\;månaden} \, n </math>
  
−
De första två fibonaccitalen tar vi från värdetabellen ovan. Det är <math> \, 1 \, </math> och <math> \, 1 \, </math>. Resten <math>-</math> [http://www.wolframalpha.com/input/?i=fibonacci+function <strong><span style="color:blue">Fibonaccis funktion</span></strong>] som följer <math>-</math> är en översättning till matematiskt språk av det mönster vi upptäckte tidigare och lade till grund för beräkningsalgoritmen:
+
De första två fibonaccitalen tar vi från värdetabellen ovan. Det är <math> \, 1 \, </math> och <math> \, 1 \, </math>. Resten <math>-</math> [http://www.wolframalpha.com/input/?i=fibonacci+function <b><span style="color:blue">Fibonaccis funktion</span></b>] som följer <math>-</math> är en översättning till matematiskt språk av det mönster vi upptäckte tidigare och lade till grund för beräkningsalgoritmen:
  
  
−
<div class="border-divblue"><math>  F(n) \, = \, \begin{cases} 1                    & \mbox{om} \quad n = 1                                    \\
+
<div class="border-divblue">
−
                                                              1                    & \mbox{om} \quad n = 2 \qquad\qquad n \quad\mbox{heltal}  \\
+
====== <b><span style="color:#931136">Fibonaccis rekursionsformel</span></b> ======
−
                                                              F(n-1) \; + \; F(n-2) & \mbox{om} \quad n = 3,\,4,\,5,\,\cdots                  \\
+
 
−
                                                \end{cases}
+
<math>  F(n) \; = \; \begin{cases} 1                    & \mbox{om} \quad n = 1                                    \\
−
                            </math>
+
                                  1                    & \mbox{om} \quad n = 2 \qquad\qquad n \quad\mbox{heltal}  \\
 +
                                  F(n-1) \; + \; F(n-2) & \mbox{om} \quad n = 3,\,4,\,5,\,\cdots                  \\
 +
                    \end{cases}
 +
</math>
 
:
 
:
 
</div>
 
</div>
Rad 292: Rad 272:
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Egenskaper</span></b> ==
+
== <b><span style="color:#931136">Fibonaccifunktionens egenskaper</span></b> ==
  
 
<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
 
<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
−
Egenskapen att vara en <strong><span style="color:red">diskret</span></strong> hade vi redan konstaterat för Fibonaccis funktion. Detta pga dess definitionsmängd var heltal: antalet kaninpar.
+
Egenskapen att vara en <b><span style="color:red">diskret</span></b> hade vi redan konstaterat för Fibonaccis funktion. Detta pga dess definitionsmängd var heltal: antalet kaninpar.
  
−
En annan intressant egenskap är att Fibonaccis funktion är <strong><span style="color:red">rekursiv</span></strong>, vilket betyder att den i sin definition anropar sig själv, genom att ett värde beräknas med hjälp av föregående värden. För att se detta titta på raden i definitionen:
+
En annan intressant egenskap är att Fibonaccis funktion är <b><span style="color:red">rekursiv</span></b>, vilket betyder att den i sin definition anropar sig själv, genom att ett värde beräknas med hjälp av föregående värden. För att se detta titta på raden i definitionen:
  
