Skillnad mellan versioner av "1.3 Fördjupning till Rationella uttryck"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(269 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.3 Repetition Bråkräkning från Matte 1|Repetition: Bråkräkning]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.2 Faktorisering av polynom| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}}
 
{{Selected tab|[[1.3 Fördjupning till Rationella uttryck|Fördjupning]]}}
 
{{Selected tab|[[1.3 Fördjupning till Rationella uttryck|Fördjupning]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Nästa avsnitt <math> \pmb{\to} </math>]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
−
[[1.2 Faktorisering av polynom|<span style="color:blue"><-- Förra avsnitt</span>]]
+
[[1.3 Repetition: Tal i bråkform|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <<&nbsp;&nbsp;Repetition: Tal i bråkform]]
−
 
+
−
[[Media: Lektion 6 Rationella uttryck Rutab.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 6 Rationella uttryck</span></b>]]
+
  
 +
<!-- [[Media: Lektion 6 Rationella uttryck Rutab.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 6 Rationella uttryck</span></b>]]
 
[[Media: Lektion 7 Rationella uttryck Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 7 Rationella uttryck</span></b>]]
 
[[Media: Lektion 7 Rationella uttryck Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 7 Rationella uttryck</span></b>]]
−
 
+
[[Media: Lektion 8 Rationella uttryck Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 8 Rationella uttryck: Fördjupning</span></b>]] -->
−
[[Media: Lektion 8 Rationella uttryck Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 8 Rationella uttryck: Fördjupning</span></b>]]
+
−
__NOTOC__
+
−
== <b><span style="color:#931136">Varför är division med 0 inte definierad?</span></b> ==
+
  
 
<big>
 
<big>
−
Om du matar in i din miniräknare:
+
<div class="border-divblue">
 +
<b><span style="color:#931136">Division med <math> \, 0 \, </math> är inom de reella talen inte definierad.</span></b>
 +
</div>
  
−
:::::<math> 1 \, / \, 0 </math>
+
<math> \quad </math> [http://34.248.89.132:1800/index.php?title=Varf%C3%B6r_%C3%A4r_division_med_0_inte_definierad%3F <b><span style="color:blue">Varför?</span></b>]
 +
<math> \qquad\qquad\qquad </math> [http://34.248.89.132:1800/index.php/Vad_som_kan_hända_om_man_ändå_dividerar_med_0 <b><span style="color:blue">Vad händer om man ändå dividerar med 0?</span></b>]
 +
</big>
  
−
kommer du att få <b><span style="color:red">ERROR</span></b> på displayen. Räknaren kan inte genomföra denna operation.
 
  
−
<b><span style="color:red">Division med 0</span></b> är den viktigaste "förbjudna" operationen i matematiken.
+
== <b><span style="color:#931136">Rationella funktioner</span></b> ==
  
−
Både i bråktal och i uttryck får nämnaren inte bli <math> \, 0\, </math> eftersom division med <math> \, 0\, </math> inte är definierad.
+
<big>
−
 
+
En <b><span style="color:red">rationell funktion</span></b> är ett rationellt uttryck som tilldelas en annan variabel, t.ex. <math> \, y</math>.  
−
Men vad beror det på att man inte kan dividera med <math> \, 0\, </math>?
+
−
 
+
−
När vi besvarar denna fråga kommer vi att inse att det inte är ett formellt förbud utan en praktisk omöjlighet.
+
 
</big>
 
</big>
  
  
−
<div class="ovnE">
+
<div class="ovnC">
−
=== <b><span style="color:#931136">Praktisk förklaring</span></b> ===
+
=== <span style="color:#931136">Exempel 1</span> ===
 +
Det rationella uttrycket <math> \, \displaystyle{\frac{1}{x}} \, </math> tilldelas variabeln <math> \, y \, </math>, vilket ger den <b><span style="color:red">rationella funktionen</span></b> samt grafen:
  
−
Istället för att mata in i din miniräknare <math> \, 1 \, / \, 0-</math> för då får du <b><span style="color:black">ERROR</span></b> <math>-</math> dela <math> 1\, </math> inte direkt med <math> 0\, </math> utan med små tal.
+
<div class="border-div20"> <big><math> \displaystyle y = {1 \over x} </math></big> </div> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Praktisk forklaring.jpg]]
  
−
Mata in i din miniräknare t.ex.<span style="color:black">:</span>
+
:::::::<b><span style="color:red">Funktionen är inte definierad för <math> \; {\color{Red} {x = 0}} </math>. </span></b>
  
−
:::::<math> 1 \, / \, 0,1 \qquad 1 \, / \, 0,01 \qquad 1 \, / \, 0,001 \qquad \ldots </math>
+
Till skillnad från polynomfunktioners graf har denna graf två skilda grenar, uttryckt i matematiska termer:
  
−
Fortsätt med att låta de små tal som du delar med, bli mindre och mindre, se tabellen.
+
En polynomfunktion är alltid kontinuerlig: Dess graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet.
  
−
Eller rita grafen <math> \, y \, = \, 1/x \, </math> och titta på <math> \, x \rightarrow 0 \,</math>.
+
I grafen ovan måste vid <math> x = 0\, </math> pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra.
  
−
<table>
+
Dvs grafen är inte sammanhängande i <math> x = 0\, </math>.
−
<tr>
+
−
  <td>
+
−
:::{| class="wikitable"
+
−
|-
+
−
! <math> x\, </math> || <math> 1 \, / \, x </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,1\, </math> ||align=left| <math> 10\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,01\, </math> ||align=left| <math> 100\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,001\, </math> ||align=left| <math> 1000\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,000\,1 </math> ||align=left| <math> 10\,000 </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,000\,01 </math> ||align=left| <math> 100\,000 </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,000\,001 </math> ||align=left| <math> 1\,000\,000 </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,000\,000\,1 </math> ||align=left| <math> 10\,000\,000 </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,000\,000\,01 </math> ||align=left| <math> 100\,000\,000 </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> \cdots </math> ||align=center| <math> \cdots </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> \to 0 </math> ||align=center| <math> \to \infty </math>
+
−
|}
+
−
</td>
+
−
  <td><math> \qquad\qquad\qquad </math></td>
+
−
  <td> [[Image: Praktisk forklaring.jpg]] </td>
+
−
</tr>
+
−
</table>
+
  
−
Både tabellen och grafen: Ju mindre <math> \, x \, </math> blir desto större blir <math> \, 1/x \, </math>. I gränsfallet <math> \, x=0 \, </math> blir <math> \, 1/x \, </math> oändligt stort.
+
Man säger att funktionen är <b><span style="color:red">diskontinuerlig</span></b> (icke-kontinuerlig) i <math> \, x = 0 </math>.  
  
