Skillnad mellan versioner av "2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Övning 1)
m
 
(172 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.1 Introduktion till derivata| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 +
{{Not selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet|Övningar]]}}
 
{{Selected tab|[[2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[2.3 Gränsvärde|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
−
__NOTOC__
 
−
== G-övningar: 1-4 ==
 
  
−
== Övning 1 ==
+
<big><big><big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-6</span> <math> \qquad\qquad\qquad\quad </math> <small> Anta alltid<span style="color:black">:</span> <math> \; \quad y \; = \; f(x)\, </math> </small> </big></big></big>
−
<div class="ovning">
+
−
Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten för följande funktioner i de angivna intervallen:
+
  
−
a) <math> y = 5\,x + 23 </math> i intervallet <math> 2 \leq x \,\leq\, 3 </math>
 
  
−
b) <math> e\,^3 \over e\,^4 </math>
+
== <b>Övning 1</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Marie startar kl <math> 10.30 \, </math> med sin bil från Stockholm mot Göteborg. Hon kommer fram där kl <math> 15.15 </math>.
  
−
c) <math> \left(e\,^{\ln\,6}\right)^2 </math>
+
Avståndet mellan Stockholm och Göteborg är <math> \, 478 </math> km.
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.8 Svar 1a|Lösning 1a|1.8 Lösning 1a|Svar 1b|1.8 Svar 1b|Lösning 1b|1.8 Lösning 1b|Svar 1c|1.8 Svar 1c|Lösning 1c|1.8 Lösning 1c}}
+
Definiera <math> \, x \, </math> som tiden i timmar och <math> \, y \, </math> som sträckan i km. Betrakta <math> y\, </math> som en funkion av <math> x\, </math>.
−
Alternativt:
+
−
:<small><small>[[1.8 Svar 1a|Svar 1a]] | [[1.8 Lösning 1a|Lösning 1a]] | [[1.8 Svar 1b|Svar 1b]] | [[1.8 Lösning 1b|Lösning 1b]] | [[1.8 Svar 1c|Svar 1c]] | [[1.8 Lösning 1c|Lösning 1c]]</small></small>
+
  
−
== Övning 2 ==
+
Vad är <math> \Delta x\, </math> och <math> \Delta y\, </math> ?
−
<div class="ovning">
+
−
Beräkna följande funktioners värde för <math> x = 2\, </math>. Ange svaret med 4 decimaler.
+
  
−
a) <math> f(x) \; = \; e\,^{-2\,x} </math>
+
Vad är Maries genomsnittliga hastighet i hela km/h?
  
 +
Uttryck ditt svar med hjälp av <math> \, \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \, </math>.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 1|2.2 Svar 1|Lösning 1|2.2 Lösning 1}}</div>
  
−
b) <math> f(x) \; = \; 3\,e\,^{0,1\,x} </math>
 
  
 +
== <b>Övning 2</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten för följande funktioner i de angivna intervallen.
  
−
c) <math> f(x) \; = \; {1 \over 2}\,e\,^{1,5\,x}  </math>
+
Svara med 6 decimaler.
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.8 Svar 2a|Svar 2b|1.8 Svar 2b|Svar 2c|1.8 Svar 2c}}
+
a) &nbsp; <math> y = 5\,x + 23 </math> i intervallet <math> 2 \leq x \,\leq\, 3 </math>
−
Alternativt:
+
−
:<small><small>[[1.8 Svar 2a|Svar 2a]] | [[1.8 Svar 2b|Svar 2b]] | [[1.8 Svar 2c|Svar 2c]]</small></small>
+
  
−
== Övning 3 ==
+
b) &nbsp; <math> y = -3\,x^2 + 2\,x - 12 </math> i intervallet <math> -2 \leq x \,\leq\, 2 </math>
−
<div class="ovning">
+
−
Skriv följande likheter i logaritmform:
+
  
−
a) <math> e\,^0 = 1\, </math>
+
c) &nbsp; <math> y = e\,^x </math> i intervallet <math> -1 \leq x \,\leq\, 1 </math>
  
