Skillnad mellan versioner av "1.1 Fördjupning till Polynom"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Jämförelse av koefficienter)
m
 
(417 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[Repetitioner från Matte 2|Repetitioner]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.1 Övningar till Polynom|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.1 Övningar till Polynom|Övningar]]}}
 
{{Selected tab|[[1.1 Fördjupning till Polynom|Fördjupning]]}}
 
{{Selected tab|[[1.1 Fördjupning till Polynom|Fördjupning]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.1 Extrauppgifter till Polynom|Extrauppgifter]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.2 Faktorisering av polynom|Nästa avsnitt  >> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
|}
 
|}
  
  
−
== Polynomfunktioner av högre grad ==
+
<!-- [[Media: Lektion_3_Polynom_Ruta_a.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 3 Polynom</span></strong>]]
  
−
Ett polynoms grad är ett mått på dess kompexitet.  
+
[[Media: Lektion 4 Polynom Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 4 Polynom: Fördjupning</span></strong>]]
 +
-->
 +
== <b><span style="color:#931136">Polynomfunktioner av högre grad</span></b> ==
 +
<big>
 +
När ett polynom tilldelas en annan variabel, säg <math> \, y \, </math> bildas en <b><span style="color:red">polynomfunktion</span></b>. I Matte 1-kursen hade vi bara linjära eller 1:a gradsfunktioner av typ<span style="color:black">:</span>
  
−
Ett exempel på hur kompexiteten växer med graden (från 0 till 5) är följande sex polynom:
+
:::<math> y = 4\,x + 12 </math>
  
−
[[Image: Chebyshev_Polyn_2nd Formler.jpg]]
+
Till höger om likhetstecknet står ett polynom där <math> \, x \, </math> förekommer som 1:a gradspotens dvs med exponenten <math> \, 1 \, </math>. Därför kallas <math> \, 4\,x \, </math> polynomets linjära term. Polynomets konstanta term är <math> \, 12 </math>. Grafen till denna 1:a gradsfunktion är en rät linje. I Matte 2-kursen gick vi ett steg vidare och sysslade med 2:a gradsfunktioner av typ<span style="color:black">:</span>
  
−
Polynomen <math>U_n(x)\,</math> bildar en följd av polynom där varje polynom har ett [[1.1_Polynom#Allm.C3.A4n_definition|index]] <math>n\,</math> som samtidigt är polynomets grad.
+
:::<math> y = 3\,x^2 + 5\,x - 16 </math>  
  
−
De nedsänkta indexen <math>_0,\,_1,\,_2,\,_3,\,_4,\,_5</math> i beteckningarna <math>U_0, U_1, U_2, U_3, U_4, U_5\,</math> används här både för att relatera indexet till polynomets grad och kunna skriva sedan en formel för dessa polynom som kommer att visa att de hänger ihop som en familj, se några rader längre fram.
+
Här är graden <math> \, 2 </math>. Den kvadratiska termen är <math> \, 3\,x^2 \, </math>, den linjära termen <math> \, 5\,x\, </math> och den konstanta termen <math> \, -16 </math>. Grafen till denna 2:a gradfunktion är en parabel. Dessa funktioner kallas polynomfunktioner därför att uttrycken till höger om likhetstecken är polynom, dvs summor av termer där exponenterna till <math> \, x</math>-potenserna är positiva heltal eller <math> \, 0 </math>. I Matte 3-kursen ska vi nu lära oss att hantera även polynom av högre grad än <math> \, 2 </math>.
 +
</big>
  
−
Här följer graferna till polynomen ovan ritade i samma koordinatsystem. De visar att kurvorna svänger oftare och får fler maxima/minima ju högre deras grad är:
 
  
−
[[Image: Chebyshev_Polyn_2nd_60.jpg]]
+
<div class="exempel">
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>
 +
=== <b><span style="color:#931136">Exempel på polynomfunktion av högre grad</span></b> ===
 +
<big>
 +
Vi tar som exempel följande 4:e gradspolynomfunktion:
  
−
Dessa polynom heter [http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevPolynomialoftheSecondKind.html Chebyshevpolynom av 2:a slag] efter den ryske matematikern [http://en.wikipedia.org/wiki/Pafnuty_Chebyshev Chebyshev] som presenterade dem 1854. De är relaterade till varandra med följande formel, kallad <span style="color:red">rekursionsformel</span>:
+
:::<math> y = x^4 - 29\;x^2 + 100 </math>
  
−
:::::::::::<math> U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... </math>
+
vars graf till höger är mer komplicerad än en parabel.
  