−
Man säger<span style="color:black">:</span> <math> \displaystyle {1 \over x} </math> går mot oändligheten när <math> \, x\, </math> går mot <math> \, 0\, </math> och skriver<span style="color:black">:</span> <math> \, \displaystyle {1 \over x} \to \infty \, </math> när <math> \, x \, \to \, 0 </math>.  
+
Anledningen till denna <b><span style="color:red">diskontinuitet</span></b> är att <math> \; y = </math> <math> \displaystyle {1 \over x} \; </math> inte är definierad för <math> x = 0\, </math>.
  
−
<math> \infty </math> är symbolen för oändligheten. Det är omöjligt att ange <math> \infty </math> som ett tal som man kan räkna med.
+
När <math> \, x \, </math> närmar sig <math> 0\, </math> går <math> y\, </math> mot oändligheten, vilket kan inses både algebraiskt och grafiskt.
  
−
Vilket tal man än anger så kan man alltid göra <math> \, + \, 1 \, </math> och få ett större tal. Det tar aldrig slut.
+
Man måste undanta <math> x = 0\, </math> från funktionens definitionsmängd:
  
−
<b>Slutsatser:</b> <math> \displaystyle \quad {1 \over 0} </math> är inget tal och därmed inte definierat.
+
Den rationella funktionen <math> y = </math> <math> \displaystyle {1 \over x}</math><span style="color:black">:s</span> <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \boxed{{\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 0} </math>
−
 
+
−
<span style="color:#FFD9CB"><b>Slutsatser:</b> </span> <math> \quad </math>Det är matematiskt inte korrekt att skriva <math> \displaystyle \, {1 \over 0} = \infty \, </math>. &nbsp; Korrekt<span style="color:black">:</span> <math> \displaystyle \, {1 \over x} \, \to \, \infty \, </math>  när <math> \, x \, \to \, 0 </math>.
+
 
</div>
 
</div>
  
  
 +
<big>Matte 2:
  
−
 
+
<div class="border-divblue">
−
<div class="ovnE">
+
En funktions <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är mängden av alla <math> \, x \, </math> för vilka funktionen är definierad.
−
=== <b><span style="color:#931136">Teoretisk förklaring</span></b> ===
+
−
 
+
−
<div class="exempel">
+
−
 
+
−
Vad betyder <b>division</b>?&nbsp;&nbsp;&nbsp;Vad betyder t.ex. <math> \, 12 / 4 \, </math>?
+
−
 
+
−
::<math> 12 / 4 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 4 = 12 </math>
+
−
 
+
−
Uppenbarligen är detta tal <math> \quad {\color{Red} {x = 3}} \quad </math> därför att <math> \, {\color{Red} 3} \cdot 4 = 12 </math>.
+
 
</div>
 
</div>
  
−
Nu ersätter vi <math> \, 4 \, </math> med <math> \, 0 \, </math>:
 
  
−
<div class="exempel">
+
Diskontinuiteten <u>för vissa</u> <math> \, x \, </math> är något typiskt för alla rationella funktioner och
−
Vad betyder då <math> \, 12 / 0 \, </math>?
+
  
−
::<math> 12 / 0 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 0 = 12 \quad {\rm {\color{Red} {Motsägelse!}}} </math>
+
det är det som skiljer dem från polynomfunktioner som är definierade och kontinuerliga för <u>alla</u> <math> x\, </math>.
  
−
Det finns inget sådant tal <math> {\color{Red} x} </math> därför att <math> \quad {\color{Red} x} \cdot 0 = 0 \quad \neq 12 \, </math>.
+
Diskontinuiteten <u>för vissa</u> <math> \, x\, </math> innebär att det är bara några isolerade <math> \, x</math>-värden som en rationell funktion <u>kan</u> vara diskontinuerlig för.
−
</div>
+
  
 +
Det finns även rationella funktioner som inte har några reella diskontinuiteter, dvs de är kontinuerliga för alla reella <math> \, x\, </math>. Här följer ett exempel:
 +
</big>
  
−
<b>Alternativt:</b>
 
  
−
Ett annat sätt att förklara omöjligheten av division med <math> \, 0  \, </math> är att tolka <b>divisionen</b> som en <b>upprepad subtraktion</b>.  
+
<div class="ovnC">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 2</span> ===
 +
En "snäll" rationell funktion samt graf utan reell diskontinuitet:
 +
<div class="border-div20"> <big><math> \displaystyle y_1 = {6\,x \over x^2 + 1} </math></big> </div> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Rat_fkt_utan_disk.jpg]]
  
−
Operationen <math> \, 12 / 4 \, </math> kan nämligen tolkas som:
 
  
−
::<math> 12 \; \underbrace{- \, 4 \, - \, 4 \, - \, 4}_{3\;\times} \; = \; 0 \qquad {\rm Därför:} \qquad 12 \, / \, 4 \; = \; 3\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 </math>
+
<b><span style="color:red">Grafen</span></b> visar inga diskontinuiteter.
  
−
Nu ersätter vi <math> \, 4 \, </math> med <math> \, 0 \, </math>.
+
<b><span style="color:red">Algebraiskt</span></b> har funktionsuttryckets nämnare inga reella nollställen, dvs ekvationen
  
−
Operationen <math> \, 12 / 0 \, </math> kan tolkas som:
+
<math> x^2 + 1 = 0\, </math> saknar reell lösning. Den ger nämligen <math> \, x^2 = -1 </math>. Och <math> \, \sqrt{-1} \, </math> är inget reellt tal.
  
