Skillnad mellan versioner av "1.2 Faktorisering av polynom"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (51 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
| − | {{Not selected tab|[[1. | + | {{Not selected tab|[[1.1 Polynom| << Förra avsnitt]]}} |
{{Selected tab|[[1.2 Faktorisering av polynom|Genomgång]]}} | {{Selected tab|[[1.2 Faktorisering av polynom|Genomgång]]}} | ||
{{Not selected tab|[[1.2 Övningar till Faktorisering av polynom|Övningar]]}} | {{Not selected tab|[[1.2 Övningar till Faktorisering av polynom|Övningar]]}} | ||
| Rad 9: | Rad 9: | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
| − | |||
| − | [[Media: Lektion_4_Faktorisering_av_polynom_Rutaa.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 4 Faktorisering av polynom</span></b>]] | + | |
| + | <!-- [[Media: Lektion_4_Faktorisering_av_polynom_Rutaa.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 4 Faktorisering av polynom</span></b>]] | ||
[[Media: Lektion_5_Faktorisering_av_polynom_Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 5 Faktorisering av polynom: Fördjupning</span></b>]] | [[Media: Lektion_5_Faktorisering_av_polynom_Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 5 Faktorisering av polynom: Fördjupning</span></b>]] | ||
| + | --> | ||
| + | == <b><span style="color:#931136">Faktorisering av tal</span></b> == | ||
| + | <big>Matte 1:</big> | ||
| + | <div class="ovnE"> | ||
| + | <math> a \cdot b \quad </math> är en produkt, där <math>a\,</math> och <math>b\,</math> kallas för <b><span style="color:red">faktorer</span></b>. | ||
| + | |||
| + | Därför är t.ex. <math> \quad \boxed{12 \, = \, 3 \cdot 4} \quad </math> en <b><span style="color:red">faktorisering</span></b> av | ||
| + | |||
| + | talet <math> \, 12 \, </math> och <math> \, 3 \cdot 4 \, </math> kallas för en <b><span style="color:red">faktorform</span></b> av talet. | ||
| + | |||
| + | En annan faktorform är <math> \, 3 \cdot 2\cdot 2 \, </math> (Primfaktorer). | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <big> | ||
| + | <b><span style="color:red">Faktorisering</span></b> betyder alltså omvandling till en produkt. | ||
| + | |||
| + | Analogt till faktorisering av heltal kan även ett polynom som ursprungligen är en summa av termer, faktoriseras dvs skrivas om till en produkt. | ||
| + | </big> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == <b><span style="color:#931136">Enkel faktorisering av polynom</span></b> == | ||
| + | <big>Matte 2:</big> | ||
| + | <div class="ovnC"> | ||
| + | [[1.3_Rationella_uttryck#Repetition:_Kvadreringsreglerna_och_konjugatregeln|<b><span style="color:blue">Kvadreringsregeln</span></b>]] <math> \, (a-b)\,^2 = a^2 - 2\,a\,b + b^2 \, </math> ger t.ex.<span style="color:black">:</span> | ||
| + | |||
| + | <math> \qquad\qquad\qquad\quad\;\; (x-3)\,^2 \; = \; x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 \; = \; x^2 - 6\,x + 9 </math> | ||
| + | |||
| + | Läser vi baklänges får vi en faktorisering av polynomet <math> \, x^2 - 6\,x + 9 \, </math><span style="color:black">:</span> | ||
| + | |||
| + | :::<math> \quad x^2 - 6\,x + 9 \; = \; (x-3)^2 \; = \; \boxed{(x-3) \cdot (x-3)} </math> | ||
| + | |||
| + | <math> (x-3) \cdot (x-3) \, </math> kallas för polynomet <math> \, x^2 - 6\,x + 9 \, </math> i <b><span style="color:red">faktorform</span></b>. | ||
| + | |||
| + | Samtidigt är <math> \, x=3 \, </math> polynomets enda nollställe, en s.k. [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Dubbelrot|<b><span style="color:blue">dubbelrot</span></b>]]. | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <big> | ||
| + | Självklart hade kvadreringsregeln inte fungerat om det istället för <math> \, - 6\,x \, </math> i polynomets andra term hade stått t.ex. <math> \, - 7\,x \, </math>, | ||
| + | |||
| + | för visserligen är <math> \, - 7\,x = - 2 \cdot x \cdot 3,5 \, </math>, men det går inte ihop med nästa term <math> \, b\,^2 \, </math> i kvadreringsregeln: Vi kan inte ha <math> \, 3,5 \, </math> som <math> \, b \, </math>, därför att <math> \, (3,5)^2 \neq 9 \, </math>. | ||
| + | |||
| + | Så, exemplet ovan var tillrättalagt så att kvadreringsregeln kunde fungera. Ett litet annorlunda polynom, t.ex. <math> \, x^2 - 7\,x + 9 \, </math> kan inte längre faktoriseras genom | ||
| + | |||
| + | att använda konjugat- eller kvadreringsreglerna baklänges. Dessa regler kan faktorisera endast en liten del av väldigt speciella 2:a gradspolynom. | ||
| + | |||
| + | I själva verket kan alla polynom faktoriseras, vilket vi kommer att lära oss nu: | ||
| + | </big> | ||
== <b><span style="color:#931136">Polynom i faktorform</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Polynom i faktorform</span></b> == | ||
| Rad 34: | Rad 83: | ||
::::::::::::::<big><math> \Downarrow </math></big> | ::::::::::::::<big><math> \Downarrow </math></big> | ||
| − | <div class=" | + | <div class="ovnC"> |
<math> \; (x-3) \cdot (x-4) \; </math> kallas för polynomet <math> \; x^2 - 7\,x + 12 \; </math> <b><span style="color:red"> i faktorform</span></b>. | <math> \; (x-3) \cdot (x-4) \; </math> kallas för polynomet <math> \; x^2 - 7\,x + 12 \; </math> <b><span style="color:red"> i faktorform</span></b>. | ||
| Rad 41: | Rad 90: | ||
| − | + | == <b><span style="color:#931136">Nollproduktmetoden</span></b> == | |
| − | + | <div class="ovnE"> | |
| − | < | + | |
Lös ekvationen<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad\;\:(x-3) \, \cdot \, (x-4) \; = \; 0 </math> | Lös ekvationen<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad\;\:(x-3) \, \cdot \, (x-4) \; = \; 0 </math> | ||
| Rad 71: | Rad 119: | ||
Faktorformen är den struktur som gör nollproduktmetoden och därmed den effektiva lösningen möjlig. | Faktorformen är den struktur som gör nollproduktmetoden och därmed den effektiva lösningen möjlig. | ||
| − | + | </div> | |
| Rad 87: | Rad 135: | ||
<b><span style="color:#931136">Uppgiften:</span></b> Faktorisera polynomet <math> \, x^2 - 7\,x + 12 </math>. | <b><span style="color:#931136">Uppgiften:</span></b> Faktorisera polynomet <math> \, x^2 - 7\,x + 12 </math>. | ||
| − | <b><span style="color:#931136">Lösningen:</span></b> Vi beräknar polynomets nollställen: | + | <b><span style="color:#931136">Lösningen:</span></b> Vi beräknar polynomets nollställen<span style="color:black">:</span> |
::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = 0 </math> | ::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = 0 </math> | ||
| Rad 93: | Rad 141: | ||
För att snabbt lösa denna 2:a gradsekvation som ett led i faktoriseringsprocessen | För att snabbt lösa denna 2:a gradsekvation som ett led i faktoriseringsprocessen | ||
| − | använder vi [[1.2 Repetition: Faktorisering och Vietas formler#Vietas_formler|<b><span style="color:blue">Vietas formler</span></b>]]: | + | använder vi [[1.2 Repetition: Faktorisering och Vietas formler#Vietas_formler|<b><span style="color:blue">Vietas formler</span></b>]]<span style="color:black">:</span> |
