Skillnad mellan versioner av "1.1 Polynom"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(937 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[1.2 Räkneordning|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[Repetitioner från Matte 2| <<&nbsp;&nbsp;Repetitioner]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.2 Övningar till Räkneordning|Övningar]]}}
+
{{Selected tab|[[1.1 Polynom|Genomgång]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.1 Övningar till Polynom|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.1 Fördjupning till Polynom|Fördjupning]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.2 Faktorisering av polynom|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
 +
<!-- [[Media: Lektion_3_Polynom_Ruta_a.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 3 Polynom</span></strong>]]
  
−
== Vad är ett polynom? ==
+
[[Media: Lektion 4 Polynom Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 4 Polynom: Fördjupning</span></strong>]]
 +
-->
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel på polynom</span></b> ==
  
−
Adderar du först <math>6+3</math> och tar sedan resultatet 9 gånger 5 vilket skulle ge 45? Eller:
+
<div class="border-divblue">
 +
::<math> 4\,x + 12 </math>
  
−
Multiplicerar du först 3 gånger 5 som ger 15 och tar sedan 6 plus 15 vilket ger 21? Båda kan inte vara rätt.
+
::<math> 3\,x^2 + 5\,x - 16 </math>
  
−
Om du lärt dig räkneordning vet du att man alltid måste multiplicera först och addera sedan. Dvs 3 gånger 5 måste räknas först medan additionen <math>6+</math> måste vänta tills 3 gånger 5 är klart, fast <math>6+3</math> står först och gånger 5 sedan. Därför är 21 rätt och 45 är fel. Räkneordningen följer inte alltid skrivordningen, speciellt inte i det här fallet. Detta beror inte på någon självklar logik utan är resultat av följande överenskommelse bland matematiker världen över:
+
::<math> 8\,x^3 + 4\,x^2 - 7\,x + 6</math>
  
−
== Ett polynoms grad ==
+
::<math> 3\,x^4 - 8\,x^3 + 12\,x^2 - 54\,x + 9\quad</math>  
−
+
</div>
−
Denna regel används när olika räkneoperationer är inblandade i ett [http://localhost/matte/index.php/2.2_Uttryck uttryck]. I uttrycket ovan är både addition och multiplikation inblandade. För varje räkneoperation vars symboler <math>+, -, \cdot\;</math> och <math>/\;</math> även kallas ''operatorer'' har man definierat en viss ''prioritet''. Man pratar om ''operatorprioritet'' - bara ett annat ord för räkneordning. Operatorn <math>\cdot\;</math> har högre prioritet än operatorn <math>+</math> dvs <math>\cdot\;</math> måste alltid räknas före <math>+</math> varför 3 gånger 5 måste räknas först och <math>6+15</math> sedan. För att visa hur man tänkt skriver man så här:
+
  
−
<math>6+3\cdot5=6+15=21</math>
+
<big>
 +
Uttrycken ovan kallas för <b><span style="color:red">polynom</span></b>, eftersom de består av många (<b><span style="color:red">poly</span></b> på latin) termer (<b><span style="color:red">nom</span></b> på latin).
  
−
Att additionen <math>6+</math> måste vänta innebär just att man efter det första likhetstecknet måste upprepa <math>6+</math> för att säkerställa likhetens logik, dvs för att garantera att det verkligen står samma värde till vänster som till höger av likhetstecknet (se Exempel 1).
+
Varje polynom är en summa av ett antal termer.
  
−
Riktiga miniräknare följer prioritetsregeln ovan, men kanske inte räknaren i din mobiltelefon. Testa den räknare som du använder. Följer den regeln?  Om inte, är den värdelös. I så fall skaffa en räknare som gör det.  
+
En <b>term</b> består av ett tal (koefficient) gånger en <math> \, x</math>-potens, med exponenter som är <b>positiva heltal</b> eller <math> \, 0 </math>, t.ex. <math> 3\,x^4 </math>.
  
−
Självklart har man även kommit överens om de andra operatorernas prioritet:
+
Man brukar inleda polynom med den term som har den högsta <math> \,x</math>-potensen. Sedan fortsätter man med termer i avtagande ordning på <math> x</math>-potenserna.
 +
</big>
  
−
== Ett polynoms värde för något x ==
+
== <b><span style="color:#931136">Exempel på icke-polynom</span></b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Följande uttryck är inga polynom<span>:</span> 
  
−
Både multiplikation och division har alltså högre prioritet än addition och subtraktion. Om du undrar vilken prioritet som gäller internt i varje gruppering multiplikation/division resp. addition/subtraktion så är svaret: Samma. Addition har samma prioritet som subtraktion. I praktiken blir det ingen skillnad om du adderar först och subtraherar sedan eller om du gör tvärtom: <math>12+4-2</math> ger 14 vare sig vi tar <math>12+4</math> först och gör <math>-2</math> sedan: <math>12+4-2=16-2=14</math> eller om vi först räknar <math>4-2</math> och gör <math>12+2</math> sedan: <math>12+4-2=12+2=14</math>. I båda fall får vi 14. Samma sak är det med multiplikation och division. Även de har sinsemellan samma prioritet. Det blir alltid samma resultat vare sig du multiplicerar först och dividerar sedan eller om du gör tvärtom: 6 gånger 4 först och delat med 2 sedan ger 12:
+
::::<math> \displaystyle{1 \over x} \qquad\qquad\qquad \displaystyle{\sqrt x} \qquad\qquad\qquad \displaystyle{a^x} \; , \quad {\rm där} \quad a = {\rm const.} </math>
  
−
<math>6\cdot4/2=24/2=12</math>
+
eftersom de inte kan skrivas som summor av termer där varje term har formen "tal gånger en <math> \, x</math>-potens" som i exemplen ovan.
  