−
::<math> 12 \; - \, 0 \, - \, 0 \, - \, \ldots - \, 0 \; = \; 12 </math>
+
Ekvationen har endast de komplexa lösningarna <math> \, x_1 = i \, </math> och <math> \, x_2 = -i </math>.
  
−
Man kan alltså dra av hur många nollor som helst från <math> \, 12 \, </math> utan att det blir mindre: En oändlig process ger inget resultat.
+
<b>Slutsats:</b> Den rationella funktionen <math> \, y_1</math><span style="color:black">:s</span> <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är<span style="color:black">:</span> <math> \quad\;\; \boxed{{\rm Alla\;reella\;tal}\quad x} </math>  
−
 
+
−
<b>Slutsats:</b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Division med <math> 0 \,</math> är inte definierad.
+
 
</div>
 
</div>
  
  
−
<big>
+
<div class="ovnA">
−
Läs: [http://90.224.79.92:8080/minidemo/index.php/Vad_h%C3%A4nder_om_man_%C3%A4nd%C3%A5_dividerar_med_0_%3F <b><span style="color:blue">Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?</span></b>]
+
=== <span style="color:#931136">Exempel 3</span> ===
−
</big>
+
En liten ändring i <math> \, y_1</math>:s nämnare från <math> \, x^2 \, \bf{{\color{Red} +}} \, 1 \, </math> till <math> \, x^2 \, \bf{{\color{Red} -}} \, 1 \, </math> resulterar i en annan funktion med ett annat beteende:
  
 +
<div class="border-div20"> <big><math> \displaystyle y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} = {6\,x \over (x + 1) \cdot (x - 1)} </math></big> </div> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Rat_fkt_med_disk.jpg]]
  
−
== <b><span style="color:#931136">Rationella funktioner</span></b> ==
+
<b><span style="color:red">Grafen</span></b> är updelad i tre grenar och har två diskontinuiteter, dvs två ställen där den inte är kontinuerlig,
  
−
<big>
+
dvs inte sammanhängande<span style="color:black">:</span> <math> \, x\, = \, -1 \, </math> och <math> \, x\, = \, 1 </math>. När <math> \, x\, </math> närmar sig dessa två ställen går <math> \, y_2\,</math> mot oändligheten.  
−
Ett bra sätt att studera rationella uttryck är att bilda funktioner med dem och visualiserar dem med grafer.  
+
  
−
En <b><span style="color:red">rationell funktion</span></b> är ett rationellt uttryck som tilldelas en annan variabel, t.ex. <math> \, y</math>.  
+
<b><span style="color:red">Algebraiskt</span></b> har nämnaren i <math> \, y_2 \, </math> nollställena <math> \, x = 1 \, </math> och <math> \, x = -1 </math>. Därför har <math> \, y_2 \, </math> diskontinuiteter i dessa punkter. 
−
</big>
+
  
 +
:::::::::::::<big><math> \Downarrow </math></big>
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel1 -->
+
<b>Slutsats:</b> Den rationella funktionen <math> \, y_2</math><span style="color:black">:s</span> <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \boxed{{\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq -1 \; {\rm och} \; x \neq 1} </math>
−
=== <span style="color:#931136">Exempel 1</span> ===
+
−
 
+
−
<big>
+
−
Det rationella uttrycket <math> \, \displaystyle{\frac{1}{x}} \, </math> som är en kvot mellan polynomet <math> 1\, </math> (av graden 0) och polynomet <math> x\, </math> (av graden 1), tilldelas variabeln <math> \, y \, </math>, vilket ger den <b><span style="color:red">rationella funktionen:</span></b>
+
−
 
+
−
<div class="border-div"> <big><math> \displaystyle y = {1 \over x} </math></big> </div> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; vars graf ser ut så här:  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Praktisk forklaring.jpg]]
+
−
 
+
−
::::::::::::::::<b><span style="color:red">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Funktionen är diskontinuerlig i <math> \; {\color{Red} {x = 0}} </math>. </span></b>
+
−
 
+
−
Den väsentliga skillnaden mellan denna graf och polynomfunktioners graf är att den här har två skilda grenar, medan en polynomfunktions graf har ett sammanhängande förlopp. Uttryckt i matematiska termer: en polynomfunktion är alltid kontinuerlig. Ett polynoms graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet.
+
−
 
+
−
I grafen ovan måste vid <math> x = 0\, </math> pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra. Dvs grafen är inte sammanhängande i <math> x = 0\, </math>. Man säger att funktionen är <b><span style="color:red">icke-kontinuerlig</span></b> eller <b><span style="color:red">diskontinuerlig</span></b> i <math> x = 0\, </math>.
+
−
 
+
−
Anledningen till denna <b><span style="color:red">diskontinuitet</span></b> är att <math> \; y = </math> <math> \displaystyle {1 \over x} \; </math> inte är definierad för <math> x = 0\, </math>. När <math> x \, </math> närmar sig <math> 0\, </math> går <math> y\, </math> mot oändligheten, vilket kan inses både algebraiskt och grafiskt. Man måste undanta <math> x = 0\, </math> från funktionens definitionsmängd:
+
−
 
+
−
Den rationella funktionen <math> y = </math> <math> \displaystyle {1 \over x}</math><span style="color:black">:s</span> <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är<span style="color:black">:</span> <math> \quad {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 0 </math>.
+
−
</big></div>
+
−
 
+
−
 
+
−
<div class="border-divblue">
+
−
<b><span style="color:#931136">Definition:</span></b>
+
−
 
+
−
En funktions <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är mängden av alla <math> \, x \, </math> för vilka funktionen är definierad.
+
 