−
:::::::::::<math> U_0(x) = 1, \quad U_1(x) = 2\,x </math>
+
Den har framför allt fler minima, maxima och nollställen.
  
−
Denna formel ger oss möjligheten att ta fram Chebyshevpolynomen rekursivt (successivt), dvs vi kan ställa upp ett polynom med hjälp av de två föregående. De första två Chebyshevpolynomen <math>U_0, U_1\,</math> är explicit angivna (i den andra raden). Det tredje Chebyshevpolynomet <math>U_2\,</math> får man genom att sätta in <math>U_0, U_1\,</math> i högerledet av rekursionsformeln (i den första raden). Det fjärde Chebyshevpolynomet <math>U_3\,</math> får man genom att sätta in <math>U_1, U_2\,</math> i högerledet osv. Det finns oändligt många Chebyshevpolynom. I princip kan man få dem alla med rekursionsformeln utgående från de två första. Man kan säga att följden av Chebyshevpolynomen definieras och genereras av rekursionsformeln ovan. Låt oss börja med att ställa upp det tredje (OBS! n = 2) med hjälp av de två första (n = 0 och 1):
+
Funktionens fyra nollställen är identiska med lösningarna till 4:e gradsekvationen<span style="color:black">:</span>
  
−
<math> \displaystyle U_0(x) = \underline{1} </math>
+
:::<math> x^4 - 29\;x^2 + 100 = 0 </math>
 +
</big>
 +
</td>
 +
  <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; [[Image: 4-e_gradspolynom_70_70.jpg]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
</div> <!-- exempel -->
  
−
<math> U_1(x) = \underline{2\,x} </math>
 
  
−
För n = 2 ger rekursionsformeln:
+
== <b><span style="color:#931136">En familj av högre grads polynomfunktioner</span></b> ==
 +
<big>
 +
Ett polynoms grad är ett mått på dess komplexitet: Ju högre grad, desto oftare svänger kurvorna och desto fler maxima/minima har de. Här ser man sex polynom vars grafer är ritade i samma koordinatsystem:
  
−
<math> U_2(x) = 2\,x\,\cdot\,U_1(x)\,-\,U_0(x) = 2\,x\,\cdot\,2\,x\,-\,1 = \underline{4\,x^2\,-\,1} </math>
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; [[Image: Chebyshev_Polyn_2nd Formler.jpg]]</td>
 +
  <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; [[Image: Chebyshev_Polyn_2nd_60a.jpg]]</td>
 +
</tr>
 +
</table></big>
 +
=== <b><span style="color:#931136">Polynom av <math> n</math>-te grad har <math> n-1  </math> svängningar (maxima/minima):</span></b> ===
 +
<big>
 +
<math> U_5(x) </math> (svart kurva) är av <math> 5</math>:e grad och har <math> 4 </math> svängningar (maxima/minima).
  
−
Sedan kan vi få fram <math> U_3(x) </math> genom att att sätta in n = 3 i rekursionsformeln:
+
<math> U_4(x) </math> (gul kurva) är av <math> 4</math>:e grad och har <math> 3  </math> svängningar (maxima/minima).
  
−
<math> U_3(x) = 2\,x\,\cdot\;U_2(x)\,-\,U_1(x) = 2\,x\,\cdot\,(4\,x^2\,-\,1)\,-\,2\,x = 8\,x^3\,-\,2\,x\,-\,2\,x = \underline{8\,x^3\,-\,4\,x} </math>
+
<math> U_3(x) </math> (grön kurva) är av <math> 3</math>:e grad och har <math> 2 </math> svängningar (maxima/minima).
  
−
För n = 4 ger rekursionsformeln <math> U_4(x) </math> osv.:
+
<math> U_2(x) </math> (blå kurva) är av <math> 2</math>:a grad och har <math> 1  </math> svängning (maxima/minima).
  
−
<math> U_4(x) = 2\,x\,\cdot\,U_3(x)\,-\,U_2(x) = 2\,x\,\cdot\,(8\,x^3\,-\,4\,x)\,-\,(4\,x^2\,-\,1) = 16\,x^4\,-\,8\,x^2\,-\,4\,x^2\,+\,1 = \underline{16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1} </math>
+
Dessa polynom kallas för [http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevPolynomialoftheSecondKind.html <b><span style="color:blue">Chebyshevpolynom</span></b>] efter den ryske matematikern [http://en.wikipedia.org/wiki/Pafnuty_Chebyshev <b><span style="color:blue">Chebyshev</span></b>] som definierade dem 1854 med följande s.k.
 +
</big>
 +
=== <b><span style="color:#931136">Rekursionsformel</span></b> ===
  
