Skillnad mellan versioner av "2.3 Gränsvärde"

Nuvarande version från 2 maj 2020 kl. 21.19

Genomgång

Vårt mål i detta kapitel är att förstå begreppet derivata. Men eftersom derivata är ett gränsvärde, måste vi först behandla begreppet gränsvärde.

Limesbegreppet är centralt inom Analys\(-\) den gren av matematiken som Newton och Leibniz på 1700-talet la grunden till, även kallad Differential- och Integralkalkyl, på engelska Calculus. Det är därför vi numera använder begreppet "analytiskt" istället för "algebraiskt".

Introduktion till gränsvärde

En fallskärmshoppare faller fritt med hastigheten

\( \qquad\quad\;\; \)

\( v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) \)

där \( \, t = \, \) tiden i sek. I praktiken vet vi att det finns en

maximal hastighet \( \, v_{max} \, \) som hopparen inte kan över-

skrida. Bestäm denna gränshastighet matematiskt.

\( \quad \)

Fysikalisk tolkning:

Grafen till \( \, v(t) \, \) visar att det finns en maximal hastighet som hopparen inte kan överskrida:

Efter ca. 40 sek blir hopparens hastighet konstant: \( \;\; v \, \approx \, v_{max} = 80 \) m/s. \( \;\; \) Newtons fösta lag:

När ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet är summan av alla krafter \( \, = 0 \, \) (och omvänt).

Därav följer: \( \qquad \) Luftmotstånd \( \, \approx \, \) gravitation \( \quad \) dvs \( \quad \) rörelsen är ett fritt fall med luftmotstånd.

Matematisk beskrivning:

Gränsvärdet för \( \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, \), då \( \,t \, \) går mot \( \, \infty \; \), är \( \, 80\).
Man skriver: \( \quad \)

\( \displaystyle {\color{Red} {\lim_{t \to \infty}}}\,{\left(80\,(1 - 0,88\,^t)\right)} \color{Red} { \; = \; 80} \)

\( \quad \) och läser:

\( \qquad\;\; \) Limes av \( \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, \), då \( t \) går mot \( \infty \, \), är \( 80 \).

\( \quad\;\;\, {\color{Red} {\lim}} \, \) står för det latinska ordet \( \, {\color{Red} {\rm limes}} \, \) som betyder gräns.

Limes kan beräknas utan graf:

\( v_{max} \, = \, \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\,(1 - 0,88\,^t))} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{(80 - 80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} - \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 80 \, - \, 0 \, = \, \color{Red} {80} \, \),

eftersom \( \qquad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} \cdot \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 80 \cdot 0 \, = \, 0 \quad \) pga \( \quad 0,88 \, < \, 1 \; \).

Experiment: Ta upp din miniräknare och slå in: \( \; 0,88\,^{10}, \quad 0,88\,^{100}, \quad 0,88\,^{1000}, \ldots \, \). Vad händer?

\( \qquad\qquad\quad \) Är detta ett bevis för \( \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 0 \, \)? Nej, men:

Generellt: \( \quad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(a\,^t)} \, = \, 0 \, \), om \( \, a \, < \, 1 \,\). Kan bevisas.

Beräkning av gränsvärden

I princip kan limes av en funktion beräknas genom att sätta in i funktionsuttrycket det värde som \( \,x \, \) ska gå emot. Men ofta ger detta odefinierade uttryck.

Därför måste man först förenkla uttrycket, ev. flera gånger. Sedan sätts in det värde som \( \,x \, \) ska gå emot, i funktionsuttrycket.

Exempel 1

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \)

Lösning:

För \( \, x = 0 \, \) är uttrycket \( \, \displaystyle{x^2 + 7\,x \over x} \, \) inte definierat därför att nämnaren blir \( \, 0 \).

Därför måste vi förenkla uttrycket.

Vi faktoriserar uttryckets täljare för att kolla om man ev. kan förkorta.

Täljaren kan faktoriseras genom att bryta ut \( x \, \):

\[ \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \, = \, \lim_{x \to 0}\, {{\color{Red} x}\:(x + 7) \over {\color{Red} x}} \, = \, \lim_{x \to 0}\, (x + 7) \, = \, 0 + 7 \, = \, 7 \]

Exempel 2

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \)

Lösning:

När \( x \to \infty \) går uttrycket i limes \( \displaystyle \to \frac{\infty}{\infty} \) som är odefinierat. Därför:

Vi förenklar uttrycket i limes genom att separera summan:

\[ {4\,x\,+\,5 \over x} = {4\,{\color{Red} x} \over {\color{Red} x}} \,+\,{5 \over x} \,=\, 4 \,+\, {5 \over x} \]

\[ \displaystyle{5 \over x} \; {\rm går\;mot\;} 0 \quad {\rm när} \quad x \to \infty \quad {\rm dvs} \quad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {5 \over x} \, = \, 0 \]

Se Gränsvärde för en funktion: Samma typ av gränsvärde.

Därför kan vi bestämma limes för hela uttrycket:

\[ \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, 4\,+\,0 \,= \, 4 \;\, \]

Exempel 3

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \)

Lösning:

Insättningen av \( \, x = 2 \, \) i uttrycket ger det odefinierade uttrycket \( \, \displaystyle{0 \over 0} \). Därför:

Vi faktoriserar både täljaren och nämnaren för att kolla om man ev. kan förkorta.

