Skillnad mellan versioner av "2.3 Gränsvärde"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(689 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|<-- Förra avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
−
{{Selected tab|[[2.3 Gränsvärde|Teori]]}}
+
{{Selected tab|[[2.3 Gränsvärde|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.3 Övningar till Gränsvärde|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.3 Övningar till Gränsvärde|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[2.4 Derivatans definition: Från sekanten till tangenten|Nästa avsnitt -->]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.3 Fördjupning till Gränsvärde|Fördjupning]]}}
 +
{{Not selected tab|[[2.4 Derivatans definition|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
 +
<!-- [[Media: Lektion_14_Gransvarde_Rutac.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 14 Gränsvärde</span></b>]] -->
  
 +
<big>
 +
Vårt mål i detta kapitel är att förstå begreppet <b><span style="color:red">derivata</span></b>. Men eftersom derivata är ett gränsvärde, måste vi först behandla begreppet gränsvärde.
  
−
[[Media: Lektion 12 Gränsvärde Ruta.pdf|Lektion 12 Gränsvärde]]
+
Limesbegreppet är centralt inom <b><span style="color:red">Analys</span></b><math>-</math> den gren av matematiken som [https://sv.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton <b><span style="color:blue">Newton</span></b>] och [https://sv.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz <b><span style="color:blue">Leibniz</span></b>] på 1700-talet la grunden till, även kallad <b><span style="color:red">Differential- och Integralkalkyl</span></b>, på engelska <b><span style="color:red">Calculus</span></b>. Det är därför vi numera använder begreppet "analytiskt" istället för "algebraiskt".
  
−
__TOC__
 
  
 +
<big><b><span style="color:#931136">Introduktion till gränsvärde</span></b></big> <!-- &nbsp; <b>Uppgift 3438 (3c-boken, sid 190):</b> -->
 +
<table>
 +
<tr>
 +
<td><div class="ovnE0">
 +
<small>En fallskärmshoppare faller fritt med hastigheten
  
−
== Gränsvärde av en funktion ==
+
<math> \qquad\quad\;\; </math> <div class="smallBoxVariant"><math> v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math></div>
  
−
==== Exempel ====
+
där <math> \, t = \, </math> tiden i sek. I praktiken vet vi att det finns en
  
−
<big>Funktionen</big> <math> y = f(x) = </math> <big><big><math> {10 \over x\,-\,2} </math></big></big> <big>har följande graf:</big> <math> \qquad </math> [[Image: Ex 1 Gransvarde 70a.jpg]]
+
maximal hastighet <math> \, v_{max} \, </math> som hopparen inte kan över-
  
−
:::::::::::::::<big><b> <strong><span style="color:red">Vad händer med funktionen när </span></strong> <math> {\color{White} x} x \to \infty {\color{White} x} </math> <strong><span style="color:red">och</span></strong> <math> {\color{White} x} x \to - \infty {\color{White} x} </math><strong><span style="color:red">?</span></strong> </b></big>
+
skrida. Bestäm denna gränshastighet matematiskt.</small>
 +
</div>
 +
</td>
 +
  <td><math> \quad </math></td>
 +
  <td>[[Image: 5_186_Uppg_3438_Fritt_fall_250.jpg]]
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
<b>Fysikalisk tolkning:</b>
  
 +
Grafen till <math> \, v(t) \, </math> visar att det finns en maximal hastighet som hopparen inte kan överskrida:
  
−
Som grafen visar närmar sig kurvan <math>\, x</math>-axeln utan att skära eller ens beröra den. Dvs funktionen går mot <math> 0\, </math> utan att nå själva värdet <math> 0\, </math> någon gång. <math> f(x)\, </math> blir allt mindre ju större <math> x \, </math> blir. Funktionen närmar sig <math> 0\, </math> när <math> x \, </math> växer både i positiv och negativ riktning. Kurvan skär aldrig <math> \, x </math>-axeln. Därför har funktionen inget nollställe. Detta bekräftas av funktionsuttrycket: Täljaren är konstanten <math> 10\, </math> som aldrig kan bli <math> 0\, </math>. Därför kan hela funktionsuttrycket aldrig bli <math> 0\, </math>. Ett sätt att beskriva detta beteende är:
+
Efter ca. 40 sek blir hopparens hastighet konstant<span style="color:black">:</span> <math> \;\; v \, \approx \, v_{max} = 80 </math> m/s. <math> \;\; </math> [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ <b><span style="color:blue">Newtons fösta lag</span></b>]:  
  
−
::<math> {10 \over x\,-\,2} \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to \infty \qquad {\color{White} x} {\rm vilket\;läses\;så\;här:} {\color{White} x} \qquad {10 \over x\,-\,2} \;\, {\rm går\;mot} \;\, 0 \quad {\rm när} \quad x \;\, {\rm går\;mot} \;\, \infty </math>
+
<i>När ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet är summan av alla krafter <math> \, = 0 \, </math> (och omvänt).</i>
  
−
Det strikt matematiska sättet att uttrycka samma sak är:
+
Därav följer<span style="color:black">:</span> <math> \qquad </math> Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> gravitation <math> \quad </math> dvs <math> \quad </math> rörelsen är ett <b><span style="color:red">fritt fall med luftmotstånd</span></b>.
  
