Skillnad mellan versioner av "1.3 Rationella uttryck"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(190 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.3 Repetition Bråkräkning från Matte 1|Repetition: Bråkräkning]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.2 Faktorisering av polynom| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 
{{Selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.3 Fördjupning till Rationella uttryck|Fördjupning]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.3 Fördjupning till Rationella uttryck|Fördjupning]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Nästa avsnitt <math> \pmb{\to} </math>]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
−
[[1.2 Faktorisering av polynom|<span style="color:blue"> <math> \pmb{\gets} </math> Förra avsnitt</span>]]
+
[[1.3 Repetition: Tal i bråkform|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <<&nbsp;&nbsp;Repetition: Tal i bråkform]]
  
−
[[Media: Lektion 6 Rationella uttryck Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 6 Rationella uttryck</span></strong>]]
+
<!-- [[Media: Lektion 6 Rationella uttryck Rutab.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 6 Rationella uttryck</span></b>]]
  
−
[[Media: Lektion 7 Rationella uttryckFb Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 7 Rationella uttryck: Fördjupning</span></strong>]]
+
[[Media: Lektion 7 Rationella uttryck Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 7 Rationella uttryck</span></b>]]
−
__NOTOC__
+
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel på rationella uttryck</span></b> ==
+
−
 
+
−
<div class="border-divblue">
+
−
::<math> 1 \over x </math>
+
  
−
::<math> {5 \over 2\,x} </math>
+
[[Media: Lektion 8 Rationella uttryck Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 8 Rationella uttryck: Fördjupning</span></b>]]
 +
-->
 +
= <b><span style="color:#931136">Exempel på rationella uttryck</span></b> =
  
−
::<math> {7\,x \over x+2} </math>
+
<div class="border-divblue">
−
 
+
::<math> \frac{1}{x} \qquad\qquad {5 \over 2\,x} \qquad\qquad {7\,x \over x+2} \qquad\quad {6\,x \over x^2 - 1} \qquad\quad {x^3 \, + \, 3\,x^2 \, - \, 8\,x - \, 1 \over 4\,x^2 \, - \, 5\,x \, + \, 1} \quad </math>
−
::<math> 6\,x \over x^2 - 1\quad</math>  
+
 
</div>
 
</div>
  
 
<big>
 
<big>
−
Uttrycken ovan kallas för <strong><span style="color:red">polynom</span></strong>, eftersom de består av många (<strong><span style="color:red">poly</span></strong> på latin) termer (<b><span style="color:red">nom</span></b> på latin). Varje polynom är en summa av ett antal termer.
+
Ett <b><span style="color:red">rationellt uttryck</span></b> är kvoten (resultatet av division) mellan två [[1.1 Polynom|<b><span style="color:blue">polynom</span></b>]].  
  
−
En term består av ett tal gånger en <math> \, x</math>-potens, t.ex. <math> 3\,x^4 </math>.
+
I rationella uttryck får nämnaren inte bli <math> \, 0\, </math>, t.ex. får i<span style="color:black">:</span>
  
−
Man brukar inleda polynom med den term som har den högsta <math> \,x</math>-potensen. Sedan fortsätter man med termer i avtagande ordning på <math> x</math>-potenserna.
+
:::::::<math> 6\,x \over x^2 - 1 </math>
−
</big>
+
  
−
== <b><span style="color:#931136">Vad är ett rationellt uttryck?</span></b> ==
+
nämnaren <math> x^2 - 1\, </math> inte bli <math> \, 0 </math>, för division med <math> \, 0 </math> är inte definierad. Läs: [[1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck#Varf.C3.B6r_.C3.A4r_division_med_0_inte_definierad.3F|<b><span style="color:blue">Varför är division med 0 inte definierad?</span></b>]]
  
−
<big>
+
Detta innebär att <math> \, x\, </math> varken får vara <math> \, 1\, </math> eller <math> \, -1\, </math>, för då blir polynomet <math> \, x^2 - 1\, </math>:s värde <math> \, 0 </math>. Och eftersom <math> \, x^2 - 1\, </math> står i nämnaren, blir hela uttryckets värde för <math> \, x = 1 \, </math> och <math> \, x = -1 \, </math> inte definierat. Man säger:
−
Ett <strong><span style="color:red">heltal</span></strong> är ett tal ur mängden <math> \left\{ \dots, -3, -2, -1, \,0,\, 1,\, 2,\, 3, \dots \right\} </math> dvs alla negativa heltal, noll och alla positiva heltal.
+
</big>
−
 
