Skillnad mellan versioner av "2.5 Deriveringsregler"

Nuvarande version från 2 maj 2020 kl. 21.21

Genomgång

Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera utan att varje gång behöva använda derivatans definition.

Här sammanställs själva reglerna för de viktigaste typerna av funktioner. Deras bevis hittar man i fliken Fördjupning.

Derivatan av en konstant

Regel: Derivatan av en konstant är 0.

Om \( \;\; f(x) \; = \: c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)

då \( \;\; f\,'(x) \; = \: 0 \).

Bevis: Se Fördjupning: Derivatan av en konstant.

\( \qquad \)

Exempel

För funktionen \( \;\, f(x) \; = \: -5 \; \) blir derivatan:

\[ \;\, f\,'(x) \; = \: 0 \]

Derivatan av en linjär funktion

Regel: Derivatan av en linjär funktion är konstant.

Om \( \;\; f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } \)

då \( \;\; f\,'(x) \; = \; k \)

Bevis: Se Fördjupning: Derivatan av en linjär funktion.

\( \qquad \)

Exempel

För funktionen \( \;\, f(x) \; = \; -8\,x + 9 \; \) blir derivatan:

\[ \;\, f\,'(x) \; = \; -8 \]

Regel: En summa kan man derivera termvis, se längre fram.

Derivatan av en kvadratisk funktion

Regel:

Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion:

Om \( \;\; f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } \)

då \( \;\; f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b \)

Bevis: Se Fördjupning: Derivatan av en kvadratisk funktion.

\( \qquad \)

Exempel 1

För funktionen \( \;\, f(x) \; = \; 5\,x^2 - 3\,x + 6 \; \) blir derivatan:

\[ \;\, f\,'(x) \; = \; 10\,x - 3 \]

Exempel 2

För funktionen \( f(x) \; = \; -25\,x^2 + 16\,x - 90 \; \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) \; = \; 2\cdot (-25)\,x + 16 \; = \; - 50\,x + 16 \]

Derivatan av en potens

Regeln om derivatan av en potens:

Om \( \;\; f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} \)

då \( \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} \)

\( \qquad \)

Exempel 1 \( n \,=\, \) positivt heltal:

För funktionen \( f(x) = x^5 \; \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) = 5\,x^4 \]

Denna regel är den viktigaste formeln för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel.

Regeln gäller för ALLA exponenter \( {\color{Red} n} \), dvs inte bara för positiva (ex. 1) utan även för negativa heltalsexponenter (ex. 2) och t.o.m. för bråktal i exponenten (ex. 3).

Exempel 2 \( n \,=\, \) negativt heltal:

Derivera funktionen \( f(x) = \displaystyle {1 \over x} \) med hjälp av regeln om derivatan av en potens.

Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla \( \displaystyle {1 \over x} \) till en potens med hjälp av Potenslagarna:

\( \qquad \displaystyle f(x) = \boxed{\frac{1}{x}} = x^{-1} \; \) , se Lagen om negativ exponent.

Därmed är \( \,n = -1 \) och vi kan sätta in \( \, n = -1 \) i regeln om derivatan av en potens och får:

\( \qquad \displaystyle f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = \boxed{\,- \, {1 \over x^2}\,} \)

Även i den sista likheten i raden ovan har Lagen om negativ exponent använts.

Exempel 3 \( n \,=\, \) bråktal:

Derivera funktionen \( f(x) = \sqrt{x} \) med hjälp av regeln om derivatan av en potens.

Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla \( \sqrt{x} \) till en potens:

\( \qquad \displaystyle f(x) = \boxed{\sqrt{x}} = x\,^{1 \over 2} \; \) , se Lagen om kvadratroten.

Därmed är \( n = {1 \over 2} \) och vi kan sätta in \( n = {1 \over 2} \) i regeln om derivatan av en potens och får:

\( \qquad \displaystyle f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = \boxed{\,{1 \over 2\, \sqrt{x}}\,} \)

Även i den näst sista likheten i raden ovan har Lagen om kvadratroten använts.

Derivatan av en funktion med en konstant faktor

Regel:

En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:

Om \( y = a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} \)

då \( y\,' = a\cdot f\,'(x) \)

\( \qquad \)

Exempel

För funktionen \( y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} \; \) blir derivatan:

\[ y\,' \, = \,\, 6\cdot (\sqrt{x})\,' \,= \, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,= \, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}} \]

Här har resultatet från Exempel 3 på Derivatan av en potens använts:

Derivatan av \( f(x) = \sqrt{x} \) är \( f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)

Tillämpning av regeln ovan på en potensfunktion:

Om \( \;\; y \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } \)

då \( \;\; y\,' \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} \)

\( \qquad \)

Exempel

För funktionen \( y = 12\,x^4 \; \) blir derivatan:

\[ y\,' = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 \]

OBS! Konstanten \( {\color{Red} a} \) tas oförändrad över till derivatan.