::::::<math> \begin{align} x_1 + x_2 & = -p = -(-7) = 7 \\ | ::::::<math> \begin{align} x_1 + x_2 & = -p = -(-7) = 7 \\ | ||
| Rad 101: | Rad 149: | ||
Dvs vi behöver hitta två tal vars produkt är <math> \, 12 \, </math> och vars summa är <math> \, 7 \, </math>. | Dvs vi behöver hitta två tal vars produkt är <math> \, 12 \, </math> och vars summa är <math> \, 7 \, </math>. | ||
| − | Med lite provande kommer man fram till: | + | Med lite provande kommer man fram till<span style="color:black">:</span> |
::::::<math>\begin{align} x_1 & = 3 \\ | ::::::<math>\begin{align} x_1 & = 3 \\ | ||
| Rad 107: | Rad 155: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | eftersom <math> \, 3 + 4 = 7 \, </math> och <math> \, 3 \cdot 4 = 12 </math>. Därmed är polynomets <b><span style="color:red">faktorisering</span></b>: | + | eftersom <math> \, 3 + 4 = 7 \, </math> och <math> \, 3 \cdot 4 = 12 </math>. Därmed är polynomets <b><span style="color:red">faktorisering</span></b><span style="color:black">:</span> |
::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 \; = \; \underline{(x - 3) \, \cdot \, (x - 4)} </math> | ::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 \; = \; \underline{(x - 3) \, \cdot \, (x - 4)} </math> | ||
| Rad 115: | Rad 163: | ||
<big> | <big> | ||
| − | Självklart hade man kunnat använda även | + | Självklart hade man kunnat använda även [[Media: Formelsamling_NP_Ma3.pdf|<b><span style="color:blue">pq-formeln</span></b>]] för att lösa 2:a gradsekvationen. Då hade det sett ut så här<span style="color:black">:</span> |
::::::<math>\begin{array}{rcl} x^2 - 7\,x + 12 & = & 0 \\ | ::::::<math>\begin{array}{rcl} x^2 - 7\,x + 12 & = & 0 \\ | ||
| Rad 125: | Rad 173: | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | Man ser att Vieta inte bara är en enklare och snabbare metod än | + | Man ser att Vieta inte bara är en enklare och snabbare metod än pq-formeln utan även minimerar risken för felräkning. |
Faktorformen (produkten) är resultat av faktorisering (processen). | Faktorformen (produkten) är resultat av faktorisering (processen). | ||
| − | Exemplets polynom är av grad <math> \, 2</math>, medan dess ingredienser dvs faktorerna <math> \, (x-3) \, </math> och <math> \, (x-4) \, </math> är polynom av grad <math> \, 1 | + | Exemplets polynom är av grad <math> \, 2</math>, medan dess ingredienser dvs faktorerna <math> \, (x-3) \, </math> och <math> \, (x-4) \, </math> är polynom av grad <math> \, 1</math>. |
| − | Faktorisering är relevant av olika skäl: För det första tillåter faktorformen förkortning och därmed förenkling av komplexa algebraiska uttryck. För det andra avslöjar faktorformen polynomets [[1.1_Polynom#Ett_polynoms_nollst.C3.A4llen.2C_.C3.A4ven_kallade_r.C3.B6tter|< | + | Detta kan jämföras med faktoriseringen <math> \, 12 \, = \, 3 \cdot 4 </math>, där faktorerna <math> \, 3 \, </math> och <math> \, 4 \, </math> är mindre än <math> \, 12 \, </math>. Man har splittrat upp talet <math> \, 12 \,</math> i sina beståndsdelar <math> \, 3 \, </math> och <math> \, 4 </math>, precis som man |
| + | |||
| + | splittrar upp polynomet <math> \, x^2 - 7\,x + 12 \, </math> i sina beståndsdelar <math> \, (x-3)\, </math> och <math> \, (x-4) </math>. | ||
| + | |||
| + | Faktorisering är relevant av olika skäl: För det första tillåter faktorformen förkortning och därmed förenkling av komplexa algebraiska uttryck. För det andra avslöjar faktorformen polynomets [[1.1_Polynom#Ett_polynoms_nollst.C3.A4llen.2C_.C3.A4ven_kallade_r.C3.B6tter|<b><span style="color:blue">nollställen</span></b>]]. | ||