+
−
Ett <strong><span style="color:red">rationellt tal</span></strong> är ett [[Repetition_Bråkräkning_från_Matte_1|<strong><span style="color:blue">tal i bråkform</span></strong>]], dvs kvoten (resultatet av division) mellan två heltal med undantaget <math> 0\, </math> i nämnaren, t.ex.:
+
−
 
+
−
:::::::::<math> 3 \over 4 </math>
+
  
−
Noll får inte förekomma i nämnaren, för division med <math> 0\, </math>, t.ex. <big><big><math> 3 \over 0 </math></big></big> är inte definierad, se [[1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck#Varf.C3.B6r_.C3.A4r_division_med_0_inte_definierad.3F|<strong><span style="color:blue">Varför är division med 0 inte definierad?</span></strong>]]
+
<div class="ovnE">
 +
Det&nbsp;rationella&nbsp;uttrycket&nbsp;<math> \, \displaystyle \frac{6\,x}{x^2 - 1} \, </math>&nbsp;är&nbsp;definierat&nbsp;för&nbsp;alla&nbsp;<math> x\, </math>&nbsp;utom&nbsp;för&nbsp;<math> \, x = 1 \, </math>&nbsp;och&nbsp;<math> \, x = -1 </math>.
  
−
Ett <strong><span style="color:red">rationellt uttryck</span></strong> är kvoten mellan två [[1.2 Polynom|<strong><span style="color:blue">polynom</span></strong>]], t.ex.:
+
Uttryckets <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är<span style="color:black">:</span> <math> \qquad {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 1 \quad {\rm och} \quad x \neq -1 </math>
−
 
+
−
::::::::<math> 6\,x \over x^2 - 1 </math>
+
−
 
+
−
Nämnaren <math> x^2 - 1\, </math> får inte vara <math> 0\, </math>. Detta innebär att <math> x\, </math> varken får vara <math> 1\, </math> eller <math> -1\, </math>, för då blir polynomet <math> x^2 - 1\, </math>:s värde <math> 0\, </math> och därmed inte definierat. Följaktligen blir även hela uttryckets värde inte definierat för <math> \, x = 1 \, </math> och inte heller för <math> \, x = -1 \, </math>.
+
−
 
+
−
Man säger, det rationella uttrycket ovan är definierat för alla <math> x\, </math> utom för <math> \, x = 1 \, </math> och <math> \, x = -1 \, </math>. Eller:
+
−
 
+
−
Uttryckets <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b>, är<span style="color:black">:</span> <math> \quad {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 1 \quad {\rm och} \quad x \neq -1 </math>
+
−
 
+
−
<div class="border-divblue">
+
−
<b><span style="color:#931136">Definition:</span></b>
+
−
 
+
−
Ett uttrycks <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är mängden av alla <math> \, x \, </math> för vilka uttrycket är definierat.
+
 
</div>
 
</div>
  
−
Detta påminner mycket om en funktions definitionsmängd.  
+
<big>
 +
Ett uttrycks definitionsmängd är mängden av alla <math> \, x \, </math> för vilka uttrycket är definierat, jfr. med en funktions definitionsmängd.  
 +
</big>
  
  
−
Analogin (motsvarigheten) mellan heltal och polynom å ena och rationellt tal och rationellt uttryck å andra sidan kommer att gå som en röd tråd genom hela detta avsnitt, speciellt när vi börjar räkna med rationella uttryck:
+
== <b><span style="color:#931136">Analogi mellan heltal och polynom samt mellan bråk och rationella uttryck</span></b> ==
  
 +
<big>
 +
Repetera [http://34.248.89.132:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal<b><span style="color:blue">Olika typer av tal</span></b>] från Matte 1.
  
−
== Addition & subtraktion av rationella uttryck ==
+
Ett <b><span style="color:red">rationellt tal</span></b> är ett tal i bråkform, dvs kvoten (resultatet av division) mellan två heltal med undantaget <math> 0\, </math> i nämnaren, t.ex. <math> \; \displaystyle \frac{3}{4} \; </math>.
  
−
Analogin som nämndes ovan innebär bl.a. att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning av de regler som gäller för räkning med bråktal, fast på ett högre plan.  
+
Noll får inte förekomma i nämnaren, för division med <math> \, 0\, </math>, t.ex. <math> \, \displaystyle \frac{3}{0} \, </math> är inte definierad.  
  
−
Man kan säga att räknereglerna för rationella uttryck är generaliseringar av bråkräkningens regler. Därför kan samma principer som gäller för bråkräkning, användas för räkning med rationella uttryck. Därför:
+
Följande analogi (motsvarighet) råder mellan heltal och polynom å ena och bråk och rationellt uttryck å andra sidan:  
  
−
::::::<Big><strong>Repetera [[Repetition_Bråkräkning_från_Matte_1|<span style="color:blue">bråkräkning</span>]] från Matte 1.</strong></Big>
+
Heltal motsvarar polynom och rationella tal motsvarar rationella uttryck. De senaste två är kvoter av de första två. I de senaste två får nämnaren inte bli <math> \, 0 </math>.
  