−
Så här kan man fortsätta för att få fram alla Chebyshevpolynom. Förfarandet är rekursivt eftersom formeln används för att ställa upp ett polynom från de två föregående.
+
<div class="border-divblue">
 +
<math> U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... </math>
  
−
== Jämförelse av koefficienter ==
+
<math> U_0(x) = 1, \quad U_1(x) = 2\,x </math>
 +
</div>
  
−
Jämförelse av koefficienter är en teknik eller en metod som används i olika sammanhang. Vi kommer att använda den för att i nästa avsnitt faktorisera högre gradspolynom och med hjälp av faktorisering lösa ekvationer av högre grad än 2. Metoden bygger på begreppet likhet mellan polynom. Därför ska vi börja med att definiera likhet mellan polynom.
 
  
−
<Big><strong>Definition:</strong></Big>
+
<div class="exempel">
−
----
+
=== <b><span style="color:#931136">Användning av rekursionsformeln</span></b> ===
−
Med likhet mellan polynom menar man en algebraisk identitet mellan polynomen. Två polynom av samma grad:
+
<big>
 +
Ställ upp de Chebyshevpolynomen <math> \, U_2, \, U_3, \, U_4\,</math> med hjälp av de två första <math> \, U_0, \, U_1 </math>.
  
−
:::<math> P(x) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 </math>
+
::<math> \displaystyle U_0(x) = \underline{1} </math>
  
−
och
+
::<math> U_1(x) = \underline{2\,x} </math>
  
−
:::<math> Q(x) = b_n \cdot x^n + b_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + b_1 \cdot x + b_0 </math>
+
För <math>n = 2\,</math> ger rekursionsformeln<span style="color:black">:</span>
  
−
är lika med varandra om alla deras motsvarande koefficienter, dvs de som tillhör termer av samma grad, överensstämmer, närmare bestämt om:
+
::<math> U_2(x) = 2\,x\,\cdot\,U_1(x)\,-\,U_0(x) = 2\,x\,\cdot\,2\,x\,-\,1 = \underline{4\,x^2\,-\,1} </math>
  
−
::::<math> a_n = b_n, \quad a_{n-1} = b_{n-1}, \quad \ldots \quad a_1 = b_1, \quad a_0 = b_0 </math>
+
Sedan kan vi få fram <math> U_3(x) </math> genom att att sätta in n = 3 i rekursionsformeln<span style="color:black">:</span>
−
----
+
  
−
===== Exempel 1 =====
+
::<math> U_3(x) = 2\,x\,\cdot\;U_2(x)\,-\,U_1(x) = 2\,x\,\cdot\,(4\,x^2\,-\,1)\,-\,2\,x = 8\,x^3\,-\,2\,x\,-\,2\,x = \underline{8\,x^3\,-\,4\,x} </math>
  
−
Två polynom är givna:
+
För <math>n = 4\,</math> ger rekursionsformeln <math> U_4(x) </math> osv.<span style="color:black">:</span>
  
−
<math> P(x) = a \cdot x + 2\,a + b </math>
+
::<math> U_4(x) = 2\,x\,\cdot\,U_3(x)\,-\,U_2(x) = 2\,x\,\cdot\,(8\,x^3\,-\,4\,x)\,-\,(4\,x^2\,-\,1) = 16\,x^4\,-\,8\,x^2\,-\,4\,x^2\,+\,1 = \underline{16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1} </math>
 +
</big></div>
  
−
<math> Q(x) = 2\,x + 1\!\, </math>.
 
  
−
Låt <math> a\, </math> och <math> b\, </math> vara konstanter medan <math> x\, </math> är polynomens oberoende variabel.  
+
<big>
 +
De nedsänkta [[1.1_Polynom#Allm.C3.A4n_definition|<b><span style="color:blue">indexen</span></b>]] <math>_0,\,_1,\,_2,\,_3,\,_4,\,_5</math> i beteckningarna <math>U_0, U_1, U_2, U_3, U_4, U_5\,</math> används både för att relatera indexet till polynomets grad och kunna definiera dem med rekursionsformeln.
  
−
För vilka värden på <math> a\, </math> och <math> b\, </math> är de två polymen lika med varandra?
+
<b><span style="color:red">Rekursion</span></b> är ett koncept som används för att få fram resultat genom <b><span style="color:red">successiv upprepning</span></b> av beräkningar.
  