Det vi genomförde för vårt exempel kan generaliseras till alla 2:gradspolynom, åtminstone sådana som är givna i normalform: | Det vi genomförde för vårt exempel kan generaliseras till alla 2:gradspolynom, åtminstone sådana som är givna i normalform: | ||
| Rad 137: | Rad 189: | ||
<div class="border-divblue"> | <div class="border-divblue"> | ||
| − | |||
== <small><b><span style="color:#931136">Faktorisering med 2 nollställen</span></b></small> == | == <small><b><span style="color:#931136">Faktorisering med 2 nollställen</span></b></small> == | ||
| Rad 146: | Rad 197: | ||
<big> | <big> | ||
| − | För att bevisa satsen ovan kan man t.ex | + | För att bevisa satsen ovan kan man t.ex. |
| − | Det finns motsvarande satser om polynom av högre grad än 2, se [[1.2_Fördjupning_till_Faktorisering_av_Polynom#Algebrans_fundamentalsats|< | + | * sätta in [[Media: Formelsamling_NP_Ma3.pdf|<b><span style="color:blue">pq-formeln</span></b>]] för <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> i högerledet, |
| + | * utveckla produkten på högerledet och | ||
| + | * genomföra [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#J.C3.A4mf.C3.B6relse_av_koefficienter|<b><span style="color:blue">jämförelse av koefficienter</span></b>]]. | ||
| + | |||
| + | Se beviset i lösningen till [[1.2_Övningar_till_Faktorisering_av_polynom#.C3.96vning_13|<b><span style="color:blue">övning 13</span></b>]]. | ||
| + | |||
| + | Det finns motsvarande satser om polynom av högre grad än 2, se [[1.2_Fördjupning_till_Faktorisering_av_Polynom#Algebrans_fundamentalsats|<b><span style="color:blue">Algebrans fundamentalsats</span></b>]]. | ||
</big> | </big> | ||
| + | |||
| + | <big><big><b><span style="color:#931136">Praktisk slutsats:</span></b></big></big> | ||
| + | <div class="ovnE"> | ||
| + | För att faktorisera ett 2:a gradspolynom i normalform måste vi beräkna dess | ||
| + | |||
| + | nollställen <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math>. Sedan blir faktoriseringen<span style="color:black">:</span> <math> \quad (x-x_1) \cdot (x-x_2) </math> | ||
| + | </div> | ||
| Rad 155: | Rad 219: | ||
<big> | <big> | ||
| − | Ordet < | + | Ordet <b><span style="color:red">rot</span></b> har i matematiken olika betydelser i olika sammanhang: |
| − | + | # Räkneoperationen rotdragning med rottecknet <math> {\color{White}{y=}}\!\!\!\!\!\!\!\!\sqrt{\color{White}x} </math> som symbol, t.ex. roten ur <math> 4\, </math> är <math> 2\, </math> osv. | |
| − | + | # Lösningen av en ekvation. Rot är synonym till en ekvations lösning. T.ex. är <math> x_1 = 2\, </math> och <math> x_2 = -2\, </math> rötter dvs lösningar till ekvationen <math> x^2 = 4\, </math>. | |
| − | + | # Nollstället till ett polynom. Rot är synonym till ett polynoms nollställe. I exemplet ovan är <math> x_1 = 2\, </math> och <math> x_2 = -2\, </math> rötter dvs nollställen till polynomet <math> x^2 - 4\, </math>. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
Sammanhanget avgör vilken betydelse som gäller just i den aktuella kontexten. | Sammanhanget avgör vilken betydelse som gäller just i den aktuella kontexten. | ||
| Rad 182: | Rad 244: | ||
:::::::<math> x^2 + p\,x + q = (x-x_1)^2 </math> | :::::::<math> x^2 + p\,x + q = (x-x_1)^2 </math> | ||
| − | Ett sådant nollställe kallas för < | + | Ett sådant nollställe kallas för <b><span style="color:red">dubbelrot</span></b> till ekvationen <math> x^2 + p\,x + q = 0 </math>. |
</div> | </div> | ||
