Skillnad mellan versioner av "1.3 Fördjupning till Rationella uttryck"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(489 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.3 Repetition Bråkräkning från Matte 1|Repetition: Bråkräkning]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.2 Faktorisering av polynom| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}}
 
{{Selected tab|[[1.3 Fördjupning till Rationella uttryck|Fördjupning]]}}
 
{{Selected tab|[[1.3 Fördjupning till Rationella uttryck|Fördjupning]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e: Exponentialfunktionen med basen e och den naturliga logaritmen|Nästa avsnitt -->]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
−
[[1.2 Faktorisering av polynom|<span style="color:blue"><-- Förra avsnitt</span>]]
+
[[1.3 Repetition: Tal i bråkform|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <<&nbsp;&nbsp;Repetition: Tal i bråkform]]
  
−
 
+
<!-- [[Media: Lektion 6 Rationella uttryck Rutab.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 6 Rationella uttryck</span></b>]]
−
[[Media: Lektion 6 Rationella uttryck Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 6 Rationella uttryck</span></strong>]]
+
[[Media: Lektion 7 Rationella uttryck Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 7 Rationella uttryck</span></b>]]
−
 
+
[[Media: Lektion 8 Rationella uttryck Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 8 Rationella uttryck: Fördjupning</span></b>]] -->
−
[[Media: Lektion 7 Rationella uttryckFb Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 7 Rationella uttryck: Fördjupning</span></strong>]]
+
−
 
+
−
__NOTOC__
+
−
== <b><span style="color:#931136">Varför är division med 0 inte definierad?</span></b> ==
+
  
 
<big>
 
<big>
−
Om du matar in i din miniräknare:
+
<div class="border-divblue">
 +
<b><span style="color:#931136">Division med <math> \, 0 \, </math> är inom de reella talen inte definierad.</span></b>
 +
</div>
  
−
:::::<math> 1 \over 0 </math>
+
<math> \quad </math> [http://34.248.89.132:1800/index.php?title=Varf%C3%B6r_%C3%A4r_division_med_0_inte_definierad%3F <b><span style="color:blue">Varför?</span></b>]
 +
<math> \qquad\qquad\qquad </math> [http://34.248.89.132:1800/index.php/Vad_som_kan_hända_om_man_ändå_dividerar_med_0 <b><span style="color:blue">Vad händer om man ändå dividerar med 0?</span></b>]
 +
</big>
  
−
kommer du att få <strong><span style="color:red">ERROR</span></strong> på displayen. Räknaren kan inte genomföra denna operation.
 
  
−
<strong><span style="color:red">Division med 0</span></strong> är den viktigaste "förbjudna" operationen i matematiken.
+
== <b><span style="color:#931136">Rationella funktioner</span></b> ==
  
−
Både i bråktal och i uttryck får nämnaren inte bli <math> \, 0\, </math> eftersom division med <math> \, 0\, </math> inte är definierad.
+
<big>
−
 
+
En <b><span style="color:red">rationell funktion</span></b> är ett rationellt uttryck som tilldelas en annan variabel, t.ex. <math> \, y</math>.  
−
Men vad beror det på att man inte kan dividera med <math> \, 0\, </math>?
+
−
 
+
−
När vi besvarar denna fråga kommer vi att inse att det inte bara är ett förbud utan även en praktisk omöjlighet.
+
 
</big>
 
</big>
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Praktisk förklaring</span></b> ==
+
<div class="ovnC">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 1</span> ===
 +
Det rationella uttrycket <math> \, \displaystyle{\frac{1}{x}} \, </math> tilldelas variabeln <math> \, y \, </math>, vilket ger den <b><span style="color:red">rationella funktionen</span></b> samt grafen:
  
−
<big>
+
<div class="border-div20"> <big><math> \displaystyle y = {1 \over x} </math></big> </div> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Praktisk forklaring.jpg]]
−
Istället för att mata in i din miniräknare <math> \, 1 \, / \, 0-</math> för då får du <strong><span style="color:red">ERROR</span></strong> <math>-</math> dela <math> 1\, </math> inte direkt med <math> 0\, </math> utan med små tal.
+
  
−
Fortsätt med att låta de små tal som du delar med, bli mindre och mindre, se tabellen:
+
:::::::<b><span style="color:red">Funktionen är inte definierad för <math> \; {\color{Red} {x = 0}} </math>. </span></b>
  
−
<table>
+
Till skillnad från polynomfunktioners graf har denna graf två skilda grenar, uttryckt i matematiska termer:
−
<tr>
+
−
  <td>
+
−
::::::::{| class="wikitable"
+
−
|-
+
−
! <math> x\, </math> || <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,1\, </math> ||align=left| <math> 10\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,01\, </math> ||align=left| <math> 100\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,001\, </math> ||align=left| <math> 1000\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,000\,1 </math> ||align=left| <math> 10\,000 </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,000\,01 </math> ||align=left| <math> 100\,000 </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,000\,001 </math> ||align=left| <math> 1\,000\,000 </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,000\,000\,1 </math> ||align=left| <math> 10\,000\,000 </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,000\,000\,01 </math> ||align=left| <math> 100\,000\,000 </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> \cdots </math> ||align=center| <math> \cdots </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> \rightarrow 0 </math> ||align=center| <math> \rightarrow \infty </math>
+
−
|}
+
−
</td>
+
−
  <td><math> \qquad\qquad\qquad </math></td>
+
−
  <td> <!-- [[Image: Praktisk forklaring.jpg]] --> </td>
+
−
</tr>
+
−
</table>
+
  
−
Tabellen ovan visar: Ju mindre <math> x\, </math> blir desto större blir <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big>. I gränsfallet <math> x = 0\, </math> blir <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big> oändligt stort.
+
En polynomfunktion är alltid kontinuerlig: Dess graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet.
  