 
:::::<math> F(n) \; = \; F(n-1) \; + \; F(n-2) </math>
 
:::::<math> F(n) \; = \; F(n-1) \; + \; F(n-2) </math>
  
−
I en vanlig funktion står <math> F(n) \, </math> till vänster om likhetstecknet och den oberoende variabeln <math> n \, </math> till höger. Men här står <math> \, F(n) \, </math> på båda sidor likhetstecknet, fast för olika månader (= argument). För att beräkna ett fibonaccital måste man känna till de två föregående. Men eftersom vi har de två första <math> F(1) = 1 \, </math> och <math> F(2) = 1 \, </math>, s.k. <strong><span style="color:red">startvärden</span></strong>, kan vi beräkna alla andra successivt dvs rekursivt utgående från dessa startvärden. Att <math> F(n) \, </math> anropas på båda sidor likhetstecknet är just den rekursiva egenskapen. Därför kallas Fibonaccis formel även <strong><span style="color:red">Fibonaccis rekursionsformel</span></strong>.
+
I en vanlig funktion står <math> F(n) \, </math> till vänster om likhetstecknet och den oberoende variabeln <math> n \, </math> till höger. Men här står <math> \, F(n) \, </math> på båda sidor likhetstecknet, fast för olika månader (= argument). För att beräkna ett fibonaccital måste man känna till de två föregående. Men eftersom vi har de två första <math> F(1) = 1 \, </math> och <math> F(2) = 1 \, </math>, s.k. <b><span style="color:red">startvärden</span></b>, kan vi beräkna alla andra successivt dvs rekursivt utgående från dessa startvärden. Att <math> F(n) \, </math> anropas på båda sidor likhetstecknet är just den rekursiva egenskapen. Därav namnet Fibonaccis rekursionsformel.
  
−
Fibonaccis funktion har många intressanta kopplingar till andra delar inom matematiken. En av dem är sambandet mellan fibonaccitalen och det s.k. [http://sv.wikipedia.org/wiki/Gyllene_snittet <strong><span style="color:blue">gyllene snittet</span></strong>] se [[1.5_Övningar_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#.C3.96vning_6|<strong><span style="color:blue">övning 6</span></strong>]]. En annan är följande vacker formel som upptäcktes först 1718 <math>-</math> mer än 500 år senare än själva fibonaccitalen <math>-</math> och som ger oss möjligheten att direkt beräkna vilket fibonaccital som helst utan att känna till något föregående fibonaccital:
+
Fibonaccis funktion har många intressanta kopplingar till andra delar inom matematiken. En av dem är sambandet mellan fibonaccitalen och det s.k. [http://sv.wikipedia.org/wiki/Gyllene_snittet <b><span style="color:blue">gyllene snittet</span></b>] se [[1.5_Övningar_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#.C3.96vning_6|<b><span style="color:blue">övning 6</span></b>]]. En annan är följande vacker formel som upptäcktes först 1718 <math>-</math> mer än 500 år senare än själva fibonaccitalen <math>-</math> och som ger oss möjligheten att direkt beräkna vilket fibonaccital som helst utan att känna till något föregående fibonaccital:
  
−
:::::<math> F(n) = {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1  </math>
 
  
−
Till skillnad från Fibonaccis rekursionsformel kallas denna formel för <strong><span style="color:red">explicit</span></strong>. I [[1.5_Övningar_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#.C3.96vning_11|<strong><span style="color:blue">övning 11</span></strong>]] får du till uppgift att bevisa den, vilket görs genom att visa att den uppfyller rekursionsformeln. Den är i själva verket lösningen till rekursionsformeln när denna uppfattas och behandlas som en [http://sv.wikipedia.org/wiki/Differensekvation <strong><span style="color:blue">differensekvation</span></strong>] <math>-</math> något som studeras inom Diskret matematik.
+
<div class="border-divblue">
 +
====== <b><span style="color:#931136">Explicit formel för fibonaccitalen</span></b> ======
 +
 
 +
<math> \displaystyle F(n) \; = \; {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 </math>
 +
:
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
I [[1.5_Övningar_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#.C3.96vning_11|<b><span style="color:blue">övning 11</span></b>]] får du till uppgift att bevisa den, vilket görs genom att visa att den uppfyller rekursionsformeln. Den är i själva verket lösningen till rekursionsformeln när denna uppfattas och behandlas som en [http://sv.wikipedia.org/wiki/Differensekvation <b><span style="color:blue">differensekvation</span></b>] <math>-</math> något som studeras inom Diskret matematik.
 
</div> <!-- tolv6 -->
 
</div> <!-- tolv6 -->
 +
 +
 +
  
  
Rad 332: Rad 322:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 6 maj 2019 kl. 18.35

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt  >>      


I matematiken betyder diskret åtskild, avgränsad eller separerad och är motsatsen till kontinuerlig.

Heltalen bildar en diskret mängd därför att de är avgränsade från sina "grannar" på tallinjen med ett helsteg. Det finns inget heltal mellan \( \, 2 \, \) och \( \, 3 \, \) och inte heller mellan de andra heltalen.

"Antal" är alltid heltal och därmed diskret. Därför är t.ex. "antal ägg" diskret: Det finns inga halva eller bråkdel ägg.

Exempel 1 Diskret funktion

En torghandlare säljer ägg för \( \, 3 \) kr per styck.

\( {\color{Red} 1} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} 1} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\( {\color{Red} 2} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} 2} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\( {\color{Red} 3} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} 3} \cdot 3 \;{\rm kr,} \qquad \cdots \)

\( {\color{Red} n} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} n} \cdot 3 \;{\rm kr} \) eller \( 3\;{\color{Red} n} \;{\rm kr.} \)

Därför är prisfunktionen:

\( y = 3\;{\color{Red} n} \, , \quad {\rm där } \quad {\color{Red} n}\,= {\rm {\color{Red} {heltal}}\,.} \)
         Diskret prisfunktion agg.jpg         Grafen till prisfunktionen visar priset \( y \, \) i kr (vertikal axel)

        som en funktion av antalet \( {\color{Red} n} \, \) (horisontell axel).


        Grafen till en diskret funktion ritas med separerade

        punkter och inte med en genomdragen linje.


        För att rita en diskret funktions graf måste man

        lyfta pennan.

\( \quad\; y \, \) är priset i kr. \( \quad\; \color{Red} n \, \) är antalet ägg.

\( y = 3\;{\color{Red} n} \) är en
diskret funktion
   därför att dess definitionsmängd är en
diskret mängd
   nämligen alla heltal \( {\color{Red} n} \geq 0\, \).


I matematiken betyder kontinuerlig sammanhängande och är motsatsen till diskret.

De rationella och reella talen är kontinuerliga mängder därför att mellan två sådana tal - hur nära varandra de än mår vara - finns alltid oändligt många andra tal.

En mängd vätska t.ex. är kontinuerlig: Det finns halva eller alla möjliga bråkdelar av mängden.

Exempel 2 Kontinuerlig funktion

En annan torghandlare säljer färskpressad

granatäppeljuice för \( \, 30 \) kr per liter.

Av samma anledning som i Exempel 1 är

prisfunktionen här:

\( y = 30\;{\color{Red} x} \, , \quad {\rm där } \quad {\color{Red} x}\,= {\rm {\color{Red} {reellt\;tal}}\,.} \)

\( \quad\; y \, \) är priset i kr. \( \quad\;\;\; \color{Red} x \, \) är mängden i liter.

\( y = 30\;{\color{Red} x} \) är en
kontinuerlig funktion
         Kontinuerlig prisfunktion ris.jpg         Grafen till Funktionen \( y = 30\;{\color{Red} x} \) visar priset \( y \, \)

        som en funktion av mängden \( {\color{Red} x} \) (i liter).


        Grafen till en kontinuerlig funktion ritas med en

        genomdragen linje och inte med separerade punkter.


        En kontinuerlig funktions graf kan man rita

        utan att lyfta pennan.

därför att dess definitionsmängd är en
kontinuerlig mängd
    nämligen alla reella tal \( {\color{Red} x} \geq 0\, \).


Kontinuerliga funktioner används ofta som matematiska modeller för att beskriva verkligheten. Men i vissa fall föredrar man diskreta modeller som studeras i en speciell disciplin av matematiken som heter Diskret matematik. Mängdlära, grafteori, kombinatorik och talteori som tas upp i Matte 5 är typiska ämnen i Diskret matematik.

Ett exempel på problem som med fördel kan modelleras med diskreta funktioner är följande uppgift som den italienske matematikern Leonardo Pisano Fibonacci år 1202 formulerade i sin bok Liber abaci (Boken om räknekonsten). Fibonaccis problem handlar om kaniners fortplantning:


Exempel 3 Fibonaccis problem

Ett kaninpar föder från den andra månaden av sin tillvaro

ett nytt par varje månad. Samma gäller för de nya paren.