−
Vi skriver <math> P(x),\, </math> och <math> Q(x)\, </math> så att vi lättare kan se motsvarande koefficienter:
+
Rekursionsformeln ger oss möjligheten att ställa upp ett Chebyshevpolynom med hjälp av de två föregående. De första två Chebyshevpolynomen <math> \, U_0, \, U_1 \, </math> är explicit angivna i rekursionsformelns andra rad. Det tredje Chebyshevpolynomet <math>U_2\,</math> får man genom att sätta in <math> \, U_0, \, U_1 \,</math> i rekursionsformelns högerled. Det fjärde Chebyshevpolynomet <math> \, U_3 \, </math> får man genom att sätta in <math> \, U_1, \, U_2 \, </math> i högerledet. <math>U_4\,</math> får man genom att sätta in <math> \, U_2, \, U_3 \,</math> i högerledet osv.
 +
</big>
  
−
<math> P(x) = a \cdot x^1 + (2\,a + b) \cdot x^0 </math>
 
  
−
<math> Q(x) = 2 \cdot x^1 + \quad\;\; 1 \quad\;\; \cdot x^0 </math>
+
== <b><span style="color:#931136">Jämförelse av koefficienter</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
  
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^1\, </math> leder till:
+
Jämförelse av koefficienter är en teknik eller en metod som vi kommer att använda för att lösa högre gradsekvationer genom att faktorisera polynom av högre grad än 2, se [[1.1 Övningar till Polynom#Övning 10|<b><span style="color:blue">övningarna 10-12</span></b>]]. Metoden bygger på begreppet likhet mellan polynom.
 +
</div> <!-- tolv4 -->
  
−
<math> a = 2\,</math>
+
<big><big><b>Definition:</b></big></big>
  
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^0 \,</math> leder till:
+
<div class="border-divblue"> <!-- border-div2 -->
 +
<big>
 +
<span style="color:red">Två polynom</span>
  
−
<math> 2\,a + b = 1\!\,</math>  
+
<math> \qquad P(x) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 \quad </math>
  
−
Sätter man in <math> a = 2\, </math> i denna relation får man <math> b = -3\, </math>.
+
<math> \qquad Q(x) = b_n \cdot x^n + b_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + b_1 \cdot x + b_0 </math>
  
−
Polynomen <math> P(x)\, </math> och <math> Q(x)\, </math> är lika med varandra för:
+
<span style="color:red">är lika med varandra</span> om de har samma grad och om
  
−
<math> a = 2\, </math>  
+
alla deras motsvarande koefficienter är lika med varandra, dvs om<span style="color:black">:</span>
  
−
<math> b = -3\, </math>
+
<math> \qquad a_n = b_n, \qquad a_{n-1} = b_{n-1}, \qquad \ldots \qquad a_1 = b_1, \qquad a_0 = b_0 \quad </math>
 +
</big>
 +
</div> <!-- border-divblue -->
  
−
Metoden kallas <span style="color:red">jämförelse av koefficienter</span> och är ett viktigt verktyg för att lösa högre gradsekvationer genom att faktorisera högre gradspolynom, se [[1.2 Övningarna 10 och 11|övningarna 10 och 11]].
 
  
−
===== Exempel 2 =====
+
<div class="exempel12"> <!-- exempel3 -->
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 1</span> ===
  
−
'''Problem:''' Följande 3:e gradspolynom är givet: <math> P(x) = x^3 + 4\,x^2 + x - 26 </math>
+
Följande två polynom är givna där <math> a\, </math> och <math> b\, </math> är konstanter medan <math> x\, </math> är polynomens oberoende variabel<span style="color:black">:</span>
  
−
Hitta ett 2:a gradspolynom <math> Q(x)\, </math> så att:
+
::<math> P(x) = a \cdot x + 2\,a + b </math>
  
−
::::::::<math> Q(x)\cdot (x-2) = P(x) </math>
+
::<math> Q(x) = 2\,x + 1\!\, </math>  
  
−
'''Svar:''' <math> Q(x) = x^2 + 6 \, x + 13 </math>
+
För vilka värden på <math> a\, </math> och <math> b\, </math> är de två polynomen lika med varandra?
  