Regeln om att derivatan av en konstant är \( \, 0\, \) får ingen tillämpning här, därför att konstanten \( a\, \) inte är en additiv term här utan bunden till produkten \( a \cdot x\,^n \) som en faktor framför potensen och därför inte kan separeras från den:

Konstant faktor vs. additiv konstant

I funktionen \( y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} \) är \( \, 6 \) en konstant faktor i funktionsuttrycket.

Derivatan blir \( y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} \) enligt regeln ovan: "En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering".

I funktionen \( y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x} \) är \( \, 6 \) en additiv konstant i funktionsuttrycket.

Derivatan blir \( y' = 0 \,+\, \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}} \) enligt regeln om att derivatan av en konstant är \( \, 0\, \).

Att derivatan av en konstant är \( 0\, \) innebär inte att derivatan av \( a\cdot f(x) \) blir \( 0\cdot f\,'(x) \) och därmed \( 0\, \). Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se Produkt och kvot av funktioner.

Regeln om derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är \( 0\, \). Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:

Regel:

Derivatan av en additiv konstant är \( 0\, \).

Om \( \; y \; = \; c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)

då \( \; y' \; = \; 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) \).

\( \qquad \)

Exempel

För funktionen \( \; f(x) \; = \; -5 + \displaystyle {1\over x} \; \) blir derivatan:

\[ \; f\,'(x) \; = \; 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} \]

Här har resultatet från Exempel 2 på Derivatan av en potens använts:

Derivatan av \( y = \displaystyle {1 \over x} \) är \( y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} \)

I exemplet ovan användes redan följande regel:

Derivatan av en summa av funktioner

Regel:

En summa av funktioner kan deriveras termvis:

Om \( \;\; y = f(x) + g(x)\, \)

då \( \;\; y\,' = f\,'(x) + g\,'(x) \)

\( \qquad \)

Exempel 1

För polynomfunktionen

\( \quad f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 \; \) blir derivatan:

\( \quad f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 \)

Se även Derivatan av ett polynom.

Exempel 2

För funktionen \( \displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} \; \) blir derivatan:

\[ y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} \]

Här har resultaten från Exempel 2 och 3 på Regeln om derivatan av en potens använts:

Derivatan av \( f(x) = \displaystyle {1 \over x} \) är \( f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2} \) och

Derivatan av \( f(x) = \sqrt{x} \) är \( f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \).

Produkt och kvot av funktioner

Regeln ovan tillåter att derivera en summa av funktioner termvis.

Av detta får inte dras slutsatsen att samma sak kan göras i en produkt eller i en kvot av funktioner:

En produkt av funktioner kan inte deriveras faktorvis:

Om \( \;\; y = f(x) \cdot g(x)\, \)

då \( \;\; y\,' \neq f\,'(x) \cdot g\,'(x) \)

Exempel

\[ y = x \cdot \sqrt x \]

\[ y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} \,=\, {1 \over 2\, \sqrt{x}} \]

Rätt:

\[ y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2} \]

\[ y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x \]

\( \qquad\qquad \)

Inte heller i en kvot av funktioner kan täljaren
deriveras för sig och nämnaren för sig:

Om \( \displaystyle \;\; y = \frac{f(x)}{g(x)} \quad \) då \( \quad \displaystyle \;\; y\,' \neq \frac{f\,'(x)}{g\,'(x)} \)

Exempel

\[ y \,=\, \displaystyle {x^2+1 \over x} \]

\[ y\,' \,\neq\, {2\,x+ 0 \over 1} \,=\, {2\,x\over 1} \,=\, 2\,x \]

Rätt:

\[ y = {x^2+1 \over x} = {x^2 \over x} + {1 \over x} = x + {1 \over x} = x + x^{-1} \]

\[ y\,' = 1 + (-1)\cdot x^{-1-1} = 1- x^{-2} = 1- {1 \over x^2} \]

Deriveringsregler för produkt och kvot av funktioner (Produkt- och Kvotregeln) behandlas först i kursen Matematik 4.