 +
De senaste två är utvidgningar av de första två som har kommit till genom division. Inte nog med det:
  
−
Vi ska nu använda bråkräkningens regler för att addera och subtrahera rationella uttryck:
+
När vi börjar <b><span style="color:red">räkna</span></b> visar det sig att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning på de regler som gäller för bråktal, fast på ett högre plan. Detta gäller inte bara <b><span style="color:red">de fyra räknesätten</span></b> utan även <b><span style="color:red">förkortning</span></b> och <b><span style="color:red">förlängning</span></b>.
  
 +
I själva verket är räknereglerna för rationella uttryck generaliseringar av bråkräkningens regler. Samma principer som gäller för bråkräkning, kan användas för räkning med rationella uttryck. Därför: &nbsp;&nbsp;&nbsp;<b>Repetera [[1.3 Repetition: Tal i bråkform|<span style="color:blue">bråkräkning</span>]] från Matte 1&nbsp;&nbsp;&nbsp;.</b>
 +
</big>
  
−
=== Exempel 1 ===
 
  
−
Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt.
+
= <b><span style="color:#931136">Addition och subtraktion av rationella uttryck</span></b> =
  
−
:::::::<math> {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 2\,x \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} {2\,x}} \over 3\,x \cdot {\color{Red} {2\,x}}} \; = \; {\;15\,x \over 6\,x^2} \, - \, {\;8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {\;15\,x - 8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7 \over 6\,x} </math>
+
<div class="ovnE">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 1</span> ===
 +
<big>
 +
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{5}{2\,x} \, - \, \frac{4}{3\,x} \; </math> så långt som möjligt.
  
 +
::::::<math> \;\, {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} {3}} \over 2\,x \cdot {\color{Red} {3}}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} {2}} \over 3\,x \cdot {\color{Red} {2}}} \; = \; {\;15 \over 6\,x} \, - \, {\;8 \over 6\,x} \; = \; {\;15 - 8 \over 6\,x} \; = \; {7 \over 6\,x} </math>
 +
</big></div>
  
−
=== Exempel 2 ===
 
  
−
Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt.
+
<div class="ovnC">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 2</span> ===
 +
<big>
 +
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{7}{12\,x} \, - \, \frac{3}{8\,x^2} \, + \, \frac{7}{24\,x^3} \; </math> så långt som möjligt.
  
−
:::::::<math> {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {\;\;7 \;\;\,\cdot {\color{Red} {2\,x^2}} \over 12\,x \cdot {\color{Red} {2\,x^2}}} \, - \, {\;\,3 \;\;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 8\,x^2 \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 \over 24\,x^3} \, - \, {9\,x \over 24\,x^3} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 - 9\,x + 7 \over 24\,x^3} </math>
+
::::::<math> \;\, {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {\;\;7 \;\;\,\cdot {\color{Red} {2\,x^2}} \over 12\,x \cdot {\color{Red} {2\,x^2}}} \, - \, {\;\,3 \;\;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 8\,x^2 \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; </math>
  
 +
::::::<math> \;\, = \; {14\,x^2 \over 24\,x^3} \, - \, {9\,x \over 24\,x^3} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 - 9\,x + 7 \over 24\,x^3} </math>
 +
</big></div>
  
−
=== Hjälpsats ===
 
  
−
::::::<big><math> a\,-\,b \; = \; -\,(b\,-\,a) </math></big>
+
<big>
 +
<b>Hjälpsats:</b> <math> \qquad\quad \boxed{a\,-\,b \; = \; -\,(b\,-\,a)} </math>
  
−
Bevis: <big><math> {\color{White} x} \qquad\qquad a\,-\,b \; = \; -\,b\,+\,a \; = \; -\,(b\,-\,a) </math></big>
+
<b>Bevis:</b> <math> \qquad\qquad\;\;\, a\,-\,b \; = \; a\,+\,(-\,b) \; = \; (-\,b)\,+\,a \; = \; -\,b\,+\,a \; = \; -\,(b\,-\,a) </math>
  
−
Annan formulering: <big><math> {\color{White} x} \, b\,-\,a \; = \; -\,(a\,-\,b) </math></big>
+
Dvs: Kastar man om ordningen i en subtraktion, måste minus sättas framför det hela.
 +
</big>
  
  
−
=== Exempel 3 ===
+
<div class="ovnA">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 3</span> ===
 +
<big>
 +
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{2}{a-b} \, - \, \frac{1}{b-a} \; </math> så långt som möjligt.
  