 +
d) &nbsp; <math> y = e\,^x </math> i intervallet <math> -0,1 \leq x \,\leq\, 0,1 </math>
  
−
b) <math> e\,^x = 100\, </math>
+
e) &nbsp; <math> y = e\,^x </math> i intervallet <math> -0,01 \leq x \,\leq\, 0,01 </math>
  
 +
f) &nbsp; <math> y = e\,^x </math> i intervallet <math> -0,001 \leq x \,\leq\, 0,001 </math>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|2.2 Svar 2a|Lösning 2a|2.2 Lösning 2a|Svar 2b|2.2 Svar 2b|Lösning 2b|2.2 Lösning 2b|Svar 2c|2.2 Svar 2c|Lösning 2c|2.2 Lösning 2c|Svar 2d|2.2 Svar 2d|Lösning 2d|2.2 Lösning 2d|Svar 2e|2.2 Svar 2e|Lösning 2e|2.2 Lösning 2e|Svar 2f|2.2 Svar 2f|Lösning 2f|2.2 Lösning 2f}}</div>
  
−
c) <math> e\,^7 = x\, </math>
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.8 Svar 3a|Lösning 3a|1.8 Lösning 3a|Svar 3b|1.8 Svar 3b|Lösning 3b|1.8 Lösning 3b|Svar 3c|1.8 Svar 3c|Lösning 3c|1.8 Lösning 3c}}
+
== <b>Övning 3</b> ==
−
Alternativt:
+
<div class="ovnE">
−
:<small><small>[[1.8 Svar 3a|Svar 3a]] | [[1.8 Lösning 3a|Lösning 3a]] | [[1.8 Svar 3b|Svar 3b]] | [[1.8 Lösning 3b|Lösning 3b]] | [[1.8 Svar 3c|Svar 3c]] | [[1.8 Lösning 3c|Lösning 3c]]</small></small>
+
Ett äpple faller från ett träd. Rörelsen beskrivs av funktionen
 +
 
 +
:::::::<math> y \, = \, 5,1\;x^2 </math>
 +
där <math> \;\quad x \, = \, {\rm Tiden\;i\;sekunder} </math>
 +
 
 +
:::<math> y \, = \, {\rm Sträckan\;som\;äpplet\;faller\;i\;meter} </math>
 +
 
 +
Beräkna äpplets genomsnittliga hastighet i tidsintervallet mellan 0,2 och 0,3 sekunder.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 3|2.2 Svar 3|Lösning 3|2.2 Lösning 3}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 4</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 ca. enligt modellen
 +
 
 +
:::::::<math> y \, = \, 0,04\;x \, + \, 5 </math>
 +
 
 +
där <math> \;\quad x \, = \, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900} </math>
 +
 
 +
:::<math> y \, = \, {\rm Sveriges\;befolkning\;i\;miljoner} </math>
 +
 
 +
a) &nbsp;&nbsp; Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under hela seklet.
 +
 
 +
b) &nbsp;&nbsp; Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under seklets första decennium.
 +
 
 +
c) &nbsp;&nbsp; Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under seklets sista decennium.
 +
 
 +
d) &nbsp;&nbsp; Är följande påstående sant eller falskt?
 +
 
 +
:''"Anledningen till att a)-c) ger samma resultat är att modellen som beskriver Sveriges befolkningsutveckling, är en linjär funktion.''
 +
 
 +
:''Linjära funktioner har samma genomsnittliga förändringshastighet i alla intervall på x-axeln."''
 +
 
 +
:Motivera ditt svar.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 4a|2.2 Svar 4a|Lösning 4a|2.2 Lösning 4a|Svar 4b|2.2 Svar 4b|Lösning 4b|2.2 Lösning 4b|Svar 4c|2.2 Svar 4c|Lösning 4c|2.2 Lösning 4c|Svar 4d|2.2 Svar 4d|Lösning 4d|2.2 Lösning 4d}}</div>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 5-6</span></Big></Big></Big>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 5</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
I genomgången, Exempel 3, betraktade vi följande problem:
 +
 