−
Man säger: <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big> går mot oändligheten när <math> \, x\, </math> går mot <math> \, 0\, </math>. <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big> går mot oändligheten utan att nå den någonsin.
+
I grafen ovan måste vid <math> x = 0\, </math> pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra.
  
−
<math> \infty </math> är symbolen för oändligheten. Det är omöjligt att ange <math> \infty </math> som ett tal.
+
Dvs grafen är inte sammanhängande i <math> x = 0\, </math>.
  
−
Vilket tal man än anger så kan man alltid lägga <math> \, 1 \, </math> till det och få ett tal som är större. Så kan man hålla på i evighet.
+
Man säger att funktionen är <b><span style="color:red">diskontinuerlig</span></b> (icke-kontinuerlig) i <math> \, x = 0 </math>.  
  
−
Därför är <math> \infty </math> inte något tal som man kan räkna med.
+
Anledningen till denna <b><span style="color:red">diskontinuitet</span></b> är att <math> \; y = </math> <math> \displaystyle {1 \over x} \; </math> inte är definierad för <math> x = 0\, </math>.
  
−
<b>Slutsats:</b> <big><big><math> \quad {1 \over 0} </math></big></big> är inget tal och därmed inte definierat.
+
När <math> \, x \, </math> närmar sig <math> 0\, </math> går <math> y\, </math> mot oändligheten, vilket kan inses både algebraiskt och grafiskt.
−
</big>
+
  
 +
Man måste undanta <math> x = 0\, </math> från funktionens definitionsmängd:
  
−
== <b><span style="color:#931136">Teoretisk förklaring</span></b> ==
+
Den rationella funktionen <math> y = </math> <math> \displaystyle {1 \over x}</math><span style="color:black">:s</span> <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \boxed{{\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 0} </math>
 +
</div>
  
−
<big>
 
−
Vad betyder <math> 12 / 4  </math> ?
 
  
−
::<math> 12 / 4 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 4 = 12 </math>
+
<big>Matte 2:
  
−
Uppenbarligen är detta tal <math> \quad {\color{Red} {x = 3}} \quad </math> därför att <math> {\color{Red} 3} \cdot 4 = 12 </math>.
+
<div class="border-divblue">
 +
En funktions <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är mängden av alla <math> \, x \, </math> för vilka funktionen är definierad.
 +
</div>
  
  
−
Vad betyder <math> 12 / 0  </math> ?
+
Diskontinuiteten <u>för vissa</u> <math> \, x \, </math> är något typiskt för alla rationella funktioner och
  
−
::<math> 12 / 0 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 0 = 12 </math>
+
det är det som skiljer dem från polynomfunktioner som är definierade och kontinuerliga för <u>alla</u> <math> x\, </math>.
  
−
Men det finns inget sådant tal <math> {\color{Red} x} </math> därför att <math> \quad {\color{Red} x} \cdot 0 = 0 \quad \neq 12 </math>.
+
Diskontinuiteten <u>för vissa</u> <math> \, x\, </math> innebär att det är bara några isolerade <math> \, x</math>-värden som en rationell funktion <u>kan</u> vara diskontinuerlig för.
  
 +
Det finns även rationella funktioner som inte har några reella diskontinuiteter, dvs de är kontinuerliga för alla reella <math> \, x\, </math>. Här följer ett exempel:
 +
</big>
  
−
Ett annat sätt att förklara förbudet mot division med <math> \, 0  \, </math> är att uppfatta <strong><span style="color:red">divisionen</span></strong> som en <strong><span style="color:red">upprepad subtraktion</span></strong>.
 
  
−
När vi delar <math> \, 12 \, </math> med <math> \, 4 \, </math> innebär det:
+
<div class="ovnC">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 2</span> ===
 +
En "snäll" rationell funktion samt graf utan reell diskontinuitet:
 +
<div class="border-div20"> <big><math> \displaystyle y_1 = {6\,x \over x^2 + 1} </math></big> </div> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Rat_fkt_utan_disk.jpg]]
  
−
::<math> 12 \; \underbrace{- \, 4 \, - \, 4 \, - \, 4}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 0 \qquad {\rm dvs} \qquad 12 \, / \, 4 \; = \; {\color{Red} 3}\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 </math>
 
  
−
Används denna tolkning av divisionen på <math> \, 12 / 0  \, </math> får man:
+
<b><span style="color:red">Grafen</span></b> visar inga diskontinuiteter.
  
−
::<math> 12 \; - \, 0 \, - \, 0 \, - \, \ldots - \, 0 \; = \; 12 </math>
+
<b><span style="color:red">Algebraiskt</span></b> har funktionsuttryckets nämnare inga reella nollställen, dvs ekvationen
  
−
Dvs man kan dra av hur många nollor som helst från <math> \, 12 \, </math> utan att det blir mindre, vilket är ju meningen med division. Med andra ord, en oändlig process ger inget resultat.
+
<math> x^2 + 1 = 0\, </math> saknar reell lösning. Den ger nämligen <math> \, x^2 = -1 </math>. Och <math> \, \sqrt{-1} \, </math> är inget reellt tal.
  