−
Men 4 delat med 2 först och gånger med 6 sedan ger också 12:
+
I polynom måste <math> x</math>-potensernas exponenter vara <b>positiva heltal</b> eller <math> \, 0 </math>, dvs de får inte vara negativa eller bråk.
  
−
<math>6\cdot4/2=6\cdot2=12</math>
+
Därför är <big><big><math> 1 \over x </math></big></big> <math> = x^{-1}\, </math> och <big><math> \sqrt x = x^{1\over2} </math></big> inga polynom.
  
−
Vad händer när parenteser är inblandade? Med parenteser kan man bryta prioritetsordningen och styra den själv.
+
I polynom får inte heller variabeln <math> x </math> förekomma i exponenten. Därför är <math> \, a^x </math> inget polynom.
  
−
== Addition och subtraktion av polynom ==
+
Se även [[1.1_Polynom#Allm.C3.A4n_definition|<b><span style="color:blue">Allmän definition</span></b>]] längre fram och fliken Repetitioner (ovan) [[Potenser|<b><span style="color:blue">... Potenser</span></b>]].
 +
</div>
  
−
Om vi i det inledande exemplet sätter paranteser kan vi bryta prioritetsordningen och få 45:
 
  
−
<math>(6+3)\cdot5=9\cdot5=45</math>
+
<div class="tolv">
 +
Att <b><span style="color:red">utveckla</span></b> ett algebraiskt uttryck till ett polynom betyder att förenkla uttrycket genom att:
  
−
Parentesen tvingar oss här att först räkna <math>6+3</math> och sedan fortsätta med gånger 5 så att man får 45. Uttrycket till vänster är ett annat uttryck än det inledande exemplet. För att få det inledande exemplet måste paranteserna sättas så här:
+
# lösa upp alla parenteser,
 +
# sammanfoga alla termer som går att sammanfoga och
 +
# skriva resultatet som en summa av termer, helst ordnad efter <math> x</math>-potenser i avtagande ordning.  
 +
</div>
  
−
<math>6+(3\cdot5)=6+15=21</math>
 
  
−
Nu är uttrycket till vänster identiskt med det inledande exemplet. Man kan också säga att det fanns i det inledande exemplet "osynliga" parenteser. Det är sådana som ''kan'' utelämnas utan att någon ändring sker. Nu har vi gjort dem synliga. De gör exakt samma sak som prioritetsregeln "multiplikation går före addition". Därför utelämnar man dem vanligtvis och låter prioritetsregeln göra jobbet. Men det är inte heller fel att skriva parenteserna för tydlighetens skull.
+
<div class="border-divblue">
 +
<b><span style="color:red">Utveckla</span></b> följande uttryck till ett polynom:
  
−
== Multiplikation av polynom ==
+
:<math> 6\,x^3 - 4\,x^2\,(3\,x + 8) + 2\,x\,(5 + 9\,x) </math>
  
−
Det finns inte bara osynliga parenteser. Det är de som kan utelämnas utan problem. Det finns även osynliga multiplikationstecken. De kan också utelämnas utan att någon ändring av uttryckets värde förekommer. I exemplet ovan som inledde "Parenteser" kan man faktiskt utelämna multiplikationstecknet och skriva:
+
Vi löser upp parenteserna, sammanfogar de termer som går att sammanfoga och ordnar <math> x</math>-potenserna i fallande ordning:
  
−
<math>(6+3)\,5</math>
+
:<math> 6\,x^3 - 4\,x^2\,(3\,x + 8) + 2\,x\,(5 + 9\,x) = \,6\,x^3 -\,12\,x^3\,-\,32\,x^2 +\,10\,x\,+\,18\,x^2 = \underline{-6\,x^3 - 14\,x^2 +\,10\,x} \, </math>
 +
</div>
  
−
som ger exakt samma värde 9 gånger 5 = 45 som ovan. Det gör man helt enkelt för att skriva lite mindre så att det blir enklare, av samma anledning förresten som för osynliga parenteser. Självklart kan man inte alltid utelämna multiplikationstecken, t.ex. inte mellan två rena siffror eller tal som ska multipliceras. Läsligheten får ju inte lida. I uttrycket <math>(6+3)\,5</math> är det parentesen som gör att multiplikationstecknet kan utelämnas. I sådana fall måste vi tänka oss först det osynliga multiplikationstecknet och räkna sedan. Se övning 5 i detta avsnitt.
 