 +
En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:
 +
 
 +
:::<math> y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 </math>
 +
där <math> \;\quad x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} </math>
 +
 
 +
:::<math> y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} </math>
 +
 
 +
Läs igenom lösningarna '''a)''' - '''d)''' i [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_3_Oljetank|<strong><span style="color:blue">Exempel 3</span></strong>]] och besvara följande fråga:
 +
 
 +
'''e)''' &nbsp;&nbsp; Bestäm <math> a\, </math> i intervallet <math> 0 \leq x \,\leq\, a </math> där oljans genomsnittliga utströmningshastighet är <math> - 260\, </math>.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 5e|2.2 Svar 5e|Lösning 5e|2.2 Lösning 5e}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 6</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
Följande utdrag ur [https://www.skatteverket.se/download/18.4a47257e143e26725ae1435/1391609286021/manadslon_tabell29.pdf <strong><span style="color:blue">Skatteverkets skattetabell</span></strong>] för 2014 (kolumn 2) visar hur skatten ökar med månadslönen:            
 +
 
 +
::{| class="wikitable"
 +
|-
 +
! <math> x\, </math> || <math> y\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 22\,801-23\,000 </math> ||align=center| <math> 5\,302 </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 23\,001-23\,200 </math> ||align=center| <math> 5\,365 </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 23\,201-23\,400 </math> ||align=center| <math> 5\,427 </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 23\,401-23\,600 </math> ||align=center| <math> 5\,490 </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 23\,601-23\,800 </math> ||align=center| <math> 5\,553 </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 23\,801-24\,000 </math> ||align=center| <math> 5\,616 </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 24\,001-24\,200 </math> ||align=center| <math> 5\,681 </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 24\,201-24\,400 </math> ||align=center| <math> 5\,744 </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 24\,401-24\,600 </math> ||align=center| <math> 5\,807 </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 24\,601-24\,800 </math> ||align=center| <math> 5\,870 </math>
 +
|}
 +
där <math> \; \quad x \, = \, {\rm Månadslönen\;i\;kr} </math>
 +
 
 +
:::<math> y \, = \, {\rm Skatten\;i\;kr} </math>
  
 +
Åsa får en lönehöjning. Hennes månadslön ökar från <math> 23\,150 </math> kr till <math> 24\,700 </math>.
  
−
== Övning 4 ==
+
a) &nbsp;&nbsp; Bestäm <math> \Delta x\, </math> för Åsa.  
−
<div class="ovning">
+
−
Lös följande ekvationerna. Ange svaret med 6 decimaler:
+
  
−
a) <math> e\,^x = 10\, </math>
+
b) &nbsp;&nbsp; Bestäm <math> \Delta y\, </math> för Åsa.
  
 +
c) &nbsp;&nbsp; Ange Åsas marginalskatt i procent.
  
−
b) <math> \ln\,x = 2 </math>
+
Dvs beräkna <math> \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} </math> för att få reda på skatteökningen per kr lönehöjning dvs hur mycket mer skatt Åsa måste betala för 1 kr mer i lön.
  
 +
Avrunda svaret till en decimal.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 6a|2.2 Svar 6a|Lösning 6a|2.2 Lösning 6a|Svar 6b|2.2 Svar 6b|Lösning 6b|2.2 Lösning 6b|Svar 6c|2.2 Svar 6c|Lösning 6c|2.2 Lösning 6c}}</div>
  
−
c) <math> 4\,e\,^{3\,x} = 145\, </math>
 
  
  