</div>
 
</div>
  
  
−
<big>
+
<div class="ovnC">
−
Diskontinuiteten <u>för vissa</u> <math> \, x \, </math> är något typiskt för alla rationella funktioner och det är det som skiljer dem från polynomfunktioner som är definierade och kontinuerliga för <u>alla</u> <math> x\, </math>.
+
=== <b><span style="color:#931136">Hävbara och icke-hävbara diskontinuiteter</span></b> ===
−
 
+
−
Diskontinuiteten <u>för vissa</u> <math> \, x\, </math> innebär att det är bara några isolerade <math> \, x</math>-värden som en rationell funktion <u>kan</u> vara diskontinuerlig för. Det finns även rationella funktioner som inte har några reella diskontinuiteter, dvs de är kontinuerliga för alla reella <math> \, x\, </math>. Här följer ett exempel:
+
−
</big>
+
−
 
+
  
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
−
=== <span style="color:#931136">Exempel 2</span> ===
 
−
<big>
 
−
En "snäll" rationell funktion utan reell diskontinuitet samt graf:
 
−
<div class="border-div"> <big><math> \displaystyle y_1 = {6\,x \over x^2 + 1} </math></big> </div> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Rat_fkt_utan_disk.jpg]]
 
  
−
Funktionsuttryckets nämnare har inga reella nollställen, dvs ekvationen <math> x^2 + 1 = 0\, </math> saknar reell lösning. Den ger nämligen <math> \, x^2 = -1 </math>. Och <math> \, \sqrt{-1} \, </math> är inget reellt tal. Ekvationen har endast de komplexa lösningarna <math> \, x_1 = i \, </math> och <math> \, x_2 = -i </math>.
+
==== <span style="color:#931136">Exempel</span> ====
  
−
Slutsats<span style="color:black">:</span> Den rationella funktionen <math> \, y_1 \, </math> är definierad och kontinuerlig för alla reella <math> \, x </math>, vilket även ses på grafen.  
+
:[[Image: 14f_Förkort_Diskont.jpg]]
−
</big></div>
+
</div>
  
 +
Vi skriver de rationella uttrycken ovan som funktioner och ritar deras grafer för att besvara
  
−
<div class="exempel">
+
<b>Frågan:</b> &nbsp;&nbsp; Är det <b>en</b> funktion i två olika skepnader eller är det <b>två</b> olika funktioner?
−
=== <span style="color:#931136">Exempel 3</span> ===
+
<table>
−
<big>
+
<tr>
 +
  <td><div class="border-div20">
 +
<math>\begin{align} f\,(x) & = {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} = {2\,x\,{\color{Red} {(x + 3)}} \over {\color{Red} {(x + 3)}}\,(x - 3)} \\
 +
                    g\,(x) & = {2\,x \over x - 3}
 +
      \end{align} </math>
 +
</div>
 +
<b>Svaret:</b> &nbsp;&nbsp; <math> f(x) \, </math> och <math> \, g\,(x) \, </math> är <b><span style="color:red">två olika funktioner</span></b> eftersom
  
−
En liten ändring från <math> \, x^2 \, \bf{{\color{Red} +}} \, 1 \, </math> till <math> \, x^2 \, \bf{{\color{Red} -}} \, 1 \, </math> i <math> \, y_1</math>:s nämnare resulterar i en annan funktion med ett helt annorlunda beteende:
+
deras definitionsmängder är olika<span style="color:black">:</span>
  
−
<div class="border-div"> <big><math> \displaystyle y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} = {6\,x \over (x + 1) \cdot (x - 1)} </math></big> </div> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Rat_fkt_med_disk.jpg]]
+
<math> f(x)</math><span style="color:black">:s</span> <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är<span style="color:black">:</span> <math> \boxed{{\rm Alla} \, x \, {\rm med} \, x \neq -3 \, {\rm och} \, x \neq 3} </math>
  
−
Nämnaren kan faktoriseras och har nollställena <math> \, x = 1 \, </math> och <math> \, x = -1\, </math>. <math> \quad \Rightarrow \quad </math> Den rationella funktionen <math> \, y_2 \, </math> har två diskontinuiteter<span style="color:black">:</span> <math> \, x = 1 \, </math> och <math> \, x = -1\, </math>.
+
<math> g\,(x)</math><span style="color:black">:s</span> <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är<span style="color:black">:</span> <math> \boxed{{\rm Alla} \, x \, {\rm med} \, x \neq 3} </math>  
 +
</td>
 +
  <td>[[Image: Havbar_ickehavbar_disk.jpg]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
Med andra ord<span style="color:black">:</span> Den rationella funktionen <math> \, y_2 \, </math> är definierad och kontinuerlig för alla <math> \ x \, \neq \, 1</math> och <math> \, x \, \neq \, -1 \, </math>.
+
<b><span style="color:red">OBS!</span></b> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Likheten <math> \, {2\,x\,{\color{Red} {(x + 3)}} \over {\color{Red} {(x + 3)}}\,(x - 3)} \, = \, {2\,x \over x - 3} \, </math> gäller inte för alla <math> \, x \, </math> utan endast för alla <math> \, x \not= -3 </math>. Anledningen är:
  
−
Som grafen visar är <math> \, y_2</math>:s kurva uppdelad i tre grenar och har två ställen där den inte är sammanhängande (inte kontinuerlig). När <math> x\, </math> närmar sig <math> -1\, </math> eller <math> 1\, </math> går <math>y_2\,</math> mot oändligheten.  
+
:::Förkortningen med <math> \, {\color{Red} {(x + 3)}} \, </math> är endast korrekt om <math> \, x \not= -3 </math> eftersom den innebär division med <math> \, {\color{Red} {(x + 3)}} \, </math> som är <math> \, 0\,</math> när <math> \, x = -3\, </math>.  
−
</big></div>
+
  
 +
:::Se upp för division med <math> \, 0 \,</math> i uttryck, för den är oftast gömd. Läs: [http://34.248.89.132:1800/index.php/Vad_som_kan_hända_om_man_ändå_dividerar_med_0 <b><span style="color:blue">Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?</span></b>].
  