  
−
== Exempel 1 ==
+
== <b><span style="color:#931136">Grad</span></b> ==
 +
<div class="tolv">
 +
Den högsta förekommande exponenten till <math> x</math>-potenserna bland polynomets alla termer kallas polynomets <b><span style="color:red">grad</span></b>.
 +
</div>
  
−
Vad ger följande uttryck?
+
<div class="ovnC">
 +
Följande polynom har graden <math> \, 4\,</math>:
  
−
<math>12-2\cdot3+6</math>
+
:::<math> x^4 - 29\;x^2 + 100 </math>  
  
−
Det vanligaste felet man gör är att börja räkna <math>12-2</math>. Istället för att börja räkna måste man titta på hela uttrycket. Då konstaterar man att det finns operatorer med olika prioriteter nämligen <math>+</math> och <math>\cdot\;</math> vilket innebär att prioritetsreglerna måste användas:
+
eftersom den största exponenten till <math> \, x</math>-potenserna är <math> \, 4 </math>.
  
−
<math>12-2\cdot3+6=12-(2\cdot3)+6=12-6+6=12-0=12</math>
+
I de inledande exemplen [[1.1_Polynom#Exempel_p.C3.A5_polynom|<strong><span style="color:blue">Exempel på polynom</span></strong>]] har polynomen där graderna <math> \, 1, \, 2, \, 3, \, </math> och <math> \, 4 \, </math> i den ordning de är angivna där.
 +
</div>
  
−
Parentesen är här endast till för att förtydliga hur man tänkt och räknat. Observera också likhetstecknets korrekta användning. Skriver man en kedja av likheter för att visa alla mellansteg måste man beakta att det verkligen står exakt samma sak på båda sidor av likhetstecknen. Därför måste t.ex. talet 12 upprepas i alla mellansteg ända till slutet för att upprätthålla likheterna, även om man inte räknar med 12 förrän i det allra sista steget. Genom skicklig användning av räkneordning kan man minimera räknearbetet.
 
  
−
== Exempel 2 ==
+
== <b><span style="color:#931136">Koefficienter</span></b> ==
 +
<div class="tolv">
 +
Talen framför <math> x</math>-potenserna kallas för polynomets <b><span style="color:red">koefficienter</span></b>.
 +
</div>
 +
<div class="ovnE">
 +
* 1:a gradspolynomet <math> \qquad 4\,x + 12 \qquad\qquad\quad </math> har koefficienterna <math> \quad 4 \,</math> och <math> \, 12 </math>.
  
−
Här har vi ett lite större uttryck med parenteser:
+
* 2:a gradspolynomet <math> \qquad 3\,x^2 + 5\,x - 16 \qquad </math> har koefficienterna <math> \quad 3 \, </math> och <math> \, 5 \, </math> och <math> \, -16</math>.
  
−
<math>(50+14)-8\cdot3+4</math>
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Konstanterna <math> 12\, </math> och <math> -16\, </math> i exemplen ovan är också koefficienter, fast de inte (synligt) står framför någon <math> x</math>-potens, därför att <math> 12\, </math> kan skrivas som:
  
−
Om vi endast tillämpar det vi lärt oss i det här avsnittet dvs räknar först multiplikationen blir lösningen följande:  
+
::::<math> 12 \cdot x^0 </math>
  
−
<math>(50+14)-8\cdot3+4 = (50+14)-24+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44</math>
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Detta pga <math> x^0 = 1\, </math>. Samma sak gäller för koefficienten <math> -16 \, = \, -16\,x^0 </math>, se repetitionsfliken om [[Potenser|<strong><span style="color:blue">... Potenser</span></strong>]].
  
−
Men även följande lösning är helt korrekt:
+
* 4:e gradspolynomet <math> \qquad x^4 - 29\,x^2 + 100 \qquad </math> har koefficienterna <math> \quad 1, \quad  0, \quad  -29, \quad  0, \quad  100</math>
  
−
<math>(50+14)-8\cdot3+4 = 64-8\cdot3+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44</math>
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Anledningen till att två koefficienter är <math> \, 0 \,</math> är att <math>x^3</math>- och <math>x^1</math>-termerna saknas i polynomet. Det betyder att deras koefficienter är <math> \, 0 \, </math>. Man skulle kunna skriva polynomet även så här:
  
−
Här har man löst upp parentesen först vilket inte alls står i motsägelse till prioritetsreglerna. Inom parentesen finns ju ingen annan operator än <math>+</math> så att det inte uppstår något problem vad gäller operatorprioritet. I nästa steg räknas 8 gånger 3 först och dras av sedan från 64. Viktigt är att man efter första likhetstecknet inte begår felet att räkna <math>64-8</math> utan tar först 8 gånger 3.
+
::::<math> x^4 + 0\cdot x^3 - 29\;x^2 + 0\cdot x^1 + 100\cdot x^0 </math>
  
−
Frågan som uppstår nu är: Vilken av de två lösningarna ovan är bättre? Just i det här exemplet spelar det ingen roll. Men generellt kommer vi att se att det i större sammanhang är bättre att lösa upp paranteser först, dvs att räkna deras innehåll så att man kan ta bort dem. Sedan kan man följa operatorernas prioritetsregler.
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Att man inte gör det beror på att termerna med koefficienten <math> \, 0 \, </math> bidrar inget till polynomets värde. Man föredrar skrivsättet <math> \, x^4 - 29\,x^2 + 100 \, </math> för det är enklare att skriva så.
 +
</div>
  