−
d) <math> \ln\,2\,x = \ln\,10 - \ln\,5 </math>
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.8 Svar 4a|Lösning 4a|1.8 Lösning 4a|Svar 4b|1.8 Svar 4b|Lösning 4b|1.8 Lösning 4b|Svar 4c|1.8 Svar 4c|Lösning 4c|1.8 Lösning 4c|Svar 4d|1.8 Svar 4d|Lösning 4d|1.8 Lösning 4d}}
+
<Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 7-8</span></Big></Big></Big>
−
Alternativt:
+
−
:<small><small>[[1.8 Svar 4a|Svar 4a]] | [[1.8 Lösning 4a|Lösning 4a]] | [[1.8 Svar 4b|Svar 4b]] | [[1.8 Lösning 4b|Lösning 4b]] | [[1.8 Svar 4c|Svar 4c]] | [[1.8 Lösning 4c|Lösning 4c]] | [[1.8 Svar 4d|Svar 4d]] | [[1.8 Lösning 4d|Lösning 4d]]</small></small>
+
  
  
−
== VG-övningar: 5-6 ==
+
== <b>Övning 7</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten till funktionen
  
−
== Övning 5 ==
+
:::::::<math> y \, = \, f\,(x) \, = \, x^2 </math>
−
<div class="ovning">
+
  
−
a) Lös följande ekvation exakt:
+
i intervallet <math> \; a \,\leq\, x \,\leq\, a + h </math>.
  
−
:<math> \ln\,x \; = \; 1 + \ln\,(x-1) </math>  
+
Förenkla uttrycket i <math> a\, </math> och <math> h\, </math> så långt som möjligt.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 7|2.2 Svar 7|Lösning 7|2.2 Lösning 7}}</div>
  
  
−
b) Lös följande ekvation med 4 decimalers noggrannhet:
+
== <b>Övning 8</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Följande polynomfunktion är given:
  
−
:<math> e\,^{x+1} \; = \; 4 \cdot e\,^{2\,x} </math>
+
:<math> y \,=\, f\,(x) \,=\, 2\,x^2 - 5\,x + 32 </math>
  
 +
a) &nbsp;&nbsp; Ställ upp ändringskvoten till denna funktion i intervallet mellan <math> x\, </math> och <math> x + h\, </math>. Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
  
−
c) Lös följande ekvation exakt:
+
b) &nbsp;&nbsp; Låt i uttrycket från a) gå <math> h\, </math> mot 0 så att du får ett uttryck endast i <math> x\, </math>. Ange detta uttryck.
  
−
:<math> \ln\,(x+1) + \ln\,(x-1) = \ln 3 - \ln 4 </math>
+
c) &nbsp;&nbsp; Ta uttrycket från b) och bestäm dess värde för <math> x = 2\, </math>. Tolka ditt resultat.
  
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 8a|2.2 Svar 8a|Lösning 8a|2.2 Lösning 8a|Svar 8b|2.2 Svar 8b|Lösning 8b|2.2 Lösning 8b|Svar 8c|2.2 Svar 8c|Lösning 8c|2.2 Lösning 8c}}</div>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.8 Svar 5a|Lösning 5a|1.8 Lösning 5a|Svar 5b|1.8 Svar 5b|Lösning 5b|1.8 Lösning 5b|Svar 5c|1.8 Svar 5c|Lösning 5c|1.8 Lösning 5c}}
 
−
Alternativt:
 
−
:<small><small>[[1.8 Svar 5a|Svar 5a]] | [[1.8 Lösning 5a|Lösning 5a]] | [[1.8 Svar 5b|Svar 5b]] | [[1.8 Lösning 5b|Lösning 5b]] | [[1.8 Svar 5c|Svar 5c]] | [[1.8 Lösning 5c|Lösning 5c]]</small></small>
 
  
−
== Övning 6 ==
+
<!--
−
<div class="ovning">
+
<Big><Big><Big><span style="color:blue"><u>Facit</u></span></Big></Big></Big>
−
Bakterier i en liter mjölk förökar sig enligt modellen            
+
  
−
:::<math> B \; = \; 50\cdot e\,^t </math>
+
== 1a ==
 +
<math> 101\, </math>
  
−
där B är antalet bakterier vid tiden och t är tiden i timmar.
+
== 2a ==
 +
<math> 5\, </math>
  