−
<big>
+
Graferna lurar oss: Med blotta ögat ser man knappast någon skillnad mellan <math> f(x) \, </math> och <math> \, g\,(x) </math>. Men om du förstorar <math> f(x)</math>:s graf kan du se i den ett "hål" eller en "lucka" i <math> \, x = -3 </math>, vilket beror på att <math> f(x) \, </math> inte är definierad där. Grafen "hoppar" över <math> \, x = -3 \, </math> så att säga. Men till skillnad från <math> \, x = 3 \, </math> går funktionen inte mot oändligheten i den närmaste omgivningen av <math> \, x = -3 </math>. Anledningen till det är att <math> \, x = -3 \, </math> är en <b><span style="color:red">hävbar diskontinuitet</span></b>, till skillnad från <math> \, x = 3 \, </math> som är en <b><span style="color:red">icke-hävbar diskontinuitet</span></b>.
−
Exemplet visar att det som är väsentligt för rationella funktioner, är vilka nollställen polynomet i nämnaren har. De utgör den rationella funktionens diskontinuiteter.
+
  
−
Det finns två typer av diskontinuiteter:
 
−
</big>
 
  
 +
<div class="border-divblue">
 +
<math> x = -3 </math> kallas för en <b><span style="color:red">hävbar diskontinuitet</span></b> eftersom <math> (x+3) </math> kan förkortas bort i <math> f(x) </math> och försvinner då från nämnaren.
  
−
== <b><span style="color:#931136">Hävbara och icke-hävbara diskontinuiteter</span></b> ==
+
<math> \, x = 3 \, </math> kallas för en <b><span style="color:red">icke-hävbar diskontinuitet</span></b> eftersom <math> \, (x-3) \, </math> finns kvar i nämnaren av <math> f(x) </math>.
 +
</div>
  
−
<big>
 
−
Vi har hittills använt bråktalens räkneregler för att räkna med rationella uttryck utan att stöta på några hinder. Denna analogi har sina gränser: Rationella uttryck är ändå inga bråktal. De är komplexare. Därför är det inte förvånansvärt att de har egenskaper som inte längre kan jämföras med bråktal. En av dessa visar sig när man förkortar dem efter faktorisering av täljaren och nämnaren.
 
−
</big>
 
  
 +
</div>
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel3 -->
 
−
=== <span style="color:#931136">Exempel 4</span> ===
 
  
−
:::::[[Image: 14f_Förkort_Diskont.jpg]]
+
<big>Men hur häver man en hävbar diskontinuitet?</big>
  
  
−
<big>
+
<div class="ovnA">
−
<b><span style="color:red">Hävbar diskontinuitet</span></b> kallas den första diskontinuiteten <math> \, x = -3 \, </math> som vi lyckades få bort genom förkortning av faktorn <math> \, x + 3 </math>.
+
=== <b><span style="color:#931136">Kontinuerlig fortsättning</span></b> ===
  
−
<b><span style="color:red">Icke-hävbar diskontinuitet</span></b> kallas den andra diskontinuiteten <math> \, x = 3 \, </math> som är kvar i form av faktorn <math> \, x - 3 \, </math> i nämnaren.
+
Hävbara diskontinuiteter är "snälla". Funktioner med hävbara diskontinuiteter kan "repareras":
−
</big></div>
+
  
 +
Det gör man genom att definiera en ny funktion som inte längre har den ursprungliga funktionens hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med den.
  
−
<big>
+
I exemplet ovan skulle man kunna t.ex. komplettera funktionen <math> f(x)\, </math>:s definition med ett värde för <math> \, x = -3 \, </math> som gör att den nya funktionen blir kontinuerlig i sin omgivning. Man får fram detta värde genom att beräkna värdet av <math> \, \displaystyle {g\,(x) = {2\,x \over x - 3}} \, </math> för <math> \, x = -3 </math><span style="color:black">:</span>
−
Efter faktorisering av täljaren och nämnaren samt förkortning med faktorn <math> \, (x+3) \, </math> förenklas det rationella uttrycket väsentligt. Men denna förkortning är endast korrekt om <math> \, x \not= -3 </math> eftersom förkortning med <math> \, (x+3) \,</math> innebär division med <math> \, 0\,</math> om <math> \, x = -3\, </math>.
+
  
−
<b><span style="color:red">OBS!</span></b> &nbsp;&nbsp; Se upp för division med <math> \, 0 \,</math> i uttryck, för den är oftast gömd. Man kan råka ut för den utan att märka.
+
::::::::<math> g\,(-3) = {2 \cdot (-3) \over -3 - 3} = {-6 \over -6} = 1 </math>
  
−
:: &nbsp; Läs: [http://90.224.79.92:8080/minidemo/index.php/Vad_h%C3%A4nder_om_man_%C3%A4nd%C3%A5_dividerar_med_0_%3F <b><span style="color:blue">Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?</span></b>].
+
Värdet <math> \, 1 \, </math> läggs till i den nya funktionen för <math> \, x = -3 </math>. Så blir den kontinuerliga fortsättningen en modifierad version av <math> f(x) </math> som består just av det här tillägget. För alla andra <math> \, x \, </math> är den nya funktionen identisk med den gamla <math> f(x) </math>.
  
−
Det sista likhetstecknet mellan de rationella uttrycken i exempel 3 gäller endast under förutsättningen <math> \, x \not= -3 </math>. Det enklare uttrycket är identiskt med det ursprungliga inte för alla <math> \, x \, </math> utan för alla utom för <math> \, x = -3\, </math>.
+
Så här kan den nya funktionen <math>-</math> kallad den <b><span style="color:red">kontinuerliga fortsättningen</span></b> av <math> f(x) </math> <math>-</math> definieras<span style="color:black">:</span>
  
−
Det blir ännu tydligare när vi skriver om de rationella uttrycken som rationella funktioner. Det uppstår nämligen två olika funktioner:  
+
:::::<div class="border-div"> <math> \hat{f}(x) \, = \, \begin{cases} \displaystyle {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} & \mbox{om } x \neq -3  \\
 +
                                                                                                                    \\
 +
                                                                                                  1              & \mbox{om } x  =  -3
 +
                              \end{cases}</math> </div>
  