Täljaren kan faktoriseras med hjälp av konjugatreglen och nämnaren genom att bryta ut:

\[ x^2\,-\,4 = (x\,+\,2)\cdot(x\,-\,2) \]

\[ 5\,x - 10 = 5\,(x\,-\,2) \]

Nu kan vi förkorta uttrycket och beräkna limes:

\[ \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \, = \, \lim_{x \to 2}\, {(x + 2) \cdot {\color{Red} {(x-2)}} \over 5\,{\color{Red} {(x-2)}}} \, = \, \lim_{x \to 2} \, {x + 2 \over 5} \, = \, {2 + 2 \over 5} \, = \, {4 \over 5} \]

Exempel 4

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \)

Lösning:

Insättningen av \( \, x = 3 \, \) i uttrycket ger det odefinierade uttrycket \( \, \displaystyle{0 \over 0} \).

För att kunna se om man ev. kan förkorta uttrycket faktoriserar vi täljaren:

\[ x^2 - x - 6 = 0 \, \]

Enligt Vieta gäller för lösningarna \( \, x_1\,\) och \( \, x_2 \, \):

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-1) = 1 \\ x_1 \cdot x_2 & = - 6 \end{align}\]

Två tal vars produkt är \( \, -6 \, \) och deras summa är \( \, 1 \), är \( \, 3 \, \) och \( \, -2 \). Därför:

\[ \begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = - 2 \end{align}\]

Täljarens faktorisering blir då:

\[ x^2 - x - 6 = (x - 3) \cdot (x + 2) \]

Nu kan vi förkorta uttrycket mot nämnaren och beräkna limes\[ \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \, = \, \lim_{x \to 3}\, {{\color{Red} {(x-3)}} \cdot (x + 2) \over {\color{Red} {(x-3)}}} \, = \, \lim_{x \to 3}\, (x + 2) \, = \, 3 + 2 \, = \, 5 \]

Exempel 5

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \)

Lösning:

För att förenkla uttrycket i limes divideras uttryckets täljare och nämnare med den högsta \( \,x\)-potensen, nämligen med \( \,x^3 \):

\[ \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3/x^3\,-\,2/x^3 \over 2\,x^3/x^3\,+\,3\,x/x^3\,-\,4/x^3} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \]

För att förenkla sista uttrycket använder vi:

\[ \lim_{x \to \infty}\, {\color{Red} {2 \over x^3}} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, {\color{Blue} {3 \over x^2}} \, = \, \lim_{x \to \infty} \, {\color{ForestGreen} {4 \over x^3}} \, = \, 0 \]

Insatt i det sista uttrycket blir det:

\[ \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\quad \cdots \quad = \, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \,=\, {1\,-\,{\color{Red} 0} \over 2\,+\,{\color{Blue} 0}\,-\,{\color{ForestGreen} 0}} \,=\, {1 \over 2} \]

Exempel 6

Funktionen \( \; f(x) = x^2 \; \) är given. Bestäm gränsvärdet \( \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \; \).

Lösning:

\[ f(2+h) \, = \, (2+h)\,^2 \, = \, {\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}} \]

\[ f(2) \, = \, 2\,^2 \, = \, {\color{Blue} 4} \]

\[ \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}}\,\,-\,\,{\color{Blue} 4} \over h} = \lim_{h \to 0} {4\,h + h^2 \over h} = \]

\[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(4 + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (4 + h) = 4 \]

Exempel 7

Funktionen \( \; f(x) = x^2 \; \) är given. Bestäm gränsvärdet \( \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \; \).

Lösning:

Eftersom uttrycket i limes involverar två variabler \( \, x \, \) och \( \, h \, \) kommer limes inte längre vara ett tal utan ett uttryck i \( \, x \).

\( \displaystyle \lim_{\color{Red} {h \to 0}} \, \) innebär att gränsvärdet ska bildas för \( \, {\color{Red} {h \to 0}} \). Därför borde \( \, x\, \) under gränsprocessen anses som en konstant.

\[ {\color{Red} {f(x+h)}} \, = \, (x+h)^2 \, = \, {\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \]

\[ {\color{Blue} {f(x)}} \, = \, {\color{Blue} {x\,^2}} \]

\[ \lim_{h \to 0}\,\,{{\color{Red} {f(x+h)}} - {\color{Blue} {f(x)}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \, - \, {\color{Blue} {x\,^2}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = \]

\[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(2\,x + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) = \boxed{2\,x} \]

Observera att Exempel 6 ovan är ett specialfall av detta exempel för \( x = 2 \, \).

Jämför även med förra avsnittets Exempel 2 Kvadratisk funktion:

\( y \, = \, \boxed{2\,x} \, \) är derivatan av \( \, y \, = \, x^2 \, \), se derivatan som en ny funktion.

Internetlänkar

https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs

https://www.youtube.com/watch?v=StP64lMXZjA

https://www.youtube.com/watch?v=fPOX0QX8AH0

Skillnad mellan versioner av "2.3 Gränsvärde"