−
Använd modellen för att besvara följande frågor:
+
== 2b ==
 +
<math> 2\, </math>
  
−
a) Hur många bakterier finns det i mjölken i början?
+
== 2c ==
 +
<math> 1,175201\, </math>
  
−
b) Hur många bakterier finns det i mjölken efter 8 timmar?
+
== 2d ==
 +
<math> 1,001668\, </math>
  
−
c) Efter hur många timmar har antalet bakterier nått 2000 då den anses blivit sur?
+
== 2e ==
 +
<math> 1,000017\, </math>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.8 Svar 6a|Lösning 6a|1.8 Lösning 6a|Svar 6b|1.8 Svar 6b|Lösning 6b|1.8 Lösning 6b|Svar 6c|1.8 Svar 6c|Lösning 6c|1.8 Lösning 6c}}
+
== 2f ==
−
Alternativt:
+
<math> 1,000000\, </math>
−
:<small><small>[[1.8 Svar 6a|Svar 6a]] | [[1.8 Lösning 6a|Lösning 6a]] | [[1.8 Svar 6b|Svar 6b]] | [[1.8 Lösning 6b|Lösning 6b]] | [[1.8 Svar 6c|Svar 6c]] | [[1.8 Lösning 6c|Lösning 6c]]</small></small>
+
  
 +
== 3 ==
 +
<math> 2,55\, </math> meter per sekund.
  
−
== MVG-övningar: 7-8 ==
+
== 4a ==
 +
<math> 0,04\, </math>
  
−
== Övning 7 ==
+
== 4b ==
−
<div class="ovning">
+
<math> 0,04\, </math>
−
Temperaturen T i en glassmet sjunker enligt modellen
+
  
−
:<math> T \; = \; 50\cdot e\,^{-0,034 \,t} - 35 </math>
+
== 4c ==
−
+
<math> 0,04\,</math>
−
där t är tiden i minuter efter att smeten ställs i frysen.
+
  
−
a) Vilken temperatur hade smeten när den ställdes i frysen?
+
== 4d ==
 +
<big>Sant</big>
  
−
b) Hur lång tid tar det tills smeten frusit och blivit glass.
+
== 5e ==
 +
<math> a = 15\, </math>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 7a|1.8 Svar 7a|Lösning 7a|1.8 Lösning 7a|Svar 7b|1.8 Svar 7b|Lösning 7b|1.8 Lösning 7b}}
+
== 6a ==
−
Alternativt:
+
<math> \Delta x = 1550\, </math>
−
:<small><small>[[1.8 Svar 7a|Svar 7a]] | [[1.8 Lösning 7a|Lösning 7a]] | [[1.8 Svar 7b|Svar 7b]] | [[1.8 Lösning 7b|Lösning 7b]]</small></small>
+
  
 +
== 6b ==
 +
<math> \Delta y = 508\, </math>
  
−
== Övning 8 ==
+
== 6c ==
−
<div class="ovning">
+
<math> {\Delta y \over \Delta x} = 0,3277 </math>
−
Värdet av en företagsbil minskar enligt följande modell:
+
  
−
:::<math> y \; = \; 225\,000\;e\,^{-k\,x} </math>
+
<big>Marginalskatt</big> <math>= 32,8\,%</math>
  
−
där y är värdet i kr, x bilens ålder i år och k en konstant.
+
== 7 ==
 +
<math> 2\,a + h </math>
 +
-->
  
−
a) Bestäm k med 6 decimalers noggrannhet så att värdet är 100 000 kr efter 5 år.
 
  
−
Använd resultatet från a) för att besvara följande frågor:
 
  
−
b) Hur länge tar det tills bilens värde har sjunkit till 10% av nyvärdet då den anses kunna avskrivas.
 