−
<table>
+
Denna definition är uppdelad i två olika fall: &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; För alla <math> \, x \neq -3\, </math> definieras <math> \, \hat{f}(x) \, </math> enligt det rationella uttrycket för <math> \, f(x)\, </math>.
−
<tr>
+
−
  <td><math>\begin{align} f(x) & = {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} = {2\,x\,{\color{Red} {(x + 3)}} \over {\color{Red} {(x + 3)}}\,(x - 3)} \\
+
−
                                                                                                                                            \\
+
−
                            g\,(x) & = {2\,x \over x - 3}\end{align} </math></td>
+
−
  <td><math> \qquad </math></td>
+
−
  <td>[[Image: Havbar_ickehavbar_disk.jpg]]</td>
+
−
</tr>
+
−
</table>
+
  
−
Dessa funktioner är olika därför att deras definitionsmängder är olika. Medan <math> \, f(x)\, </math> är definierad för alla <math> \ x \, \neq \, -3</math> och <math> \, x \, \neq \, 3 \, </math>, är <math> \, g\,(x)\, </math> definierad för alla <math> \ x \, \neq \, 3</math>.  
+
:::::::::::::För <math> \, x = -3 \, </math> får <math> \hat{f}(x) \, </math> värdet <math> 1 </math>, dvs <math> \hat{f}(-3) = 1 </math>.  
  
−
<b><span style="color:red">OBS!</span></b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Funktionernas grafer lurar oss. Med blotta ögat ser man knappast någon skillnad mellan <math> \, f(x) \, </math> och <math> \, g\,(x) \, </math>. I själva verket har <math> \, f(x)\, </math> ett "hål" eller en "lucka" i <math> \, x = -3 </math>, är inte definierad och har en diskontinuitet där. Den "hoppar" över <math> \, x = -3 \, </math> så att säga. Men pga att denna diskontinuitet är hävbar, går funktionen inte mot oändligheten i den närmaste omgivningen av den.
+
<math>\hat{f}(x) \, </math> är både algebraiskt och grafiskt (se exemplet ovan) identisk med den förkortade form vi hade fått tidigare<span style="color:black">:</span>
−
</big>
+
  
 +
::::::::<math> \hat{f}(x) \, = \, g\,(x) \, = \, {2 \, x \over x - 3} </math>
  
−
== <b><span style="color:#931136">Kontinuerlig fortsättning</span></b> ==
+
I praktiskt beräkningssammanhang, t.ex. när man ritar grafen, föredrar man förstås denna enkla form.
  
−
<big>
+
Nackdelen med den är bara att den inte längre innehåller något spår av den ursprungliga funktionen <math> f(x)\, </math>, att den "gömmer" sina rötter. Man ser inte att den är en kontinuerlig fortsättning av <math> f(x) </math>.
−
Hävbara diskontinuiteter är "snälla" och kan "repareras". En ny funktion kan definieras som inte längre har den ursprungliga funktionens hävbara diskontinuiteter, men är annars identisk med den. En sådan funktion kallas den <b><span style="color:red">kontinuerliga fortsättningen</span></b> av den ursprungliga.  
+
  
−
I det här fallet skulle man kunna t.ex. komplettera funktionen <math> \, f(x)\, </math>:s definition med ett värde för <math> \, x = -3 \, </math> som gör att den nya funktionen blir kontinuerlig mot sin omgivning. Hur får man fram detta värde? Man gör det genom att beräkna <math> \, g\,(-3) </math>:
+
Den andra faktorn <math> (x-3)\, </math> både i <math> f(x)</math>:s och <math> \, \hat{f}(x)</math>:s nämnare som inte kan förkortas ger upphov till den andra diskontinuiteten <math> \, x = 3 \, </math> som till skillnad från <math> \, x = -3\, </math> är en icke-hävbar diskontinuitet och inte kan "repareras" på något sätt. När <math> \, x\, </math> går mot <math> \, 3\, </math> går <math> f(x)\, </math> inte mot ett ändligt värde utan mot oändligheten, vilket syns i graferna till både <math> f(x)\, </math> och <math> \hat{f}(x) </math>. Denna "allvarliga" diskontinuitet finns även kvar i den kontinuerliga fortsättningen <math> \hat{f}(x) </math>.
  
−
::::::::<math> g\,(-3) = {2 \cdot (-3) \over -3 - 3} = {-6 \over -6} = 1 </math>
+
Så <math> \hat{f}(x) \, </math> har endast en diskontinuitet kvar medan <math> f(x)\, </math> hade två diskontinuiteter.
−
 
+
</div>
−
Detta värde <math> \, 1 \, </math> läggs till i den nya funktionen för <math> \, x = -3 </math>. Så blir den kontinuerliga fortsättningen en modifierad version av <math> \, f(x) </math>. Modifikationen består just av det här tillägget. För alla andra <math> \, x \, </math> är den nya funktionen identisk med <math> \, f(x) </math>.
+
−
 
+
−
Så här kan den nya funktionen definieras:
+
−
 
+
−
::::::::<math> \hat{f}(x) \, = \, \begin{cases} \displaystyle {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} & \mbox{om } x \neq -3  \\
+
−
                                                                                                                    \\
+
−
                                                                            1              & \mbox{om } x  =  -3
+
−
                                  \end{cases}</math>
+
−
 
+
−
Denna definition är uppdelad i två olika fall: För alla <math> x \neq -3\, </math> definieras funktionen <math> \, \hat{f}(x) \, </math> enligt det rationella uttrycket för <math> f(x)\, </math>, medan för <math> x = -3\, </math> har den värdet <math> 1\, </math>.
+
−
 
+
−
<math>\hat{f}(x) \, </math> kallas den <b><span style="color:red">kontinuerliga fortsättningen</span></b> av <math> \ f(x) </math> och är helt och hållet identisk med den förkortade form som vi hade fått tidigare:
+
−
 
+
−
::::::::<math> \hat{f}(x) \, = \, g\,(x) \, = \, {2 \, x \over x - 3} </math>
+
−
 