Nuvarande version från 2 maj 2020 kl. 21.19

Beräkning av gränsvärden

Exempel 1

Exempel 2

Exempel 3

Exempel 4

Exempel 5

Exempel 6

Exempel 7

Internetlänkar

Navigeringsmeny

Personliga verktyg

Matematik 3c

Sök

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
+__NOTOC__
 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
-{{Not selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|<-- Förra avsnitt]]}}
+{{Not selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 {{Selected tab|[[2.3 Gränsvärde|Genomgång]]}}
 {{Not selected tab|[[2.3 Övningar till Gränsvärde|Övningar]]}}
-{{Not selected tab|[[2.4 Derivatans definition|Nästa avsnitt --> ]]}}
+{{Not selected tab|[[2.3 Fördjupning till Gränsvärde|Fördjupning]]}}
+{{Not selected tab|[[2.4 Derivatans definition|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 | style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 |}
+<!-- [[Media: Lektion_14_Gransvarde_Rutac.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 14 Gränsvärde</span></b>]] -->
-[[Media: Lektion 17 Gransvarde Rutaa.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 17 Gränsvärde</span></strong>]]
-__NOTOC__
 <big>
-=== <b><span style="color:#931136">Gränsvärde av en funktion</span></b> ===
+Vårt mål i detta kapitel är att förstå begreppet <b><span style="color:red">derivata</span></b>. Men eftersom derivata är ett gränsvärde, måste vi först behandla begreppet gränsvärde.
-<div class="exempel">
+Limesbegreppet är centralt inom <b><span style="color:red">Analys</span></b><math>-</math> den gren av matematiken som [https://sv.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton <b><span style="color:blue">Newton</span></b>] och [https://sv.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz <b><span style="color:blue">Leibniz</span></b>] på 1700-talet la grunden till, även kallad <b><span style="color:red">Differential- och Integralkalkyl</span></b>, på engelska <b><span style="color:red">Calculus</span></b>. Det är därför vi numera använder begreppet "analytiskt" istället för "algebraiskt".
-==== Exempel på gränsvärde av en funktion ====
+<big><b><span style="color:#931136">Introduktion till gränsvärde</span></b></big> <!-- &nbsp; <b>Uppgift 3438 (3c-boken, sid 190):</b> -->
 <table>
 <tr>
-  <td>Funktionen <math> y = f(x) = </math> <math> \displaystyle {10 \over x\,-\,2} </math> med graf<span style="color:black">:</span>
+<td><div class="ovnE0">
+<small>En fallskärmshoppare faller fritt med hastigheten
+<math> \qquad\quad\;\; </math> <div class="smallBoxVariant"><math> v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math></div>
+där <math> \, t = \, </math> tiden i sek. I praktiken vet vi att det finns en
+maximal hastighet <math> \, v_{max} \, </math> som hopparen inte kan över-
+skrida. Bestäm denna gränshastighet matematiskt.</small>
+</div>
-<b> <strong><span style="color:red">Vad händer med funktionen när </span></strong> <math> \; x \to \infty \; </math> <strong><span style="color:red">?</span></strong> </b>
 </td>
    <td><math> \quad </math></td>
-   <td>[[Image: Ex 1 Gransvarde.jpg]]</td>
+   <td>[[Image: 5_186_Uppg_3438_Fritt_fall_250.jpg]]
+</td>
 </tr>
 </table>
-<math> \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \;\, {\rm går\;mot} \;\, 0 \quad {\rm när} \quad x \;\, {\rm går\;mot} \;\, \infty \qquad \; {\rm Kortare:} \; \qquad {10 \over x\,-\,2} \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to \infty </math>
+<b>Fysikalisk tolkning:</b>
-Den matematiska beskrivningen av detta beteende är<span style="color:black">:</span>
+Grafen till <math> \, v(t) \, </math> visar att det finns en maximal hastighet som hopparen inte kan överskrida:
-<math> \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2}\,=\,0 \qquad {\rm Läs\;så\;här:} \; \quad\; \; \; \; {\rm Limes\;\,av} \; {10 \over x\,-\,2} \quad {\rm då} \; x \; {\rm går\;mot} \, \infty \quad {\rm är} \;\, 0 \;{\rm .}</math>
+Efter ca. 40 sek blir hopparens hastighet konstant<span style="color:black">:</span> <math> \;\; v \, \approx \, v_{max} = 80 </math> m/s. <math> \;\; </math> [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ <b><span style="color:blue">Newtons fösta lag</span></b>]:
-::::::::<math> {\rm Betydelsen:} \; \quad\; \; {\rm Gränsvärdet\;\,för} \; {10 \over x\,-\,2} \quad {\rm då} \; x \; {\rm går\;mot} \, \infty \quad {\rm är} \;\, 0 \;{\rm .}</math>
+<i>När ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet är summan av alla krafter <math> \, = 0 \, </math> (och omvänt).</i>
-Förkortningen&nbsp;&nbsp;<strong><span style="color:red">lim</span></strong>&nbsp;&nbsp;står för det latinska ordet&nbsp;&nbsp;<strong><span style="color:red">Limes</span></strong>&nbsp;&nbsp; som betyder gräns.
+Därav följer<span style="color:black">:</span> <math> \qquad </math> Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> gravitation <math> \quad </math> dvs <math> \quad </math> rörelsen är ett <b><span style="color:red">fritt fall med luftmotstånd</span></b>.