 
'''Lösning:'''
 
'''Lösning:'''
  
−
Det 2:a gradspolynomet <math> Q(x)\, </math> kan skrivas så här: <math> Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c </math>  
+
Vi skriver <math> P(x),\, </math> och <math> Q(x)\, </math> så att vi lättare kan se motsvarande koefficienter<span style="color:black">:</span>
  
−
Vi bestämmer koefficienterna <math> a\, , \, b\, </math> och <math> c\, </math> så att <math> Q(x)\cdot (x-2) = P(x) </math>
+
::<math> P(x) = a \cdot x^1 + (2\,a + b) \cdot x^0 </math>
  
−
<math>\begin{align} Q(x) \cdot (x - 2) & = (a\,x^2 + b\,x + c)\cdot (x - 2) = a\,x^3 - 2\,a\,x^2 + b\,x^2 - 2\,b\,x + c\,x - 2\,c = \\
+
::<math> Q(x) = 2 \cdot x^1 + \quad\;\; 1 \quad\;\; \cdot x^0 </math>
−
                                      & = a\,x^3 + (b - 2\,a)\,x^2 + (c - 2\,b)\,x - 2\,c = \\
+
−
                                      & = a \cdot x^3 + (b - 2\,a) \cdot x^2 + (c - 2\,b) \cdot x - 2\,c \cdot x^0  \\
+
−
                                  P(x) & = 1 \cdot x^3  + \quad\;\; 4 \quad\;\; \cdot x^2  + \quad\;\; 1 \quad\;\; \cdot x - 26 \cdot x^0
+
−
\end{align} </math>
+
  
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^3 </math>-termen ger:
+
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^1\, </math> leder till<span style="color:black">:</span>
  
−
:::::<math>\begin{align}        a & = 1
+
::<math> a = 2\,</math>
−
        \end{align} </math>
+
  
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^2 </math>-termen ger:
+
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^0 \,</math> leder till<span style="color:black">:</span>
  
−
:::<math>\begin{align} b - 2\,   a & = 4  \\
+
::<math> 2\,a + b = 1\!\,</math>  
−
                      b - 2\cdot 1 & = 4  \\  
+
−
                            b - 2  & = 4  \\
+
−
                                b  & = 6  \\
+
−
        \end{align} </math>
+
  
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^1 </math>-termen ger:
+
Sätter man in <math> a = 2\, </math> i denna relation får man <math> b = -3\, </math>.
  
−
:::<math>\begin{align} c - 2\,   b & = 1  \\
+
Polynomen <math> P(x)\, </math> och <math> Q(x)\, </math> är lika med varandra för<span style="color:black">:</span>
−
                      c - 2\cdot 6 & = 1  \\
+
−
                            c - 12  & = 1  \\
+
−
                                c  & = 13  \\
+
−
        \end{align} </math>
+
  
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^0 </math>-termen bekräftar värdet på c:
+
::<math> a = 2\, </math>  
  
−
:::;:<math>\begin{align} - 2\,c   & = - 26  \\
+
::<math> b = -3\, </math>
−
                                c & = 13     \\
+
</div> <!-- exempel3 -->
 +
 
 +
 
 +
<!-- <div class="exempel12"> exempel4 -->
 +
== <b><span style="color:#931136">Polynomdivision med jämförelse av koefficienter</span></b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
 
 +
'''Uppgift:''' <math> \qquad </math> Utför polynomdivisionen <math> \quad (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) \; / \; (x-2) </math>
 +
 
 +
En annan formulering av uppgiften är:
 +
 
 +
Hitta ett 2:a gradspolynom <math> \, Q(x)\, </math> så att <math> \, Q(x)\cdot (x-2) = (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) </math>
 +
 
 +
'''Lösning:'''
 +
 
 +
Vi inför beteckningen<span>:</span> <math> \quad\;\;\, P(x) = x^3 + 4\,x^2 + x - 26 </math>.
 +
 
 +
Det 2:a gradspolynomet <math> Q(x)\, </math> kan skrivas så här<span>:</span> <math> \qquad Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c </math>
 +
 
 +
Vi bestämmer koefficienterna <math> a\, , \, b\, </math> och <math> c\, </math> så att <math> \; Q(x)\cdot (x-2) \, = \, P(x) </math><span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::<math>\begin{array}{rclc} Q(x) \cdot (x - 2) & = & (a\,x^2 + b\,x + c)\cdot (x - 2) & = \\
 +
                                              & = & a\,x^3 - 2\,a\,x^2 + b\,x^2 - 2\,b\,x + c\,x - 2\,c                      & = \\
 +
                                              & = & a\,x^3 + (-2\,a + b)\,x^2 + (-2\,b + c)\,x - 2\,c                        & = \\
 +
                                              & = & a \cdot x^3 + (-2\,a + b) \cdot x^2 + (-2\,b + c) \cdot x - 2\,c \cdot x^0 &  \\
 +
                            P(x)              & = & 1 \cdot x^3  + \quad\;\;\;\;4 \quad\;\; \cdot x^2  + \quad\;\;\;\,1 \quad\;\; \cdot x - 26 \cdot x^0
 +
\end{array} </math>
 +
 