−
Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt.
+
::::::<math> \;\, {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \; = \; {2 \over a-b} \, - \, {1 \over - \, (a-b)} \; = \; {2 \over a-b} \, + \, {1 \over a-b} \; = \; {2 \, + \, 1 \over a-b} \; = \; {3 \over a-b} </math>
 +
</big></div>
  
−
:::::::<math> {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \; = \; {2 \over a-b} \, - \, {1 \over - \, (a-b)} \; = \; {2 \over a-b} \, + \, {1 \over a-b} \; = \; {2 \, + \, 1 \over a-b} \; = \; {3 \over a-b} </math>
 
  
−
 
+
== <span style="color:#931136">Repetition: Kvadreringsreglerna och konjugatregeln</span> ==
−
=== <span style="color:blue">Repetition: Kvadreringsreglerna & konjugatregeln</span> ===
+
<div class="border-divblue">
−
----
+
<math>\begin{align} {\rm 1:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad          (a+b)^2 & = a^2 + 2\,a\,b + b^2  \;\; \\
−
+
                       {\rm 2:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad          (a-b)^2 & = a^2 - 2\,a\,b + b^2     \\
−
::<math>\begin{align} {\rm 1:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad          (a+b)^2 & = a^2 + 2\,a\,b + b^2  \\
+
−
                       {\rm 2:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad          (a-b)^2 & = a^2 - 2\,a\,b + b^2 \\
+
 
                       {\rm \,Konjugatregeln}          \qquad (a+b) \cdot (a-b) & = a^2 - b^2  
 
                       {\rm \,Konjugatregeln}          \qquad (a+b) \cdot (a-b) & = a^2 - b^2  
 
   \end{align}</math>
 
   \end{align}</math>
 +
</div>
 +
<big>
 +
<b><span style="color:red">OBS!</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;Användningen av reglerna ovan <b><span style="color:red">baklänges</span></b> innebär <b><span style="color:red">faktorisering</span></b>.
 +
</big>
  
−
----
 
−
I exemplen som följer används dessa regler flitigt.
 
  
 +
<div class="ovnE">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 4</span> ===
 +
<big>
 +
Förenkla uttrycket <big><big><math> \; {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; </math></big></big> så långt som möjligt.
  
−
=== Exempel 4 ===
+
Redan i första steget används konjugatregeln baklänges för att faktorisera den första termens nämnare:
−
 
+
−
Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt.
+
−
 
+
−
Redan i första steget används [[1.3_Rationella_uttryck#Repetition:_Kvadreringsreglerna_.26_konjugatregeln|<strong><span style="color:blue">konjugatregeln (baklänges)</span></strong>]] för att faktorisera den första termens nämnare:
+
  
 
:<math> {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; </math>
 
:<math> {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; </math>
  
−
:<math> = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {-1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; + \; {{\color{Red} {(x+2)}}\cdot \quad\, (-1) \quad\, \over {\color{Red} {(x+2)}}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; </math>
+
:<math> = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, - \, {1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; - \; {{\color{Red} {(x+2)}}\quad\cdot \quad\, 1 \quad\;\;\, \over {\color{Red} {(x+2)}}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; </math>
  
−
:<math> = \; {2\,x \; + \; (x+2) \cdot (-1) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x \; + \; (-x-2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = </math>
+
:<math> = \; {2\,x \; - \; (x+2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} </math>
 +
</big></div>
  
−
:<math> = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} </math>
 
  
 +
= <b><span style="color:#931136">Multiplikation och division av rationella uttryck</span></b> =
  
−
== Multiplikation & division av rationella uttryck ==
+
<big>
 +
Även här ska vi använda bråkräkningens regler för att multiplicera och dividera rationella uttryck:
 +
</big>
  
−
Här ska vi använda bråkräkningens regler för att multiplicera och dividera rationella uttryck:
+
<div class="ovnC">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 1</span> ===
  
 +
<big>
 +
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{15}{x^2} \cdot \frac{x}{3} </math>
  
−
=== Exempel 1 ===
+
::::::<math> \;\, {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} \; = \; {15 \cdot x \over x^2 \cdot 3} \; =\; {{\color{Red} 3} \cdot 5 \cdot {\color{Blue} x} \over {\color{Blue} x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3}} \; = \; {5 \over x} </math>
 +
</big></div>
  