−
<b>Slutsats:</b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Operationen <math> 12 / 0 \,</math> och därmed division med <math> 0 \,</math> är omöjligt att genomföra.
+
Ekvationen har endast de komplexa lösningarna <math> \, x_1 = i \, </math> och <math> \, x_2 = -i </math>.  
−
</big>
+
  
 +
<b>Slutsats:</b> Den rationella funktionen <math> \, y_1</math><span style="color:black">:s</span> <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är<span style="color:black">:</span> <math> \quad\;\; \boxed{{\rm Alla\;reella\;tal}\quad x} </math>
 +
</div>
  
−
== <b><span style="color:#931136">Rationella funktioner</span></b> ==
 
  
−
<big>
+
<div class="ovnA">
−
Ett bra sätt att studera rationella uttryck är att bilda funktioner med dem genom att tilldela dem en annan variabel, t.ex. <math> y\, </math>.
+
=== <span style="color:#931136">Exempel 3</span> ===
 +
En liten ändring i <math> \, y_1</math>:s nämnare från <math> \, x^2 \, \bf{{\color{Red} +}} \, 1 \, </math> till <math> \, x^2 \, \bf{{\color{Red} -}} \, 1 \, </math> resulterar i en annan funktion med ett annat beteende:
  
−
Fördelen med funktioner är är att man kan visualisera dem med grafer.
+
<div class="border-div20"> <big><math> \displaystyle y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} = {6\,x \over (x + 1) \cdot (x - 1)} </math></big> </div> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Rat_fkt_med_disk.jpg]]
−
</big>
+
  
 +
<b><span style="color:red">Grafen</span></b> är updelad i tre grenar och har två diskontinuiteter, dvs två ställen där den inte är kontinuerlig,
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel1 -->
+
dvs inte sammanhängande<span style="color:black">:</span> <math> \, x\, = \, -1 \, </math> och <math> \, x\, = \, 1 </math>. När <math> \, x\, </math> närmar sig dessa två ställen går <math> \, y_2\,</math> mot oändligheten.
−
=== <span style="color:#931136">Exempel 1</span> ===
+
  
−
<big>
+
<b><span style="color:red">Algebraiskt</span></b> har nämnaren i <math> \, y_2 \, </math> nollställena <math> \, x = 1 \, </math> och <math> \, x = -1 </math>. Därför har <math> \, y_2 \, </math> diskontinuiteter i dessa punkter.
−
Det enklast tänkbara exemplet på ett <strong><span style="color:red">rationellt uttryck</span></strong> är <math> \quad \displaystyle{\frac{1}{x}} \quad </math> därför att det är en kvot mellan polynomet <math> 1\, </math> (av graden 0) och polynomet <math> x\, </math> (av graden 1).  
+
  
−
En <strong><span style="color:red">rationell funktion</span></strong> är alltså kvoten mellan två polynom som tilldelas en variabel <math> y\, </math>.
+
:::::::::::::<big><math> \Downarrow </math></big>
  
−
<div class="border-div"> <big><math> \displaystyle y = {1 \over x} </math></big> </div> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; vars graf ser ut så här:  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Praktisk forklaring.jpg]]
+
<b>Slutsats:</b> Den rationella funktionen <math> \, y_2</math><span style="color:black">:s</span> <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \boxed{{\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq -1 \; {\rm och} \; x \neq 1} </math>
 +
</div>
  
−
::::::::::::::::<b><strong><span style="color:red">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Funktionen är diskontinuerlig i <math> \; {\color{Red} {x = 0}} </math>. </span></strong></b>
 
  
−
Den väsentliga skillnaden mellan denna graf och polynomfunktioners graf är att den här har två skilda grenar, medan en polynomfunktions graf har ett sammanhängande förlopp. Uttryckt i matematiska termer: en polynomfunktion är alltid kontinuerlig. Ett polynoms graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet.
+
<div class="ovnC">
 +
=== <b><span style="color:#931136">Hävbara och icke-hävbara diskontinuiteter</span></b> ===
  
−
I grafen ovan måste vid <math> x = 0\, </math> pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra. Dvs grafen är inte sammanhängande i <math> x = 0\, </math>. Man säger att funktionen är <strong><span style="color:red">icke-kontinuerlig</span></strong> eller <strong><span style="color:red">diskontinuerlig</span></strong> i <math> x = 0\, </math>.
+
<div class="exempel">
  
−
Anledningen till denna <strong><span style="color:red">diskontinuitet</span></strong> är att <math> \; y = </math> <big><big><math> {1 \over x} \; </math></big></big> inte är definierad för <math> x = 0\, </math>. När <math> x \, </math> närmar sig <math> 0\, </math> går <math> y\, </math> mot oändligheten, vilket tydligt framgår av grafen. Man måste undanta <math> x = 0\, </math> från funktionens definitionsmängd:
+
==== <span style="color:#931136">Exempel</span> ====
  
−
Den rationella funktionen <math> y = </math> <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big> är definierad för alla <math> x\,\neq\,0 </math>.
+
:[[Image: 14f_Förkort_Diskont.jpg]]
−
</big></div>
+
</div>
  
 +
Vi skriver de rationella uttrycken ovan som funktioner och ritar deras grafer för att besvara
  
−
<big>
+
<b>Frågan:</b> &nbsp;&nbsp; Är det <b>en</b> funktion i två olika skepnader eller är det <b>två</b> olika funktioner?
−
Icke-definierbarheten och diskontinuiteten <u>för vissa</u> <math> x\, </math> är något typiskt för alla rationella funktioner och det är det som skiljer dem från polynomfunktioner som är definierade och kontinuerliga för alla <math> x\, </math>.
+
<table>
−
</big>
+
<tr>
 +
  <td><div class="border-div20">
 +
<math>\begin{align} f\,(x) & = {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} = {2\,x\,{\color{Red} {(x + 3)}} \over {\color{Red} {(x + 3)}}\,(x - 3)} \\
 +
                    g\,(x) & = {2\,x \over x - 3}
 +
      \end{align} </math>
 +
</div>
 +
<b>Svaret:</b> &nbsp;&nbsp; <math> f(x) \, </math> och <math> \, g\,(x) \, </math> är <b><span style="color:red">två olika funktioner</span></b> eftersom
  