−
::<math> \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2}\,=\,0 \qquad\qquad\qquad\, {\color{White} x} {\rm vilket\;läses\;så\;här:} {\color{White} x} \quad\; {\color{White} x} {\rm Limes\;\,av} \; {10 \over x\,-\,2} \quad {\rm då} \; x \; {\rm går\;mot} \, \infty \quad {\rm är} \; 0 \, {\rm ,\;vilket\;betyder:} </math>
+
<b>Matematisk beskrivning:</b>
  
−
::::::::::::::::::::<math> {\color{White} x} {\rm Gränsvärdet\;\,för} \; {10 \over x\,-\,2} \quad {\rm då} \; x \; {\rm går\;mot} \, \infty \quad {\rm är} \; 0 \;{\rm .}</math>
+
<div class="border-divblue"><small><b><span style="color:red">Gränsvärdet</span></b>&nbsp; för <math> \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, </math>,&nbsp; då <math> \,t \, </math> går mot <math> \, \infty \; </math>,&nbsp; <b><span style="color:red">är <math> \, 80</math></span></b>.<br>Man skriver<span style="color:black">:</span> <math> \quad </math> <div class="smallBoxVariant"><math> \displaystyle {\color{Red} {\lim_{t \to \infty}}}\,{\left(80\,(1 - 0,88\,^t)\right)} \color{Red} { \; = \; 80} </math></div> <math> \quad </math> och läser<span style="color:black">:</span>  
  
−
Förkortningen&nbsp;&nbsp;<strong><span style="color:red">lim</span></strong>&nbsp;&nbsp;står för det latinska ordet&nbsp;&nbsp;<strong><span style="color:red">Limes</span></strong>&nbsp;&nbsp; som betyder gräns. Limesbegreppet är centralt i matematiken och kommer att användas i nästa avsnitt för att definiera derivatan.
+
<math> \qquad\;\; </math> Limes av <math> \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, </math>, då <math> t </math> går mot <math> \infty \, </math>, är <math> 80 </math>.
  
 +
<math> \quad\;\;\, {\color{Red} {\lim}} \, </math> står för det latinska ordet <math> \, {\color{Red} {\rm limes}} \, </math> som betyder gräns.
 +
</small></div>
  
−
<big>'''Vad händer när <math> {\color{White} x} x \to - \infty {\color{White} |}</math>?'''</big>
+
<b>Limes kan <span style="color:red">beräknas</span> utan graf:</b>
  
−
Grafen visar ett ganska liknande beteende när <math> x \, </math> går mot "stora" negativa värden, dvs när <math> x \to \, {\color{Red} {- \infty}} </math>: Även där går <math> f(x)\, </math> mot <math> 0\, </math> när <math> x\, </math> går mot <math> {\color{Red} {- \infty}} </math>. I termer av limes:
+
<math> v_{max} \, = \, \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\,(1 - 0,88\,^t))} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{(80 - 80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} - \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 80 \, - \, 0 \, = \, \color{Red} {80} \, </math>,
  
−
::<math> \lim_{x \to \, {\color{Red} {- \infty}}}\,{10 \over x - 2}\,=\,0 </math>
+
eftersom <math> \qquad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} \cdot \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 80 \cdot 0 \, = \, 0 \quad </math> pga <math> \quad 0,88 \, < \, 1 \; </math>.
  
−
Skillnaden är bara att nu <math> f(x)\, </math> närmar sig <math> 0 \, </math> från negativt håll (nedifrån).  
+
<b>Experiment:</b> &nbsp;Ta upp din miniräknare och slå in<span style="color:black">:</span> <math> \; 0,88\,^{10}, \quad 0,88\,^{100}, \quad 0,88\,^{1000}, \ldots \, </math>. Vad händer?
  
−
Resultatet är identiskt både när <math> x\, </math> går mot <math> \infty </math> <b>och</b> när <math> x\, </math> går mot <math> -\infty </math>, nämligen att <math> f(x) \to 0 \, </math>. Vi kan sammanfatta:  
+
<math> \qquad\qquad\quad </math> Är detta ett bevis för <math> \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 0 \, </math>? Nej, men:  
  
 +
<b>Generellt:</b> <math> \quad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(a\,^t)} \, = \, 0 \, </math>, om <math> \, a \, < \, 1 \,</math>. Kan bevisas.
 +
</big>
  
−
<div class="border-div"><big> Gränsvärdet för <big><big><math> {\color{White} x} {10 \over x\,-\,2} {\color{White} x} </math></big></big> då <math> \,x </math> går mot <math> \infty {\color{White} x} </math> <strong><span style="color:red">existerar</span></strong> &nbsp;&nbsp; och <strong><span style="color:red">är</span></strong> <math> {\color{Red} 0} </math>, &nbsp;&nbsp;&nbsp;kort:</big>
 
  
−
<big><big>
+
== <b><span style="color:#931136">Beräkning av gränsvärden</span></b> ==
−
:::::::<math> \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2}\,=\,0 </math>
+
−
</big></big>
+
−
</div>
+
  
 +
<big>
 +
I princip kan limes av en funktion beräknas genom att sätta in i funktionsuttrycket det värde som <math> \,x \, </math> ska gå emot. Men ofta ger detta odefinierade uttryck.
  