 +
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^3 </math>-termen ger<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::::<math> a = 1 </math>
 +
 
 +
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^2 </math>-termen ger<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::<math>\begin{align} -2\,a + b     & = 4  \\
 +
                      -2\cdot 1 + b & = 4  \\
 +
                            - 2 + b & = 4  \\
 +
                                  b & = 6  \\
 
         \end{align} </math>
 
         \end{align} </math>
  
−
Vi får <math> a = 1\, , \, b = 6\, </math> och <math> c = 13\, </math> och därmed:
+
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^1 </math>-termen ger<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::<math>\begin{align} -2\,b + c & = 1  \\
 +
                  -2\cdot 6 + c & = 1  \\
 +
                        -12 + c & = 1  \\
 +
                              c & = 13  \\
 +
        \end{align} </math>
 +
 
 +
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^0 \, </math>-termen bekräftar värdet på <math> c \, </math><span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::<math>\begin{align} - 2\,c & = - 26  \\
 +
                          c & = 13    \\
 +
        \end{align} </math>
 +
 
 +
Vi får <math> a = 1\, , \, b = 6\, </math> och <math> c = 13\, </math> och därmed<span style="color:black">:</span> <math> \quad Q(x) = x^2 + 6 \, x + 13 </math>
 +
 
 +
 
 +
Alltså är<span style="color:black">:</span> <math> \qquad (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) \; / \; (x-2) \; = \; x^2 + 6 \, x + 13</math>
 +
</div> <!-- exempel4 -->
 +
 
 +
 
 +
=== <b><span style="color:#931136">Anmärkningar</span></b> ===
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
 +
 
 +
* &nbsp; &nbsp; <b><span style="color:red">Polynomdivision</span></b> kan även genomföras genom att direkt dividera polynomen med varandra, se Matte 4-kursen. Den är mer generell därför att den kan användas också för andra problem, t.ex. faktorisering av polynom eller lösning av differentialekvationer. Jämförelse av koefficienter ger mer insikt i polynomens struktur.
 +
 
 +
* &nbsp; &nbsp; Ett annat namn för jämförelse av koefficienter är <b><span style="color:red">Metoden med obestämda koefficienter</span></b> (eng.: <i>Method of undetermined coefficients</i>). Med obestämda koefficienter menar man den ansats som man i början gör med obestämda koefficienter som man sedan bestämmer under metodens gång.
 +
 
 +
* &nbsp; &nbsp; Ytterligare ett namn för samma metod är <b><span style="color:red">Ansatsmetoden</span></b>.
 +
 
 +
</div> <!-- tolv5 -->
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
  
−
<math> Q(x) = x^2 + 6 \, x + 13 </math>
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2022 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 24 mars 2022 kl. 16.50

       Repetitioner          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt  >>      


Polynomfunktioner av högre grad

När ett polynom tilldelas en annan variabel, säg \( \, y \, \) bildas en polynomfunktion. I Matte 1-kursen hade vi bara linjära eller 1:a gradsfunktioner av typ:

\[ y = 4\,x + 12 \]

Till höger om likhetstecknet står ett polynom där \( \, x \, \) förekommer som 1:a gradspotens dvs med exponenten \( \, 1 \, \). Därför kallas \( \, 4\,x \, \) polynomets linjära term. Polynomets konstanta term är \( \, 12 \). Grafen till denna 1:a gradsfunktion är en rät linje. I Matte 2-kursen gick vi ett steg vidare och sysslade med 2:a gradsfunktioner av typ:

\[ y = 3\,x^2 + 5\,x - 16 \]

Här är graden \( \, 2 \). Den kvadratiska termen är \( \, 3\,x^2 \, \), den linjära termen \( \, 5\,x\, \) och den konstanta termen \( \, -16 \). Grafen till denna 2:a gradfunktion är en parabel. Dessa funktioner kallas polynomfunktioner därför att uttrycken till höger om likhetstecken är polynom, dvs summor av termer där exponenterna till \( \, x\)-potenserna är positiva heltal eller \( \, 0 \). I Matte 3-kursen ska vi nu lära oss att hantera även polynom av högre grad än \( \, 2 \).


Exempel på polynomfunktion av högre grad

Vi tar som exempel följande 4:e gradspolynomfunktion:

\[ y = x^4 - 29\;x^2 + 100 \]

vars graf till höger är mer komplicerad än en parabel.

Den har framför allt fler minima, maxima och nollställen.