Hur många par kommer det att finnas om ett år?

De två första månaderna finns det \( \, {\color{Red} 1} \, \) kaninpar. De föder sitt första barnpar först efter 2 månader dvs i månad nr 3, varför det finns \( \, {\color{Red} 2} \, \) kaninpar i månad 3. I månad 4 föder det första paret sitt andra barnpar, varför det finns \( \, {\color{Red} 3} \, \) par i månad 4. I månad 5 föder det första paret sitt tredje barnpar, men även deras första barnpar föder ett nytt par, eftersom det har gått 2 månader sedan deras födelse. Därför finns det \( \, {\color{Red} 5} \, \) par i månad 5 osv. \( \cdots \).

Praktiskt taget blir det allt svårare att hålla reda på kaninpopulationen när tiden går. Antalet kaninpar för varje månad bildar en s.k. talföljd som kallas för:

Fibonaccitalen \( \qquad {\color{Red} 1}, \; {\color{Red} 1}, \; {\color{Red} 2}, \; {\color{Red} 3}, \; {\color{Red} 5}, \; {\color{Red} 8}, \; {\color{Red} {13}}, \; {\color{Red} {21}}, \; \ldots \quad \)

Undersöker man denna talföljd noga kan man upptäcka följande mönster:

Mönster för fibonaccitalen:

Summan av två på varandra följande fibonaccital ger nästa fibonaccital.

Vi kan använda detta mönster för att bygga en algoritm för beräkning av fibonaccitalen.

En algoritm är ett specificerat tillvägagångssätt för att lösa ett problem. Läs här mer om algoritmer.

Ännu smartare är det att anlita digitala verktyg för att låta datorn göra jobbet. T.ex. lämpar sig kalkylprogrammet Excel utmärkt för en sådan beräkning.


Algoritm för fibonaccitalen i Excel

Följande algoritm beskriver hur man kan använda Excel för att låta datorn beräkna fibonaccitalen:

Klicka här för att följa algoritmen.
Algoritm i Excel

I övning 6 kommer du att behöva använda denna algoritm för att låta datorn beräkna de första \( \, 24 \, \) fibonaccitalen.

Här är de \( \, 12 \, \) första fibonaccitalen beräknade:

Antal månader Antal kaninpar
\( {\color{Red} 1}\, \) \( 1\, \)
\( {\color{Red} 2}\, \) \( 1\, \)
\( {\color{Red} 3}\, \) \( 2\, \)
\( {\color{Red} 4}\, \) \( 3\, \)
\( {\color{Red} 5}\, \) \( 5\, \)
\( {\color{Red} 6}\, \) \( 8\, \)
\( {\color{Red} 7}\, \) \( 13\, \)
\( {\color{Red} 8}\, \) \( 21\, \)
\( {\color{Red} 9}\, \) \( 34\, \)
\( {\color{Red} {10}}\, \) \( 55\, \)
\( {\color{Red} {11}}\, \) \( 89\, \)
\( {\color{Red} {12}}\, \) \( 144\, \)
          Med denna värdetabell kan vi rita grafen

          till höger som illustrerar fibonaccitalens

          snabba tillväxt. Den horisontella axeln

          visar antal månader och den vertikala

          antal kaninpar.

         

         

         

         

         

          Fibonaccitalen bildar en diskret funktion

          därför att dess definitionsmängd är heltal,

          bestående av månaderna \( \, {\color{Red} 1}\)-\({\color{Red} {12}}\).

          Fibonacci 465p.jpg

Som man ser ökar kaninpopulationen ganska fort, så att vi nu äntligen kan besvara den inledande frågan:

Det kommer att finnas \( \, 144 \, \) kaninpar om ett år.