-Som grafen visar närmar sig kurvan <math>\, x</math>-axeln utan att skära eller ens beröra den. Dvs funktionen går mot <math> 0\, </math> utan att nå själva värdet <math> 0\, </math> någon gång. <math> f(x)\, </math> blir allt mindre ju större <math> x \, </math> blir. <math> \,y </math> närmar sig <math> 0\, </math> när <math> x \, </math> växer både i positiv och negativ riktning. Kurvan skär aldrig <math> \, x </math>-axeln.
+<b>Matematisk beskrivning:</b>
-Funktionens algebraiska uttryck <math> \, y = \displaystyle{10 \over x\,-\,2} \, </math> bekräftar detta: Täljaren är konstanten <math> 10\, </math> som aldrig kan bli <math> 0\, </math>. Därför kan inte heller funktionsuttrycket någonsin bli <math> \, 0\, </math> dvs funktionen har inget nollställe.
+<div class="border-divblue"><small><b><span style="color:red">Gränsvärdet</span></b>&nbsp; för <math> \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, </math>,&nbsp; då <math> \,t \, </math> går mot <math> \, \infty \; </math>,&nbsp; <b><span style="color:red">är <math> \, 80</math></span></b>.<br>Man skriver<span style="color:black">:</span> <math> \quad </math> <div class="smallBoxVariant"><math> \displaystyle {\color{Red} {\lim_{t \to \infty}}}\,{\left(80\,(1 - 0,88\,^t)\right)} \color{Red} { \; = \; 80} </math></div> <math> \quad </math> och läser<span style="color:black">:</span>
-Samma sak händer när <math> \; x \to {\color{Red} {- \infty}} \; </math> <strong><span style="color:red">?</span></strong> &nbsp; i matematiska termer<span style="color:black">:</span> <math> \; \displaystyle \lim_{x \to \, {\color{Red} {- \infty}}}\,{10 \over x - 2}\,=\,0 \,</math>.
+<math> \qquad\;\; </math> Limes av <math> \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, </math>, då <math> t </math> går mot <math> \infty \, </math>, är <math> 80 </math>.
-Grafen visar ett ganska liknande beteende när <math> x \, </math> går mot "stora" negativa värden, dvs när <math> x \to \, {\color{Red} {- \infty}} </math>: Även där går <math> f(x)\, </math> mot <math> 0\, </math> när <math> x\, </math> går mot <math> {\color{Red} {- \infty}} </math>. Skillnaden är bara att nu <math> f(x)\, </math> närmar sig <math> 0 \, </math> från negativt håll (nedifrån). Resultatet är identiskt både när <math> x\, </math> går mot <math> \infty </math> <b>och</b> när <math> x\, </math> går mot <math> -\infty </math>, nämligen att <math> f(x) \to 0 \, </math>.
+<math> \quad\;\;\, {\color{Red} {\lim}} \, </math> står för det latinska ordet <math> \, {\color{Red} {\rm limes}} \, </math> som betyder gräns.
+</small></div>
-Vi kan sammanfatta:
+<b>Limes kan <span style="color:red">beräknas</span> utan graf:</b>
-<div class="border-div">Gränsvärdet för <big><math> \; {10 \over x\,-\,2} \; </math></big> då <math> \,x </math> går mot <math> \infty \; </math> <strong><span style="color:red">existerar</span></strong> &nbsp;&nbsp; och <strong><span style="color:red">är</span></strong> <math> {\color{Red} 0} </math>, &nbsp;&nbsp;&nbsp;kort:
+<math> v_{max} \, = \, \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\,(1 - 0,88\,^t))} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{(80 - 80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} - \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 80 \, - \, 0 \, = \, \color{Red} {80} \, </math>,
-:::::::<math> \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2}\,=\,0 </math>
+eftersom <math> \qquad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} \cdot \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 80 \cdot 0 \, = \, 0 \quad </math> pga <math> \quad 0,88 \, < \, 1 \; </math>.
-</div>
-</div>
+<b>Experiment:</b> &nbsp;Ta upp din miniräknare och slå in<span style="color:black">:</span> <math> \; 0,88\,^{10}, \quad 0,88\,^{100}, \quad 0,88\,^{1000}, \ldots \,  </math>. Vad händer?
+<math> \qquad\qquad\quad </math> Är detta ett bevis för <math> \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 0 \, </math>? Nej, men:
-Limesbegreppet är centralt i matematiken och kommer att användas i nästa avsnitt för att definiera derivatan.
+<b>Generellt:</b> <math> \quad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(a\,^t)} \, = \, 0 \, </math>, om <math> \, a \, < \, 1 \,</math>. Kan bevisas.
 </big>
-== Beräkning av gränsvärden ==
+== <b><span style="color:#931136">Beräkning av gränsvärden</span></b> ==
-==== Exempel 1 ====
+<big>
+I princip kan limes av en funktion beräknas genom att sätta in i funktionsuttrycket det värde som <math> \,x \, </math> ska gå emot. Men ofta ger detta odefinierade uttryck.
-Bestäm
+Därför måste man först <b><span style="color:red">förenkla uttrycket</span></b>, ev. flera gånger. Sedan sätts in det värde som <math> \,x \, </math> ska gå emot, i funktionsuttrycket.
+</big>
-::<math> \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} </math>
-Lösning:
+<div class="ovnE">
+==== <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ====
-För <math> x = 0 \, </math> är uttrycket under limes inte definierat. Därför måste vi faktorisera uttryckets täljare för att se om man ev. kan förkorta. Täljaren kan faktoriseras genom att bryta ut <math> x \, </math>:
+Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} </math>