  
−
c) Hur länge tar det tills bilens värde är 0?
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 8a|1.8 Svar 8a|Lösning 8a|1.8 Lösning 8a|Svar 8b|1.8 Svar 8b|Lösning 8b|1.8 Lösning 8b|Svar 8c|1.8 Svar 8c|Lösning 8c|1.8 Lösning 8c}}
 
−
Alternativt:
 
−
:<small><small>[[1.8 Svar 8a|Svar 8a]] | [[1.8 Lösning 8a|Lösning 8a]] | [[1.8 Svar 8b|Svar 8b]] | [[1.8 Lösning 8b|Lösning 8b]] | [[1.8 Svar 8c|Svar 8c]] | [[1.8 Lösning 8c|Lösning 8c]]</small></small>
 
  
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 13 maj 2019 kl. 11.07

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


E-övningar: 1-6 \( \qquad\qquad\qquad\quad \) Anta alltid: \( \; \quad y \; = \; f(x)\, \)


Övning 1

Marie startar kl \( 10.30 \, \) med sin bil från Stockholm mot Göteborg. Hon kommer fram där kl \( 15.15 \).

Avståndet mellan Stockholm och Göteborg är \( \, 478 \) km.

Definiera \( \, x \, \) som tiden i timmar och \( \, y \, \) som sträckan i km. Betrakta \( y\, \) som en funkion av \( x\, \).

Vad är \( \Delta x\, \) och \( \Delta y\, \) ?

Vad är Maries genomsnittliga hastighet i hela km/h?

Uttryck ditt svar med hjälp av \( \, \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \, \).

Svar 1
2.2 Svar 1
Lösning 1
2.2 Lösning 1


Övning 2

Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten för följande funktioner i de angivna intervallen.

Svara med 6 decimaler.

a)   \( y = 5\,x + 23 \) i intervallet \( 2 \leq x \,\leq\, 3 \)

b)   \( y = -3\,x^2 + 2\,x - 12 \) i intervallet \( -2 \leq x \,\leq\, 2 \)

c)   \( y = e\,^x \) i intervallet \( -1 \leq x \,\leq\, 1 \)

d)   \( y = e\,^x \) i intervallet \( -0,1 \leq x \,\leq\, 0,1 \)

e)   \( y = e\,^x \) i intervallet \( -0,01 \leq x \,\leq\, 0,01 \)

f)   \( y = e\,^x \) i intervallet \( -0,001 \leq x \,\leq\, 0,001 \)

Svar 2a
2.2 Svar 2a
Lösning 2a
2.2 Lösning 2a
Svar 2b
2.2 Svar 2b
Lösning 2b
2.2 Lösning 2b
Svar 2c
2.2 Svar 2c
Lösning 2c
2.2 Lösning 2c
Svar 2d
2.2 Svar 2d
Lösning 2d
2.2 Lösning 2d
Svar 2e
2.2 Svar 2e
Lösning 2e
2.2 Lösning 2e
Svar 2f
2.2 Svar 2f
Lösning 2f
2.2 Lösning 2f


Övning 3

Ett äpple faller från ett träd. Rörelsen beskrivs av funktionen

\[ y \, = \, 5,1\;x^2 \]

där \( \;\quad x \, = \, {\rm Tiden\;i\;sekunder} \)

\[ y \, = \, {\rm Sträckan\;som\;äpplet\;faller\;i\;meter} \]

Beräkna äpplets genomsnittliga hastighet i tidsintervallet mellan 0,2 och 0,3 sekunder.

Svar 3
2.2 Svar 3
Lösning 3
2.2 Lösning 3


Övning 4

Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 ca. enligt modellen

\[ y \, = \, 0,04\;x \, + \, 5 \]

där \( \;\quad x \, = \, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900} \)

\[ y \, = \, {\rm Sveriges\;befolkning\;i\;miljoner} \]

a)    Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under hela seklet.

b)    Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under seklets första decennium.

c)    Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under seklets sista decennium.

d)    Är följande påstående sant eller falskt?