+
−
I praktiskt beräkningssammanhang och när man ritar grafen föredrar man förstås denna enkla form. Nackdelen med den är bara att den inte längre innehåller något spår av den ursprungliga funktionen <math> f(x)\, </math>, att den "gömmer" sina rötter. Man ser inte direkt varifrån den kommer, att den är en kontinuerlig fortsättning av <math> f(x)\, </math>.
+
−
 
+
−
Den andra faktorn <math> (x-3)\, </math> både i <math> \,f(x)</math>:s och <math> \, \hat{f}(x)</math>:s nämnare som inte kan förkortas ger upphov till den andra diskontinuiteten <math> \, x = 3 </math>. När <math> \, x\, </math> går mot <math> \, 3\, </math> går <math> \, f(x)\, </math> inte mot ett ändligt värde utan mot oändligheten. Därför är diskontinuiteten i <math> x = 3\, </math> kvar och synlig i graferna till både <math> \, f(x)\, </math> och <math> \, \hat{f}(x) \, </math>. Den är, till skillnad från den första, en icke-hävbar diskontinuitet och kan inte "repareras" på något sätt. Denna "allvarliga" diskontinuitet finns även kvar i den kontinuerliga fortsättningen <math> \, \hat{f}(x) </math>. Så <math> \, \hat{f}(x) \, </math> har en diskontinuitet kvar medan <math> f(x)\, </math> hade två diskontinuiteter.
+
−
</big>
+
  
  
Rad 306: Rad 211:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 2 juni 2019 kl. 12.48

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt  >>      

     <<  Repetition: Tal i bråkform


Division med \( \, 0 \, \) är inom de reella talen inte definierad.

\( \quad \) Varför? \( \qquad\qquad\qquad \) Vad händer om man ändå dividerar med 0?


Rationella funktioner

En rationell funktion är ett rationellt uttryck som tilldelas en annan variabel, t.ex. \( \, y\).


Exempel 1

Det rationella uttrycket \( \, \displaystyle{\frac{1}{x}} \, \) tilldelas variabeln \( \, y \, \), vilket ger den rationella funktionen samt grafen:

\( \displaystyle y = {1 \over x} \)
          Praktisk forklaring.jpg
Funktionen är inte definierad för \( \; {\color{Red} {x = 0}} \).

Till skillnad från polynomfunktioners graf har denna graf två skilda grenar, uttryckt i matematiska termer:

En polynomfunktion är alltid kontinuerlig: Dess graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet.

I grafen ovan måste vid \( x = 0\, \) pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra.

Dvs grafen är inte sammanhängande i \( x = 0\, \).

Man säger att funktionen är diskontinuerlig (icke-kontinuerlig) i \( \, x = 0 \).

Anledningen till denna diskontinuitet är att \( \; y = \) \( \displaystyle {1 \over x} \; \) inte är definierad för \( x = 0\, \).

När \( \, x \, \) närmar sig \( 0\, \) går \( y\, \) mot oändligheten, vilket kan inses både algebraiskt och grafiskt.

Man måste undanta \( x = 0\, \) från funktionens definitionsmängd:

Den rationella funktionen \( y = \) \( \displaystyle {1 \over x}\):s definitionsmängd är: \( \qquad \boxed{{\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 0} \)


Matte 2:

En funktions definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka funktionen är definierad.


Diskontinuiteten för vissa \( \, x \, \) är något typiskt för alla rationella funktioner och

det är det som skiljer dem från polynomfunktioner som är definierade och kontinuerliga för alla \( x\, \).

Diskontinuiteten för vissa \( \, x\, \) innebär att det är bara några isolerade \( \, x\)-värden som en rationell funktion kan vara diskontinuerlig för.

Det finns även rationella funktioner som inte har några reella diskontinuiteter, dvs de är kontinuerliga för alla reella \( \, x\, \). Här följer ett exempel:


Exempel 2

En "snäll" rationell funktion samt graf utan reell diskontinuitet:

\( \displaystyle y_1 = {6\,x \over x^2 + 1} \)
          Rat fkt utan disk.jpg


Grafen visar inga diskontinuiteter.

Algebraiskt har funktionsuttryckets nämnare inga reella nollställen, dvs ekvationen

\( x^2 + 1 = 0\, \) saknar reell lösning. Den ger nämligen \( \, x^2 = -1 \). Och \( \, \sqrt{-1} \, \) är inget reellt tal.

Ekvationen har endast de komplexa lösningarna \( \, x_1 = i \, \) och \( \, x_2 = -i \).

Slutsats: Den rationella funktionen \( \, y_1\):s definitionsmängd är: \( \quad\;\; \boxed{{\rm Alla\;reella\;tal}\quad x} \)


Exempel 3

En liten ändring i \( \, y_1\):s nämnare från \( \, x^2 \, \bf{{\color{Red} +}} \, 1 \, \) till \( \, x^2 \, \bf{{\color{Red} -}} \, 1 \, \) resulterar i en annan funktion med ett annat beteende:

\( \displaystyle y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} = {6\,x \over (x + 1) \cdot (x - 1)} \)
          Rat fkt med disk.jpg

Grafen är updelad i tre grenar och har två diskontinuiteter, dvs två ställen där den inte är kontinuerlig,

dvs inte sammanhängande: \( \, x\, = \, -1 \, \) och \( \, x\, = \, 1 \). När \( \, x\, \) närmar sig dessa två ställen går \( \, y_2\,\) mot oändligheten.

Algebraiskt har nämnaren i \( \, y_2 \, \) nollställena \( \, x = 1 \, \) och \( \, x = -1 \). Därför har \( \, y_2 \, \) diskontinuiteter i dessa punkter.

\( \Downarrow \)

Slutsats: Den rationella funktionen \( \, y_2\):s definitionsmängd är: \( \qquad \boxed{{\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq -1 \; {\rm och} \; x \neq 1} \)


Hävbara och icke-hävbara diskontinuiteter

Exempel

14f Förkort Diskont.jpg

Vi skriver de rationella uttrycken ovan som funktioner och ritar deras grafer för att besvara

Frågan:    Är det en funktion i två olika skepnader eller är det två olika funktioner?