-::<math> \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \, = \, \lim_{x \to 0}\, {{\color{Red} x}\:(x + 7) \over {\color{Red} x}} \, = \, \lim_{x \to 0}\, (x + 7) \, = \, 0 + 7 \, = \, 7 </math>
+<b>Lösning:</b>
+För <math> \, x = 0 \, </math> är uttrycket <math> \, \displaystyle{x^2 + 7\,x \over x} \, </math> inte definierat därför att nämnaren blir <math> \, 0 </math>.
-==== Exempel 2 ====
+Därför måste vi förenkla uttrycket.
-<b>a)</b> Bestäm
+Vi faktoriserar uttryckets täljare för att kolla om man ev. kan förkorta.
-::<math> \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} </math>
+Täljaren kan faktoriseras genom att bryta ut <math> x \, </math>:
-Lösning:
+::<math> \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \, = \, \lim_{x \to 0}\, {{\color{Red} x}\:(x + 7) \over {\color{Red} x}} \, = \, \lim_{x \to 0}\, (x + 7) \, = \, 0 + 7 \, = \, 7 </math>
+</div>
-För att kunna bestämma limes måste vi först forma om uttrycket under limes:
-::<math> {4\,x\,+\,5 \over x} = {4\,{\color{Red} x} \over {\color{Red} x}} \,+\,{5 \over x} \,=\, 4 \,+\, {5 \over x} </math>
+<div class="ovnE">
+==== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ====
-Deluttrycket <big><big><math> {5 \over x} </math></big></big> går mot <math> 0 </math> både när <math> x \to +\infty </math> och <math> x \to -\infty </math>:
+Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} </math>
-::<math> \lim_{x \to +\infty}\, {5 \over x} \, = \, \lim_{x \to -\infty}\, {5 \over x} \, = \, 0 </math>
+<b>Lösning:</b>
-Därför kan vi nu bestämma limes för hela uttrycket:
+När <math> x \to \infty </math> går uttrycket i limes <math> \displaystyle \to \frac{\infty}{\infty} </math> som är odefinierat. Därför:
-::<math> \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, 4\,+\,0 \,= \, 4</math>
+Vi förenklar uttrycket i limes genom att separera summan:
-<b>b)</b> Bestäm
+::<math> {4\,x\,+\,5 \over x} = {4\,{\color{Red} x} \over {\color{Red} x}} \,+\,{5 \over x} \,=\, 4 \,+\, {5 \over x} </math>
-::<math> \lim_{x \to 0}\, {4\,x\,+\,5 \over x} </math>
+::<math> \displaystyle{5 \over x} \; {\rm går\;mot\;} 0  \quad {\rm när} \quad x \to \infty \quad {\rm dvs} \quad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {5 \over x} \, = \, 0 </math>
-Lösning:
+:Se [[2.3_Fördjupning_till_Gränsvärde#Gr.C3.A4nsv.C3.A4rde_f.C3.B6r_en_funktion|<b><span style="color:blue">Gränsvärde för en funktion</span></b>]]: Samma typ av gränsvärde.
-::<math> \lim_{x \to 0^+}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^+}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, +\infty </math>
+Därför kan vi bestämma limes för hela uttrycket:
-::<math> \lim_{x \to 0^-}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^-}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, -\infty </math>
+::<math> \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, 4\,+\,0 \,= \, 4 \;\, </math>
+</div>
-där <math> x \to 0^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 0 </math> från höger (<math> \, x > 0 </math>) och <math> x \to 0^- </math> att närma sig <math> \, x = 0 </math> från vänster (<math> \, x < 0 </math>).
-Svar: Gränsvärde saknas.
+<div class="ovnE">
+==== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ====
-==== Exempel 3 ====
+Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} </math>
-Bestäm
+<b>Lösning:</b>
-::<math> \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} </math>
+Insättningen av <math> \, x = 2 \, </math> i uttrycket ger det odefinierade uttrycket <math> \, \displaystyle{0 \over 0} </math>. Därför:
-Lösning:
+Vi faktoriserar både täljaren och nämnaren för att kolla om man ev. kan förkorta.
-För <math> x = 2 \, </math> är uttrycket under limes inte definierat. Därför måste vi faktorisera uttryckets täljare och nämnare för att se om man ev. kan förkorta. Täljaren kan faktoriseras med hjälp av konjugatreglen och nämnaren genom att bryta ut:
+Täljaren kan faktoriseras med hjälp av konjugatreglen och nämnaren genom att bryta ut:
 ::<math> x^2\,-\,4 = (x\,+\,2)\cdot(x\,-\,2) </math>
@@ Rad 131: / Rad 140: @@
 ::<math> 5\,x - 10 = 5\,(x\,-\,2) </math>
-Nu kan vi förkorta uttrycket och bestämma limes:
+Nu kan vi förkorta uttrycket och beräkna limes:
-::<math> \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \, = \, \lim_{x \to 2}\, {(x + 2) \cdot {\color{Red} {(x-2)}} \over 5\,{\color{Red} {(x-2)}}} \, = \, \lim_{x \to 2} \, {x + 2 \over 5} \, = \, {2 + 2 \over 5} \, = \, {4 \over 5} \, = \, 0,8 </math>
+::<math> \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \, = \, \lim_{x \to 2}\, {(x + 2) \cdot {\color{Red} {(x-2)}} \over 5\,{\color{Red} {(x-2)}}} \, = \, \lim_{x \to 2} \, {x + 2 \over 5} \, = \, {2 + 2 \over 5} \, = \, {4 \over 5} </math>
+</div>
-==== Exempel 4 ====
-Bestäm
-::<math> \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} </math>
-Lösning:
-Här måste vi, för att förenkla uttrycket under limes, dividera uttryckets täljare och nämnare med den högsta <math> \,x</math>-potensen. Närmare bestämt betyder detta att dividera alla termer i uttryckets täljare och nämnare med <math> \,x^3 </math>:
-::<math> \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3/x^3\,-\,2/x^3 \over 2\,x^3/x^3\,+\,3\,x/x^3\,-\,4/x^3} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,2/x^3 \over 2\,+\,3/x^2\,-\,4/x^3} \,=\, {1\,-\,0 \over 2\,+\,0\,-\,0} \,=\, {1 \over 2} </math>
-I sista skedet av förenklingen ovan har vi använt att:
-::<math> \lim_{x \to \infty}\, {2 \over x^3} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, {3 \over x^2} \, = \, \lim_{x \to \infty} \, {4 \over x^3} \, = \, 0 </math>
+<div class="ovnC">
-==== Exempel 5 ====
+==== <b><span style="color:#931136">Exempel 4</span></b> ====
-Bestäm
+Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} </math>
-::<math> \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} </math>
+<b>Lösning:</b>
-Lösning:
+Insättningen av <math> \, x = 3 \, </math> i uttrycket ger det odefinierade uttrycket <math> \, \displaystyle{0 \over 0} </math>.
-Vi måste faktorisera uttryckets täljare för att se om man ev. kan förkorta mot nämnaren:
+För att kunna se om man ev. kan förkorta uttrycket faktoriserar vi täljaren:
 ::<math> x^2 - x - 6 = 0 \, </math>
-För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> x_2\,</math> måste enligt [[1.2_Repetition_Faktorisering_%26_Vieta_från_Matte_2#Vietas_formler_-_samband_mellan_koefficienter_och_nollst.C3.A4llen|<strong><span style="color:blue">Vieta</span></strong>]] gälla:
+Enligt [[Ekvationer#Vietas_formler|<b><span style="color:blue">Vieta</span></b>]] gäller för lösningarna <math> \, x_1\,</math> och <math> \, x_2 \, </math><span style="color:black">:</span>
 ::<math> \begin{align} x_1   +   x_2 & = -(-1) = 1   \\
@@ Rad 172: / Rad 166: @@
            \end{align}</math>
-Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är <math> -6 \, </math> och vars summa är <math> 1 \, </math>. Med lite provande hittar man <math> 3 \, </math> och <math> -2 \, </math> eftersom <math> 3 + (-2) = 1\, </math> och <math> 3 \cdot (-2) = -6 </math>:
+Två tal vars produkt är <math> \, -6 \, </math> och deras summa är <math> \, 1 </math>, är <math> \, 3 \, </math> och <math> \, -2 </math>. Därför:
 ::<math> \begin{align} x_1 & = 3   \\
@@ Rad 182: / Rad 176: @@
 ::<math> x^2 - x - 6 = (x - 3) \cdot (x + 2) </math>
-Nu kan vi förkorta uttrycket mot nämnaren och bestämma limes:
+Nu kan vi förkorta uttrycket mot nämnaren och beräkna limes:
-::<math> \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \, = \, \lim_{x \to 3}\, {{\color{Red} {(x-3)}} \cdot (x + 2) \over {\color{Red} {(x-3)}}} \, = \, \lim_{x \to 3}\, (x + 2) \, = \, 3 + 2 \, = \, 5 </math>
+<math> \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \, = \, \lim_{x \to 3}\, {{\color{Red} {(x-3)}} \cdot (x + 2) \over {\color{Red} {(x-3)}}} \, = \, \lim_{x \to 3}\, (x + 2) \, = \, 3 + 2 \, = \, 5 </math>
+</div>
-==== Exempel 6 ====
+<div class="ovnC">
-Följande funktion är given:
+==== <b><span style="color:#931136">Exempel 5</span></b> ====
-::<math> y = f(x) = x^2 </math>
+Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} </math>
-Bestäm
+<b>Lösning:</b>
-::<math> \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} </math>
+För att förenkla uttrycket i limes divideras uttryckets täljare och nämnare med den högsta <math> \,x</math>-potensen, nämligen med <math> \,x^3 </math>:
-Lösning:
+::<math> \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3/x^3\,-\,2/x^3 \over 2\,x^3/x^3\,+\,3\,x/x^3\,-\,4/x^3} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} </math>
-::<math> f(2+h) = (2+h)^2 = 4 + 4\,h + h^2 </math>
-::<math> \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} = \lim_{h \to 0} {(2+h)^2 - 2^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {4 + 4\,h + h^2\,\,-\,\,4 \over h} = \lim_{h \to 0} {4\,h + h^2 \over h} = </math>
+För att förenkla sista uttrycket använder vi:
-::<math> = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(4 + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (4 + h) =  4 </math>
+::<math> \lim_{x \to \infty}\, {\color{Red} {2 \over x^3}} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, {\color{Blue} {3 \over x^2}} \, = \, \lim_{x \to \infty} \, {\color{ForestGreen} {4 \over x^3}} \, = \, 0 </math>
+Insatt i det sista uttrycket blir det:
-==== Exempel 7 ====
+::<math> \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\quad \cdots \quad = \, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \,=\, {1\,-\,{\color{Red} 0} \over 2\,+\,{\color{Blue} 0}\,-\,{\color{ForestGreen} 0}} \,=\, {1 \over 2} </math>
+</div>
-Följande funktion är given:
-::<math> y = f(x) = x^2 </math>
+<div class="ovnA">
+==== <b><span style="color:#931136">Exempel 6</span></b> ====
-Bestäm
+Funktionen <math> \; f(x) = x^2 \; </math> är given. &nbsp; Bestäm gränsvärdet <math> \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \; </math>.
-::<math> \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} </math>
+<b>Lösning:</b>
-Lösning:
+::<math> f(2+h) \, = \, (2+h)\,^2 \, = \, {\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}} </math>
-Eftersom uttrycket under limes involverar två variabler <math> x\, </math> och <math> h\, </math> kommer limes, om den existerar, inte längre vara ett tal utan ett uttryck i <math> x\, </math>, därför att gränsvärdet ska bildas för <math> h \to 0 </math>. Under gränsprocessen kan <math> x\, </math> anses som en konstant.