−
== Exempel 3 ==
 
  
−
'''Problem:''' Beräkna utan miniräknare:
+
<div class="tolv">
 +
För enkelhetens skull brukar man utelämna de termer som räknemässigt inte bidrar till polynomets värde. Men formellt är de där och bör tas hänsyn till när man räknar upp koefficienterna. På så sätt kan man alltid använda den fullständiga koefficientlistan som en definition på polynomet.
 +
</div>
  
−
<math>24 - (8-4) - 36/6 + 5\cdot4</math>
+
== <b><span style="color:#931136">Ett polynoms värde</span></b> ==
 +
<div class="tolv">
  
−
'''Svar:''' 34
+
Eftersom ett polynom är en speciell form av ett uttryck är ett polynoms värde inget annat än uttryckets värde. Ett polynom har inget givet värde för sig utan får ett värde för något specificerat värde för <math>x\,</math>.
 +
</div>
  
−
'''Lösning:'''
+
<div class="ovnC">
 +
<b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b> &nbsp;&nbsp; Beräkna följande polynoms värde för <math> \, x = 0,5 </math>:
  
−
<math>24\,-\,(8-4)\,-\,36/6\,+\,5\,\cdot\,4\;=\;24\,-\,4\,-\,6\,+\,20\;=\;20\,-\,6\,+\,20\;=\;14\,+\,20\;=\;34</math>
+
::::::::<math> 8\,x^3 - 4\,x </math>
  
−
Här har vi förkortat lösningen genom att sammanfatta beräkningen av parentesen, divisionen och multiplikationen i det första mellansteget.
+
<b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> &nbsp;&nbsp; Vi sätter in <math> 0,5\,</math> för <math>x\,</math> i polynomets alla termer och beräknar polynomets värde:
  
−
== Exempel 4 ==
+
::::::::<math> 8 \cdot 0,5^3 - 4 \cdot 0,5 = 8 \cdot 0,125 - 2 = 1 - 2 = -1 \,</math>
  
−
'''Problem:''' Beräkna utan räknare och kontrollera resultatet med räknaren:
+
Det givna polynomets värde för <math> x = 0,5\, </math> är <math> -1\,</math>. För andra värden på <math>x\,</math> kommer polynomet att ha andra värden.
 +
</div>
  
−
<math>\left({16-4 \over 3} + 7\right) \cdot 2 - 9/3 + 1 </math>
 
  
−
'''Svar:''' 20
+
== <b><span style="color:#931136">Att räkna med polynom</span></b> ==
 +
<div class="tolv">
 +
Man räknar med polynom precis på samma sätt som man gör det med uttryck därför att polynom är en speciell form av uttryck. Man kan addera, subtrahera och multiplicera polynom med varandra. Resultatet blir ett nytt polynom. Följande gäller:
 +
</div>
  
−
'''Lösning:'''
 
  
−
<math>\left({16-4 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,9/3\,+\,1 = \left({12 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = (4+7)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = 11\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = 22\,-\,3\,+\,1 = 22\,-\,3\,+\,1 = 19\,+\,1 = 20</math>
+
<div class="border-divblue">
 +
<big>Summan, differensen och produkten av polynom är alltid ett polynom.</big>
 +
</div>
  
−
Här har vi i det första mellansteget börjat att beräkna parentesen och samtidigt utfört divisionen <math>9/3</math> för att skriva lite mindre. Upplösningen av parentesen fortsätter i det andra mellansteget medan divisionen är avslutad och resultatet tas med i de följande mellanstegen tills parentesen är upplöst och multiplikationen med 2 genomförd.
 
  
−
== Internetlänkar ==
+
<div class="ovnA">
−
http://www.youtube.com/watch?v=doxCjrqxoRM
+
=== <span style="color:#931136">Exempel på räkning med polynom</span> ===
 +
<big>
 +
Två polynom är givna:
  
−
http://www.mathgoodies.com/lessons/vol7/order_operations.html
+
::<math> 6\,x^2 + 2\,x - 3 </math>
 +
::<math> -6\,x^2 - 3\,x + 4 </math>
  
−
http://math.about.com/gi/dynamic/offsite.htm?site=http://www.funbrain.com/algebra/
+
Bilda deras summa, differens och produkt.
 +
 
 +
<b>Summa = resultat av addition:</b>
 +
 
 +
<math> (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,+\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) \, = \, 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,-\,6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4 \, = \, \underline{-\,x\,+\,1} </math>
 +
 
 +
<b>Differens = resultat av subtraktion:</b>
 +
 
 +
<math> (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,-\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) \, = \, 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,+\,6\,x^2\,+\,3\,x\,-\,4 \, = \, \underline{12\,x^2\,+\,5\,x\,-\,7}</math>
 +
 
 +
<b>Produkt = resultat av multiplikation:</b>
 +
 
 +
<math> (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,\cdot\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) \, = \, -36\,x^4\,-\,18\,x^3\,+\,24\,x^2\,-\,12\,x^3\,-\,6\,x^2\,+\,8\,x\,+\,18\,x^2\,+\,9\,x\,-\,12 \, = \, </math>
 +
 
 +
<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\, = \, \underline{-36\,x^4\,-\,30\,x^3\,+\,36\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12} </math>
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="tolv">
 +
Det man gör hela tiden i exemplet ovan är att först lösa upp parenteserna och sedan sammanfoga de termer som går att sammanfoga, det är de termer som har samma exponent.
 +
 