Tabell över deriveringsregler

Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där \( c,\,a,\,k,\,m,\,n \) är konstanter medan \( \, x\, \) och \( \, y\, = \, f(x) \) är variabler:

\( y\, \)	\( y\,' \)
\( c\, \)	\( 0\, \)
\( x\, \)	\( 1\, \)
\( a\; x \)	\( a\, \)
\( k\; x \, + \, m \)	\( k\, \)
\( x^2\, \)	\( 2\,x \)
\( a\,x^2 \)	\( 2\,a\,x \)
\( x^n\, \)	\( n\cdot x\,^{n-1} \)
\( a\,x\,^n \)	\( a\cdot n\cdot x\,^{n-1} \)
\( \displaystyle {1 \over x} \)	\( \displaystyle - {1 \over x^2} \)
\( \sqrt{x} \)	\( \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)
\( a\cdot f(x) \)	\( a\cdot f\,'(x) \)
\( f(x) + g(x)\, \)	\( f\,'(x) + g\,'(x) \)

De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem i samma tabell som deriveringsreglerna.

Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om Derivatan av exponentialfunktioner.

Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=vzYS8OEnngw

https://www.youtube.com/watch?v=ekESj2A5IiY

https://www.youtube.com/watch?v=hZXusMjayZk

http://www.youtube.com/watch?v=hYKiTPB7jnQ&feature=related

Skillnad mellan versioner av "2.5 Deriveringsregler"