 +
deras definitionsmängder är olika<span style="color:black">:</span>
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
+
<math> f(x)</math><span style="color:black">:s</span> <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är<span style="color:black">:</span> <math> \boxed{{\rm Alla} \, x \, {\rm med} \, x \neq -3 \, {\rm och} \, x \neq 3} </math>
−
=== <span style="color:#931136">Exempel 2</span> ===
+
  
−
<big>
+
<math> g\,(x)</math><span style="color:black">:s</span> <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är<span style="color:black">:</span> <math> \boxed{{\rm Alla} \, x \, {\rm med} \, x \neq 3} </math>  
−
Genom att understryka orden <u>för vissa</u> <math> x\, </math> ovan vill vi säga att det är bara några isolerade <math>\,x</math>-värden för vilka en rationell funktion <u>kan</u> vara odefinierad. Antalet sådana <math>\,x</math>-värden kan hos rationella funktioner vara 0, 1, 2, <math>\ldots</math>. Antalet 0 innebär att det även finns rationella funktioner som inte har några <math> x\, </math> för vilka de är odefinierade, dvs de är definierade och kontinuerliga för alla <math> x\, </math> precis som vanliga polynom. Ett exempel på sådana "snälla" rationella funktioner är:
+
</td>
 +
  <td>[[Image: Havbar_ickehavbar_disk.jpg]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
<div class="border-div"> <big><math> \displaystyle y_1 = {6\,x \over x^2 + 1} </math></big> </div> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; vars graf ser ut så här:  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Rat_fkt_utan_disk.jpg]]
+
<b><span style="color:red">OBS!</span></b> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Likheten <math> \, {2\,x\,{\color{Red} {(x + 3)}} \over {\color{Red} {(x + 3)}}\,(x - 3)} \, = \, {2\,x \over x - 3} \, </math> gäller inte för alla <math> \, x \, </math> utan endast för alla <math> \, x \not= -3 </math>. Anledningen är:
  
−
Anledningen till att <math>y_1\,</math> är definierad för alla <math> x\, </math> är att funktionsuttryckets nämnare, dvs polynomet <math> x^2 + 1\, </math> inte har några reella nollställen. Det i sin tur beror på att ekvationen <br> <math> x^2 + 1 = 0\, </math> saknar reell lösning därför att den ger <math> x^2 = -1\, </math> och roten ur <math> -1\, </math> inte är ett reellt tal. Grafen till funktionen <math>y_1\,</math> visar att <math>y_1\,</math> är definierad och kontinuerlig för alla <math> x\, </math> (övre kurvan) :
+
:::Förkortningen med <math> \, {\color{Red} {(x + 3)}} \, </math> är endast korrekt om <math> \, x \not= -3 </math> eftersom den innebär division med <math> \, {\color{Red} {(x + 3)}} \, </math> som är <math> \, 0\,</math> när <math> \, x = -3\, </math>.
  
−
I den undre delen av bilden ovan har vi, för att kunna jämföra, även ritat grafen till en annan rationell funktion <math>y_2\,</math> som skiljer sig från <math>y_1\,</math> endast i ett förtecken i nämnaren:
+
:::Se upp för division med <math> \, 0 \,</math> i uttryck, för den är oftast gömd. Läs: [http://34.248.89.132:1800/index.php/Vad_som_kan_hända_om_man_ändå_dividerar_med_0 <b><span style="color:blue">Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?</span></b>].
  
−
<div class="border-div"> <big><math> \displaystyle y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} </math></big> </div> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; vars graf ser ut så här: &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Rat_fkt_med_disk.jpg]]
+
Graferna lurar oss: Med blotta ögat ser man knappast någon skillnad mellan <math> f(x) \, </math> och <math> \, g\,(x) </math>. Men om du förstorar <math> f(x)</math>:s graf kan du se i den ett "hål" eller en "lucka" i <math> \, x = -3 </math>, vilket beror på att <math> f(x) \, </math> inte är definierad där. Grafen "hoppar" över <math> \, x = -3 \, </math> så att säga. Men till skillnad från <math> \, x = 3 \, </math> går funktionen inte mot oändligheten i den närmaste omgivningen av <math> \, x = -3 </math>. Anledningen till det är att <math> \, x = -3 \, </math> är en <b><span style="color:red">hävbar diskontinuitet</span></b>, till skillnad från <math> \, x = 3 \, </math> som är en <b><span style="color:red">icke-hävbar diskontinuitet</span></b>.
  
−
Av samma skäl som nämndes för uttryck är denna funktion definierad för alla <math> x\, </math> utom för <math> x = 1\, </math> och <math> x = -1\, </math>.
 
  
−
Skillnaden endast i ett förtecken i nämnaren räcker för att resultera i ett helt annorlunda beteende av funktionen <math>y_2\,</math> jämfört med <math>y_1\,</math>. Som grafen visar är <math>y_2\,</math>:s kurva uppdelad i tre grenar och har två ställen där den inte är sammanhängande (inte kontinuerlig). En blick på funktionsuttrycket avslöjar detta. Här kan vi dra nytta av faktorisering som vi lärt oss i förra avsnitt. Skriver man nämnarens polynom i faktorform ser man att att <math>y_2\,</math> varken är definierad för <math> x_1 = -1\, </math> eller för <math> x_2 = 1\, </math>:
+
<div class="border-divblue">
 +
<math> x = -3 </math> kallas för en <b><span style="color:red">hävbar diskontinuitet</span></b> eftersom <math> (x+3) </math> kan förkortas bort i <math> f(x) </math> och försvinner då från nämnaren.
  
