Skillnad mellan versioner av "1.3 Rationella uttryck"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Ett enkelt exempel)
m
 
(889 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
−
== Vad är rationellt? ==
+
__NOTOC__
 +
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 +
{{Not selected tab|[[1.2 Faktorisering av polynom| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 +
{{Selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Genomgång]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.3 Fördjupning till Rationella uttryck|Fördjupning]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 +
|}
 +
[[1.3 Repetition: Tal i bråkform|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <<&nbsp;&nbsp;Repetition: Tal i bråkform]]
  
−
Ett <span style="color:red">rationellt tal</span> är kvoten mellan två heltal, t.ex. är <math> 3 \over 4 </math> vilket visar att rationellt tal är en annan beteckning för tal i bråkform.
+
<!-- [[Media: Lektion 6 Rationella uttryck Rutab.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 6 Rationella uttryck</span></b>]]
  
−
Ett <span style="color:red">rationellt uttryck</span> är kvoten mellan två polynom, t.ex. <math> 6\,x \over x^2 - 1 </math>. Precis som hos bråk får nämnaren inte vara 0, vilket i vårt exempel innebär att x får varken vara 1 eller -1, för då blir det rationella uttryckets nämnare 0 och därmed dess värde odefinierat.
+
[[Media: Lektion 7 Rationella uttryck Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 7 Rationella uttryck</span></b>]]
  
−
En <span style="color:red">rationell funktion</span> är kvoten mellan två polynomfunktioner, t.ex. <math> y = {6\,x \over x^2 - 1} </math>. Av samma skäl som ovan är denna funktion varken definierad för x = 1 eller x = -1.
+
[[Media: Lektion 8 Rationella uttryck Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 8 Rationella uttryck: Fördjupning</span></b>]]
 +
-->
 +
= <b><span style="color:#931136">Exempel på rationella uttryck</span></b> =
  
−
Precis som man utvidgar talbegreppet från heltal till bråktal för att kunna ange en lösning t.ex. till ekvationen <math> 4 x = 3 </math>, utvidgar man funktionsbegreppet från polynomfunktioner till rationella funktioner för att kunna hantera uttryck där polynom divideras. Det är ju just det vi inte kan göra med polynom. Till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom i regel inte ett polynom, utan ett rationellt uttryck.
+
<div class="border-divblue">
 +
::<math> \frac{1}{x} \qquad\qquad {5 \over 2\,x} \qquad\qquad {7\,x \over x+2} \qquad\quad {6\,x \over x^2 - 1} \qquad\quad {x^3 \, + \, 3\,x^2 \, - \, 8\,x - \, 1 \over 4\,x^2 \, - \, 5\,x \, + \, 1} \quad  </math>
 +
</div>
  
−
== Ett enkelt exempel ==
+
<big>
 +
Ett <b><span style="color:red">rationellt uttryck</span></b> är kvoten (resultatet av division) mellan två [[1.1 Polynom|<b><span style="color:blue">polynom</span></b>]].
  
−
Det enklaste exemplet för ett rationellt uttryck är:
+
I rationella uttryck får nämnaren inte bli <math> \, 0\, </math>, t.ex. får i<span style="color:black">:</span>
  
−
::::::::::::::::<math> 1 \over x </math>
+
:::::::<math> 6\,x \over x^2 - 1 </math>
  
−
Övergången från polynom till rationella uttryck är jämförbar med övergången från heltal till rationella tal (bråk) där man genom division av två heltal inte heller alltid får ett heltal utan ett rationellt tal eller ett bråk som t.ex.:
+
nämnaren <math> x^2 - 1\, </math> inte bli <math> \, 0 </math>, för division med <math> \, 0 </math> är inte definierad. Läs: [[1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck#Varf.C3.B6r_.C3.A4r_division_med_0_inte_definierad.3F|<b><span style="color:blue">Varför är division med 0 inte definierad?</span></b>]]
  