Funktionens fyra nollställen är identiska med lösningarna till 4:e gradsekvationen:

\[ x^4 - 29\;x^2 + 100 = 0 \]

            4-e gradspolynom 70 70.jpg


En familj av högre grads polynomfunktioner

Ett polynoms grad är ett mått på dess komplexitet: Ju högre grad, desto oftare svänger kurvorna och desto fler maxima/minima har de. Här ser man sex polynom vars grafer är ritade i samma koordinatsystem:

            Chebyshev Polyn 2nd Formler.jpg                         Chebyshev Polyn 2nd 60a.jpg

Polynom av \( n\)-te grad har \( n-1 \) svängningar (maxima/minima):

\( U_5(x) \) (svart kurva) är av \( 5\):e grad och har \( 4 \) svängningar (maxima/minima).

\( U_4(x) \) (gul kurva) är av \( 4\):e grad och har \( 3 \) svängningar (maxima/minima).

\( U_3(x) \) (grön kurva) är av \( 3\):e grad och har \( 2 \) svängningar (maxima/minima).

\( U_2(x) \) (blå kurva) är av \( 2\):a grad och har \( 1 \) svängning (maxima/minima).

Dessa polynom kallas för Chebyshevpolynom efter den ryske matematikern Chebyshev som definierade dem 1854 med följande s.k.

Rekursionsformel

\( U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... \)

\( U_0(x) = 1, \quad U_1(x) = 2\,x \)


Användning av rekursionsformeln

Ställ upp de Chebyshevpolynomen \( \, U_2, \, U_3, \, U_4\,\) med hjälp av de två första \( \, U_0, \, U_1 \).

\[ \displaystyle U_0(x) = \underline{1} \]
\[ U_1(x) = \underline{2\,x} \]

För \(n = 2\,\) ger rekursionsformeln:

\[ U_2(x) = 2\,x\,\cdot\,U_1(x)\,-\,U_0(x) = 2\,x\,\cdot\,2\,x\,-\,1 = \underline{4\,x^2\,-\,1} \]

Sedan kan vi få fram \( U_3(x) \) genom att att sätta in n = 3 i rekursionsformeln:

\[ U_3(x) = 2\,x\,\cdot\;U_2(x)\,-\,U_1(x) = 2\,x\,\cdot\,(4\,x^2\,-\,1)\,-\,2\,x = 8\,x^3\,-\,2\,x\,-\,2\,x = \underline{8\,x^3\,-\,4\,x} \]

För \(n = 4\,\) ger rekursionsformeln \( U_4(x) \) osv.:

\[ U_4(x) = 2\,x\,\cdot\,U_3(x)\,-\,U_2(x) = 2\,x\,\cdot\,(8\,x^3\,-\,4\,x)\,-\,(4\,x^2\,-\,1) = 16\,x^4\,-\,8\,x^2\,-\,4\,x^2\,+\,1 = \underline{16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1} \]


De nedsänkta indexen \(_0,\,_1,\,_2,\,_3,\,_4,\,_5\) i beteckningarna \(U_0, U_1, U_2, U_3, U_4, U_5\,\) används både för att relatera indexet till polynomets grad och kunna definiera dem med rekursionsformeln.

Rekursion är ett koncept som används för att få fram resultat genom successiv upprepning av beräkningar.

Rekursionsformeln ger oss möjligheten att ställa upp ett Chebyshevpolynom med hjälp av de två föregående. De första två Chebyshevpolynomen \( \, U_0, \, U_1 \, \) är explicit angivna i rekursionsformelns andra rad. Det tredje Chebyshevpolynomet \(U_2\,\) får man genom att sätta in \( \, U_0, \, U_1 \,\) i rekursionsformelns högerled. Det fjärde Chebyshevpolynomet \( \, U_3 \, \) får man genom att sätta in \( \, U_1, \, U_2 \, \) i högerledet. \(U_4\,\) får man genom att sätta in \( \, U_2, \, U_3 \,\) i högerledet osv.


Jämförelse av koefficienter

Jämförelse av koefficienter är en teknik eller en metod som vi kommer att använda för att lösa högre gradsekvationer genom att faktorisera polynom av högre grad än 2, se övningarna 10-12. Metoden bygger på begreppet likhet mellan polynom.