−
== Gränsvärde saknas ==
+
Därför måste man först <b><span style="color:red">förenkla uttrycket</span></b>, ev. flera gånger. Sedan sätts in det värde som <math> \,x \, </math> ska gå emot, i funktionsuttrycket.
 +
</big>
  
−
Vi stannar hos exemplet ovan, men byter frågeställning: Vi tittar inte längre på <math> x  \to \pm\infty  </math> utan på <math> {\color{Red} {x = 2}} \, </math>:
 
  
−
:<big>Funktionen</big> <math> y = f(x) = </math> <big><big><math> {10 \over x\,-\,2} </math></big></big> <big>har följande graf:</big> <math> \qquad </math> &nbsp; [[Image: Ex 1 Gransvarde 70a.jpg]]
+
<div class="ovnE">
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ====
  
−
:::::::::::::::::::<big><b> <strong><span style="color:red">Vad händer med funktionen i punkten</span></strong> <math> {\color{White} x} x = 2 {\color{White} x} </math> <strong><span style="color:red">?</span></strong> </b></big>
+
Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} </math>
  
 +
<b>Lösning:</b>
  
−
Kurvan skjuter upp i höjden å ena sidan och ner i "djupet" å andra sidan av punkten <math> x = 2\, </math>, därför att <big><big><math> {10 \over x\,-\,2} </math></big></big>:s nämnare blir <math> 0\, </math> för <math> x = 2\, </math>. Dvs <math> f(x)\, </math> är inte definierad för <math> x = 2\, </math>. Följaktligen visar grafen i <math> x = 2\, </math> en [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Olika_typer_av_diskontinuitet|<strong><span style="color:blue">diskontinuitet av typ oändlighetsställe</span></strong>]]. Annars är <math> f(x)\, </math> kontinuerlig i hela sin definitionsmängd som består av alla <math> x \neq 2\, </math>.
+
För <math> \, x = 0 \, </math> är uttrycket <math> \, \displaystyle{x^2 + 7\,x \over x} \, </math> inte definierat därför att nämnaren blir <math> \, 0 </math>.  
−
 
+
−
Vi vill nu undersöka hur man kan beskriva <math> \,f(x)</math>:s beteende för <math> \, x = 2 </math> med hjälp av limes?
+
  
−
Som grafen visar <math>-</math> och beräkningar med funktionsuttrycket bekräftar <math>-</math> går <math> f(x)\, </math> mot <math> +\, \infty </math> när man närmar sig <math> \, x = 2 </math> från höger och mot <math> -\, \infty </math> när man närmar sig <math> \, x = 2 </math> från vänster. Om vi uttrycker detta med pilar ser det ut så här:
+
Därför måste vi förenkla uttrycket.
  
−
:::<math> {10 \over x - 2} \to +\, \infty \quad {\rm när} \; x \to 2^+ \qquad {\color{White} x} {\rm och} {\color{White} x} \qquad {10 \over x - 2} \to -\, \infty \quad {\rm när} \; x \to 2^- </math>
+
Vi faktoriserar uttryckets täljare för att kolla om man ev. kan förkorta.
  
−
där <math> x \to 2^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 2 </math> från höger (<math> \, x > 2 </math>) och <math> x \to 2^- </math> att närma sig <math> \, x = 2 </math> från vänster (<math> \, x < 2 </math>).
+
Täljaren kan faktoriseras genom att bryta ut <math> x \, </math>:
  
−
Eftersom det finns två olika resultat beroende på om <math> \, x </math> går mot <math> \, 2 </math> från höger eller från vänster säger man:
+
::<math> \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \, = \, \lim_{x \to 0}\, {{\color{Red} x}\:(x + 7) \over {\color{Red} x}} \, = \, \lim_{x \to 0}\, (x + 7) \, = \, 0 + 7 \, = \, 7 </math>
−
 
+
−
 
+
−
<div class="border-div"><big> Gränsvärdet för <big><big><math> {\color{White} x} {10 \over x\,-\,2} {\color{White} x} </math></big></big> då <math> \,x </math> går mot <math> \, 2 {\color{White} x} </math> <strong><span style="color:red">existerar inte</span></strong>, &nbsp;&nbsp;&nbsp; kort:</big>
+
−
 
+
−
 
+
−
<big><big>
+
−
:::::<strong>Gränsvärde saknas.</strong>
+
−
</big></big>
+
 
</div>
 
</div>
  
  
−
Funktionen går mot två olika håll för <math> \, x = 2 </math>. Men att gränsvärdet inte kan ha två olika värden för ett och samma <math> \,x </math> är uppenbart. Limes måste ha ett entydigt värde, annars existerar den inte.
+
<div class="ovnE">
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ====
  
−
Men även om en funktion skulle gå mot t.ex. mot <math> +\,\infty </math>, för ett visst <math> \, x </math> både från höger och vänster, t.ex. <math> \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} </math> skulle det strikt matematiskt inte vara korrekt att säga att limes existerar och är <math> +\,\infty </math>, därför att <math> \infty </math> inte är något värde. Med andra ord: 
+
Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} </math>
  
 +
<b>Lösning:</b>
  
−
<div style="border:1px solid black;display:inline-block !important;margin-left: 50px !important;padding:10px 20px 10px 20px; -webkit-border-radius: 5px; -moz-border-radius: 5px;border-radius: 5px;"><big><strong>Ett gränsvärde måste, för att existera, vara både entydigt och ändligt.</strong></big>
+
När <math> x \to \infty </math> går uttrycket i limes <math> \displaystyle \to \frac{\infty}{\infty} </math> som är odefinierat. Därför:
−
</div>
+
  
 +
Vi förenklar uttrycket i limes genom att separera summan:
  
−
Därför är det strikt matematiskt korrekt att säga: Gränsvärdena <math> \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} </math> och <math> \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} </math> saknas.
+
::<math> {4\,x\,+\,5 \over x} = {4\,{\color{Red} x} \over {\color{Red} x}} \,+\,{5 \over x} \,=\, 4 \,+\, {5 \over x} </math>
  
 +
::<math> \displaystyle{5 \over x} \; {\rm går\;mot\;} 0  \quad {\rm när} \quad x \to \infty \quad {\rm dvs} \quad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {5 \over x} \, = \, 0 </math>
  
−
== Ensidiga och oegentliga gränsvärden ==
+
:Se [[2.3_Fördjupning_till_Gränsvärde#Gr.C3.A4nsv.C3.A4rde_f.C3.B6r_en_funktion|<b><span style="color:blue">Gränsvärde för en funktion</span></b>]]: Samma typ av gränsvärde.
  
−
Skiljer man däremot närmandet från höger till <math> \, x = 2 </math> från närmandet från vänster kan man bilda s.k. <strong><span style="color:red">ensidiga gränsvärden</span></strong>:
+
Därför kan vi bestämma limes för hela uttrycket:
  
−
:::<math> \lim_{x \to 2^{+}}\,{10 \over x - 2}\,=\,+\,\infty \qquad\quad {\color{White} x} {\rm och} {\color{White} x} \qquad\quad \lim_{x \to 2^{-}}\,{10 \over x - 2}\,=\,-\,\infty </math>
+
::<math> \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, 4\,+\,0 \,= \, 4 \;\, </math>
 +
</div>
  
−
där <math> x \to 2^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 2 </math> från höger (<math> \, x > 2 </math>) och <math> x \to 2^- </math> att närma sig <math> \, x = 2 </math> från vänster (<math> \, x < 2 </math>).
 
  
−
Man pratar om höger- och vänstergränsvärdet genom att skilja mellan de två sätten att närma sig talet <math> \, 2 </math> på <math> \, x</math>-axeln: från höger <math> x \to 2^+ </math> och från vänster <math> x \to 2^- </math>. I vårt exempel ger de också två olika resultat.
+
<div class="ovnE">
  
−
Att man ibland använder skrivsättet ovan sker av pragmatiska skäl. Man ersätter pilarna som vi använde inledningsvis med att beskriva gränsprocessen med limessymbolen istället. Det är bekvämt att använda en enhetlig notation för att beskriva gränsprocesser. Är man medveten om att limes inte existerar är det o.k.
+
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ====
  
−
Gränsvärden som går mot oändligheten (och därmed strikt talat inte existerar), men ändå skrivs på det ovannämnda sättet, kallar man <strong><span style="color:red">oegentliga gränsvärden</span></strong>.
+
Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} </math>
  
−
OBS! Av skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden följer fortfarande <strong><span style="color:red">inte</span></strong> att <math> \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} </math> <strong><span style="color:red">existerar</span></strong>.
+
<b>Lösning:</b>
  
 +
Insättningen av <math> \, x = 2 \, </math> i uttrycket ger det odefinierade uttrycket <math> \, \displaystyle{0 \over 0} </math>. Därför:
  
−
== Beräkning av gränsvärden ==
+
Vi faktoriserar både täljaren och nämnaren för att kolla om man ev. kan förkorta.
  
−
==== Exempel 1 ====
+
Täljaren kan faktoriseras med hjälp av konjugatreglen och nämnaren genom att bryta ut:
  
−
Bestäm
+
::<math> x^2\,-\,4 = (x\,+\,2)\cdot(x\,-\,2) </math>
  
−
::<math> \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} </math>
+
::<math> 5\,x - 10 = 5\,(x\,-\,2) </math>
  
−
Lösning:
+
Nu kan vi förkorta uttrycket och beräkna limes:
  
−
För <math> x = 0 \, </math> är uttrycket under limes inte definierat. Därför måste vi faktorisera uttryckets täljare för att se om man ev. kan förkorta. Täljaren kan faktoriseras genom att bryta ut <math> x \, </math>:
+
::<math> \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \, = \, \lim_{x \to 2}\, {(x + 2) \cdot {\color{Red} {(x-2)}} \over 5\,{\color{Red} {(x-2)}}} \, = \, \lim_{x \to 2} \, {x + 2 \over 5} \, = \, {2 + 2 \over 5} \, = \, {4 \over 5} </math>
 +
</div>
  
−
::<math> \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \, = \, \lim_{x \to 0}\, {{\color{Red} x}\:(x + 7) \over {\color{Red} x}} \, = \, \lim_{x \to 0}\, (x + 7) \, = \, 0 + 7 \, = \, 7 </math>
 
  
 +
<div class="ovnC">
  
−
==== Exempel 2 ====
+
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 4</span></b> ====
  
−
<b>a)</b> Bestäm
+
Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} </math>
  
−
::<math> \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} </math>
+
<b>Lösning:</b>
  
−
Lösning:
+
Insättningen av <math> \, x = 3 \, </math> i uttrycket ger det odefinierade uttrycket <math> \, \displaystyle{0 \over 0} </math>.
  