−
::::::::::::::::<math> 1 \over 3 </math>
+
Detta innebär att <math> \, x\, </math> varken får vara <math> \, 1\, </math> eller <math> \, -1\, </math>, för då blir polynomet <math> \, x^2 - 1\, </math>:s värde <math> \, 0 </math>. Och eftersom <math> \, x^2 - 1\, </math> står i nämnaren, blir hela uttryckets värde för <math> \, x = 1 \, </math> och <math> \, x = -1 \, </math> inte definierat. Man säger:
 +
</big>
  
−
Analogin mellan heltal och rationella tal å ena sidan och polynom och rationella uttryck å andra sidan är inte begränsad till detta exempel utan går mycket längre och är ett av matematikens vackraste fenomen.
+
<div class="ovnE">
 +
Det&nbsp;rationella&nbsp;uttrycket&nbsp;<math> \, \displaystyle \frac{6\,x}{x^2 - 1} \, </math>&nbsp;är&nbsp;definierat&nbsp;för&nbsp;alla&nbsp;<math> x\, </math>&nbsp;utom&nbsp;för&nbsp;<math> \, x = 1 \, </math>&nbsp;och&nbsp;<math> \, x = -1 </math>.
  
−
Intressant är också att funktionen <math> y = {1 \over x} </math> som också kallas för en <span style="color:red">rationell funktion</span>, har en graf vars förlopp markant skiljer sig från polynomfunktioners utseende:
+
Uttryckets <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är<span style="color:black">:</span> <math> \qquad {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 1 \quad {\rm och} \quad x \neq -1 </math>
 +
</div>
  
−
[[Image: y=1_div_x_70.jpg]]
+
<big>
 +
Ett uttrycks definitionsmängd är mängden av alla <math> \, x \, </math> för vilka uttrycket är definierat, jfr. med en funktions definitionsmängd.
 +
</big>
  
−
Den väsentliga skillnaden mellan denna graf och polynomfunktioners graf är att den här har två skilda grenar, medan en polynomfunktions graf har ett sammanhängande förlopp. Man kan också säga att ett polynoms graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet (skärmen), medan i grafen ovan måste pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra. Dvs den rationella funktionens graf är till skillnad från polynomfunktioner inte sammanhängande. Man säger att den är <span style="color:red">icke-kontinuerlig</span>. Närmare bestämt är den icke-kontinuerlig vid x = 0. Det är just där man måste lyfta pennan för att gå över till den andra grenen. Den matematiska anledningen till denna diskontionuitet är att funktionen <math> y = {1 \over x} </math> inte är definierad för x = 0. Division med 0 ger inget tal och är därför odefinierad. Därför har funktionen inget värde för x = 0. När x närmar sig 0 går y mot oändligheten. Diskontionuiteten för vissa x-värden är något typiskt för rationella funktioner och det är den som skiljer dem från polynomfunktioner.
+
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Analogi mellan heltal och polynom samt mellan bråk och rationella uttryck</span></b> ==
 +
 
 +
<big>
 +
Repetera [http://34.248.89.132:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal<b><span style="color:blue">Olika typer av tal</span></b>] från Matte 1.
 +
 
 +
Ett <b><span style="color:red">rationellt tal</span></b> är ett tal i bråkform, dvs kvoten (resultatet av division) mellan två heltal med undantaget <math> 0\, </math> i nämnaren, t.ex. <math> \; \displaystyle \frac{3}{4} \; </math>.
 +
 
 +
Noll får inte förekomma i nämnaren, för division med <math> \, 0\, </math>, t.ex. <math> \, \displaystyle \frac{3}{0} \, </math> är inte definierad.
 +
 
 +
Följande analogi (motsvarighet) råder mellan heltal och polynom å ena och bråk och rationellt uttryck å andra sidan:
 +
 
 +
Heltal motsvarar polynom och rationella tal motsvarar rationella uttryck. De senaste två är kvoter av de första två. I de senaste två får nämnaren inte bli <math> \, 0 </math>.
 +
 
 +
De senaste två är utvidgningar av de första två som har kommit till genom division. Inte nog med det:
 +
 