| Rad 189: | Rad 251: | ||
== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> == | ||
<big> | <big> | ||
| − | Polynomet <math> x^2 - 6\,x + 9 </math> har dubbelroten <math> x = 3\, </math> eftersom <math> x^2 - 6\,x + 9 \, = \, (x-3)\,^2 </math>, se [[1.2 Repetition: Faktorisering och Vietas formler#Enkel faktorisering_av_polynom|< | + | Polynomet <math> x^2 - 6\,x + 9 </math> har dubbelroten <math> x = 3\, </math> eftersom <math> x^2 - 6\,x + 9 \, = \, (x-3)\,^2 </math>, se [[1.2 Repetition: Faktorisering och Vietas formler#Enkel faktorisering_av_polynom|<b><span style="color:blue">Enkel faktorisering av polynom</span></b>]]. |
Vi ritar grafen till polynomfunktionen och undersöker på vilket sätt kurvan "skär" <math> \, x</math>-axeln. | Vi ritar grafen till polynomfunktionen och undersöker på vilket sätt kurvan "skär" <math> \, x</math>-axeln. | ||
| Rad 195: | Rad 257: | ||
<big>Grafen till polynomfunktionen</big> <math> \; y = x^2 - 6\,x + 9 \; {\rm :} \quad\quad </math> [[Image: Dubbelrot.jpg]] | <big>Grafen till polynomfunktionen</big> <math> \; y = x^2 - 6\,x + 9 \; {\rm :} \quad\quad </math> [[Image: Dubbelrot.jpg]] | ||
| − | Grafen visar att kurvan inte skär utan bara < | + | Grafen visar att kurvan inte skär utan bara <b><span style="color:black">berör</span></b> <math>\,x</math>-axeln vid <math> x = 3\, </math>. |
| − | Dubbelrötter ligger på gränsen mellan att skära (två lösningar) och inte skära <math>\,x</math>-axeln (ingen lösning alls). Matematiskt uttrycker sig detta i faktoriseringens form: | + | Dvs det finns endast <b><span style="color:black">en</span></b> gemensam punkt mellan kurvan och <math>\,x</math>-axeln. |
| + | |||
| + | Dubbelrötter ligger på gränsen mellan att skära (två lösningar) och inte skära <math>\,x</math>-axeln (ingen lösning alls). | ||
| + | |||
| + | Matematiskt uttrycker sig detta i faktoriseringens form: | ||
::::::<math> x^2 - 6\,x + 9 = (x-3) \cdot (x-3) = (x-3)\,^2 </math> | ::::::<math> x^2 - 6\,x + 9 = (x-3) \cdot (x-3) = (x-3)\,^2 </math> | ||
| Rad 203: | Rad 269: | ||
<big> | <big> | ||
| − | Det intressanta med dubelrötter är att vi endast har <b>en</b> lösning <math> x = 3\, </math> till 2:a gradsekvationen <math> x^2 - 6 x + 9 = 0\, </math>. Fast, om vi tittar på faktorformen <math> (x - 3) \cdot (x - 3) = 0 </math> kan man lika bra säga att vi har två identiska lösningar eller två som sammanfaller - ett filosofiskt dilemma som man matematiskt brukar lösa upp genom att kalla lösningen för en dubbelrot. | + | Det intressanta med dubelrötter är att vi endast har <b>en</b> lösning <math> x = 3\, </math> till 2:a gradsekvationen <math> x^2 - 6 x + 9 = 0\, </math>. Fast, om vi tittar på faktorformen <math> (x - 3) \cdot (x - 3) = 0 </math> kan man lika bra säga |
| + | |||
| + | att vi har två identiska lösningar eller två som sammanfaller - ett filosofiskt dilemma som man matematiskt brukar lösa upp genom att kalla lösningen för en dubbelrot. | ||
Andra viktiga egenskaper av dubbelrötter kommer vi att lära känna senare när vi i kapitel 2 behandlar derivering. | Andra viktiga egenskaper av dubbelrötter kommer vi att lära känna senare när vi i kapitel 2 behandlar derivering. | ||
| Rad 229: | Rad 297: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved. |
Nuvarande version från 2 december 2024 kl. 21.57
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Nästa avsnitt >> |
Faktorisering av tal
Matte 1:
\( a \cdot b \quad \) är en produkt, där \(a\,\) och \(b\,\) kallas för faktorer.
Därför är t.ex. \( \quad \boxed{12 \, = \, 3 \cdot 4} \quad \) en faktorisering av
talet \( \, 12 \, \) och \( \, 3 \cdot 4 \, \) kallas för en faktorform av talet.
En annan faktorform är \( \, 3 \cdot 2\cdot 2 \, \) (Primfaktorer).
Faktorisering betyder alltså omvandling till en produkt.
Analogt till faktorisering av heltal kan även ett polynom som ursprungligen är en summa av termer, faktoriseras dvs skrivas om till en produkt.
Enkel faktorisering av polynom
Matte 2:
Kvadreringsregeln \( \, (a-b)\,^2 = a^2 - 2\,a\,b + b^2 \, \) ger t.ex.:
\( \qquad\qquad\qquad\quad\;\; (x-3)\,^2 \; = \; x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 \; = \; x^2 - 6\,x + 9 \)
Läser vi baklänges får vi en faktorisering av polynomet \( \, x^2 - 6\,x + 9 \, \):
- \[ \quad x^2 - 6\,x + 9 \; = \; (x-3)^2 \; = \; \boxed{(x-3) \cdot (x-3)} \]
\( (x-3) \cdot (x-3) \, \) kallas för polynomet \( \, x^2 - 6\,x + 9 \, \) i faktorform.
Samtidigt är \( \, x=3 \, \) polynomets enda nollställe, en s.k. dubbelrot.
Självklart hade kvadreringsregeln inte fungerat om det istället för \( \, - 6\,x \, \) i polynomets andra term hade stått t.ex. \( \, - 7\,x \, \),
för visserligen är \( \, - 7\,x = - 2 \cdot x \cdot 3,5 \, \), men det går inte ihop med nästa term \( \, b\,^2 \, \) i kvadreringsregeln: Vi kan inte ha \( \, 3,5 \, \) som \( \, b \, \), därför att \( \, (3,5)^2 \neq 9 \, \).
Så, exemplet ovan var tillrättalagt så att kvadreringsregeln kunde fungera. Ett litet annorlunda polynom, t.ex. \( \, x^2 - 7\,x + 9 \, \) kan inte längre faktoriseras genom
att använda konjugat- eller kvadreringsreglerna baklänges. Dessa regler kan faktorisera endast en liten del av väldigt speciella 2:a gradspolynom.
I själva verket kan alla polynom faktoriseras, vilket vi kommer att lära oss nu:
Polynom i faktorform
Exempel
I förra avsnitt lärde vi oss att ett polynom var en summa av termer.
Visa att följande produkt är ett polynom:
- \[ (x-3) \, \cdot \, (x-4) \]
Vi utvecklar produkten:
- \[ (x-3) \, \cdot \, (x-4) \; = \; x^2 \, - \, 4\,x - \, 3\,x \, + \, 3 \cdot 4 \; = \; \underline{x^2 \, - \, 7\,x \, + \, 12} \; \]
- \( \Downarrow \)
\( \; (x-3) \cdot (x-4) \; \) kallas för polynomet \( \; x^2 - 7\,x + 12 \; \) i faktorform.
\( \qquad\;\, 3 \;\;\; \) och \( \;\;\, 4 \;\; \) är polynomets nollställen, se nollproduktmetoden:
Nollproduktmetoden
Lös ekvationen: \( \qquad\qquad\qquad\;\:(x-3) \, \cdot \, (x-4) \; = \; 0 \)
\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanlig\;fel\;åtgärd:}}} \quad\; (x-3) \cdot (x-4) \; = \; x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 \; = \; x^2 \, - \, 7\,x \, + \, 12 \; = \; 0 \]
\[ \qquad\quad\; {\rm Rätt\;åtgärd: \qquad\quad\; Räkna\;inte!\quad Tänk\;istället\;sä\;här:} \]
För att \( \, (x-3) \cdot (x-4) \, \) ska vara \( 0 \), måste antingen \( \, (x-3) \, \) eller \( \, (x-4) \, \) vara \( \, 0 \; \): \( \quad a \cdot b = 0 \;\; \Rightarrow \;\; a = 0 \; \) eller \( \; b = 0 \)
För att \( \, (x-3) \, \) eller \( \, (x-4) \, \) ska vara \( \, 0 \,\) måste \( \, x \, \) antingen vara \( \, 3 \, \) eller \( \, 4 \).
| Alltså har ekvationen de två lösningarna:
|
\(\qquad\begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = 4 \end{align} \) |
Nollproduktmetoden ger oss ekvationens lösningar utan att vi behöver räkna!
Den felaktiga åtgärden ovan är formellt matematiskt inte fel, men är ineffektiv och förstör faktorformen.
Faktorformen är den struktur som gör nollproduktmetoden och därmed den effektiva lösningen möjlig.
Ett polynom i faktorform visar sina nollställen istället för koefficienterna.
Men hur får man faktorformen om man har polynomet som en summa av termer? Man måste bestämma nollställena:
Faktorisering av 2:a gradspolynom (normalform)
Uppgiften: Faktorisera polynomet \( \, x^2 - 7\,x + 12 \).
Lösningen: Vi beräknar polynomets nollställen:
- \[ x^2 - 7\,x + 12 = 0 \]
För att snabbt lösa denna 2:a gradsekvation som ett led i faktoriseringsprocessen
använder vi Vietas formler:
- \[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -p = -(-7) = 7 \\ x_1 \cdot x_2 & = \;\;\; q = 12 \end{align}\]
Dvs vi behöver hitta två tal vars produkt är \( \, 12 \, \) och vars summa är \( \, 7 \, \).
Med lite provande kommer man fram till:
- \[\begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = 4 \end{align}\]
eftersom \( \, 3 + 4 = 7 \, \) och \( \, 3 \cdot 4 = 12 \). Därmed är polynomets faktorisering:
- \[ x^2 - 7\,x + 12 \; = \; \underline{(x - 3) \, \cdot \, (x - 4)} \]
Självklart hade man kunnat använda även pq-formeln för att lösa 2:a gradsekvationen. Då hade det sett ut så här:
- \[\begin{array}{rcl} x^2 - 7\,x + 12 & = & 0 \\ x_{1,2} & = & 3,5 \pm \sqrt{12,25 - 12} \\ x_{1,2} & = & 3,5 \pm \sqrt{0,25} \\ x_{1,2} & = & 3,5 \pm 0,5 \\ x_1 & = & 3 \\ x_2 & = & 4 \end{array}\]
Man ser att Vieta inte bara är en enklare och snabbare metod än pq-formeln utan även minimerar risken för felräkning.
Faktorformen (produkten) är resultat av faktorisering (processen). Exemplets polynom är av grad \( \, 2\), medan dess ingredienser dvs faktorerna \( \, (x-3) \, \) och \( \, (x-4) \, \) är polynom av grad \( \, 1\).
Detta kan jämföras med faktoriseringen \( \, 12 \, = \, 3 \cdot 4 \), där faktorerna \( \, 3 \, \) och \( \, 4 \, \) är mindre än \( \, 12 \, \). Man har splittrat upp talet \( \, 12 \,\) i sina beståndsdelar \( \, 3 \, \) och \( \, 4 \), precis som man
splittrar upp polynomet \( \, x^2 - 7\,x + 12 \, \) i sina beståndsdelar \( \, (x-3)\, \) och \( \, (x-4) \).
Faktorisering är relevant av olika skäl: För det första tillåter faktorformen förkortning och därmed förenkling av komplexa algebraiska uttryck. För det andra avslöjar faktorformen polynomets nollställen.
Det vi genomförde för vårt exempel kan generaliseras till alla 2:gradspolynom, åtminstone sådana som är givna i normalform:
Sats:
Faktorisering med 2 nollställen
Om 2:a gradspolynomet \( x^2 + p\,x + q \) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:
- \[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \]
För att bevisa satsen ovan kan man t.ex.