+::<math> f(2) \, = \, 2\,^2  \, = \, {\color{Blue} 4} </math>
-::<math> f(x+h) = (x+h)^2 = x^2 + 2\,x\,h + h^2 </math>
+::<math> \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}}\,\,-\,\,{\color{Blue} 4} \over h} = \lim_{h \to 0} {4\,h + h^2 \over h} = </math>
-::<math> \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} {(x+h)^2 - x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {x^2 + 2\,x\,h + h^2 \, - \, x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = </math>
+::<math> = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(4 + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (4 + h) =  4 </math>
+</div>
-::<math> = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(2\,x + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) =  2\,x </math>
-Observera att <b>Exempel 6</b> är ett specialfall av <b>Exempel 7</b> för <math> x = 2 \, </math>.
+<div class="ovnA">
+==== <b><span style="color:#931136">Exempel 7</span></b> ====
-----
+Funktionen <math> \; f(x) = x^2 \; </math> är given. &nbsp; Bestäm gränsvärdet <math> \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \; </math>.
-I början av detta avsnitt (Exempel på gränsvärde av en funktion) angavs inte bara själva gränsvärdet <math> \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2}\,=\,0 \, <\math> utan det sades också att gränsvärdet ''existerade''. Detta beror på att det även finns fall där gränsvärdet ''inte'' existerar. Vi ska nu titta på ett sådant.
+<b>Lösning:</b>
+Eftersom uttrycket i limes involverar två variabler <math> \, x \, </math> och <math> \, h \, </math> kommer limes inte längre vara ett tal utan ett uttryck i <math> \, x </math>.
-=== <b><span style="color:#931136">Existens av gränsvärden</span></b> ===
+<math> \displaystyle \lim_{\color{Red} {h \to 0}} \, </math> innebär att gränsvärdet ska bildas för <math> \, {\color{Red} {h \to 0}} </math>. Därför borde <math> \, x\, </math> under gränsprocessen anses som en konstant.
-Vi stannar hos exemplet ovan, men byter frågeställning: Vi tittar inte längre på <math> \, x  \to \pm\infty  </math> utan på <math> \, {\color{Red} {x \to 2}} \, </math>:
+::<math> {\color{Red} {f(x+h)}} \, = \, (x+h)^2 \, = \, {\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} </math>
-<div class="exempel">
+::<math> {\color{Blue} {f(x)}} \, = \, {\color{Blue} {x\,^2}} </math>
-==== Exempel på att gränsvärde saknas ====
-<table>
-<tr>
-  <td>Funktionen <math> y = f(x) = </math> <math> \displaystyle {10 \over x\,-\,2} </math> med graf<span style="color:black">:</span>
+::<math> \lim_{h \to 0}\,\,{{\color{Red} {f(x+h)}} - {\color{Blue} {f(x)}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \, - \, {\color{Blue} {x\,^2}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = </math>
+::<math> = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(2\,x + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) =  \boxed{2\,x} </math>
+Observera att <b><span style="color:#931136">Exempel 6</span></b> ovan är ett specialfall av detta exempel för <math> x = 2 \, </math>.
+Jämför även med förra avsnittets [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_2_Kvadratisk_funktion|<b><span style="color:blue">Exempel 2 Kvadratisk funktion</span></b>]]<span style="color:black">:</span>
+<math> y \, = \, \boxed{2\,x} \, </math> är derivatan av <math> \, y \, = \, x^2 \, </math>, se [[2.4_Derivatans_definition#Derivatan_som_en_ny_funktion|<b><span style="color:blue">derivatan som en ny funktion</span></b>]].
-<b> <strong><span style="color:red">Vad händer med funktionen när </span></strong> <math> \; x \to 2 \; </math> <strong><span style="color:red">?</span></strong> </b>
-</td>
-  <td><math> \quad </math></td>
-  <td>[[Image: Ex 2 Gransvarde.jpg]]</td>
-</tr>
-</table>
-Kurvan skjuter upp i höjden å ena sidan och ner i "djupet" å andra sidan av punkten <math> x = 2\, </math>, därför att <big><big><math> {10 \over x\,-\,2} </math></big></big>:s nämnare blir <math> 0\, </math> för <math> x = 2\, </math>. Dvs <math> f(x)\, </math> är inte definierad för <math> x = 2\, </math>. Följaktligen visar grafen i <math> x = 2\, </math> en [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Olika_typer_av_diskontinuitet|<strong><span style="color:blue">diskontinuitet av typ oändlighetsställe</span></strong>]]. Annars är <math> f(x)\, </math> kontinuerlig i hela sin definitionsmängd som består av alla <math> x \neq 2\, </math>.
-Vi vill nu undersöka hur man kan beskriva <math> \,f(x)</math>:s beteende för <math> \, x = 2 </math> med hjälp av limes?
-Som grafen visar <math>-</math> och beräkningar med funktionsuttrycket bekräftar <math>-</math> går <math> f(x)\, </math> mot <math> +\, \infty </math> när man närmar sig <math> \, x = 2 </math> från höger och mot <math> -\, \infty </math> när man närmar sig <math> \, x = 2 </math> från vänster. Om vi uttrycker detta med pilar ser det ut så här:
-:::<math> {10 \over x - 2} \to +\, \infty \quad {\rm när} \; x \to 2^+ \qquad \; {\rm och} \; \qquad {10 \over x - 2} \to -\, \infty \quad {\rm när} \; x \to 2^- </math>