 +
När vi börjar <b><span style="color:red">räkna</span></b> visar det sig att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning på de regler som gäller för bråktal, fast på ett högre plan. Detta gäller inte bara <b><span style="color:red">de fyra räknesätten</span></b> utan även <b><span style="color:red">förkortning</span></b> och <b><span style="color:red">förlängning</span></b>.
 +
 
 +
I själva verket är räknereglerna för rationella uttryck generaliseringar av bråkräkningens regler. Samma principer som gäller för bråkräkning, kan användas för räkning med rationella uttryck. Därför: &nbsp;&nbsp;&nbsp;<b>Repetera [[1.3 Repetition: Tal i bråkform|<span style="color:blue">bråkräkning</span>]] från Matte 1&nbsp;&nbsp;&nbsp;.</b>
 +
</big>
 +
 
 +
 
 +
= <b><span style="color:#931136">Addition och subtraktion av rationella uttryck</span></b> =
 +
 
 +
<div class="ovnE">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 1</span> ===
 +
<big>
 +
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{5}{2\,x} \, - \, \frac{4}{3\,x} \; </math> så långt som möjligt.
 +
 
 +
::::::<math> \;\, {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} {3}} \over 2\,x \cdot {\color{Red} {3}}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} {2}} \over 3\,x \cdot {\color{Red} {2}}} \; = \; {\;15 \over 6\,x} \, - \, {\;8 \over 6\,x} \; = \; {\;15 - 8 \over 6\,x} \; = \; {7 \over 6\,x} </math>
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovnC">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 2</span> ===
 +
<big>
 +
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{7}{12\,x} \, - \, \frac{3}{8\,x^2} \, + \, \frac{7}{24\,x^3} \; </math> så långt som möjligt.
 +
 
 +
::::::<math> \;\, {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {\;\;7 \;\;\,\cdot {\color{Red} {2\,x^2}} \over 12\,x \cdot {\color{Red} {2\,x^2}}} \, - \, {\;\,3 \;\;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 8\,x^2 \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \;  </math>
 +
 
 +
::::::<math> \;\, = \; {14\,x^2 \over 24\,x^3} \, - \, {9\,x \over 24\,x^3} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 - 9\,x + 7 \over 24\,x^3} </math>
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
<big>
 +
<b>Hjälpsats:</b> <math> \qquad\quad \boxed{a\,-\,b \; = \; -\,(b\,-\,a)} </math>
 +
 
 +
<b>Bevis:</b> <math> \qquad\qquad\;\;\, a\,-\,b \; = \; a\,+\,(-\,b) \; = \; (-\,b)\,+\,a \; = \; -\,b\,+\,a \; = \; -\,(b\,-\,a) </math>
 +
 
 +
Dvs: Kastar man om ordningen i en subtraktion, måste minus sättas framför det hela.
 +
</big>
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovnA">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 3</span> ===
 +
<big>
 +
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{2}{a-b} \, - \, \frac{1}{b-a} \; </math> så långt som möjligt.
 +
 
 +
::::::<math> \;\, {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \; = \; {2 \over a-b} \, - \, {1 \over - \, (a-b)} \; = \; {2 \over a-b} \, + \, {1 \over a-b} \; = \; {2 \, + \, 1 \over a-b} \; = \; {3 \over a-b} </math>
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
== <span style="color:#931136">Repetition: Kvadreringsreglerna och konjugatregeln</span> ==
 +
<div class="border-divblue">
 +
<math>\begin{align} {\rm 1:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad          (a+b)^2 & = a^2 + 2\,a\,b + b^2  \;\; \\
 +
                      {\rm 2:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad          (a-b)^2 & = a^2 - 2\,a\,b + b^2      \\
 +
                      {\rm \,Konjugatregeln}          \qquad (a+b) \cdot (a-b) & = a^2 - b^2
 +
  \end{align}</math>
 +
</div>
 +
<big>
 +
<b><span style="color:red">OBS!</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;Användningen av reglerna ovan <b><span style="color:red">baklänges</span></b> innebär <b><span style="color:red">faktorisering</span></b>.
 +
</big>
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovnE">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 4</span> ===
 +
<big>
 +
Förenkla uttrycket <big><big><math> \; {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; </math></big></big> så långt som möjligt.
 +
 