 +
Som man ser blir alla resultat polynom. Vid addition och subtraktion blir resultatens grad samma eller mindre än utgångspolynomen. I additionsexemplet blir graden mindre eftersom de kvadratiska termerna tar ut varandra. Multiplikationen däremot förstorar graden. I exemplet är faktorerna 2:a gradspolynom medan deras produkt blir av graden 4. Generellt gäller det att produktpolynomets grad blir <math> \, m + n \, </math> om faktorernas grader är <math> \, m \, </math> och <math> \, n \, </math>, vilket är en konsekvens av första potenslagen.
 +
 
 +
Till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom i regel inte ett polynom.
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="border-divblue">
 +
<big>Kvoten av två polynom är i regel inget polynom.</big>
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="tolv">
 +
Det enklaste exemplet nämndes i [[1.1_Polynom#Exempel_p.C3.A5_icke-polynom|<strong><span style="color:blue">Exempel på icke-polynom</span></strong>]] dvs kvoten mellan polynomet <math> 1 \, </math> (av graden 0) och polynomet <math> x \, </math> (av graden 1):
 +
 
 +
:::<math> {1 \over x} \qquad {\rm eller} \qquad x^{-1} </math>
 +
 
 +
Uttrycken är enligt [[Potenser#Potenslagarna|<strong><span style="color:blue">potenslagarna</span></strong>]] identiska. Man ser att exponenten är negativ. Men i ett polynom får exponenterna till <math> x</math>-potenserna inte vara negativa. Därför är uttrycket ovan inget polynom <math>-</math> ett exempel på att kvoten av två polynom i regel inte är polynom.
 +
 
 +
Division av polynom leder oss till en ny klass av uttryck som <big><big><math> 1 \over x </math></big></big> är ett exempel på. Denna nya klass av uttryck kallas <strong><span style="color:red">rationella uttryck</span></strong> och behandlas i [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<strong><span style="color:blue">avsnitt 1.3</span></strong>]].
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Ett polynoms nollställen, även kallade rötter</span></b> ==
 +
<div class="tolv">
 +
 
 +
När polynomets värde blir <math> 0\,</math> kallar man de <math> x\,</math> för vilka polynomets värde blir <math> 0\,</math>, <strong><span style="color:red">polynomets nollställen</span></strong>. Nollställe är i polynomsammanhang synonym till <strong><span style="color:red">rot</span></strong>. Se även [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<strong><span style="color:blue">rotens olika betydelser</span></strong>]].
 +
 
 +
Till skillnad från polynomets värde där vi satt in ett tal för <math> x\,</math> och fick ett värde för polynomet, måste vi nu vända på steken och sätta polynomet till värdet <math> 0\,</math> och beräkna <math> x\,</math>. Det är en mycket svårare uppgift eftersom vi måste lösa en ekvation som i regel är av högre grad. Vi är ju ute efter de <math> x\,</math> för vilka ett polynom av en viss grad blir <math> 0\,</math>. Dessa <math> x\,</math> är polynomets nollställen. Därför kan ett polynom ha flera nollställen medan ett polynoms värde är alltid unikt.
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovnE">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel på nollställen</span> ===
 +
<big>
 +
Bestäm alla nollställen till polynomet <math> 5\,x^2 -\,20\,x </math>.
 +
 
 +
Att beräkna polynomets nollställen innebär att sätta polynomet till 0 och lösa följande ekvation:
 +
 
 +
::<math> 5\,x^2 -\,20\,x = 0 </math>
 +
 
 +
Eftersom vänsterledet saknar konstant term kan man bryta ut <math> \, x \, </math> som är den gemensamma faktorn i båda termer för att sedan kunna använda [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Nollproduktmetoden|<b><span style="color:blue">nollproduktmetoden</span></b>]]:
 +
 
 +
::<math>\begin{align} 5\,x^2 -\,20\,x & = 0      \\
 +
                    x\,(5\,x -\,20) & = 0        \\
 +
                                x_1 & = 0        \\
 +
                      5\,x_2 -\,20 & = 0        \\
 +
                      5\,x_2      & = 20        \\
 +
                                x_2 & = 4        \\
 +
    \end{align}</math>
 +
 
 +
Polynomets nollställen eller rötter är alltså <math> \, x_1 = 0 \, </math> och <math> \, x_2 = 4 </math>.
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Allmän definition</span></b> ==
 +
<div class="tolv">
 +
 
 +
Inledningsvis kallades en konstant gånger en <math> x</math>-potens för en term:
 +
 
 +
:::<math> 8 \cdot x^3 \qquad\qquad {\rm Generellt:} \qquad\qquad a \cdot x^n </math>
 +
 
 +
Som en summa av många sådana termer har ett polynom följande allmän definition:
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="border-divblue">
 +
<big>Ett &nbsp; <span style="color:red">polynom av grad <math>n\,</math></span> &nbsp; har formen:
 +
 
 +
:<math> a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 \; , \quad
 +
{\rm där } \quad {\color{Red} {n\,= {\rm positivt\;heltal}}\;{\rm eller}\;{\color{Red} 0}\,.} </math>
 +
 