Fibonaccis funktion

När vi beräknade fibonaccitalen konstaterade vi redan att de bildar en funktion. Vi beräknade värdetabellen och ritade även grafen till denna funktion. Men vad är dess formel? För att kunna formulera formeln inför vi följande beteckningar:

\[ n \, = \, {\rm Antalet\;månader} \]
\[ F(n)\, = \, {\rm Antalet\;kaninpar\;i\;månaden} \, n \]

De första två fibonaccitalen tar vi från värdetabellen ovan. Det är \( \, 1 \, \) och \( \, 1 \, \). Resten \(-\) Fibonaccis funktion som följer \(-\) är en översättning till matematiskt språk av det mönster vi upptäckte tidigare och lade till grund för beräkningsalgoritmen:


Fibonaccis rekursionsformel

\( F(n) \; = \; \begin{cases} 1 & \mbox{om} \quad n = 1 \\ 1 & \mbox{om} \quad n = 2 \qquad\qquad n \quad\mbox{heltal} \\ F(n-1) \; + \; F(n-2) & \mbox{om} \quad n = 3,\,4,\,5,\,\cdots \\ \end{cases} \)


Så här brukar man skriva för att för en och samma funktion definiera olika uttryck i olika delar av dess definitionsmängd. Kanske blir det enklare att förstå definitionen ovan om vi skriver den på följande förenklat sätt:

\[\begin{array}{rcl} F(1) & = & 1 \\ F(2) & = & 1 \\ F(n) & = & F(n-1) \; + \; F(n-2) \qquad \mbox{om} \quad n = 3,\,4,\,5,\,\cdots \end{array}\]

De första raderna i definitionen ovan säger att de första två fibonaccitalen är \( \, 1 \, \) och \( \, 1 \). Den andra raden säger att det \( \, n\)-te fibonaccitalet är summan av de två föregående, vilket är mönstret vi upptäckte tidigare.


Fibonaccifunktionens egenskaper

Egenskapen att vara en diskret hade vi redan konstaterat för Fibonaccis funktion. Detta pga dess definitionsmängd var heltal: antalet kaninpar.

En annan intressant egenskap är att Fibonaccis funktion är rekursiv, vilket betyder att den i sin definition anropar sig själv, genom att ett värde beräknas med hjälp av föregående värden. För att se detta titta på raden i definitionen:

\[ F(n) \; = \; F(n-1) \; + \; F(n-2) \]

I en vanlig funktion står \( F(n) \, \) till vänster om likhetstecknet och den oberoende variabeln \( n \, \) till höger. Men här står \( \, F(n) \, \) på båda sidor likhetstecknet, fast för olika månader (= argument). För att beräkna ett fibonaccital måste man känna till de två föregående. Men eftersom vi har de två första \( F(1) = 1 \, \) och \( F(2) = 1 \, \), s.k. startvärden, kan vi beräkna alla andra successivt dvs rekursivt utgående från dessa startvärden. Att \( F(n) \, \) anropas på båda sidor likhetstecknet är just den rekursiva egenskapen. Därav namnet Fibonaccis rekursionsformel.

Fibonaccis funktion har många intressanta kopplingar till andra delar inom matematiken. En av dem är sambandet mellan fibonaccitalen och det s.k. gyllene snittet se övning 6. En annan är följande vacker formel som upptäcktes först 1718 \(-\) mer än 500 år senare än själva fibonaccitalen \(-\) och som ger oss möjligheten att direkt beräkna vilket fibonaccital som helst utan att känna till något föregående fibonaccital:


Explicit formel för fibonaccitalen

\( \displaystyle F(n) \; = \; {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 \)


I övning 11 får du till uppgift att bevisa den, vilket görs genom att visa att den uppfyller rekursionsformeln. Den är i själva verket lösningen till rekursionsformeln när denna uppfattas och behandlas som en differensekvation \(-\) något som studeras inom Diskret matematik.



Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=SKRjz2aTqCY

http://www.youtube.com/watch?v=cvnG0YWPLjQ

http://www.sigma8.se/dokument/TabyFriskola_Amnesrapport_OK_2012.pdf

http://www03.edu.fi/svenska/oppimateriaalit/arkimatematiikkaa/fibona.html

http://paranormal.se/topic/det_gyllene_snittet.html

http://www.math.fau.edu/MathCircle_at_FAU/MC130713Problems.pdf





Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner&oldid=36595"