 +
Redan i första steget används konjugatregeln baklänges för att faktorisera den första termens nämnare:
 +
 
 +
:<math> {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; </math>
 +
 
 +
:<math> = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, - \, {1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; - \; {{\color{Red} {(x+2)}}\quad\cdot \quad\, 1 \quad\;\;\, \over {\color{Red} {(x+2)}}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; </math>
 +
 
 +
:<math> = \; {2\,x \; - \; (x+2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} </math>
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
= <b><span style="color:#931136">Multiplikation och division av rationella uttryck</span></b> =
 +
 
 +
<big>
 +
Även här ska vi använda bråkräkningens regler för att multiplicera och dividera rationella uttryck:
 +
</big>
 +
 
 +
<div class="ovnC">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 1</span> ===
 +
 
 +
<big>
 +
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{15}{x^2} \cdot \frac{x}{3} </math>
 +
 
 +
::::::<math> \;\, {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} \; = \; {15 \cdot x \over x^2 \cdot 3} \; =\; {{\color{Red} 3} \cdot 5 \cdot {\color{Blue} x} \over {\color{Blue} x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3}} \; = \; {5 \over x} </math>
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovnA">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 2</span> ===
 +
 
 +
<big>
 +
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{5\,x^2}{12} \cdot \frac{3}{20\,x} </math>
 +
 
 +
::::::<math> \;\, {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} \; = \; {5\,x^2 \cdot 3 \over 12 \cdot 20\,x} \; =\; {{\color{Blue} 5 \cdot x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3} \over {\color{Red} 3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot {\color{Blue} 5 \cdot x}} \; = \; {x \over 16} </math>
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovnE">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 3</span> ===
 +
 
 +
<big>
 +
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{x}{x+3} \cdot \frac{6\,x+18}{6\,x} \; </math> så långt som möjligt.
 +
 
 +
<b><span style="color:red">OBS! Vanligt fel:</span></b> <math> \; \displaystyle{{x \over x+3} \cdot {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \; = \; {x \over x+3} \cdot 18 \; = \; {x \cdot 18 \over x+3} \; =\; {18\,x \over x+3}} </math>
 +
 
 +
 
 +
<b><span style="color:red">Korrekt lösning:</span></b> <math> \;\, \displaystyle{{x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} \; = \;{x \over x+3} \cdot {\color{Red} 6 \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; = \; {x \cdot (x+3) \over (x+3) \cdot x} \; = \; 1} </math>
 +
 
 +
<b><span style="color:red">Felets förklaring</span></b>:
 +
 
 +
Låt oss i uttrycket <math> \, \displaystyle{{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, </math> anta <math> \, x = 1\, </math>.
 +
 
 +
Felaktig "förkortning" ger <math> \, \displaystyle{{\color{Red} 6}+18 \over {\color{Red} 6}} </math> <math> = 18 \, </math>.
 +
 
 +
Rätt svar är <math> \, \displaystyle{{6+18 \over 6} = {24 \over 6}} = 4 \, </math>.
 +
 
 +
Slutsats:
 +
 
 +
Det är fel att "förkorta" uttrycket <math> \; \displaystyle{{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, \; </math> med <math> \; {\color{Red} {6\,x}} \; </math> därför att <math> \; {\color{Red} {6\,x}}+18 \; </math> är en summa.
 +
 
 +
Endast om täljaren och nämnaren är produkter kan gemensamma <b><span style="color:red">faktorer</span></b> förkortas.
 +
 
 +
Korrekt är att <b><span style="color:red">faktorisera</span></b> <math> \, 6\,x+18 \, </math> innan vi kan förkorta<span style="color:black"></span>. Det gör vi genom att bryta ut <math> {\color{Red} 6} \, </math> i täljaren:
 +
 
 +
::::::<math> {6\,x+18 \over 6\,x} \; =\; {{\color{Red} 6} \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; =\; {x+3 \over x} </math>
 +
 