−
Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} </math></big></big>
 
  
−
:::::::<math> {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} \; = \; {15 \cdot x \over x^2 \cdot 3} \; =\; {{\color{Red} 3} \cdot 5 \cdot {\color{Blue} x} \over {\color{Blue} x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3}} \; = \; {5 \over x} </math>
+
<div class="ovnA">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 2</span> ===
  
 +
<big>
 +
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{5\,x^2}{12} \cdot \frac{3}{20\,x} </math>
  
−
=== Exempel 2 ===
+
::::::<math> \;\, {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} \; = \; {5\,x^2 \cdot 3 \over 12 \cdot 20\,x} \; =\; {{\color{Blue} 5 \cdot x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3} \over {\color{Red} 3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot {\color{Blue} 5 \cdot x}} \; = \; {x \over 16} </math>
 +
</big></div>
  
−
Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} </math></big></big>
 
  
−
:::::::<math> {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} \; = \; {5\,x^2 \cdot 3 \over 12 \cdot 20\,x} \; =\; {{\color{Blue} 5 \cdot x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3} \over {\color{Red} 3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot {\color{Blue} 5 \cdot x}} \; = \; {x \over 16} </math>
+
<div class="ovnE">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 3</span> ===
  
 +
<big>
 +
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{x}{x+3} \cdot \frac{6\,x+18}{6\,x} \; </math> så långt som möjligt.
  
−
=== Exempel 3 ===
+
<b><span style="color:red">OBS! Vanligt fel:</span></b> <math> \; \displaystyle{{x \over x+3} \cdot {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \; = \; {x \over x+3} \cdot 18 \; = \; {x \cdot 18 \over x+3} \; =\; {18\,x \over x+3}} </math>
  
−
Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt.
 
  
−
:::::::<math> {x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} \; = \; {x \cdot (6\,x+18) \over (x+3) \cdot 6\,x} \; =\; {x \cdot {\color{Red} 6} \cdot {\color{Blue} (x+3)} \over {\color{Blue} (x+3)} \cdot {\color{Red} 6} \cdot x} \; = \; 1 </math>
+
<b><span style="color:red">Korrekt lösning:</span></b> <math> \;\, \displaystyle{{x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} \; = \;{x \over x+3} \cdot {\color{Red} 6 \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; = \; {x \cdot (x+3) \over (x+3) \cdot x} \; = \; 1} </math>
  
−
:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\;Vanligt\,fel:}}} \quad\; {x \over x+3} \cdot {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \; = \; {x \over x+3} \cdot 18 \; = \; {x \cdot 18 \over x+3} \; =\; {18\,x \over x+3} </math>
+
<b><span style="color:red">Felets förklaring</span></b>:
  
−
Varför är det <strong><span style="color:red">fel</span></strong> att göra så här?
+
Låt oss i uttrycket <math> \, \displaystyle{{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, </math> anta <math> \, x = 1\, </math>.
  
−
Det är fel att förkorta uttrycket <big><math> {\color{White} a} {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, {\color{White} a} </math></big> med <math> {\color{White} a} {\color{Red} {6\,x}} {\color{White} a} </math> därför att <math> {\color{White} a} {\color{Red} {6\,x}}+18 {\color{White} a} </math> är en summa. Endast om täljaren och nämnaren är produkter kan gemensamma faktorer förkortas.
+
Felaktig "förkortning" ger <math> \, \displaystyle{{\color{Red} 6}+18 \over {\color{Red} 6}} </math> <math> = 18 \, </math>.
  
−
<strong><span style="color:red">Förklaring</span></strong>:
+
Rätt svar är <math> \, \displaystyle{{6+18 \over 6} = {24 \over 6}} = 4 \, </math>.
  
−
Låt oss anta <math> x = 1\, </math>. Felaktig förkortning ger <big><big><math> {{\color{Red} 6}+18 \over {\color{Red} 6}} </math></big></big> <math> = 18 </math> medan rätt svar är <big><big><math> {6+18 \over 6} = {24 \over 6} </math></big></big> <math> = 4 \neq 18 </math>.
+
Slutsats:
  
−
Därav följer nödvändigheten att bryta ut <math> {\color{Red} 6} </math> i uttryckets andra faktor, innan man kan förkorta:
+
Det är fel att "förkorta" uttrycket <math> \; \displaystyle{{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, \; </math> med <math> \; {\color{Red} {6\,x}} \; </math> därför att <math> \; {\color{Red} {6\,x}}+18 \; </math> är en summa.
  
−
:::::::<math> {6\,x+18 \over 6\,x} \; =\; {{\color{Red} 6} \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; =\; {x+3 \over x} </math>
+
Endast om täljaren och nämnaren är produkter kan gemensamma <b><span style="color:red">faktorer</span></b> förkortas.
  