Nuvarande version från 2 maj 2020 kl. 21.21

Derivatan av en konstant

Derivatan av en linjär funktion

Derivatan av en kvadratisk funktion

Derivatan av en potens

Derivatan av en funktion med en konstant faktor

Konstant faktor vs. additiv konstant

Derivatan av en summa av funktioner

Produkt och kvot av funktioner

Tabell över deriveringsregler

Internetlänkar

Navigeringsmeny

Personliga verktyg

Matematik 3c

Sök

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
+__NOTOC__
 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
-{{Not selected tab|[[2.4 Derivatans definition|<-- Förra avsnitt]]}}
+{{Not selected tab|[[2.4 Derivatans definition| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 {{Selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Genomgång]]}}
 {{Not selected tab|[[2.5 Övningar till Deriveringsregler|Övningar]]}}
 {{Not selected tab|[[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|Fördjupning]]}}
-{{Not selected tab|[[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|Nästa avsnitt -->]]}}
+{{Not selected tab|[[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 | style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 |}
+<!-- [[Media: Lektion 17 Deriveringsregler I Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 17 Deriveringsregler I</span></b>]]
-[[Media: Lektion 19 Deriveringsregler I Rutaa.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 19 Deriveringsregler I</span></strong>]]
+[[Media: Lektion 18 Deriveringsregler II Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 18 Deriveringsregler II</span></b>]] -->
-[[Media: Lektion 20 Deriveringsregler II Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 20 Deriveringsregler II</span></strong>]]
-__NOTOC__
 <div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
-Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis behandlas i fliken [[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]].
+Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera utan att varje gång behöva använda derivatans definition.
+Här sammanställs själva reglerna för de viktigaste typerna av funktioner. Deras bevis hittar man i fliken [[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|<b><span style="color:blue">Fördjupning</span></b>]].
 </div> <!-- tolv1 -->
 == <b><span style="color:#931136">Derivatan av en konstant</span></b> ==
+<br>
-'''Regel:'''
 <table>
 <tr>
    <td><div class="border-divblue">
-<b>Derivatan av en konstant är 0.</b>
+<b>'''Regel:''' &nbsp;&nbsp; Derivatan av en konstant är 0.</b>
-Om <math> \;\; f(x) \; = \: c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Om <math> \;\; f(x) \; = \: c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
-då <math> \;\; f\,'(x) \; = \: 0 </math>.</div>
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;då <math> \;\; f\,'(x) \; = \: 0 </math>.
+'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<b><span style="color:blue">Fördjupning: Derivatan av en konstant</span></b>]].
+</div>
@@ Rad 35: / Rad 39: @@
    <td><math> \qquad </math></td>
    <td><div class="ovnE">
-'''Exempel:'''
+'''Exempel'''
 För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \: -5 \; </math> blir derivatan:
@@ Rad 42: / Rad 46: @@
 </tr>
 </table>
-'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<strong><span style="color:blue">Fördjupning: Derivatan av en konstant</span></strong>]].
 == <b><span style="color:#931136">Derivatan av en linjär funktion</span></b> ==
+<br>
-'''Regel:'''
 <table>
 <tr>
    <td><div class="border-divblue">
-<b>Derivatan av en linjär funktion är konstant.</b>
+<b>'''Regel:''' &nbsp;&nbsp; Derivatan av en linjär funktion är konstant.</b>
-Om <math> \;\; f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } </math>
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Om <math> \;\; f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } </math>
-då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; k </math></div>
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; k </math>
+'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_linjär_funktion|<b><span style="color:blue">Fördjupning: Derivatan av en linjär funktion</span></b>]].
+</div>
 </td>
    <td><math> \qquad </math></td>
    <td><div class="ovnE">
-'''Exempel:'''
+'''Exempel'''
 För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \; -8\,x + 9 \; </math> blir derivatan:
 :::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \; -8 </math>
+'''Regel:''' En summa kan man derivera termvis, se [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_summa_av_funktioner|<b><span style="color:blue">längre fram</span></b>]].
 </div></td>
 </tr>
 </table>
-'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_linjär_funktion|<strong><span style="color:blue">Fördjupning: Derivatan av en linjär funktion</span></strong>]].
 == <b><span style="color:#931136">Derivatan av en kvadratisk funktion</span></b> ==
+<br>
-'''Regel:'''
 <table>
 <tr>
    <td><div class="border-divblue">
-<b>Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.</b>
+<b>'''Regel:'''
+Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion:</b>
 Om <math> \;\; f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } </math>
 då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b </math>
+'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_kvadratisk_funktion|<b><span style="color:blue">Fördjupning: Derivatan av en kvadratisk funktion</span></b>]].
 </div>
@@ Rad 89: / Rad 94: @@
+</td>
+  <td><math> \qquad </math></td>
+  <td><div class="ovnE">
+'''Exempel 1'''
+För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \; 5\,x^2 - 3\,x + 6 \; </math> blir derivatan:
+:::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \; 10\,x - 3 </math>
+'''Exempel 2'''
-</td>
+För funktionen &nbsp; <math> f(x) \; = \; -25\,x^2 + 16\,x - 90 \; </math> blir derivatan:
-  <td><math> \qquad </math></td>