 +
Nu får vi också rätt svar om vi i uttrycket ovan sätter in <math> \, x = 1 </math><span style="color:black">:</span> <math> \quad \displaystyle{{1+3 \over 1} \, = \, 4} \quad </math>.
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovnC">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 4</span> ===
 +
 
 +
<big>
 +
[[Image: Ex Rationell uttryck Div.jpg]]
 +
 
 +
I första steget har den [[1.3_Rationella_uttryck#Repetition:_Kvadreringsreglerna_och_konjugatregeln|<b><span style="color:blue">2:a kvadreringsregeln</span></b>]] använts  baklänges för att faktorisera 2:a gradspolynomet<span style="color:black">:</span> <math> \; x^2 - 2\,x + 1 = (x-1)^2 \, </math> för att sedan kunna förkorta med <math> (x-1)\, </math>.
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovnA">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 5</span> ===
 +
 
 +
<big>
 +
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \left(\frac{x^2 - 8\,x + 16}{y^3}\right)\, \Big / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \,\, \; </math> så långt som möjligt.
 +
 
 +
:<math> \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Bigg / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \, = \, \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \cdot  \,\left({y^2 \over x - 4}\right) \, = \, </math>
 +
 
 +
:<math> \, = \, {(x^2 - 8\,x + 16) \cdot y^2 \over  y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, \left\{ {\rm 2\!:\!a\;kvadreringsregeln\;baklänges\!:} \;\, x^2 - 8\,x + 16 = (x-4)^2 \right\} \, = \, </math>
 +
 
 +
:<math> \, = \, {(x-4)^2 \cdot y^2 \over  y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, {(x-4) \cdot {\color{Red} {(x-4)}} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \over y \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} {(x - 4)}}} \, = {x-4 \over y} </math>
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
== Internetlänkar ==
 +
 
 +
http://www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/pass6.html
 +
 
 +
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/RationalExpressions.aspx
 +
 
 +
http://www.youtube.com/watch?v=FZdt73khrxA&feature=channel
 +
 
 +
http://www.youtube.com/watch?v=hVIol-6vocY&feature=related
 +
</big>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 10 december 2024 kl. 14.01

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt  >>      

     <<  Repetition: Tal i bråkform

Exempel på rationella uttryck

\[ \frac{1}{x} \qquad\qquad {5 \over 2\,x} \qquad\qquad {7\,x \over x+2} \qquad\quad {6\,x \over x^2 - 1} \qquad\quad {x^3 \, + \, 3\,x^2 \, - \, 8\,x - \, 1 \over 4\,x^2 \, - \, 5\,x \, + \, 1} \quad \]

Ett rationellt uttryck är kvoten (resultatet av division) mellan två polynom.

I rationella uttryck får nämnaren inte bli \( \, 0\, \), t.ex. får i:

\[ 6\,x \over x^2 - 1 \]

nämnaren \( x^2 - 1\, \) inte bli \( \, 0 \), för division med \( \, 0 \) är inte definierad. Läs: Varför är division med 0 inte definierad?

Detta innebär att \( \, x\, \) varken får vara \( \, 1\, \) eller \( \, -1\, \), för då blir polynomet \( \, x^2 - 1\, \):s värde \( \, 0 \). Och eftersom \( \, x^2 - 1\, \) står i nämnaren, blir hela uttryckets värde för \( \, x = 1 \, \) och \( \, x = -1 \, \) inte definierat. Man säger:

Det rationella uttrycket \( \, \displaystyle \frac{6\,x}{x^2 - 1} \, \) är definierat för alla \( x\, \) utom för \( \, x = 1 \, \) och \( \, x = -1 \).

Uttryckets definitionsmängd är: \( \qquad {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 1 \quad {\rm och} \quad x \neq -1 \)

Ett uttrycks definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka uttrycket är definierat, jfr. med en funktions definitionsmängd.


Analogi mellan heltal och polynom samt mellan bråk och rationella uttryck

Repetera Olika typer av tal från Matte 1.

Ett rationellt tal är ett tal i bråkform, dvs kvoten (resultatet av division) mellan två heltal med undantaget \( 0\, \) i nämnaren, t.ex. \( \; \displaystyle \frac{3}{4} \; \).