−
Dvs täljaren som är en summa måste faktoriseras och omvandlas till en produkt innan vi kan förkorta.
+
Korrekt är att <b><span style="color:red">faktorisera</span></b> <math> \, 6\,x+18 \, </math> innan vi kan förkorta<span style="color:black"></span>. Det gör vi genom att bryta ut <math> {\color{Red} 6} \, </math> i täljaren:
  
 +
::::::<math> {6\,x+18 \over 6\,x} \; =\; {{\color{Red} 6} \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; =\; {x+3 \over x} </math>
  
−
=== Exempel 4 ===
+
Nu får vi också rätt svar om vi i uttrycket ovan sätter in <math> \, x = 1 </math><span style="color:black">:</span> <math> \quad \displaystyle{{1+3 \over 1} \, = \, 4} \quad </math>.
 +
</big></div>
  
  
 +
<div class="ovnC">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 4</span> ===
 +
 +
<big>
 
[[Image: Ex Rationell uttryck Div.jpg]]
 
[[Image: Ex Rationell uttryck Div.jpg]]
  
−
I första steget (likhetstecknet) ovan har den [[1.3_Rationella_uttryck#Repetition:_Kvadreringsreglerna_.26_konjugatregeln|<strong><span style="color:blue">2:a kvadreringsregeln (baklänges)</span></strong>]] använts:
+
I första steget har den [[1.3_Rationella_uttryck#Repetition:_Kvadreringsreglerna_och_konjugatregeln|<b><span style="color:blue">2:a kvadreringsregeln</span></b>]] använts baklänges för att faktorisera 2:a gradspolynomet<span style="color:black">:</span> <math> \; x^2 - 2\,x + 1 = (x-1)^2 \, </math> för att sedan kunna förkorta med <math> (x-1)\, </math>.
 +
</big></div>
  
−
:::<math> x^2 - 2\,x + 1 = (x-1)^2 </math>
 
  
−
Detta för att faktorisera 2:a gradspolynomet för att sedan kunna förkorta med <math> (x-1)\, </math>.
+
<div class="ovnA">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 5</span> ===
  
−
 
+
<big>
−
=== Exempel 5 ===
+
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \left(\frac{x^2 - 8\,x + 16}{y^3}\right)\, \Big / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \,\, \; </math> så långt som möjligt.
−
 
+
−
Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Big / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \,\, {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt:
+
  
 
:<math> \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Bigg / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \, = \, \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \cdot  \,\left({y^2 \over x - 4}\right) \, = \, </math>
 
:<math> \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Bigg / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \, = \, \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \cdot  \,\left({y^2 \over x - 4}\right) \, = \, </math>
  
−
:<math> \, = \, {(x^2 - 8\,x + 16) \cdot y^2 \over  y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, \left\{ {\rm 2\!:\!a\;kvadreringsregeln\;(baklänges)\!:} \;\, x^2 - 8\,x + 16 = (x-4)^2 \right\} \, = \, </math>
+
:<math> \, = \, {(x^2 - 8\,x + 16) \cdot y^2 \over  y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, \left\{ {\rm 2\!:\!a\;kvadreringsregeln\;baklänges\!:} \;\, x^2 - 8\,x + 16 = (x-4)^2 \right\} \, = \, </math>
  
 
:<math> \, = \, {(x-4)^2 \cdot y^2 \over  y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, {(x-4) \cdot {\color{Red} {(x-4)}} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \over y \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} {(x - 4)}}} \, = {x-4 \over y} </math>
 
:<math> \, = \, {(x-4)^2 \cdot y^2 \over  y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, {(x-4) \cdot {\color{Red} {(x-4)}} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \over y \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} {(x - 4)}}} \, = {x-4 \over y} </math>
 +
</big></div>
  
  
Rad 218: Rad 234:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 10 december 2024 kl. 14.01

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt  >>      

     <<  Repetition: Tal i bråkform

Exempel på rationella uttryck

\[ \frac{1}{x} \qquad\qquad {5 \over 2\,x} \qquad\qquad {7\,x \over x+2} \qquad\quad {6\,x \over x^2 - 1} \qquad\quad {x^3 \, + \, 3\,x^2 \, - \, 8\,x - \, 1 \over 4\,x^2 \, - \, 5\,x \, + \, 1} \quad \]

Ett rationellt uttryck är kvoten (resultatet av division) mellan två polynom.

I rationella uttryck får nämnaren inte bli \( \, 0\, \), t.ex. får i:

\[ 6\,x \over x^2 - 1 \]

nämnaren \( x^2 - 1\, \) inte bli \( \, 0 \), för division med \( \, 0 \) är inte definierad. Läs: Varför är division med 0 inte definierad?