−
För att kunna bestämma limes måste vi först forma om uttrycket under limes:
+
För att kunna se om man ev. kan förkorta uttrycket faktoriserar vi täljaren:  
  
−
::<math> {4\,x\,+\,5 \over x} = {4\,{\color{Red} x} \over {\color{Red} x}} \,+\,{5 \over x} \,=\, 4 \,+\, {5 \over x} </math>
+
::<math> x^2 - x - 6 = 0 \, </math>
  
−
Deluttrycket <big><big><math> {5 \over x} </math></big></big> går mot <math> 0 </math> både när <math> x \to +\infty </math> och <math> x \to -\infty </math>:
+
Enligt [[Ekvationer#Vietas_formler|<b><span style="color:blue">Vieta</span></b>]] gäller för lösningarna <math> \, x_1\,</math> och <math> \, x_2 \, </math><span style="color:black">:</span>
  
−
::<math> \lim_{x \to +\infty}\, {5 \over x} \, = \, \lim_{x \to -\infty}\, {5 \over x} \, = \, 0 </math>
+
::<math> \begin{align} x_1  +   x_2 & = -(-1) = 1  \\
 +
                      x_1 \cdot x_2 & = - 6
 +
          \end{align}</math>
  
−
Därför kan vi nu bestämma limes för hela uttrycket:
+
Två tal vars produkt är <math> \, -6 \, </math> och deras summa är <math> \, 1 </math>, är <math> \, 3 \, </math> och <math> \, -2 </math>. Därför:
  
−
::<math> \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, 4\,+\,0 \,= \, 4</math>
+
::<math> \begin{align} x_1 & = 3  \\
 +
                      x_2 & = - 2
 +
          \end{align}</math>
  
−
<b>b)</b> Bestäm
+
Täljarens faktorisering blir då:
  
−
::<math> \lim_{x \to 0}\, {4\,x\,+\,5 \over x} </math>
+
::<math> x^2 - x - 6 = (x - 3) \cdot (x + 2) </math>
  
−
Lösning:
+
Nu kan vi förkorta uttrycket mot nämnaren och beräkna limes:
  
−
::<math> \lim_{x \to 0^+}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^+}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, +\infty </math>
+
<math> \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \, = \, \lim_{x \to 3}\, {{\color{Red} {(x-3)}} \cdot (x + 2) \over {\color{Red} {(x-3)}}} \, = \, \lim_{x \to 3}\, (x + 2) \, = \, 3 + 2 \, = \, 5 </math>
 +
</div>
  
−
::<math> \lim_{x \to 0^-}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^-}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, -\infty </math>
 
  
−
där <math> x \to 0^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 0 </math> från höger (<math> \, x > 0 </math>) och <math> x \to 0^- </math> att närma sig <math> \, x = 0 </math> från vänster (<math> \, x < 0 </math>).
+
<div class="ovnC">
  
−
Svar: Gränsvärde saknas.
+
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 5</span></b> ====
  
 +
Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} </math>
  
−
==== Exempel 3 ====
+
<b>Lösning:</b>
  
−
Bestäm
+
För att förenkla uttrycket i limes divideras uttryckets täljare och nämnare med den högsta <math> \,x</math>-potensen, nämligen med <math> \,x^3 </math>:
  
−
::<math> \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} </math>
+
::<math> \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3/x^3\,-\,2/x^3 \over 2\,x^3/x^3\,+\,3\,x/x^3\,-\,4/x^3} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} </math>
  
−
Lösning:
 
  
−
För <math> x = 2 \, </math> är uttrycket under limes inte definierat. Därför måste vi faktorisera uttryckets täljare och nämnare för att se om man ev. kan förkorta. Täljaren kan faktoriseras med hjälp av konjugatreglen och nämnaren genom att bryta ut:
+
För att förenkla sista uttrycket använder vi:
  
−
::<math> x^2\,-\,4 = (x\,+\,2)\cdot(x\,-\,2) </math>
+
::<math> \lim_{x \to \infty}\, {\color{Red} {2 \over x^3}} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, {\color{Blue} {3 \over x^2}} \, = \, \lim_{x \to \infty} \, {\color{ForestGreen} {4 \over x^3}} \, = \, 0 </math>
  
−
::<math> 5\,x - 10 = 5\,(x\,-\,2) </math>
+
Insatt i det sista uttrycket blir det:
  
−
Nu kan vi förkorta uttrycket och bestämma limes:
+
::<math> \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\quad \cdots \quad = \, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \,=\, {1\,-\,{\color{Red} 0} \over 2\,+\,{\color{Blue} 0}\,-\,{\color{ForestGreen} 0}} \,=\, {1 \over 2} </math>
 +
</div>
  
−
::<math> \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \, = \, \lim_{x \to 2}\, {(x + 2) \cdot {\color{Red} {(x-2)}} \over 5\,{\color{Red} {(x-2)}}} \, = \, \lim_{x \to 2} \, {x + 2 \over 5} \, = \, {2 + 2 \over 5} \, = \, {4 \over 5} \, = \, 0,8 </math>
 
  
 +
<div class="ovnA">
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 6</span></b> ====
  
−
==== Exempel 4 ====
+
Funktionen <math> \; f(x) = x^2 \; </math> är given. &nbsp; Bestäm gränsvärdet <math> \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \; </math>.
  
−
Bestäm
+
<b>Lösning:</b>
  
−
::<math> \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} </math>
+
::<math> f(2+h) \, = \, (2+h)\,^2 \, = \, {\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}} </math>
  
−
Lösning:
+
::<math> f(2) \, = \, 2\,^2  \, = \, {\color{Blue} 4} </math>
  
−
Här måste vi, för att förenkla uttrycket under limes, dividera uttryckets täljare och nämnare med den högsta <math> \,x</math>-potensen. Närmare bestämt betyder detta att dividera alla termer i uttryckets täljare och nämnare med <math> \,x^3 </math>:
+
::<math> \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}}\,\,-\,\,{\color{Blue} 4} \over h} = \lim_{h \to 0} {4\,h + h^2 \over h} = </math>
  
−
::<math> \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3/x^3\,-\,2/x^3 \over 2\,x^3/x^3\,+\,3\,x/x^3\,-\,4/x^3} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,2/x^3 \over 2\,+\,3/x^2\,-\,4/x^3} \,=\, {1\,-\,0 \over 2\,+\,0\,-\,0} \,=\, {1 \over 2} </math>
+
::<math> = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(4 + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (4 + h) = 4 </math>
 +
</div>
  
  
−
I sista skedet av förenklingen ovan har vi använt att:
+
<div class="ovnA">
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 7</span></b> ====
  
−
::<math> \lim_{x \to \infty}\, {2 \over x^3} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, {3 \over x^2} \, = \, \lim_{x \to \infty} \, {4 \over x^3} \, = \, 0 </math>
+
Funktionen <math> \; f(x) = x^2 \; </math> är given. &nbsp; Bestäm gränsvärdet <math> \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \; </math>.
  