Noll får inte förekomma i nämnaren, för division med \( \, 0\, \), t.ex. \( \, \displaystyle \frac{3}{0} \, \) är inte definierad.

Följande analogi (motsvarighet) råder mellan heltal och polynom å ena och bråk och rationellt uttryck å andra sidan:

Heltal motsvarar polynom och rationella tal motsvarar rationella uttryck. De senaste två är kvoter av de första två. I de senaste två får nämnaren inte bli \( \, 0 \).

De senaste två är utvidgningar av de första två som har kommit till genom division. Inte nog med det:

När vi börjar räkna visar det sig att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning på de regler som gäller för bråktal, fast på ett högre plan. Detta gäller inte bara de fyra räknesätten utan även förkortning och förlängning.

I själva verket är räknereglerna för rationella uttryck generaliseringar av bråkräkningens regler. Samma principer som gäller för bråkräkning, kan användas för räkning med rationella uttryck. Därför:    Repetera bråkräkning från Matte 1   .


Addition och subtraktion av rationella uttryck

Exempel 1

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{5}{2\,x} \, - \, \frac{4}{3\,x} \; \) så långt som möjligt.

\[ \;\, {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} {3}} \over 2\,x \cdot {\color{Red} {3}}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} {2}} \over 3\,x \cdot {\color{Red} {2}}} \; = \; {\;15 \over 6\,x} \, - \, {\;8 \over 6\,x} \; = \; {\;15 - 8 \over 6\,x} \; = \; {7 \over 6\,x} \]


Exempel 2

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{7}{12\,x} \, - \, \frac{3}{8\,x^2} \, + \, \frac{7}{24\,x^3} \; \) så långt som möjligt.

\[ \;\, {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {\;\;7 \;\;\,\cdot {\color{Red} {2\,x^2}} \over 12\,x \cdot {\color{Red} {2\,x^2}}} \, - \, {\;\,3 \;\;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 8\,x^2 \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; \]
\[ \;\, = \; {14\,x^2 \over 24\,x^3} \, - \, {9\,x \over 24\,x^3} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 - 9\,x + 7 \over 24\,x^3} \]


Hjälpsats: \( \qquad\quad \boxed{a\,-\,b \; = \; -\,(b\,-\,a)} \)

Bevis: \( \qquad\qquad\;\;\, a\,-\,b \; = \; a\,+\,(-\,b) \; = \; (-\,b)\,+\,a \; = \; -\,b\,+\,a \; = \; -\,(b\,-\,a) \)

Dvs: Kastar man om ordningen i en subtraktion, måste minus sättas framför det hela.


Exempel 3

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{2}{a-b} \, - \, \frac{1}{b-a} \; \) så långt som möjligt.

\[ \;\, {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \; = \; {2 \over a-b} \, - \, {1 \over - \, (a-b)} \; = \; {2 \over a-b} \, + \, {1 \over a-b} \; = \; {2 \, + \, 1 \over a-b} \; = \; {3 \over a-b} \]


Repetition: Kvadreringsreglerna och konjugatregeln

\(\begin{align} {\rm 1:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a+b)^2 & = a^2 + 2\,a\,b + b^2 \;\; \\ {\rm 2:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a-b)^2 & = a^2 - 2\,a\,b + b^2 \\ {\rm \,Konjugatregeln} \qquad (a+b) \cdot (a-b) & = a^2 - b^2 \end{align}\)

OBS!   Användningen av reglerna ovan baklänges innebär faktorisering.


Exempel 4

Förenkla uttrycket \( \; {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; \) så långt som möjligt.