Detta innebär att \( \, x\, \) varken får vara \( \, 1\, \) eller \( \, -1\, \), för då blir polynomet \( \, x^2 - 1\, \):s värde \( \, 0 \). Och eftersom \( \, x^2 - 1\, \) står i nämnaren, blir hela uttryckets värde för \( \, x = 1 \, \) och \( \, x = -1 \, \) inte definierat. Man säger:

Det rationella uttrycket \( \, \displaystyle \frac{6\,x}{x^2 - 1} \, \) är definierat för alla \( x\, \) utom för \( \, x = 1 \, \) och \( \, x = -1 \).

Uttryckets definitionsmängd är: \( \qquad {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 1 \quad {\rm och} \quad x \neq -1 \)

Ett uttrycks definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka uttrycket är definierat, jfr. med en funktions definitionsmängd.


Analogi mellan heltal och polynom samt mellan bråk och rationella uttryck

Repetera Olika typer av tal från Matte 1.

Ett rationellt tal är ett tal i bråkform, dvs kvoten (resultatet av division) mellan två heltal med undantaget \( 0\, \) i nämnaren, t.ex. \( \; \displaystyle \frac{3}{4} \; \).

Noll får inte förekomma i nämnaren, för division med \( \, 0\, \), t.ex. \( \, \displaystyle \frac{3}{0} \, \) är inte definierad.

Följande analogi (motsvarighet) råder mellan heltal och polynom å ena och bråk och rationellt uttryck å andra sidan:

Heltal motsvarar polynom och rationella tal motsvarar rationella uttryck. De senaste två är kvoter av de första två. I de senaste två får nämnaren inte bli \( \, 0 \).

De senaste två är utvidgningar av de första två som har kommit till genom division. Inte nog med det:

När vi börjar räkna visar det sig att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning på de regler som gäller för bråktal, fast på ett högre plan. Detta gäller inte bara de fyra räknesätten utan även förkortning och förlängning.

I själva verket är räknereglerna för rationella uttryck generaliseringar av bråkräkningens regler. Samma principer som gäller för bråkräkning, kan användas för räkning med rationella uttryck. Därför:    Repetera bråkräkning från Matte 1   .


Addition och subtraktion av rationella uttryck

Exempel 1

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{5}{2\,x} \, - \, \frac{4}{3\,x} \; \) så långt som möjligt.

\[ \;\, {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} {3}} \over 2\,x \cdot {\color{Red} {3}}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} {2}} \over 3\,x \cdot {\color{Red} {2}}} \; = \; {\;15 \over 6\,x} \, - \, {\;8 \over 6\,x} \; = \; {\;15 - 8 \over 6\,x} \; = \; {7 \over 6\,x} \]


Exempel 2

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{7}{12\,x} \, - \, \frac{3}{8\,x^2} \, + \, \frac{7}{24\,x^3} \; \) så långt som möjligt.

\[ \;\, {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {\;\;7 \;\;\,\cdot {\color{Red} {2\,x^2}} \over 12\,x \cdot {\color{Red} {2\,x^2}}} \, - \, {\;\,3 \;\;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 8\,x^2 \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; \]
\[ \;\, = \; {14\,x^2 \over 24\,x^3} \, - \, {9\,x \over 24\,x^3} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 - 9\,x + 7 \over 24\,x^3} \]


Hjälpsats: \( \qquad\quad \boxed{a\,-\,b \; = \; -\,(b\,-\,a)} \)

Bevis: \( \qquad\qquad\;\;\, a\,-\,b \; = \; a\,+\,(-\,b) \; = \; (-\,b)\,+\,a \; = \; -\,b\,+\,a \; = \; -\,(b\,-\,a) \)

Dvs: Kastar man om ordningen i en subtraktion, måste minus sättas framför det hela.


Exempel 3

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{2}{a-b} \, - \, \frac{1}{b-a} \; \) så långt som möjligt.

\[ \;\, {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \; = \; {2 \over a-b} \, - \, {1 \over - \, (a-b)} \; = \; {2 \over a-b} \, + \, {1 \over a-b} \; = \; {2 \, + \, 1 \over a-b} \; = \; {3 \over a-b} \]


Repetition: Kvadreringsreglerna och konjugatregeln

\(\begin{align} {\rm 1:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a+b)^2 & = a^2 + 2\,a\,b + b^2 \;\; \\ {\rm 2:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a-b)^2 & = a^2 - 2\,a\,b + b^2 \\ {\rm \,Konjugatregeln} \qquad (a+b) \cdot (a-b) & = a^2 - b^2 \end{align}\)

OBS!   Användningen av reglerna ovan baklänges innebär faktorisering.