"Anledningen till att a)-c) ger samma resultat är att modellen som beskriver Sveriges befolkningsutveckling, är en linjär funktion.
Linjära funktioner har samma genomsnittliga förändringshastighet i alla intervall på x-axeln."
Motivera ditt svar.
Svar 4a
2.2 Svar 4a
Lösning 4a
2.2 Lösning 4a
Svar 4b
2.2 Svar 4b
Lösning 4b
2.2 Lösning 4b
Svar 4c
2.2 Svar 4c
Lösning 4c
2.2 Lösning 4c
Svar 4d
2.2 Svar 4d
Lösning 4d
2.2 Lösning 4d



C-övningar: 5-6


Övning 5

I genomgången, Exempel 3, betraktade vi följande problem:

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

där \( \;\quad x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)

\[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \]

Läs igenom lösningarna a) - d) i Exempel 3 och besvara följande fråga:

e)    Bestäm \( a\, \) i intervallet \( 0 \leq x \,\leq\, a \) där oljans genomsnittliga utströmningshastighet är \( - 260\, \).

Svar 5e
2.2 Svar 5e
Lösning 5e
2.2 Lösning 5e


Övning 6

Följande utdrag ur Skatteverkets skattetabell för 2014 (kolumn 2) visar hur skatten ökar med månadslönen:

\( x\, \) \( y\, \)
\( 22\,801-23\,000 \) \( 5\,302 \)
\( 23\,001-23\,200 \) \( 5\,365 \)
\( 23\,201-23\,400 \) \( 5\,427 \)
\( 23\,401-23\,600 \) \( 5\,490 \)
\( 23\,601-23\,800 \) \( 5\,553 \)
\( 23\,801-24\,000 \) \( 5\,616 \)
\( 24\,001-24\,200 \) \( 5\,681 \)
\( 24\,201-24\,400 \) \( 5\,744 \)
\( 24\,401-24\,600 \) \( 5\,807 \)
\( 24\,601-24\,800 \) \( 5\,870 \)

där \( \; \quad x \, = \, {\rm Månadslönen\;i\;kr} \)

\[ y \, = \, {\rm Skatten\;i\;kr} \]

Åsa får en lönehöjning. Hennes månadslön ökar från \( 23\,150 \) kr till \( 24\,700 \).

a)    Bestäm \( \Delta x\, \) för Åsa.

b)    Bestäm \( \Delta y\, \) för Åsa.

c)    Ange Åsas marginalskatt i procent.

Dvs beräkna \( \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \) för att få reda på skatteökningen per kr lönehöjning dvs hur mycket mer skatt Åsa måste betala för 1 kr mer i lön.

Avrunda svaret till en decimal.

Svar 6a
2.2 Svar 6a
Lösning 6a
2.2 Lösning 6a
Svar 6b
2.2 Svar 6b
Lösning 6b
2.2 Lösning 6b
Svar 6c
2.2 Svar 6c
Lösning 6c
2.2 Lösning 6c



A-övningar: 7-8


Övning 7

Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten till funktionen

\[ y \, = \, f\,(x) \, = \, x^2 \]

i intervallet \( \; a \,\leq\, x \,\leq\, a + h \).

Förenkla uttrycket i \( a\, \) och \( h\, \) så långt som möjligt.

Svar 7
2.2 Svar 7
Lösning 7
2.2 Lösning 7


Övning 8

Följande polynomfunktion är given:

\[ y \,=\, f\,(x) \,=\, 2\,x^2 - 5\,x + 32 \]

a)    Ställ upp ändringskvoten till denna funktion i intervallet mellan \( x\, \) och \( x + h\, \). Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

b)    Låt i uttrycket från a) gå \( h\, \) mot 0 så att du får ett uttryck endast i \( x\, \). Ange detta uttryck.

c)    Ta uttrycket från b) och bestäm dess värde för \( x = 2\, \). Tolka ditt resultat.

Svar 8a
2.2 Svar 8a
Lösning 8a
2.2 Lösning 8a
Svar 8b
2.2 Svar 8b
Lösning 8b
2.2 Lösning 8b
Svar 8c
2.2 Svar 8c
Lösning 8c
2.2 Lösning 8c






Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=2.2_Övningar_till_Genomsnittlig_förändringshastighet&oldid=36612"