 +
<b>Lösning:</b>
  
−
==== Exempel 5 ====
+
Eftersom uttrycket i limes involverar två variabler <math> \, x \, </math> och <math> \, h \, </math> kommer limes inte längre vara ett tal utan ett uttryck i <math> \, x </math>.
  
−
Bestäm
+
<math> \displaystyle \lim_{\color{Red} {h \to 0}} \, </math> innebär att gränsvärdet ska bildas för <math> \, {\color{Red} {h \to 0}} </math>. Därför borde <math> \, x\, </math> under gränsprocessen anses som en konstant.
  
−
::<math> \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} </math>
+
::<math> {\color{Red} {f(x+h)}} \, = \, (x+h)^2 \, = \, {\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} </math>  
  
−
Lösning:
+
::<math> {\color{Blue} {f(x)}} \, = \, {\color{Blue} {x\,^2}} </math>
  
−
Vi måste faktorisera täljaren för att se om man ev. kan förkorta mot nämnaren:
+
::<math> \lim_{h \to 0}\,\,{{\color{Red} {f(x+h)}} - {\color{Blue} {f(x)}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \, - \, {\color{Blue} {x\,^2}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = </math>
  
−
::<math> x^2 - x - 6 = 0 \, </math>
+
::<math> = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(2\,x + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) =  \boxed{2\,x} </math>
  
−
För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> x_2\,</math> måste enligt [[1.2_Repetition_Faktorisering_%26_Vieta_från_Matte_2#Vietas_formler_-_samband_mellan_koefficienter_och_nollst.C3.A4llen|<strong><span style="color:blue">Vieta</span></strong>]] gälla:
+
Observera att <b><span style="color:#931136">Exempel 6</span></b> ovan är ett specialfall av detta exempel för <math> x = 2 \, </math>.
  
−
::<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -(-1) = 1  \\
+
Jämför även med förra avsnittets [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_2_Kvadratisk_funktion|<b><span style="color:blue">Exempel 2 Kvadratisk funktion</span></b>]]<span style="color:black">:</span>
−
                      x_1 \cdot x_2 & = - 6
+
−
          \end{align}</math>
+
  
−
Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är <math> -6 \, </math> och vars summa är <math> 1 \, </math>. Med lite provande hittar man <math> 3 \, </math> och <math> -2 \, </math> eftersom <math> 3 + (-2) = 1\, </math> och <math> 3 \cdot (-2) = -6 </math>.
+
<math> y \, = \, \boxed{2\,x} \, </math> är derivatan av <math> \, y \, = \, x^2 \, </math>, se [[2.4_Derivatans_definition#Derivatan_som_en_ny_funktion|<b><span style="color:blue">derivatan som en ny funktion</span></b>]].
 +
</div>
  
−
Således:
 
  
−
::<math> x^2 - x - 6 = (x - 3) \cdot (x + 2) </math>
+
=== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ===
  
−
Nu kan vi faktorisera täljaren och förkorta mot nämnaren för att bestämma limes:
+
https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs
  
−
::<math> \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \, = \, \lim_{x \to 3}\, {{\color{Red} {(x-3)}} \cdot (x + 2) \over {\color{Red} {(x-3)}}} \, = \, \lim_{x \to 3}\, (x + 2) \, = \, \lim_{x \to 3}\, (3 + 2) \, = \, 5 </math>
+
https://www.youtube.com/watch?v=StP64lMXZjA
  
 +
https://www.youtube.com/watch?v=fPOX0QX8AH0
  
−
==== Exempel 6 ====
 
  
−
Följande funktion är given:
 
  
−
::<math> y = f(x) = x^2 </math>
 
  
−
Bestäm
 
  
−
::<math> \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} </math>
 
  
−
Lösning:
 
−
 
−
::<math> f(2+h) = (2+h)^2 = 4 + 4\,h + h^2 </math>
 
−
 
−
::<math> \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} = \lim_{h \to 0} {(2+h)^2 - 2^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {4 + 4\,h + h^2\,\,-\,\,4 \over h} = \lim_{h \to 0} {4\,h + h^2 \over h} = </math>
 
−
 
−
::<math> = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(4 + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (4 + h) =  4 </math>
 
−
 
−
 
−
==== Exempel 7 ====
 
−
 
−
Följande funktion är given:
 
−
 
−
::<math> y = f(x) = x^2 </math>
 
−
 
−
Bestäm
 
−
 
−
::<math> \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} </math>
 
−
 
−
Lösning:
 
−
 
−
Eftersom uttrycket under limes involverar två variabler <math> x\, </math> och <math> h\, </math> kommer limes, om den existerar, inte längre vara ett tal utan ett uttryck i <math> x\, </math>, därför att gränsvärdet ska bildas för <math> h \to 0 </math>. Under gränsprocessen kan <math> x\, </math> anses som en konstant.
 