- sätta in pq-formeln för \( x_1\, \) och \( x_2\, \) i högerledet,
- utveckla produkten på högerledet och
- genomföra jämförelse av koefficienter.
Se beviset i lösningen till övning 13.
Det finns motsvarande satser om polynom av högre grad än 2, se Algebrans fundamentalsats.
Praktisk slutsats:
För att faktorisera ett 2:a gradspolynom i normalform måste vi beräkna dess
nollställen \( x_1\, \) och \( x_2\, \). Sedan blir faktoriseringen: \( \quad (x-x_1) \cdot (x-x_2) \)
Rotens olika betydelser
Ordet rot har i matematiken olika betydelser i olika sammanhang:
- Räkneoperationen rotdragning med rottecknet \( {\color{White}{y=}}\!\!\!\!\!\!\!\!\sqrt{\color{White}x} \) som symbol, t.ex. roten ur \( 4\, \) är \( 2\, \) osv.
- Lösningen av en ekvation. Rot är synonym till en ekvations lösning. T.ex. är \( x_1 = 2\, \) och \( x_2 = -2\, \) rötter dvs lösningar till ekvationen \( x^2 = 4\, \).
- Nollstället till ett polynom. Rot är synonym till ett polynoms nollställe. I exemplet ovan är \( x_1 = 2\, \) och \( x_2 = -2\, \) rötter dvs nollställen till polynomet \( x^2 - 4\, \).
Sammanhanget avgör vilken betydelse som gäller just i den aktuella kontexten.
Dubbelrot
När vi nu i fortsättningen pratar om en dubbelrot menar vi två lösningar till en ekvation som sammanfaller, vilket även kan uppfattas som endast en lösning.
Sats:
Faktorisering med 1 nollställe
Om 2:gradspolynomet \( x^2 + p\,x + q \) endast har ett nollställe \( x_1\, \) så gäller:
- \[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1)^2 \]
Ett sådant nollställe kallas för dubbelrot till ekvationen \( x^2 + p\,x + q = 0 \).
Exempel
Polynomet \( x^2 - 6\,x + 9 \) har dubbelroten \( x = 3\, \) eftersom \( x^2 - 6\,x + 9 \, = \, (x-3)\,^2 \), se Enkel faktorisering av polynom.
Vi ritar grafen till polynomfunktionen och undersöker på vilket sätt kurvan "skär" \( \, x\)-axeln.
Grafen till polynomfunktionen \( \; y = x^2 - 6\,x + 9 \; {\rm :} \quad\quad \) 
Grafen visar att kurvan inte skär utan bara berör \(\,x\)-axeln vid \( x = 3\, \).
Dvs det finns endast en gemensam punkt mellan kurvan och \(\,x\)-axeln.
Dubbelrötter ligger på gränsen mellan att skära (två lösningar) och inte skära \(\,x\)-axeln (ingen lösning alls).
Matematiskt uttrycker sig detta i faktoriseringens form:
- \[ x^2 - 6\,x + 9 = (x-3) \cdot (x-3) = (x-3)\,^2 \]
Det intressanta med dubelrötter är att vi endast har en lösning \( x = 3\, \) till 2:a gradsekvationen \( x^2 - 6 x + 9 = 0\, \). Fast, om vi tittar på faktorformen \( (x - 3) \cdot (x - 3) = 0 \) kan man lika bra säga
att vi har två identiska lösningar eller två som sammanfaller - ett filosofiskt dilemma som man matematiskt brukar lösa upp genom att kalla lösningen för en dubbelrot.
Andra viktiga egenskaper av dubbelrötter kommer vi att lära känna senare när vi i kapitel 2 behandlar derivering.
Internetlänkar
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/Factoring.aspx
http://mathworld.wolfram.com/PolynomialFactorization.html
http://www.mathsisfun.com/algebra/fundamental-theorem-algebra.html
http://www.sosmath.com/algebra/factor/fac04/fac04.html
http://www.lboro.ac.uk/research/helm/C_HELM_backup_24nov03/helm_website/documents/wb03_blk3.pdf
Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.