 +
Koefficienterna <math> \, a_n </math> är godtyckliga kända konstanter, medan <math>x\,</math> är en variabel.</big>
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="tolv">
 +
Istället för att använda beteckningarna <math> \, a, \, b, \, c, \, \dots </math> för koefficienterna inför man s.k. indicerade beteckningar <math> \, a_1, \, a_2, \, a_3, \, \dots </math>. Det nedsänkta <math>\,{\color {Red} {_n}}</math>-et i <math>a_n\,</math> är en del av beteckningen och kallas <strong><span style="color:red">index</span></strong> (subscript, nedsänkt skrivet). Dessa indicerade beteckningar används för att associera koefficienten till <math>\,x</math>-potensens exponent.
 +
 
 +
<math> a_n\, </math> kallas för polynomets <strong><span style="color:red">ledande koefficient</span></strong>.
 +
 
 +
<math> a_0\, </math> kallas polynomets <strong><span style="color:red">konstanta term</span></strong>.
 +
 
 +
Generellt kan ett polynom definieras via sina samtliga koefficienter.
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovnC">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel</span> ===
 +
<big>
 +
:Polynomet <math> \quad x^5 + 3\,x^4 - 8\,x^3 - 54\,x + 9 \quad </math> av grad <math> \, 5 \, </math> har koefficienterna<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::<math>a_5 = 1 \; , \qquad a_4 = 3 \; , \qquad a_3 = -8 \; , \qquad a_2 = 0 \; , \qquad a_1 = -54 \; , \qquad a_0 = 9</math>
 +
 
 +
:Den ledande koefficienten är <math> \, 1 \, </math>.
 +
 
 +
:Den konstanta termen är <math> \, 9 \, </math>.
 +
 
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="tolv">
 +
<b>Konvention:</b> Ur ren beräkningssynpunkt är det irrelevant i vilken ordning man skriver ett polynoms termer. Men, för att höja läsligheten och hålla sig till en bra struktur, brukar man börja med den term som har den högsta <math> x</math>-potensen, skriva termerna i avtagande ordning på <math> x</math>-potensernas exponenter och avsluta med den konstanta termen.
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
 +
 
 +
https://www.youtube.com/watch?v=-O2jvyajf8I&list=PL8F23578B46CAECC9
 +
 
 +
https://www.youtube.com/watch?v=nKpfFc7Tns0
 +
 
 +
http://www.youtube.com/watch?v=IDpnNnjFB1c
 +
 
 +
http://www.mathsisfun.com/algebra/polynomials.html
 +
 
 +
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/Polynomials.aspx
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2020 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 18 november 2024 kl. 15.30

        <<  Repetitioner          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt  >>      


Exempel på polynom

\[ 4\,x + 12 \]
\[ 3\,x^2 + 5\,x - 16 \]
\[ 8\,x^3 + 4\,x^2 - 7\,x + 6\]
\[ 3\,x^4 - 8\,x^3 + 12\,x^2 - 54\,x + 9\quad\]

Uttrycken ovan kallas för polynom, eftersom de består av många (poly på latin) termer (nom på latin).

Varje polynom är en summa av ett antal termer.

En term består av ett tal (koefficient) gånger en \( \, x\)-potens, med exponenter som är positiva heltal eller \( \, 0 \), t.ex. \( 3\,x^4 \).

Man brukar inleda polynom med den term som har den högsta \( \,x\)-potensen. Sedan fortsätter man med termer i avtagande ordning på \( x\)-potenserna.

Exempel på icke-polynom

Följande uttryck är inga polynom:

\[ \displaystyle{1 \over x} \qquad\qquad\qquad \displaystyle{\sqrt x} \qquad\qquad\qquad \displaystyle{a^x} \; , \quad {\rm där} \quad a = {\rm const.} \]

eftersom de inte kan skrivas som summor av termer där varje term har formen "tal gånger en \( \, x\)-potens" som i exemplen ovan.

I polynom måste \( x\)-potensernas exponenter vara positiva heltal eller \( \, 0 \), dvs de får inte vara negativa eller bråk.

Därför är \( 1 \over x \) \( = x^{-1}\, \) och \( \sqrt x = x^{1\over2} \) inga polynom.

I polynom får inte heller variabeln \( x \) förekomma i exponenten. Därför är \( \, a^x \) inget polynom.

Se även Allmän definition längre fram och fliken Repetitioner (ovan) ... Potenser.


Att utveckla ett algebraiskt uttryck till ett polynom betyder att förenkla uttrycket genom att:

  1. lösa upp alla parenteser,
  2. sammanfoga alla termer som går att sammanfoga och
  3. skriva resultatet som en summa av termer, helst ordnad efter \( x\)-potenser i avtagande ordning.


Utveckla följande uttryck till ett polynom:

\[ 6\,x^3 - 4\,x^2\,(3\,x + 8) + 2\,x\,(5 + 9\,x) \]

Vi löser upp parenteserna, sammanfogar de termer som går att sammanfoga och ordnar \( x\)-potenserna i fallande ordning:

\[ 6\,x^3 - 4\,x^2\,(3\,x + 8) + 2\,x\,(5 + 9\,x) = \,6\,x^3 -\,12\,x^3\,-\,32\,x^2 +\,10\,x\,+\,18\,x^2 = \underline{-6\,x^3 - 14\,x^2 +\,10\,x} \, \]


Grad

Den högsta förekommande exponenten till \( x\)-potenserna bland polynomets alla termer kallas polynomets grad.