−
::::::::<math> y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} = {6\,x \over (x + 1) \cdot (x - 1)} </math>
+
<math> \, x = 3 \, </math> kallas för en <b><span style="color:red">icke-hävbar diskontinuitet</span></b> eftersom <math> \, (x-3) \, </math> finns kvar i nämnaren av <math> f(x) </math>.
 +
</div>
  
−
När <math> x\, </math> närmar sig <math> -1\, </math> eller <math> 1\, </math> går <math>y_2\,</math> mot oändligheten, vilket även framgår av grafen. Exemplet visar att det som är väsentligt för rationella funktioner och därmed för rationella uttryck, är om polynomet i nämnaren har några nollställen och, om det är fallet, vilka de är. Med andra ord, om polynomet i nämnaren låter sig faktorisera eller ej. Om ja, kan vi genom faktorisering få fram nollställena. I vårt exempel kan man i <math> y_1\, </math> inte faktorisera <math> x^2 + 1\, </math> inom ramen av reella tal, för ekvationen <math> x^2 + 1 = 0\, </math> saknar reella lösningar. Däremot går det i <math> y_2\, </math> att faktorisera så här <math> (x^2 - 1) = (x + 1) \cdot (x - 1) </math>, för ekvationen <math> x^2 - 1 = 0\, </math> har lösningarna <math> x_1 = -1\, </math> och <math> x_2 = 1\, </math>.
 
−
</big></div>
 
  
−
== Hävbara och icke-hävbara diskontinuiteter ==
+
</div>
  
−
Vi har hittills använt bråktalens räkneregler för att räkna med rationella uttryck utan att stöta på några hinder. Men vi får inte glömma att rationella uttryck ändå är komplexare objekt. Därför är det inte förvånansvärt att de har egenskaper som inte längre kan jämföras med motsvarigheter hos bråktal. En av dessa visas upp när man förkortar dem efter faktorisering av täljaren och nämnaren.
 
  
−
[[Image: 14f_Förkort_Diskont.jpg]]
+
<big>Men hur häver man en hävbar diskontinuitet?</big>
  
−
Efter faktorisering av täljaren och nämnaren samt förkortning med faktorn <math> (x+3)\, </math> förenklas det rationella uttrycket väsentligt. Men denna förkortning är endast korrekt om <math> x \not= -3 </math> eftersom förkortning med <math> (x+3)\,</math> innebär division med <math> 0\,</math> om <math> x = -3\, </math>. Likhetstecknet mellan de rationella uttrycken gäller endast under förutsättningen <math> x \not= -3 </math>. Det enklare uttrycket är identiskt med det ursprungliga inte för alla <math> x\, </math> utan för alla utom för <math> x = -3\, </math>. Det blir ännu tydligare när vi betraktar dem som rationella funktioner. Då uppsår nämligen frågan: Vad händer med diskontinuiteten i <math> x = -3\, </math> som försvinner efter att vi förkortat uttrycket med faktorn <math> (x+3)\, </math>? Och vad är det för skillnad mellan diskontinuiteterna i <math> x = -3\, </math> och <math> x = 3\, </math>?
 
  
−
För att undersöka dessa frågor skriver vi dem som funktioner och ritar båda funktioners grafer:
+
<div class="ovnA">
 +
=== <b><span style="color:#931136">Kontinuerlig fortsättning</span></b> ===
  
−
::<math>\begin{align} y_3 = f(x) & = {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} = {2\,x\,{\color{Red} {(x + 3)}} \over {\color{Red} {(x + 3)}}\,(x - 3)} \\
+
Hävbara diskontinuiteter är "snälla". Funktioner med hävbara diskontinuiteter kan "repareras":
−
                                                                                                    \\
+
−
                y_4 = g(x) & = {2\,x \over x - 3}\end{align} </math> [[Image: Vit_4,52cm.jpg]] [[Image: 14ay_Förkort_Förläng_2_1_disk.jpg]]
+
  
−
I den vänstra delen av bilden ser man grafen till funktionen <math> f(x)\,</math> och i den högra delen grafen till funktionen <math> g(x)\,</math>. Till synes visar resultatet helt identiska kurvor. Men i själva verket vet vi att funktionen <math> f(x)\, </math> inte är definierad för <math> x = -3\, </math> och har en diskontinuitet där. Därför har dess graf (kurvan till vänster) ett "hål" eller en "lucka" i <math> x = -3\, </math> som man inte ser med blotta ögat. Så grafen lurar oss. Vi måste hålla oss till <math> f(x)\, </math>:s funktionsuttryck ovan som klart visar <u>två</u> diskontinuiteter, en i <math> x = -3\, </math> och den andra i <math> x = 3\, </math>. Den första som vi lyckades få bort genom förkortning, är en s.k. <strong><span style="color:red">hävbar diskontinuitet</span></strong> medan den andra är icke-hävbar.
+
Det gör man genom att definiera en ny funktion som inte längre har den ursprungliga funktionens hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med den.
  
−
== Kontinuerlig fortsättning ==
+
I exemplet ovan skulle man kunna t.ex. komplettera funktionen <math> f(x)\, </math>:s definition med ett värde för <math> \, x = -3 \, </math> som gör att den nya funktionen blir kontinuerlig i sin omgivning. Man får fram detta värde genom att beräkna värdet av <math> \, \displaystyle {g\,(x) = {2\,x \over x - 3}} \, </math> för <math> \, x = -3 </math><span style="color:black">:</span>
  
−
Hävbara diskontinuiteter är "snälla" och kan repareras. En ny funktion kan definieras som inte längre har den ursprungliga funktionens hävbara diskontinuiteter, men är annars identisk med den. En sådan funktion kallas den <strong><span style="color:red">kontinuerliga fortsättningen</span></strong> av den ursprungliga.
+
::::::::<math> g\,(-3) = {2 \cdot (-3) \over -3 - 3} = {-6 \over -6} = 1 </math>
  
−
I det här fallet skulle man kunna t.ex. komplettera funktionen <math> f(x)\, </math>:s definition med ett värde för <math> x = -3\, </math> som gör att den nya funktionen blir kontinuerlig mot sin omgivning. Hur får man fram detta värde? Man gör det genom att först förkorta <math> \,f(x)</math>:s funktionsuttryck med <math> (x+3\,) </math> och få <math> g(x)\, </math> - vilket vi redan gjorde i förra paragraf - och sedan beräkna <math> \,g(x)</math>:s värde för <math> x = -3\, </math>:
+
Värdet <math> \, 1 \, </math> läggs till i den nya funktionen för <math> \, x = -3 </math>. Så blir den kontinuerliga fortsättningen en modifierad version av <math> f(x) </math> som består just av det här tillägget. För alla andra <math> \, x \, </math> är den nya funktionen identisk med den gamla <math> f(x) </math>.
  