-  <td><div class="ovnE">
-'''Exempel 1:'''
-:För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \; 5\,x^2 - 3\,x + 6 </math> blir derivatan:
+:::::<math> f\,'(x) \; = \; 2\cdot (-25)\,x + 16 \; = \; - 50\,x + 16 </math>
+</div></td>
+</tr>
+</table>
+== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en potens</span></b> ==
+<br>
+<!-- '''Viktigt specialfall:''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <big><math> {\color{Red} {a \,=\, }} </math></big><math> {\color{Red} 1}\, </math> -->
+<table>
+<tr>
+  <td><div class="border-divblue"><big>
+<b>Regeln om derivatan av en potens:</b>
-::::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \; 10\,x - 3 </math>
+Om <math> \;\; f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} </math>
-'''Exempel 2:'''
+då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} </math>
-:För funktionen &nbsp; <math> f(x) \; = \; -25\,x^2 + 16\,x - 90</math> blir derivatan:
+</big></div></td>
+  <td><math> \qquad </math></td>
+  <td>
-::::::<math> f\,'(x) \; = \; 2\cdot (-25)\,x + 16 \; = \; - 50\,x + 16 </math>
+<div class="ovnE">
+'''Exempel 1''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> positivt heltal:
+För funktionen <math> f(x) = x^5 \; </math> blir derivatan:
+:::::<math> f\,'(x) = 5\,x^4 </math>
 </div>
 </td>
 </tr>
@@ Rad 113: / Rad 140: @@
-'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_kvadratisk_funktion|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]].
+<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
+Denna regel är den <b><span style="color:red">viktigaste formeln</span></b> för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel.
+Regeln gäller för <b><span style="color:red">ALLA exponenter</span></b> <big><math> {\color{Red} n} </math></big>, dvs inte bara för positiva (ex. 1) utan även för negativa heltalsexponenter (ex. 2) och t.o.m. för bråktal i exponenten (ex. 3).
+</div> <!-- tolv3 -->
-== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en potensfunktion</span></b> ==
+<div class="ovnE">
+'''Exempel 2''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> negativt heltal:
-'''Regel:'''
+Derivera funktionen <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> med hjälp av regeln om derivatan av en potens.
-<div class="border-div2"><big>
-<b>Derivatan av en potensfunktion är en annan potensfunktion med en grad lägre.</b>
-:::::Om <math> \;\; f(x) \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } </math>
+Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \displaystyle {1 \over x} </math> till en potens med hjälp av [[Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]]<span style="color:black">:</span>
-:::::då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} </math>
+<math> \qquad \displaystyle f(x) = \boxed{\frac{1}{x}} = x^{-1} \; </math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;, se [[Potenser#Lagen_om_negativ_exponent_.5C.28_.5Cquad_a.5C.2C.5E.7B-x.7D_.5C.3B_.3D_.5C.3B_.5Cdisplaystyle_.7B1_.5Cover_a.5C.2C.5Ex.7D_.5C.29|<b><span style="color:blue">Lagen om negativ exponent</span></b>]].
-</big></div>
+Därmed är <math> \,n = -1 </math> och vi kan sätta in <math> \, n = -1 </math> i regeln om derivatan av en potens och får<span style="color:black">:</span>
+<math> \qquad \displaystyle f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = \boxed{\,- \, {1 \over x^2}\,} </math>
+</div>
-<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
-<strong><span style="color:red">Konstanten</span></strong> <big><math> {\color{Red} a} </math></big> tas oförändrad över till derivatan.
-Regeln om att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> får ingen tillämpning här, därför att konstanten <math> a\, </math> inte är en additiv term här utan bunden till produkten <math> a \cdot x\,^n </math> som en <strong><span style="color:red">faktor</span></strong> framför potensen, se regeln för  [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_funktion_med_en_konstant_faktor|<strong><span style="color:blue">derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></strong>]].
+<big>
-</div> <!-- tolv2 -->
+Även i den sista likheten i raden ovan har [[Potenser#Lagen_om_negativ_exponent_.5C.28_.5Cquad_a.5C.2C.5E.7B-x.7D_.5C.3B_.3D_.5C.3B_.5Cdisplaystyle_.7B1_.5Cover_a.5C.2C.5Ex.7D_.5C.29|<b><span style="color:blue">Lagen om negativ exponent</span></b>]] använts.
+</big>
-<div class="exempel"> <!-- exempel4 -->
+<div class="ovnE">
-'''Exempel:'''
+'''Exempel 3''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> bråktal:
-För funktionen <math> f(x) = 12\,x^4\, </math> blir derivatan:
+Derivera funktionen <math> f(x) = \sqrt{x} </math> med hjälp av regeln om derivatan av en potens.
-:::::<math> f\,'(x) = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 </math>
+Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \sqrt{x} </math> till en potens<span style="color:black">:</span>
-</div>  <!-- exempel4 -->
+<math> \qquad \displaystyle f(x) = \boxed{\sqrt{x}} = x\,^{1 \over 2} \; </math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;, se [[Potenser#Lagen_om_kvadratroten_.5C.28_.5Cquad_a.5E.7B1_.5Cover_2.7D_.5C.3B_.3D_.5C.3B_.5Csqrt.7Ba.7D_.5C.29|<b><span style="color:blue">Lagen om kvadratroten</span></b>]].
-'''Viktigt specialfall:''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <big><math> a \,=\, </math></big><math> 1\, </math>
+Därmed är <math> n = {1 \over 2} </math> och vi kan sätta in <math> n = {1 \over 2} </math> i regeln om derivatan av en potens och får<span style="color:black">:</span>
-<div class="border-divblue"><big>
+<math> \qquad \displaystyle f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = \boxed{\,{1 \over 2\, \sqrt{x}}\,} </math>
-<b>Derivatan av en potens:</b>
+</div>
-Om <math> \;\; f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} </math>
-då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} </math>