Följande polynom har graden \( \, 4\,\):

\[ x^4 - 29\;x^2 + 100 \]

eftersom den största exponenten till \( \, x\)-potenserna är \( \, 4 \).

I de inledande exemplen Exempel på polynom har polynomen där graderna \( \, 1, \, 2, \, 3, \, \) och \( \, 4 \, \) i den ordning de är angivna där.


Koefficienter

Talen framför \( x\)-potenserna kallas för polynomets koefficienter.

  • 1:a gradspolynomet \( \qquad 4\,x + 12 \qquad\qquad\quad \) har koefficienterna \( \quad 4 \,\) och \( \, 12 \).
  • 2:a gradspolynomet \( \qquad 3\,x^2 + 5\,x - 16 \qquad \) har koefficienterna \( \quad 3 \, \) och \( \, 5 \, \) och \( \, -16\).

     Konstanterna \( 12\, \) och \( -16\, \) i exemplen ovan är också koefficienter, fast de inte (synligt) står framför någon \( x\)-potens, därför att \( 12\, \) kan skrivas som:

\[ 12 \cdot x^0 \]

     Detta pga \( x^0 = 1\, \). Samma sak gäller för koefficienten \( -16 \, = \, -16\,x^0 \), se repetitionsfliken om ... Potenser.

  • 4:e gradspolynomet \( \qquad x^4 - 29\,x^2 + 100 \qquad \) har koefficienterna \( \quad 1, \quad 0, \quad -29, \quad 0, \quad 100\)

     Anledningen till att två koefficienter är \( \, 0 \,\) är att \(x^3\)- och \(x^1\)-termerna saknas i polynomet. Det betyder att deras koefficienter är \( \, 0 \, \). Man skulle kunna skriva polynomet även så här:

\[ x^4 + 0\cdot x^3 - 29\;x^2 + 0\cdot x^1 + 100\cdot x^0 \]

     Att man inte gör det beror på att termerna med koefficienten \( \, 0 \, \) bidrar inget till polynomets värde. Man föredrar skrivsättet \( \, x^4 - 29\,x^2 + 100 \, \) för det är enklare att skriva så.


För enkelhetens skull brukar man utelämna de termer som räknemässigt inte bidrar till polynomets värde. Men formellt är de där och bör tas hänsyn till när man räknar upp koefficienterna. På så sätt kan man alltid använda den fullständiga koefficientlistan som en definition på polynomet.

Ett polynoms värde

Eftersom ett polynom är en speciell form av ett uttryck är ett polynoms värde inget annat än uttryckets värde. Ett polynom har inget givet värde för sig utan får ett värde för något specificerat värde för \(x\,\).

Exempel:    Beräkna följande polynoms värde för \( \, x = 0,5 \):

\[ 8\,x^3 - 4\,x \]

Lösning:    Vi sätter in \( 0,5\,\) för \(x\,\) i polynomets alla termer och beräknar polynomets värde:

\[ 8 \cdot 0,5^3 - 4 \cdot 0,5 = 8 \cdot 0,125 - 2 = 1 - 2 = -1 \,\]

Det givna polynomets värde för \( x = 0,5\, \) är \( -1\,\). För andra värden på \(x\,\) kommer polynomet att ha andra värden.


Att räkna med polynom

Man räknar med polynom precis på samma sätt som man gör det med uttryck därför att polynom är en speciell form av uttryck. Man kan addera, subtrahera och multiplicera polynom med varandra. Resultatet blir ett nytt polynom. Följande gäller:


Summan, differensen och produkten av polynom är alltid ett polynom.


Exempel på räkning med polynom

Två polynom är givna:

\[ 6\,x^2 + 2\,x - 3 \]
\[ -6\,x^2 - 3\,x + 4 \]

Bilda deras summa, differens och produkt.

Summa = resultat av addition:

\( (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,+\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) \, = \, 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,-\,6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4 \, = \, \underline{-\,x\,+\,1} \)

Differens = resultat av subtraktion:

\( (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,-\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) \, = \, 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,+\,6\,x^2\,+\,3\,x\,-\,4 \, = \, \underline{12\,x^2\,+\,5\,x\,-\,7}\)

Produkt = resultat av multiplikation:

\( (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,\cdot\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) \, = \, -36\,x^4\,-\,18\,x^3\,+\,24\,x^2\,-\,12\,x^3\,-\,6\,x^2\,+\,8\,x\,+\,18\,x^2\,+\,9\,x\,-\,12 \, = \, \)

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\, = \, \underline{-36\,x^4\,-\,30\,x^3\,+\,36\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12} \)


Det man gör hela tiden i exemplet ovan är att först lösa upp parenteserna och sedan sammanfoga de termer som går att sammanfoga, det är de termer som har samma exponent.

Som man ser blir alla resultat polynom. Vid addition och subtraktion blir resultatens grad samma eller mindre än utgångspolynomen. I additionsexemplet blir graden mindre eftersom de kvadratiska termerna tar ut varandra. Multiplikationen däremot förstorar graden. I exemplet är faktorerna 2:a gradspolynom medan deras produkt blir av graden 4. Generellt gäller det att produktpolynomets grad blir \( \, m + n \, \) om faktorernas grader är \( \, m \, \) och \( \, n \, \), vilket är en konsekvens av första potenslagen.

Till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom i regel inte ett polynom.


Kvoten av två polynom är i regel inget polynom.


Det enklaste exemplet nämndes i Exempel på icke-polynom dvs kvoten mellan polynomet \( 1 \, \) (av graden 0) och polynomet \( x \, \) (av graden 1):

\[ {1 \over x} \qquad {\rm eller} \qquad x^{-1} \]

Uttrycken är enligt potenslagarna identiska. Man ser att exponenten är negativ. Men i ett polynom får exponenterna till \( x\)-potenserna inte vara negativa. Därför är uttrycket ovan inget polynom \(-\) ett exempel på att kvoten av två polynom i regel inte är polynom.

Division av polynom leder oss till en ny klass av uttryck som \( 1 \over x \) är ett exempel på. Denna nya klass av uttryck kallas rationella uttryck och behandlas i avsnitt 1.3.


Ett polynoms nollställen, även kallade rötter

När polynomets värde blir \( 0\,\) kallar man de \( x\,\) för vilka polynomets värde blir \( 0\,\), polynomets nollställen. Nollställe är i polynomsammanhang synonym till rot. Se även rotens olika betydelser.

Till skillnad från polynomets värde där vi satt in ett tal för \( x\,\) och fick ett värde för polynomet, måste vi nu vända på steken och sätta polynomet till värdet \( 0\,\) och beräkna \( x\,\). Det är en mycket svårare uppgift eftersom vi måste lösa en ekvation som i regel är av högre grad. Vi är ju ute efter de \( x\,\) för vilka ett polynom av en viss grad blir \( 0\,\). Dessa \( x\,\) är polynomets nollställen. Därför kan ett polynom ha flera nollställen medan ett polynoms värde är alltid unikt.


Exempel på nollställen

Bestäm alla nollställen till polynomet \( 5\,x^2 -\,20\,x \).

Att beräkna polynomets nollställen innebär att sätta polynomet till 0 och lösa följande ekvation:

\[ 5\,x^2 -\,20\,x = 0 \]

Eftersom vänsterledet saknar konstant term kan man bryta ut \( \, x \, \) som är den gemensamma faktorn i båda termer för att sedan kunna använda nollproduktmetoden:

\[\begin{align} 5\,x^2 -\,20\,x & = 0 \\ x\,(5\,x -\,20) & = 0 \\ x_1 & = 0 \\ 5\,x_2 -\,20 & = 0 \\ 5\,x_2 & = 20 \\ x_2 & = 4 \\ \end{align}\]

Polynomets nollställen eller rötter är alltså \( \, x_1 = 0 \, \) och \( \, x_2 = 4 \).


Allmän definition

Inledningsvis kallades en konstant gånger en \( x\)-potens för en term:

\[ 8 \cdot x^3 \qquad\qquad {\rm Generellt:} \qquad\qquad a \cdot x^n \]

Som en summa av många sådana termer har ett polynom följande allmän definition:


Ett   polynom av grad \(n\,\)   har formen:

\[ a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 \; , \quad {\rm där } \quad {\color{Red} {n\,= {\rm positivt\;heltal}}\;{\rm eller}\;{\color{Red} 0}\,.} \]

Koefficienterna \( \, a_n \) är godtyckliga kända konstanter, medan \(x\,\) är en variabel.


Istället för att använda beteckningarna \( \, a, \, b, \, c, \, \dots \) för koefficienterna inför man s.k. indicerade beteckningar \( \, a_1, \, a_2, \, a_3, \, \dots \). Det nedsänkta \(\,{\color {Red} {_n}}\)-et i \(a_n\,\) är en del av beteckningen och kallas index (subscript, nedsänkt skrivet). Dessa indicerade beteckningar används för att associera koefficienten till \(\,x\)-potensens exponent.

\( a_n\, \) kallas för polynomets ledande koefficient.

\( a_0\, \) kallas polynomets konstanta term.

Generellt kan ett polynom definieras via sina samtliga koefficienter.


Exempel

Polynomet \( \quad x^5 + 3\,x^4 - 8\,x^3 - 54\,x + 9 \quad \) av grad \( \, 5 \, \) har koefficienterna:
\[a_5 = 1 \; , \qquad a_4 = 3 \; , \qquad a_3 = -8 \; , \qquad a_2 = 0 \; , \qquad a_1 = -54 \; , \qquad a_0 = 9\]
Den ledande koefficienten är \( \, 1 \, \).
Den konstanta termen är \( \, 9 \, \).


Konvention: Ur ren beräkningssynpunkt är det irrelevant i vilken ordning man skriver ett polynoms termer. Men, för att höja läsligheten och hålla sig till en bra struktur, brukar man börja med den term som har den högsta \( x\)-potensen, skriva termerna i avtagande ordning på \( x\)-potensernas exponenter och avsluta med den konstanta termen.


Internetlänkar

https://www.youtube.com/watch?v=-O2jvyajf8I&list=PL8F23578B46CAECC9

https://www.youtube.com/watch?v=nKpfFc7Tns0

http://www.youtube.com/watch?v=IDpnNnjFB1c

http://www.mathsisfun.com/algebra/polynomials.html

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/Polynomials.aspx





Copyright © 2020 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=1.1_Polynom&oldid=36834"