−
::::::::<math> g(-3) = {2 \cdot (-3) \over -3 - 3} = {-6 \over -6} = 1 </math>
+
Så här kan den nya funktionen <math>-</math> kallad den <b><span style="color:red">kontinuerliga fortsättningen</span></b> av <math> f(x) </math> <math>-</math> definieras<span style="color:black">:</span>
  
−
Värdet <math> 1\, </math> överensstämmer med <math> \,f(x)</math>:s gränsvärde när <math> x\, </math> närmar sig <math> -3\, </math>. Dvs <math> f(x)\, </math> går mot <math> 1\, </math> när <math> x\, </math> går mot <math> -3\, </math> både från vänster och höger.
+
:::::<div class="border-div"> <math> \hat{f}(x) \, = \, \begin{cases} \displaystyle {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} & \mbox{om } x \neq -3  \\
 +
                                                                                                                    \\
 +
                                                                                                  1               & \mbox{om } x   =  -3
 +
                              \end{cases}</math> </div>
  
−
Då är det möjligt att definiera den nya funktionen <math> g(x)\, </math> som en lite modifierad version av <math> \,f(x)</math>. Modifikationen består i att lägga till värdet <math> 1\, </math> i den nya funktionen för <math> x = -3\, </math> så att den blir både definierad och kontinuerlig för <math> x = -3\, </math>. För alla andra <math> x\, </math> är den identisk med <math> f(x)\, </math>. Så här kan man definiera den nya funktionen <math> g(x)\, </math>:
+
Denna definition är uppdelad i två olika fall: &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; För alla <math> \, x \neq -3\, </math> definieras <math> \, \hat{f}(x) \, </math> enligt det rationella uttrycket för <math> \, f(x)\, </math>.
  
−
::::::::<math> g(x) \, = \, \begin{cases} \displaystyle {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} & \mbox{om } x \neq -3  \\
+
:::::::::::::För <math> \, x = -3 \, </math> får <math> \hat{f}(x) \, </math> värdet <math> 1 </math>, dvs <math> \hat{f}(-3) = 1 </math>.
−
                                                                                                                    \\
+
−
                                                                      1                     & \mbox{om } x  =  -3
+
−
                        \end{cases}</math>
+
  
−
Denna definition är uppdelad i två olika fall: För alla <math> x \neq -3\, </math> definieras funktionen <math> g(x)\, </math> enligt det rationella uttrycket för <math> f(x)\, </math>, medan för <math> x = -3\, </math> har den värdet <math> 1\, </math>. <math> g(x)\, </math> är den kontinuerliga fortsättningen av <math> f(x)\, </math>. Den är lämpligare att användas istället för <math> f(x)\, </math> eftersom man hat lyckats att eliminera åtminstone den hävbara diskontinuiteten.
+
<math>\hat{f}(x) \, </math> är både algebraiskt och grafiskt (se exemplet ovan) identisk med den förkortade form vi hade fått tidigare<span style="color:black">:</span>
  
−
Självklart är denna nya definition helt och hållet identisk med den förenklade form som vi hade fått tidigare:
+
::::::::<math> \hat{f}(x) \, = \, g\,(x) \, = \, {2 \, x \over x - 3} </math>
  
−
::::::::<math> g(x) = {2 \, x \over x - 3} </math>
+
I praktiskt beräkningssammanhang, t.ex. när man ritar grafen, föredrar man förstås denna enkla form.
  
−
I beräkningssammanhang och när man ritar grafen föredrar man förstås denna enkla form. Nackdelen med en är bara att den inte längre innehåller ens ett spår av den ursprungliga funktionen <math> f(x)\, </math>. Man ser inte direkt att den är en kontinuerlig fortsättning av <math> f(x)\, </math>.
+
Nackdelen med den är bara att den inte längre innehåller något spår av den ursprungliga funktionen <math> f(x)\, </math>, att den "gömmer" sina rötter. Man ser inte att den är en kontinuerlig fortsättning av <math> f(x) </math>.
  
−
Den andra faktorn <math> (x-3)\, </math> både i <math> \,f(x)</math>:s och <math> \,g(x)</math>:s nämnare som inte kan förkortas ger upphov till den andra diskontinuiteten av dessa två funktioner i <math> x = 3\, </math>. Denna diskontinuitet är dock inte hävbar. När <math> x\, </math> går mot <math> 3\, </math> går <math> f(x)\, </math> inte mot ett ändligt värde utan mot oändligheten. Därför är diskontinuiteten i <math> x = 3\, </math> kvar och synlig i graferna till både <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Den är, till skillnad från den första, en <strong><span style="color:red">icke-hävbar diskontinuitet</span></strong> och kan inte repareras på något sätt. Denna "allvarliga" diskontinuitet finns även kvar i den kontinuerliga fortsättningen <math> g(x)\, </math> och är inte hävbar där heller. Så <math> g(x)\, </math> har en diskontinuitet kvar medan <math> f(x)\, </math> hade två diskontinuiteter.
+
Den andra faktorn <math> (x-3)\, </math> både i <math> f(x)</math>:s och <math> \, \hat{f}(x)</math>:s nämnare som inte kan förkortas ger upphov till den andra diskontinuiteten <math> \, x = 3 \, </math> som till skillnad från <math> \, x = -3\, </math> är en icke-hävbar diskontinuitet och inte kan "repareras" på något sätt. När <math> \, x\, </math> går mot <math> \, 3\, </math> går <math> f(x)\, </math> inte mot ett ändligt värde utan mot oändligheten, vilket syns i graferna till både <math> f(x)\, </math> och <math> \hat{f}(x) </math>. Denna "allvarliga" diskontinuitet finns även kvar i den kontinuerliga fortsättningen <math> \hat{f}(x) </math>.
  