Exempel 4

Förenkla uttrycket \( \; {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; \) så långt som möjligt.

Redan i första steget används konjugatregeln baklänges för att faktorisera den första termens nämnare:

\[ {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; \]

\[ = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, - \, {1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; - \; {{\color{Red} {(x+2)}}\quad\cdot \quad\, 1 \quad\;\;\, \over {\color{Red} {(x+2)}}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; \]

\[ = \; {2\,x \; - \; (x+2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} \]


Multiplikation och division av rationella uttryck

Även här ska vi använda bråkräkningens regler för att multiplicera och dividera rationella uttryck:

Exempel 1

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{15}{x^2} \cdot \frac{x}{3} \)

\[ \;\, {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} \; = \; {15 \cdot x \over x^2 \cdot 3} \; =\; {{\color{Red} 3} \cdot 5 \cdot {\color{Blue} x} \over {\color{Blue} x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3}} \; = \; {5 \over x} \]


Exempel 2

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{5\,x^2}{12} \cdot \frac{3}{20\,x} \)

\[ \;\, {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} \; = \; {5\,x^2 \cdot 3 \over 12 \cdot 20\,x} \; =\; {{\color{Blue} 5 \cdot x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3} \over {\color{Red} 3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot {\color{Blue} 5 \cdot x}} \; = \; {x \over 16} \]


Exempel 3

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{x}{x+3} \cdot \frac{6\,x+18}{6\,x} \; \) så långt som möjligt.

OBS! Vanligt fel: \( \; \displaystyle{{x \over x+3} \cdot {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \; = \; {x \over x+3} \cdot 18 \; = \; {x \cdot 18 \over x+3} \; =\; {18\,x \over x+3}} \)


Korrekt lösning: \( \;\, \displaystyle{{x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} \; = \;{x \over x+3} \cdot {\color{Red} 6 \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; = \; {x \cdot (x+3) \over (x+3) \cdot x} \; = \; 1} \)

Felets förklaring:

Låt oss i uttrycket \( \, \displaystyle{{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, \) anta \( \, x = 1\, \).

Felaktig "förkortning" ger \( \, \displaystyle{{\color{Red} 6}+18 \over {\color{Red} 6}} \) \( = 18 \, \).

Rätt svar är \( \, \displaystyle{{6+18 \over 6} = {24 \over 6}} = 4 \, \).

Slutsats:

Det är fel att "förkorta" uttrycket \( \; \displaystyle{{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, \; \) med \( \; {\color{Red} {6\,x}} \; \) därför att \( \; {\color{Red} {6\,x}}+18 \; \) är en summa.

Endast om täljaren och nämnaren är produkter kan gemensamma faktorer förkortas.

Korrekt är att faktorisera \( \, 6\,x+18 \, \) innan vi kan förkorta. Det gör vi genom att bryta ut \( {\color{Red} 6} \, \) i täljaren:

\[ {6\,x+18 \over 6\,x} \; =\; {{\color{Red} 6} \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; =\; {x+3 \over x} \]

Nu får vi också rätt svar om vi i uttrycket ovan sätter in \( \, x = 1 \): \( \quad \displaystyle{{1+3 \over 1} \, = \, 4} \quad \).


Exempel 4

Ex Rationell uttryck Div.jpg

I första steget har den 2:a kvadreringsregeln använts baklänges för att faktorisera 2:a gradspolynomet: \( \; x^2 - 2\,x + 1 = (x-1)^2 \, \) för att sedan kunna förkorta med \( (x-1)\, \).


Exempel 5

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \left(\frac{x^2 - 8\,x + 16}{y^3}\right)\, \Big / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \,\, \; \) så långt som möjligt.

\[ \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Bigg / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \, = \, \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \cdot \,\left({y^2 \over x - 4}\right) \, = \, \]

\[ \, = \, {(x^2 - 8\,x + 16) \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, \left\{ {\rm 2\!:\!a\;kvadreringsregeln\;baklänges\!:} \;\, x^2 - 8\,x + 16 = (x-4)^2 \right\} \, = \, \]

\[ \, = \, {(x-4)^2 \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, {(x-4) \cdot {\color{Red} {(x-4)}} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \over y \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} {(x - 4)}}} \, = {x-4 \over y} \]


Internetlänkar

http://www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/pass6.html

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/RationalExpressions.aspx

http://www.youtube.com/watch?v=FZdt73khrxA&feature=channel

http://www.youtube.com/watch?v=hVIol-6vocY&feature=related </big>




Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=1.3_Rationella_uttryck&oldid=36878"