−
 
−
::<math> f(x+h) = (x+h)^2 = x^2 + 2\,x\,h + h^2 </math>
 
−
 
−
::<math> \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} {(x+h)^2 - x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {x^2 + 2\,x\,h + h^2 \, - \, x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = </math>
 
−
 
−
::<math> = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(2\,x + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) =  2\,x </math>
 
−
 
−
Observera att <b>Exempel 6</b> är ett specialfall av <b>Exempel 7</b> för <math> x = 2 \, </math>.
 
−
 
−
 
−
== Internetlänkar ==
 
−
 
−
https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs
 
−
 
−
https://www.youtube.com/watch?v=StP64lMXZjA
 
−
 
−
https://www.youtube.com/watch?v=fPOX0QX8AH0
 
  
  
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2020 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 2 maj 2020 kl. 21.19

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt  >>      


Vårt mål i detta kapitel är att förstå begreppet derivata. Men eftersom derivata är ett gränsvärde, måste vi först behandla begreppet gränsvärde.

Limesbegreppet är centralt inom Analys\(-\) den gren av matematiken som Newton och Leibniz på 1700-talet la grunden till, även kallad Differential- och Integralkalkyl, på engelska Calculus. Det är därför vi numera använder begreppet "analytiskt" istället för "algebraiskt".


Introduktion till gränsvärde

En fallskärmshoppare faller fritt med hastigheten

\( \qquad\quad\;\; \)
\( v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) \)

där \( \, t = \, \) tiden i sek. I praktiken vet vi att det finns en

maximal hastighet \( \, v_{max} \, \) som hopparen inte kan över-

skrida. Bestäm denna gränshastighet matematiskt.

\( \quad \) 5 186 Uppg 3438 Fritt fall 250.jpg

Fysikalisk tolkning:

Grafen till \( \, v(t) \, \) visar att det finns en maximal hastighet som hopparen inte kan överskrida:

Efter ca. 40 sek blir hopparens hastighet konstant: \( \;\; v \, \approx \, v_{max} = 80 \) m/s. \( \;\; \) Newtons fösta lag:

När ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet är summan av alla krafter \( \, = 0 \, \) (och omvänt).

Därav följer: \( \qquad \) Luftmotstånd \( \, \approx \, \) gravitation \( \quad \) dvs \( \quad \) rörelsen är ett fritt fall med luftmotstånd.

Matematisk beskrivning:

Gränsvärdet  för \( \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, \),  då \( \,t \, \) går mot \( \, \infty \; \),  är \( \, 80\).
Man skriver: \( \quad \)
\( \displaystyle {\color{Red} {\lim_{t \to \infty}}}\,{\left(80\,(1 - 0,88\,^t)\right)} \color{Red} { \; = \; 80} \)
\( \quad \) och läser:

\( \qquad\;\; \) Limes av \( \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, \), då \( t \) går mot \( \infty \, \), är \( 80 \).

\( \quad\;\;\, {\color{Red} {\lim}} \, \) står för det latinska ordet \( \, {\color{Red} {\rm limes}} \, \) som betyder gräns.

Limes kan beräknas utan graf:

\( v_{max} \, = \, \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\,(1 - 0,88\,^t))} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{(80 - 80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} - \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 80 \, - \, 0 \, = \, \color{Red} {80} \, \),

eftersom \( \qquad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} \cdot \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 80 \cdot 0 \, = \, 0 \quad \) pga \( \quad 0,88 \, < \, 1 \; \).

Experiment:  Ta upp din miniräknare och slå in: \( \; 0,88\,^{10}, \quad 0,88\,^{100}, \quad 0,88\,^{1000}, \ldots \, \). Vad händer?

\( \qquad\qquad\quad \) Är detta ett bevis för \( \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 0 \, \)? Nej, men:

Generellt: \( \quad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(a\,^t)} \, = \, 0 \, \), om \( \, a \, < \, 1 \,\). Kan bevisas.


Beräkning av gränsvärden

I princip kan limes av en funktion beräknas genom att sätta in i funktionsuttrycket det värde som \( \,x \, \) ska gå emot. Men ofta ger detta odefinierade uttryck.

Därför måste man först förenkla uttrycket, ev. flera gånger. Sedan sätts in det värde som \( \,x \, \) ska gå emot, i funktionsuttrycket.


Exempel 1

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \)

Lösning:

För \( \, x = 0 \, \) är uttrycket \( \, \displaystyle{x^2 + 7\,x \over x} \, \) inte definierat därför att nämnaren blir \( \, 0 \).

Därför måste vi förenkla uttrycket.

Vi faktoriserar uttryckets täljare för att kolla om man ev. kan förkorta.

Täljaren kan faktoriseras genom att bryta ut \( x \, \):

\[ \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \, = \, \lim_{x \to 0}\, {{\color{Red} x}\:(x + 7) \over {\color{Red} x}} \, = \, \lim_{x \to 0}\, (x + 7) \, = \, 0 + 7 \, = \, 7 \]


Exempel 2

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \)

Lösning:

När \( x \to \infty \) går uttrycket i limes \( \displaystyle \to \frac{\infty}{\infty} \) som är odefinierat. Därför:

Vi förenklar uttrycket i limes genom att separera summan:

\[ {4\,x\,+\,5 \over x} = {4\,{\color{Red} x} \over {\color{Red} x}} \,+\,{5 \over x} \,=\, 4 \,+\, {5 \over x} \]
\[ \displaystyle{5 \over x} \; {\rm går\;mot\;} 0 \quad {\rm när} \quad x \to \infty \quad {\rm dvs} \quad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {5 \over x} \, = \, 0 \]
Se Gränsvärde för en funktion: Samma typ av gränsvärde.