+<big>
+Även i den näst sista likheten i raden ovan har [[Potenser#Lagen_om_kvadratroten_.5C.28_.5Cquad_a.5E.7B1_.5Cover_2.7D_.5C.3B_.3D_.5C.3B_.5Csqrt.7Ba.7D_.5C.29|<b><span style="color:blue">Lagen om kvadratroten</span></b>]] använts.
+</big>
-</big></div>
+== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></b> ==
+<br>
+<table>
+<tr>
+  <td><div class="border-divblue">
+<b>'''Regel:'''
-<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
+En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:</b>
-Denna regel som kan anses som den viktigaste formel för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel.
-Dessutom gäller regeln för <strong><span style="color:red">ALLA exponenter</span></strong> <big><math> {\color{Red} n} </math></big>, dvs inte bara för positiva utan även för negativa heltalsexponenter och t.o.m. för bråktal i exponenten.
+::Om <math> y     =  a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} </math>
-</div> <!-- tolv3 -->
+::då <math> y\,'  =  a\cdot f\,'(x) </math>
-<div class="exempel"> <!-- exempel5 -->
+</div>
-'''Exempel 1''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> positivt heltal:
-:För funktionen <math> f(x) = x^5\, </math> blir derivatan:
-::::::<math> f\,'(x) = 5\,x^4 </math>
+</td>
+  <td><math> \qquad </math></td>
+  <td><div class="ovnE">
+'''Exempel'''
-'''Exempel 2''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> negativt heltal:
+För funktionen <math> y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} \; </math> blir derivatan:
-:Derivera funktionen <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
+:::<math> y\,' \, = \,\, 6\cdot (\sqrt{x})\,' \,= \, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,= \, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}} </math>
-:Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \displaystyle {1 \over x} </math> till en potens:
+Här har resultatet från Exempel 3 på [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potens|<b><span style="color:blue">Derivatan av en potens</span></b>]] använts:
-:::<math> f(x) = {1 \over x} = x^{-1} </math>
+::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
+</div></td>
+</tr>
+</table>
-:Därmed är <math> \,n = -1 </math> och vi kan sätta in <math> \, n = -1 </math> i regeln för derivatan av en potens och får:
-:::<math> f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} </math>
+<table>
+<tr>
+  <td><div class="border-divblue">
+'''Tillämpning av regeln ovan på en potensfunktion:'''
-'''Exempel 3''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> bråktal:
+::Om <math> \;\; y \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } </math>
-:Derivera funktionen <math> f(x) = \sqrt{x} </math> med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
+::då <math> \;\; y\,' \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} </math>
-:Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \sqrt{x} </math> till en potens:
+</div></td>
+  <td><math> \qquad </math></td>
+  <td><div class="ovnE">
+'''Exempel'''
-:::<math> f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} </math>
+För funktionen <math> y = 12\,x^4 \; </math> blir derivatan:
-:Därmed är <math> n = {1 \over 2} </math> och vi kan sätta in <math> n = {1 \over 2} </math> i regeln för derivatan av en potens och får:
+:::::<math> y\,' = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 </math>
+</div></td>
+</tr>
+</table>
+<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
+<b><span style="color:red">OBS! &nbsp; Konstanten</span></b> <big><math> {\color{Red} a} </math></big> tas oförändrad över till derivatan.
-:::<math> f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
+Regeln om att [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<b><span style="color:blue">derivatan av en konstant</span></b>]] är <math> \, 0\, </math> får ingen tillämpning här, därför att konstanten <math> a\, </math> inte är en additiv term här utan bunden till produkten <math> a \cdot x\,^n </math> som en <b><span style="color:red">faktor</span></b> framför potensen och därför inte kan separeras från den:
-</div>  <!-- exempel5 -->
+</div> <!-- tolv2 -->
-== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en summa av funktioner</span></b> ==
+== <b><span style="color:#931136">Konstant faktor vs. additiv konstant</span></b> ==
+<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
+I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> &nbsp; en <b><span style="color:red">konstant faktor</span></b> i funktionsuttrycket.
-'''Regel:'''
+Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln ovan: "En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering".
-<div class="border-div2"><big>
-<b>En summa av funktioner kan deriveras termvis:</b>
-:::Om <math> \;\; y     =  f(x) + g(x)\, </math>
+I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> en <b><span style="color:red">additiv konstant</span></b> i funktionsuttrycket.
-:::då <math> \;\; y\,'  =  f\,'(x) + g\,'(x) </math>
+Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 0 \,+\,  \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln om att derivatan av en konstant är <math> \, 0\, </math>.
-</big></div>
+Att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> innebär <b><span style="color:red">inte</span></b> att derivatan av &nbsp; <math> a\cdot f(x) </math> &nbsp; blir &nbsp; <math> 0\cdot f\,'(x) </math> &nbsp; och därmed <math> 0\, </math>. Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se [[2.5_Deriveringsregler#Produkt_och_kvot_av_funktioner|<b><span style="color:blue">Produkt och kvot av funktioner</span></b>]].
+[[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<b><span style="color:blue">Regeln om derivatan av en konstant</span></b>]] innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är <math> 0\, </math>. Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:
+</div> <!-- tolv5 -->
-<div class="exempel"> <!-- exempel6 -->
-'''Exempel 1''':
-För funktionen <math> \displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} </math> blir derivatan:
+<table>
+<tr>
+  <td><div class="border-divblue">
+<b>'''Regel:'''
-:::::<math> y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math>
+Derivatan av en additiv konstant är <math> 0\, </math>.</b>
-Här har vi använt de resultat vi fick i Exempel 2 och 3 från regeln för derivatan av en potens, nämligen att:
+Om <math> \; y \; = \; c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
-:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math> &nbsp; och
+då <math> \; y' \; = \; 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) </math>.
-:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>.
+</div>
-Regeln ovan kan användas för att derivera polynom termvis.
-'''Exempel 2:'''
+</td>
+  <td><math> \qquad </math></td>
+  <td><div class="ovnE">
+'''Exempel'''
-För polynomfunktionen <math> f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 </math> blir derivatan:
+För funktionen <math> \; f(x) \; = \; -5 + \displaystyle {1\over x} \; </math> blir derivatan:
-:::::::<math> f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 </math>
+:::::<math> \; f\,'(x) \; = \; 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} </math>
-Se även [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_ett_polynom|<strong><span style="color:blue">Derivatan av ett polynom</span></strong>]].
+Här har resultatet från Exempel 2 på [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potens|<b><span style="color:blue">Derivatan av en potens</span></b>]] använts:
-</div> <!-- exempel6 -->
+:::Derivatan av &nbsp; <math> y = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math>
+</div></td>
+</tr>
+</table>
-== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></b> ==
+<big>I exemplet ovan användes redan följande regel:</big>
-'''Regel:'''
-<div class="border-div2"><big>
-<b>En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:</b>
-::Om <math> y     =  a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} </math>
+== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en summa av funktioner</span></b> ==
+<br>
+<table>
+<tr>
+  <td><div class="border-divblue">
+<b>'''Regel:'''
-::då <math> y\,'  =  a\cdot f\,'(x) </math>
+En <span style="color:red">summa</span> av funktioner kan deriveras termvis:</b>
-</big></div>
+:::Om <math> \;\; y     =  f(x) + g(x)\, </math>
+:::då <math> \;\; y\,'  =  f\,'(x) + g\,'(x) </math>
-<div class="exempel"> <!-- exempel7 -->
+</div>
-'''Exempel''':
-För funktionen <math> y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} </math> blir derivatan:
-:::::<math> y\,' \, = \,\, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}} </math>
+</td>
+  <td><math> \qquad </math></td>
+  <td><div class="ovnE">
+'''Exempel 1'''
-Även här har vi använt resultatet från [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en potens, Exempel 3</span></strong>]], nämligen:
+För polynomfunktionen
-::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>.
+<math> \quad f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 \; </math> blir derivatan<span style="color:back">:</span>
-</div> <!-- exempel7 -->
+<math> \quad f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 </math>
-== <b><span style="color:#931136">Konstant faktor vs. additiv konstant</span></b> ==
+Se även [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_ett_polynom|<b><span style="color:blue">Derivatan av ett polynom</span></b>]].
-<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
+</div></td>
-I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> &nbsp; en <strong><span style="color:red">konstant faktor</span></strong> i funktionsuttrycket.
+</tr>
+</table>
-Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_funktion_med_en_konstant_faktor|<strong><span style="color:blue">derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></strong>]].
-I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> en <strong><span style="color:red">additiv konstant</span></strong> i funktionsuttrycket.
+<div class="ovnE">
+'''Exempel 2'''
-Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 0 \,+\,  \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<strong><span style="color:blue">derivatan av en konstant</span></strong>]].
+För funktionen <math> \displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} \; </math> blir derivatan:
-Att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> innebär <strong><span style="color:red">inte</span></strong> att derivatan av &nbsp; <math> a\cdot f(x) </math> &nbsp; blir &nbsp; <math> 0\cdot f\,'(x) </math> &nbsp; och därmed <math> 0\, </math>. Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se [[2.5_Deriveringsregler#Produkt_och_kvot_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">Produkt och kvot av funktioner</span></strong>]].
+:::::<math> y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math>
-Regeln för derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är <math> 0\, </math>. Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:
+Här har resultaten från Exempel 2 och 3 på [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potens|<b><span style="color:blue">Regeln om derivatan av en potens</span></b>]] använts:
-</div> <!-- tolv5 -->
+:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math> &nbsp; och
-'''Regel:'''
+:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>.
-<div class="border-div2"><big>
+</div>
-<b>Derivatan av en additiv konstant är <math> 0\, </math>.</b>
-Om <math> \; y \; = \; c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
-då <math> \; y' \; = \; 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) </math>.
+== <b><span style="color:#931136">Produkt och kvot av funktioner</span></b> ==