 +
Så <math> \hat{f}(x) \, </math> har endast en diskontinuitet kvar medan <math> f(x)\, </math> hade två diskontinuiteter.
 +
</div>
  
  
Rad 232: Rad 211:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 2 juni 2019 kl. 12.48

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt  >>      

     <<  Repetition: Tal i bråkform


Division med \( \, 0 \, \) är inom de reella talen inte definierad.

\( \quad \) Varför? \( \qquad\qquad\qquad \) Vad händer om man ändå dividerar med 0?


Rationella funktioner

En rationell funktion är ett rationellt uttryck som tilldelas en annan variabel, t.ex. \( \, y\).


Exempel 1

Det rationella uttrycket \( \, \displaystyle{\frac{1}{x}} \, \) tilldelas variabeln \( \, y \, \), vilket ger den rationella funktionen samt grafen:

\( \displaystyle y = {1 \over x} \)
          Praktisk forklaring.jpg
Funktionen är inte definierad för \( \; {\color{Red} {x = 0}} \).

Till skillnad från polynomfunktioners graf har denna graf två skilda grenar, uttryckt i matematiska termer:

En polynomfunktion är alltid kontinuerlig: Dess graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet.

I grafen ovan måste vid \( x = 0\, \) pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra.

Dvs grafen är inte sammanhängande i \( x = 0\, \).

Man säger att funktionen är diskontinuerlig (icke-kontinuerlig) i \( \, x = 0 \).

Anledningen till denna diskontinuitet är att \( \; y = \) \( \displaystyle {1 \over x} \; \) inte är definierad för \( x = 0\, \).

När \( \, x \, \) närmar sig \( 0\, \) går \( y\, \) mot oändligheten, vilket kan inses både algebraiskt och grafiskt.

Man måste undanta \( x = 0\, \) från funktionens definitionsmängd:

Den rationella funktionen \( y = \) \( \displaystyle {1 \over x}\):s definitionsmängd är: \( \qquad \boxed{{\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 0} \)


Matte 2:

En funktions definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka funktionen är definierad.


Diskontinuiteten för vissa \( \, x \, \) är något typiskt för alla rationella funktioner och

det är det som skiljer dem från polynomfunktioner som är definierade och kontinuerliga för alla \( x\, \).

Diskontinuiteten för vissa \( \, x\, \) innebär att det är bara några isolerade \( \, x\)-värden som en rationell funktion kan vara diskontinuerlig för.

Det finns även rationella funktioner som inte har några reella diskontinuiteter, dvs de är kontinuerliga för alla reella \( \, x\, \). Här följer ett exempel:


Exempel 2

En "snäll" rationell funktion samt graf utan reell diskontinuitet:

\( \displaystyle y_1 = {6\,x \over x^2 + 1} \)
          Rat fkt utan disk.jpg


Grafen visar inga diskontinuiteter.

Algebraiskt har funktionsuttryckets nämnare inga reella nollställen, dvs ekvationen

\( x^2 + 1 = 0\, \) saknar reell lösning. Den ger nämligen \( \, x^2 = -1 \). Och \( \, \sqrt{-1} \, \) är inget reellt tal.

Ekvationen har endast de komplexa lösningarna \( \, x_1 = i \, \) och \( \, x_2 = -i \).

Slutsats: Den rationella funktionen \( \, y_1\):s definitionsmängd är: \( \quad\;\; \boxed{{\rm Alla\;reella\;tal}\quad x} \)


Exempel 3

En liten ändring i \( \, y_1\):s nämnare från \( \, x^2 \, \bf{{\color{Red} +}} \, 1 \, \) till \( \, x^2 \, \bf{{\color{Red} -}} \, 1 \, \) resulterar i en annan funktion med ett annat beteende:

\( \displaystyle y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} = {6\,x \over (x + 1) \cdot (x - 1)} \)
          Rat fkt med disk.jpg

Grafen är updelad i tre grenar och har två diskontinuiteter, dvs två ställen där den inte är kontinuerlig,

dvs inte sammanhängande: \( \, x\, = \, -1 \, \) och \( \, x\, = \, 1 \). När \( \, x\, \) närmar sig dessa två ställen går \( \, y_2\,\) mot oändligheten.

Algebraiskt har nämnaren i \( \, y_2 \, \) nollställena \( \, x = 1 \, \) och \( \, x = -1 \). Därför har \( \, y_2 \, \) diskontinuiteter i dessa punkter.

\( \Downarrow \)

Slutsats: Den rationella funktionen \( \, y_2\):s definitionsmängd är: \( \qquad \boxed{{\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq -1 \; {\rm och} \; x \neq 1} \)


Hävbara och icke-hävbara diskontinuiteter

Exempel

14f Förkort Diskont.jpg

Vi skriver de rationella uttrycken ovan som funktioner och ritar deras grafer för att besvara

Frågan:    Är det en funktion i två olika skepnader eller är det två olika funktioner?