Därför kan vi bestämma limes för hela uttrycket:

\[ \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, 4\,+\,0 \,= \, 4 \;\, \]


Exempel 3

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \)

Lösning:

Insättningen av \( \, x = 2 \, \) i uttrycket ger det odefinierade uttrycket \( \, \displaystyle{0 \over 0} \). Därför:

Vi faktoriserar både täljaren och nämnaren för att kolla om man ev. kan förkorta.

Täljaren kan faktoriseras med hjälp av konjugatreglen och nämnaren genom att bryta ut:

\[ x^2\,-\,4 = (x\,+\,2)\cdot(x\,-\,2) \]
\[ 5\,x - 10 = 5\,(x\,-\,2) \]

Nu kan vi förkorta uttrycket och beräkna limes:

\[ \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \, = \, \lim_{x \to 2}\, {(x + 2) \cdot {\color{Red} {(x-2)}} \over 5\,{\color{Red} {(x-2)}}} \, = \, \lim_{x \to 2} \, {x + 2 \over 5} \, = \, {2 + 2 \over 5} \, = \, {4 \over 5} \]


Exempel 4

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \)

Lösning:

Insättningen av \( \, x = 3 \, \) i uttrycket ger det odefinierade uttrycket \( \, \displaystyle{0 \over 0} \).

För att kunna se om man ev. kan förkorta uttrycket faktoriserar vi täljaren:

\[ x^2 - x - 6 = 0 \, \]

Enligt Vieta gäller för lösningarna \( \, x_1\,\) och \( \, x_2 \, \):

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-1) = 1 \\ x_1 \cdot x_2 & = - 6 \end{align}\]

Två tal vars produkt är \( \, -6 \, \) och deras summa är \( \, 1 \), är \( \, 3 \, \) och \( \, -2 \). Därför:

\[ \begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = - 2 \end{align}\]

Täljarens faktorisering blir då:

\[ x^2 - x - 6 = (x - 3) \cdot (x + 2) \]

Nu kan vi förkorta uttrycket mot nämnaren och beräkna limes\[ \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \, = \, \lim_{x \to 3}\, {{\color{Red} {(x-3)}} \cdot (x + 2) \over {\color{Red} {(x-3)}}} \, = \, \lim_{x \to 3}\, (x + 2) \, = \, 3 + 2 \, = \, 5 \]


Exempel 5

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \)

Lösning:

För att förenkla uttrycket i limes divideras uttryckets täljare och nämnare med den högsta \( \,x\)-potensen, nämligen med \( \,x^3 \):

\[ \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3/x^3\,-\,2/x^3 \over 2\,x^3/x^3\,+\,3\,x/x^3\,-\,4/x^3} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \]


För att förenkla sista uttrycket använder vi:

\[ \lim_{x \to \infty}\, {\color{Red} {2 \over x^3}} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, {\color{Blue} {3 \over x^2}} \, = \, \lim_{x \to \infty} \, {\color{ForestGreen} {4 \over x^3}} \, = \, 0 \]

Insatt i det sista uttrycket blir det:

\[ \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\quad \cdots \quad = \, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \,=\, {1\,-\,{\color{Red} 0} \over 2\,+\,{\color{Blue} 0}\,-\,{\color{ForestGreen} 0}} \,=\, {1 \over 2} \]


Exempel 6

Funktionen \( \; f(x) = x^2 \; \) är given.   Bestäm gränsvärdet \( \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \; \).

Lösning:

\[ f(2+h) \, = \, (2+h)\,^2 \, = \, {\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}} \]
\[ f(2) \, = \, 2\,^2 \, = \, {\color{Blue} 4} \]
\[ \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}}\,\,-\,\,{\color{Blue} 4} \over h} = \lim_{h \to 0} {4\,h + h^2 \over h} = \]
\[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(4 + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (4 + h) = 4 \]


Exempel 7

Funktionen \( \; f(x) = x^2 \; \) är given.   Bestäm gränsvärdet \( \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \; \).

Lösning:

Eftersom uttrycket i limes involverar två variabler \( \, x \, \) och \( \, h \, \) kommer limes inte längre vara ett tal utan ett uttryck i \( \, x \).

\( \displaystyle \lim_{\color{Red} {h \to 0}} \, \) innebär att gränsvärdet ska bildas för \( \, {\color{Red} {h \to 0}} \). Därför borde \( \, x\, \) under gränsprocessen anses som en konstant.

\[ {\color{Red} {f(x+h)}} \, = \, (x+h)^2 \, = \, {\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \]
\[ {\color{Blue} {f(x)}} \, = \, {\color{Blue} {x\,^2}} \]
\[ \lim_{h \to 0}\,\,{{\color{Red} {f(x+h)}} - {\color{Blue} {f(x)}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \, - \, {\color{Blue} {x\,^2}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = \]
\[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(2\,x + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) = \boxed{2\,x} \]

Observera att Exempel 6 ovan är ett specialfall av detta exempel för \( x = 2 \, \).

Jämför även med förra avsnittets Exempel 2 Kvadratisk funktion:

\( y \, = \, \boxed{2\,x} \, \) är derivatan av \( \, y \, = \, x^2 \, \), se derivatan som en ny funktion.


Internetlänkar

https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs

https://www.youtube.com/watch?v=StP64lMXZjA

https://www.youtube.com/watch?v=fPOX0QX8AH0






Copyright © 2020 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=2.3_Gränsvärde&oldid=36738"