-</big></div>
+<div class="tolv"> <!-- tolv7 -->
+Regeln ovan tillåter att derivera en summa av funktioner termvis.
+Av detta får inte dras slutsatsen att samma sak kan göras i en produkt eller i en kvot av funktioner:
+</div> <!-- tolv7 -->
-<div class="exempel"> <!-- exempel8 -->
-'''Exempel:'''
-För funktionen <math> \; f(x) \; = \; -5 + \displaystyle {1\over x} {\color{White} x} </math> blir derivatan:
+<table>
+<tr>
+  <td><div class="border-divblue">
+<b>En <span style="color:red">produkt</span> av funktioner kan <span style="color:red">inte</span> deriveras faktorvis:</b>
-:::::<math> \; f\,'(x) \; = \; 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} </math>
+:::Om <math> \;\; y     =  f(x) \cdot g(x)\, </math>
-Här har vi använt resultatet från [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en potens, Exempel 2</span></strong>]], nämligen:
+:::då <math> \;\; y\,' \neq  f\,'(x) \cdot g\,'(x) </math>
-:::Derivatan av &nbsp; <math> y = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math>
+</div>
-</div> <!-- exempel8 -->
-== <b><span style="color:#931136">Produkt och kvot av funktioner</span></b> ==
+<div class="ovnE">
-<div class="tolv"> <!-- tolv7 -->
+'''Exempel'''
-Regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_summa_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en summa av funktioner</span></strong>]] säger: En summa av funktioner kan deriveras termvis.
-Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller varken för en produkt eller en kvot av funktioner:
+::<math> y = x \cdot \sqrt x </math>
+::<math> y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} \,=\, {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
-'''1)''' &nbsp; En <strong><span style="color:red">produkt</span></strong> av funktioner kan <strong><span style="color:red">inte</span></strong> deriveras faktorvis.
+'''Rätt:'''
-</div> <!-- tolv7 -->
-<div class="exempel"> <!-- exempel9 -->
+::<math> y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2} </math>
-:'''Exempel:'''
-:::<math> y = x \cdot \sqrt x </math>
+::<math> y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x </math>
+</div>
-:::<math> y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
-:'''Rätt:'''
-:::<math> y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2} </math>
-:::<math> y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x </math>
+</td>
-</div> <!-- exempel9 -->
+  <td><math> \qquad\qquad </math></td>
+  <td><div class="border-divblue">
+<b><span style="color:red">Inte heller</span> i en <span style="color:red">kvot</span> av funktioner kan täljaren<br>deriveras för sig och nämnaren för sig:</b>
+:Om <math> \displaystyle \;\; y     =  \frac{f(x)}{g(x)} \quad </math> då <math> \quad \displaystyle \;\; y\,' \neq \frac{f\,'(x)}{g\,'(x)} </math>
-<div class="tolv"> <!-- tolv8 -->
+</div>
-'''2)''' &nbsp; Inte heller en <strong><span style="color:red">kvot</span></strong> av funktioner kan deriveras täljaren för och nämnaren för sig.
-</div> <!-- tolv8 -->
-<div class="exempel"> <!-- exempel10 -->
-:'''Exempel:'''
-:::<math> y \,=\, \displaystyle {1 \over x} </math>
-:::<math> y\,' \,\neq\, {0 \over 1} \,=\, 0 </math>
+<div class="ovnE">
+'''Exempel'''
-:'''Rätt:'''
+::<math> y \,=\, \displaystyle {x^2+1 \over x} </math>
-:::<math> y\,' \,=\, \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math>
+::<math> y\,' \,\neq\, {2\,x+ 0 \over 1} \,=\, {2\,x\over 1} \,=\, 2\,x </math>
-</div> <!-- exempel10 -->
+'''Rätt:'''
+::<math> y = {x^2+1 \over x} = {x^2 \over x} + {1 \over x} = x + {1 \over x}  = x + x^{-1} </math>
+::<math> y\,' = 1 + (-1)\cdot x^{-1-1} = 1- x^{-2} = 1- {1 \over x^2} </math>
+</div></td>
+</tr>
+</table>
 <div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
-Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. <strong><span style="color:red">produkt-</span></strong> resp. <strong><span style="color:red">kvotregeln</span></strong>. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan.
+Deriveringsregler för produkt och kvot av funktioner (<b><span style="color:red">Produkt-</span></b> och <b><span style="color:red">Kvotregeln</span></b>) behandlas först i kursen Matematik 4.
 </div> <!-- tolv6 -->
@@ Rad 349: / Rad 415: @@
 <div class="tolv"> <!-- tolv7 -->
-Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där <math> c,\,a,\,k,\,m,\,n </math> är konstanter medan <math> x\, </math> och <math> y\, </math> är variabler:
+Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där <math> c,\,a,\,k,\,m,\,n </math> är konstanter medan <math> \, x\, </math> och <math> \, y\, = \, f(x) </math> är variabler:
-:::::{| class="wikitable"
+<div class="border-divblue">
+{| class="wikitable"
 |-
 ! <math> y\, </math> || <math> y\,' </math>
@@ Rad 374: / Rad 441: @@
 |-
 | align=center| <math> \sqrt{x} </math> ||align=center| <math> \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
-|-
-| align=center| <math> f(x) + g(x)\, </math> ||align=center| <math> f\,'(x) + g\,'(x) </math>
 |-
 | align=center| <math> a\cdot f(x) </math> ||align=center| <math> a\cdot f\,'(x) </math>
+|-
+| align=center| <math> f(x) + g(x)\, </math> ||align=center| <math> f\,'(x) + g\,'(x) </math>
 |}
+</div>
 De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Av praktiska skäl tar vi upp dem i samma tabell som deriveringsreglerna.
-Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om [[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av exponentialfunktioner</span></strong>]].
+Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om [[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|<b><span style="color:blue">Derivatan av exponentialfunktioner</span></b>]].
 </div> <!-- tolv7 -->
@@ Rad 403: / Rad 471: @@
-[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
+[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2020 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.