\(\begin{align} f\,(x) & = {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} = {2\,x\,{\color{Red} {(x + 3)}} \over {\color{Red} {(x + 3)}}\,(x - 3)} \\ g\,(x) & = {2\,x \over x - 3} \end{align} \)

Svaret:    \( f(x) \, \) och \( \, g\,(x) \, \) är två olika funktioner eftersom

deras definitionsmängder är olika:

\( f(x)\):s definitionsmängd är: \( \boxed{{\rm Alla} \, x \, {\rm med} \, x \neq -3 \, {\rm och} \, x \neq 3} \)

\( g\,(x)\):s definitionsmängd är: \( \boxed{{\rm Alla} \, x \, {\rm med} \, x \neq 3} \)

Havbar ickehavbar disk.jpg

OBS!        Likheten \( \, {2\,x\,{\color{Red} {(x + 3)}} \over {\color{Red} {(x + 3)}}\,(x - 3)} \, = \, {2\,x \over x - 3} \, \) gäller inte för alla \( \, x \, \) utan endast för alla \( \, x \not= -3 \). Anledningen är:

Förkortningen med \( \, {\color{Red} {(x + 3)}} \, \) är endast korrekt om \( \, x \not= -3 \) eftersom den innebär division med \( \, {\color{Red} {(x + 3)}} \, \) som är \( \, 0\,\) när \( \, x = -3\, \).
Se upp för division med \( \, 0 \,\) i uttryck, för den är oftast gömd. Läs: Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?.

Graferna lurar oss: Med blotta ögat ser man knappast någon skillnad mellan \( f(x) \, \) och \( \, g\,(x) \). Men om du förstorar \( f(x)\):s graf kan du se i den ett "hål" eller en "lucka" i \( \, x = -3 \), vilket beror på att \( f(x) \, \) inte är definierad där. Grafen "hoppar" över \( \, x = -3 \, \) så att säga. Men till skillnad från \( \, x = 3 \, \) går funktionen inte mot oändligheten i den närmaste omgivningen av \( \, x = -3 \). Anledningen till det är att \( \, x = -3 \, \) är en hävbar diskontinuitet, till skillnad från \( \, x = 3 \, \) som är en icke-hävbar diskontinuitet.


\( x = -3 \) kallas för en hävbar diskontinuitet eftersom \( (x+3) \) kan förkortas bort i \( f(x) \) och försvinner då från nämnaren.

\( \, x = 3 \, \) kallas för en icke-hävbar diskontinuitet eftersom \( \, (x-3) \, \) finns kvar i nämnaren av \( f(x) \).



Men hur häver man en hävbar diskontinuitet?


Kontinuerlig fortsättning

Hävbara diskontinuiteter är "snälla". Funktioner med hävbara diskontinuiteter kan "repareras":

Det gör man genom att definiera en ny funktion som inte längre har den ursprungliga funktionens hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med den.

I exemplet ovan skulle man kunna t.ex. komplettera funktionen \( f(x)\, \):s definition med ett värde för \( \, x = -3 \, \) som gör att den nya funktionen blir kontinuerlig i sin omgivning. Man får fram detta värde genom att beräkna värdet av \( \, \displaystyle {g\,(x) = {2\,x \over x - 3}} \, \) för \( \, x = -3 \):

\[ g\,(-3) = {2 \cdot (-3) \over -3 - 3} = {-6 \over -6} = 1 \]

Värdet \( \, 1 \, \) läggs till i den nya funktionen för \( \, x = -3 \). Så blir den kontinuerliga fortsättningen en modifierad version av \( f(x) \) som består just av det här tillägget. För alla andra \( \, x \, \) är den nya funktionen identisk med den gamla \( f(x) \).

Så här kan den nya funktionen \(-\) kallad den kontinuerliga fortsättningen av \( f(x) \) \(-\) definieras:

\( \hat{f}(x) \, = \, \begin{cases} \displaystyle {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} & \mbox{om } x \neq -3 \\ \\ 1 & \mbox{om } x = -3 \end{cases}\)

Denna definition är uppdelad i två olika fall:      För alla \( \, x \neq -3\, \) definieras \( \, \hat{f}(x) \, \) enligt det rationella uttrycket för \( \, f(x)\, \).

För \( \, x = -3 \, \) får \( \hat{f}(x) \, \) värdet \( 1 \), dvs \( \hat{f}(-3) = 1 \).

\(\hat{f}(x) \, \) är både algebraiskt och grafiskt (se exemplet ovan) identisk med den förkortade form vi hade fått tidigare:

\[ \hat{f}(x) \, = \, g\,(x) \, = \, {2 \, x \over x - 3} \]

I praktiskt beräkningssammanhang, t.ex. när man ritar grafen, föredrar man förstås denna enkla form.

Nackdelen med den är bara att den inte längre innehåller något spår av den ursprungliga funktionen \( f(x)\, \), att den "gömmer" sina rötter. Man ser inte att den är en kontinuerlig fortsättning av \( f(x) \).

Den andra faktorn \( (x-3)\, \) både i \( f(x)\):s och \( \, \hat{f}(x)\):s nämnare som inte kan förkortas ger upphov till den andra diskontinuiteten \( \, x = 3 \, \) som till skillnad från \( \, x = -3\, \) är en icke-hävbar diskontinuitet och inte kan "repareras" på något sätt. När \( \, x\, \) går mot \( \, 3\, \) går \( f(x)\, \) inte mot ett ändligt värde utan mot oändligheten, vilket syns i graferna till både \( f(x)\, \) och \( \hat{f}(x) \). Denna "allvarliga" diskontinuitet finns även kvar i den kontinuerliga fortsättningen \( \hat{f}(x) \).

Så \( \hat{f}(x) \, \) har endast en diskontinuitet kvar medan \( f(x)\, \) hade två diskontinuiteter.





Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck&oldid=36674"