\(\begin{align} f\,(x) & = {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} = {2\,x\,{\color{Red} {(x + 3)}} \over {\color{Red} {(x + 3)}}\,(x - 3)} \\ g\,(x) & = {2\,x \over x - 3} \end{align} \)

Svaret:    \( f(x) \, \) och \( \, g\,(x) \, \) är två olika funktioner eftersom

deras definitionsmängder är olika:

\( f(x)\):s definitionsmängd är: \( \boxed{{\rm Alla} \, x \, {\rm med} \, x \neq -3 \, {\rm och} \, x \neq 3} \)

\( g\,(x)\):s definitionsmängd är: \( \boxed{{\rm Alla} \, x \, {\rm med} \, x \neq 3} \)

Havbar ickehavbar disk.jpg

OBS!        Likheten \( \, {2\,x\,{\color{Red} {(x + 3)}} \over {\color{Red} {(x + 3)}}\,(x - 3)} \, = \, {2\,x \over x - 3} \, \) gäller inte för alla \( \, x \, \) utan endast för alla \( \, x \not= -3 \). Anledningen är:

Förkortningen med \( \, {\color{Red} {(x + 3)}} \, \) är endast korrekt om \( \, x \not= -3 \) eftersom den innebär division med \( \, {\color{Red} {(x + 3)}} \, \) som är \( \, 0\,\) när \( \, x = -3\, \).
Se upp för division med \( \, 0 \,\) i uttryck, för den är oftast gömd. Läs: Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?.

Graferna lurar oss: Med blotta ögat ser man knappast någon skillnad mellan \( f(x) \, \) och \( \, g\,(x) \). Men om du förstorar \( f(x)\):s graf kan du se i den ett "hål" eller en "lucka" i \( \, x = -3 \), vilket beror på att \( f(x) \, \) inte är definierad där. Grafen "hoppar" över \( \, x = -3 \, \) så att säga. Men till skillnad från \( \, x = 3 \, \) går funktionen inte mot oändligheten i den närmaste omgivningen av \( \, x = -3 \). Anledningen till det är att \( \, x = -3 \, \) är en hävbar diskontinuitet, till skillnad från \( \, x = 3 \, \) som är en icke-hävbar diskontinuitet.


\( x = -3 \) kallas för en hävbar diskontinuitet eftersom \( (x+3) \) kan förkortas bort i \( f(x) \) och försvinner då från nämnaren.

\( \, x = 3 \, \) kallas för en icke-hävbar diskontinuitet eftersom \( \, (x-3) \, \) finns kvar i nämnaren av \( f(x) \).



Men hur häver man en hävbar diskontinuitet?


Kontinuerlig fortsättning

Hävbara diskontinuiteter är "snälla". Funktioner med hävbara diskontinuiteter kan "repareras":

Det gör man genom att definiera en ny funktion som inte längre har den ursprungliga funktionens hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med den.

I exemplet ovan skulle man kunna t.ex. komplettera funktionen \( f(x)\, \):s definition med ett värde för \( \, x = -3 \, \) som gör att den nya funktionen blir kontinuerlig i sin omgivning. Man får fram detta värde genom att beräkna värdet av \( \, \displaystyle {g\,(x) = {2\,x \over x - 3}} \, \) för \( \, x = -3 \):

\[ g\,(-3) = {2 \cdot (-3) \over -3 - 3} = {-6 \over -6} = 1 \]

Värdet \( \, 1 \, \) läggs till i den nya funktionen för \( \, x = -3 \). Så blir den kontinuerliga fortsättningen en modifierad version av \( f(x) \) som består just av det här tillägget. För alla andra \( \, x \, \) är den nya funktionen identisk med den gamla \( f(x) \).

Så här kan den nya funktionen \(-\) kallad den kontinuerliga fortsättningen av \( f(x) \) \(-\) definieras:

\( \hat{f}(x) \, = \, \begin{cases} \displaystyle {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} & \mbox{om } x \neq -3 \\ \\ 1 & \mbox{om } x = -3 \end{cases}\)

Denna definition är uppdelad i två olika fall:      För alla \( \, x \neq -3\, \) definieras \( \, \hat{f}(x) \, \) enligt det rationella uttrycket för \( \, f(x)\, \).

För \( \, x = -3 \, \) får \( \hat{f}(x) \, \) värdet \( 1 \), dvs \( \hat{f}(-3) = 1 \).

\(\hat{f}(x) \, \) är både algebraiskt och grafiskt (se exemplet ovan) identisk med den förkortade form vi hade fått tidigare:

\[ \hat{f}(x) \, = \, g\,(x) \, = \, {2 \, x \over x - 3} \]

I praktiskt beräkningssammanhang, t.ex. när man ritar grafen, föredrar man förstås denna enkla form.

Nackdelen med den är bara att den inte längre innehåller något spår av den ursprungliga funktionen \( f(x)\, \), att den "gömmer" sina rötter. Man ser inte att den är en kontinuerlig fortsättning av \( f(x) \).

Den andra faktorn \( (x-3)\, \) både i \( f(x)\):s och \( \, \hat{f}(x)\):s nämnare som inte kan förkortas ger upphov till den andra diskontinuiteten \( \, x = 3 \, \) som till skillnad från \( \, x = -3\, \) är en icke-hävbar diskontinuitet och inte kan "repareras" på något sätt. När \( \, x\, \) går mot \( \, 3\, \) går \( f(x)\, \) inte mot ett ändligt värde utan mot oändligheten, vilket syns i graferna till både \( f(x)\, \) och \( \hat{f}(x) \). Denna "allvarliga" diskontinuitet finns även kvar i den kontinuerliga fortsättningen \( \hat{f}(x) \).

Så \( \hat{f}(x) \, \) har endast en diskontinuitet kvar medan \( f(x)\, \) hade två diskontinuiteter.





Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck&oldid=36674"