-där <math> x \to 2^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 2 </math> från höger (<math> \, x > 2 </math>) och <math> x \to 2^- </math> att närma sig <math> \, x = 2 </math> från vänster (<math> \, x < 2 </math>).
-Eftersom det finns två olika resultat beroende på om <math> \, x </math> går mot <math> \, 2 </math> från höger eller från vänster säger man:
-<div class="border-div">Gränsvärdet för <big><big><math> \; {10 \over x\,-\,2} \; </math></big></big> då <math> \,x </math> går mot <math> \, 2 \; </math> <strong><span style="color:red">existerar inte</span></strong>, &nbsp;&nbsp;&nbsp; kort:
-<big>
-:::::<strong>Gränsvärde saknas.</strong>
-</big>
-</div>
 </div>
-Funktionen går mot två olika håll när <math> \, x \to 2 </math>. Men att gränsvärdet inte kan ha två olika värden för ett och samma <math> \,x </math> är uppenbart. Limes måste ha ett entydigt värde, annars existerar den inte.
-Men även om en funktion skulle gå mot t.ex. mot <math> +\,\infty </math>, för ett visst <math> \, x </math> både från höger och vänster, t.ex. <math> \displaystyle {f(x) = {1 \over x^2}} </math> för <math> \, x = 0 </math>, skulle det strikt matematiskt inte vara korrekt att säga att limes existerar och är <math> +\,\infty </math>, därför att <math> \infty </math> inte är något värde. Med andra ord:
+=== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ===
-<div style="border:1px solid black;display:inline-block !important;margin-left: 50px !important;padding:10px 20px 10px 20px; -webkit-border-radius: 5px; -moz-border-radius: 5px;border-radius: 5px;"><big><strong>Ett gränsvärde måste, för att existera, vara både entydigt och ändligt.</strong></big>
-</div>
-Därför är det strikt matematiskt korrekt att säga: Gränsvärdena <math> \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} </math> och <math> \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} </math> saknas. Detta gäller i alla fall enligt en strikt definition av gränsvärdesbegreppet vars intuitiva innebörd återgavs ovan.
-Men det finns även andra typer av gränsvärden:
-== Ensidiga och oegentliga gränsvärden ==
-Skiljer man däremot närmandet från höger till <math> \, x = 2 </math> från närmandet från vänster kan man bilda s.k. <strong><span style="color:red">ensidiga gränsvärden</span></strong>:
-:::<math> \lim_{x \to 2^{+}}\,{10 \over x - 2}\,=\,+\,\infty \qquad\quad \; {\rm och} \; \qquad\quad \lim_{x \to 2^{-}}\,{10 \over x - 2}\,=\,-\,\infty </math>
-där <math> x \to 2^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 2 </math> från höger (<math> \, x > 2 </math>) och <math> x \to 2^- </math> att närma sig <math> \, x = 2 </math> från vänster (<math> \, x < 2 </math>).
-Man pratar om höger- och vänstergränsvärdet genom att skilja mellan de två sätten att närma sig talet <math> \, 2 </math> på <math> \, x</math>-axeln: från höger <math> x \to 2^+ </math> och från vänster <math> x \to 2^- </math>, därav beteckningen <strong><span style="color:red">ensidig</span></strong>. I vårt exempel ger de också två olika resultat.
-<table>
-<tr>
-  <td>Gränsvärden av funktioner som går mot oändligheten (och därmed strikt talat inte existerar), men ändå skrivs med limessymbolen, kallar man <strong><span style="color:red">oegentliga gränsvärden</span></strong>. Ett exempel på ett oegentligt gränsvärde är:
-::<span style="color:black"> </span> <math> \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}}\,=\,+\,\infty </math>
-där funktionen <math> \displaystyle f(x) = {1 \over x^2} </math> (se grafen till höger) går mot <math> +\,\infty </math> både när <math> \, x \to 0 </math> från höger (<math> \, x > 0 </math>) och från vänster (<math> \, x < 0 </math>). Gränsvärdet är alltså entydigt men oändligt och därför oegentligt, till skillnad från <math> \displaystyle f(x) = {10 \over x - 2} </math> vars [[2.3_Gränsvärde#Existens_av_gr.C3.A4nsv.C3.A4rden|<strong><span style="color:blue">gränsvärde</span></strong>]] varken är entydigt eller ändligt när <math> x \to 2 </math> och därför inte existerar.
-Att man använder det ovannämnda skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden sker av praktiska skäl. Man ersätter pilarna som vi använde inledningsvis med att beskriva gränsprocessen med limessymbolen istället. Det är bekvämt att använda en enhetlig notation för att beskriva gränsprocesser. Är man medveten om att limes enligt den strikta definitionen inte existerar är det o.k.
-OBS! Av skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden följer fortfarande <strong><span style="color:red">inte</span></strong> att <math> \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} </math> eller <math> \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} </math> <strong><span style="color:red">existerar</span></strong>.
-</td>
-  <td>[[Image: y = 1 genom x^2.jpg]]</td>
-</tr>
-</table>
-== Internetlänkar ==
 https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs
@@ Rad 337: / Rad 264: @@
-[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2020 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.