Definition:

Två polynom

\( \qquad P(x) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 \quad \)

\( \qquad Q(x) = b_n \cdot x^n + b_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + b_1 \cdot x + b_0 \)

är lika med varandra om de har samma grad och om

alla deras motsvarande koefficienter är lika med varandra, dvs om:

\( \qquad a_n = b_n, \qquad a_{n-1} = b_{n-1}, \qquad \ldots \qquad a_1 = b_1, \qquad a_0 = b_0 \quad \)


Exempel 1

Följande två polynom är givna där \( a\, \) och \( b\, \) är konstanter medan \( x\, \) är polynomens oberoende variabel:

\[ P(x) = a \cdot x + 2\,a + b \]
\[ Q(x) = 2\,x + 1\!\, \]

För vilka värden på \( a\, \) och \( b\, \) är de två polynomen lika med varandra?

Lösning:

Vi skriver \( P(x),\, \) och \( Q(x)\, \) så att vi lättare kan se motsvarande koefficienter:

\[ P(x) = a \cdot x^1 + (2\,a + b) \cdot x^0 \]
\[ Q(x) = 2 \cdot x^1 + \quad\;\; 1 \quad\;\; \cdot x^0 \]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^1\, \) leder till:

\[ a = 2\,\]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^0 \,\) leder till:

\[ 2\,a + b = 1\!\,\]

Sätter man in \( a = 2\, \) i denna relation får man \( b = -3\, \).

Polynomen \( P(x)\, \) och \( Q(x)\, \) är lika med varandra för:

\[ a = 2\, \]
\[ b = -3\, \]


Polynomdivision med jämförelse av koefficienter

Uppgift: \( \qquad \) Utför polynomdivisionen \( \quad (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) \; / \; (x-2) \)

En annan formulering av uppgiften är:

Hitta ett 2:a gradspolynom \( \, Q(x)\, \) så att \( \, Q(x)\cdot (x-2) = (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) \)

Lösning:

Vi inför beteckningen: \( \quad\;\;\, P(x) = x^3 + 4\,x^2 + x - 26 \).

Det 2:a gradspolynomet \( Q(x)\, \) kan skrivas så här: \( \qquad Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c \)

Vi bestämmer koefficienterna \( a\, , \, b\, \) och \( c\, \) så att \( \; Q(x)\cdot (x-2) \, = \, P(x) \):

\[\begin{array}{rclc} Q(x) \cdot (x - 2) & = & (a\,x^2 + b\,x + c)\cdot (x - 2) & = \\ & = & a\,x^3 - 2\,a\,x^2 + b\,x^2 - 2\,b\,x + c\,x - 2\,c & = \\ & = & a\,x^3 + (-2\,a + b)\,x^2 + (-2\,b + c)\,x - 2\,c & = \\ & = & a \cdot x^3 + (-2\,a + b) \cdot x^2 + (-2\,b + c) \cdot x - 2\,c \cdot x^0 & \\ P(x) & = & 1 \cdot x^3 + \quad\;\;\;\;4 \quad\;\; \cdot x^2 + \quad\;\;\;\,1 \quad\;\; \cdot x - 26 \cdot x^0 \end{array} \]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^3 \)-termen ger:

\[ a = 1 \]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^2 \)-termen ger:

\[\begin{align} -2\,a + b & = 4 \\ -2\cdot 1 + b & = 4 \\ - 2 + b & = 4 \\ b & = 6 \\ \end{align} \]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^1 \)-termen ger:

\[\begin{align} -2\,b + c & = 1 \\ -2\cdot 6 + c & = 1 \\ -12 + c & = 1 \\ c & = 13 \\ \end{align} \]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^0 \, \)-termen bekräftar värdet på \( c \, \):

\[\begin{align} - 2\,c & = - 26 \\ c & = 13 \\ \end{align} \]

Vi får \( a = 1\, , \, b = 6\, \) och \( c = 13\, \) och därmed: \( \quad Q(x) = x^2 + 6 \, x + 13 \)


Alltså är: \( \qquad (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) \; / \; (x-2) \; = \; x^2 + 6 \, x + 13\)


Anmärkningar

  •     Polynomdivision kan även genomföras genom att direkt dividera polynomen med varandra, se Matte 4-kursen. Den är mer generell därför att den kan användas också för andra problem, t.ex. faktorisering av polynom eller lösning av differentialekvationer. Jämförelse av koefficienter ger mer insikt i polynomens struktur.
  •     Ett annat namn för jämförelse av koefficienter är Metoden med obestämda koefficienter (eng.: Method of undetermined coefficients). Med obestämda koefficienter menar man den ansats som man i början gör med obestämda koefficienter som man sedan bestämmer under metodens gång.
  •     Ytterligare ett namn för samma metod är Ansatsmetoden.





Copyright © 2022 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=1.1_Fördjupning_till_Polynom&oldid=36804"