Redan i första steget används konjugatregeln baklänges för att faktorisera den första termens nämnare:

\[ {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; \]

\[ = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, - \, {1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; - \; {{\color{Red} {(x+2)}}\quad\cdot \quad\, 1 \quad\;\;\, \over {\color{Red} {(x+2)}}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; \]

\[ = \; {2\,x \; - \; (x+2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} \]


Multiplikation och division av rationella uttryck

Även här ska vi använda bråkräkningens regler för att multiplicera och dividera rationella uttryck:

Exempel 1

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{15}{x^2} \cdot \frac{x}{3} \)

\[ \;\, {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} \; = \; {15 \cdot x \over x^2 \cdot 3} \; =\; {{\color{Red} 3} \cdot 5 \cdot {\color{Blue} x} \over {\color{Blue} x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3}} \; = \; {5 \over x} \]


Exempel 2

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{5\,x^2}{12} \cdot \frac{3}{20\,x} \)

\[ \;\, {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} \; = \; {5\,x^2 \cdot 3 \over 12 \cdot 20\,x} \; =\; {{\color{Blue} 5 \cdot x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3} \over {\color{Red} 3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot {\color{Blue} 5 \cdot x}} \; = \; {x \over 16} \]


Exempel 3

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{x}{x+3} \cdot \frac{6\,x+18}{6\,x} \; \) så långt som möjligt.

OBS! Vanligt fel: \( \; \displaystyle{{x \over x+3} \cdot {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \; = \; {x \over x+3} \cdot 18 \; = \; {x \cdot 18 \over x+3} \; =\; {18\,x \over x+3}} \)


Korrekt lösning: \( \;\, \displaystyle{{x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} \; = \;{x \over x+3} \cdot {\color{Red} 6 \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; = \; {x \cdot (x+3) \over (x+3) \cdot x} \; = \; 1} \)

Felets förklaring:

Låt oss i uttrycket \( \, \displaystyle{{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, \) anta \( \, x = 1\, \).

Felaktig "förkortning" ger \( \, \displaystyle{{\color{Red} 6}+18 \over {\color{Red} 6}} \) \( = 18 \, \).

Rätt svar är \( \, \displaystyle{{6+18 \over 6} = {24 \over 6}} = 4 \, \).

Slutsats:

Det är fel att "förkorta" uttrycket \( \; \displaystyle{{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, \; \) med \( \; {\color{Red} {6\,x}} \; \) därför att \( \; {\color{Red} {6\,x}}+18 \; \) är en summa.

Endast om täljaren och nämnaren är produkter kan gemensamma faktorer förkortas.

Korrekt är att faktorisera \( \, 6\,x+18 \, \) innan vi kan förkorta. Det gör vi genom att bryta ut \( {\color{Red} 6} \, \) i täljaren:

\[ {6\,x+18 \over 6\,x} \; =\; {{\color{Red} 6} \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; =\; {x+3 \over x} \]

Nu får vi också rätt svar om vi i uttrycket ovan sätter in \( \, x = 1 \): \( \quad \displaystyle{{1+3 \over 1} \, = \, 4} \quad \).


Exempel 4

Ex Rationell uttryck Div.jpg

I första steget har den 2:a kvadreringsregeln använts baklänges för att faktorisera 2:a gradspolynomet: \( \; x^2 - 2\,x + 1 = (x-1)^2 \, \) för att sedan kunna förkorta med \( (x-1)\, \).


Exempel 5

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \left(\frac{x^2 - 8\,x + 16}{y^3}\right)\, \Big / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \,\, \; \) så långt som möjligt.

\[ \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Bigg / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \, = \, \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \cdot \,\left({y^2 \over x - 4}\right) \, = \, \]

\[ \, = \, {(x^2 - 8\,x + 16) \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, \left\{ {\rm 2\!:\!a\;kvadreringsregeln\;baklänges\!:} \;\, x^2 - 8\,x + 16 = (x-4)^2 \right\} \, = \, \]

\[ \, = \, {(x-4)^2 \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, {(x-4) \cdot {\color{Red} {(x-4)}} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \over y \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} {(x - 4)}}} \, = {x-4 \over y} \]


Internetlänkar

http://www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/pass6.html

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/RationalExpressions.aspx

http://www.youtube.com/watch?v=FZdt73khrxA&feature=channel

http://www.youtube.com/watch?v=hVIol-6vocY&feature=related </big>




Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=1.3_Rationella_uttryck&oldid=36878"