Skillnad mellan versioner av "2.2 Genomsnittlig förändringshastighet"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Begreppet) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Begreppet) |
||
| Rad 32: | Rad 32: | ||
::::<math> {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} </math> | ::::<math> {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} </math> | ||
| − | Uttrycket ovan har olika namn som allihopa | + | Uttrycket ovan har olika namn som allihopa kan anses som synonymer: |
| − | + | ::::<big>Genomsnittlig förändringshastighet</big> | |
| − | + | ::::<big>Förändringskvot</big> | |
| − | + | ::::<big>Ändringskvot</big> | |
| − | + | ::::<big>Differenskvot</big> | |
Om vi kommer ihåg hur begreppet <span style="color:red">lutning</span> var definierat i Matte B-kursen kan vi se att uttrycket ovan är inget annat än lutningen till den räta linjen som ersätter kurvan <math> y = f\,(x) </math> i det betraktade intervallet. Dvs man bortser från kurvans verkliga förlopp och antar för förenkelhetens skull att vi har det att göra med en rät linje, åtminstone i det betraktade intervallet. Då kan vi med uttrycket ovan beräkna den räta linjens lutning som är identisk med kurvans genomsnittliga förändringshastighet. | Om vi kommer ihåg hur begreppet <span style="color:red">lutning</span> var definierat i Matte B-kursen kan vi se att uttrycket ovan är inget annat än lutningen till den räta linjen som ersätter kurvan <math> y = f\,(x) </math> i det betraktade intervallet. Dvs man bortser från kurvans verkliga förlopp och antar för förenkelhetens skull att vi har det att göra med en rät linje, åtminstone i det betraktade intervallet. Då kan vi med uttrycket ovan beräkna den räta linjens lutning som är identisk med kurvans genomsnittliga förändringshastighet. | ||
Versionen från 30 april 2011 kl. 15.31
| Teori | Övningar |
Begreppet
Givet:
- Funktionen \( y \, = \, f\,(x) \) i form av en formel, tabell eller graf.
- Något intervall på \( x\, \)-axeln\[ x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \] dvs ett intervall med givna gränser \( x_1\, \) och \( x_2\, \).
Sökt:
- Funktionens genomsnittliga förändringshastigheten i detta intervall dvs:
- \[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1} \]
Om vi inför den nya beteckningen:
- \[\begin{align} h & = x_2 - x_1 \qquad & | \; + \; x_1 \\ x_1 + h & = x_2 \\ \end{align}\]
kan funktionen \( y = f\,(x) \):s genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \) definieras som:
- \[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} \]
Uttrycket ovan har olika namn som allihopa kan anses som synonymer:
- Genomsnittlig förändringshastighet
- Förändringskvot
- Ändringskvot
- Differenskvot
Om vi kommer ihåg hur begreppet lutning var definierat i Matte B-kursen kan vi se att uttrycket ovan är inget annat än lutningen till den räta linjen som ersätter kurvan \( y = f\,(x) \) i det betraktade intervallet. Dvs man bortser från kurvans verkliga förlopp och antar för förenkelhetens skull att vi har det att göra med en rät linje, åtminstone i det betraktade intervallet. Då kan vi med uttrycket ovan beräkna den räta linjens lutning som är identisk med kurvans genomsnittliga förändringshastighet.
Exempel 1
Följande lagar gäller för potenser där basen \( a\, \) är ett tal \( \neq 0 \), exponenterna \( x\, \) och \( y\, \) vilka rationella tal som helst och \( m,\,n \) heltal (\( n\neq 0 \)), med exempel till höger:
