Skillnad mellan versioner av "2.5 Övningar till Deriveringsregler"

Ställ upp derivatan av följande funktioner med hjälp av deriveringsreglerna:

a) \( y = -8\, \)

b) \( y = 12\,x + 7 \)

c) \( y = 4\,x^2 - 25\,x + 32 \)

d) \( y = x\, \)

e) \( y = - x\, \)

f) \( y = x + 6\, \)

g) \( y = - x + 25\, \)

Derivera med hjälp av deriveringsreglerna:

a) \( y = {x \over 2} \)

b) \( y = 0,2\,x^5 + x \)

c) \( y = {x^2 \over 2} - {3 \over 4}\,x + 25 \)

d) \( y = {4\,x^2 - 8\,x \over 5} \)

e) \( y = 15 - {x + 3 \over 2} \)

I det introducerande avsnittet Vad är derivatan? sysslade vi med följande aktivitet:

Lisa tävlar i simhopp. Hennes hopp från 10-meterstorn följer en bana som beskrivs av funktionen

\[ y = f(x) = – 9\,x^2 + 6\,x + 10\, \]

där \( y\, \) är Lisas höjd över vattnet (i meter) och \( x\, \) är tiden efter hon lämnat brädan (i sekunder).

Hon slår i vattnet vid tiden x =

a) Ställ upp med deriveringsreglerna derivatan av \( f(x)\, \).

b) Beräkna med hjälp av derivatan från a) med vilken hastighet Lisa slår i vattnet?

Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 ca. enligt modellen

\[ y \, = \, 0,04\;x \, + \, 5 \]

där

\[ x =\, \] Tiden i antal år efter 1900 (början)

\[ y =\, \] Sveriges befolkning i miljoner

a) Med hur många människor per år växte Sveriges befolkning år 1910 (slutet)?

b) Svara utan att räkna: Med hur många människor per år växer Sveriges befolkning idag om modellen ovan fortfarande gällde?

I förra avsnitt, Exempel 2 i Teori-delen betraktade vi följande problem:

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

där

\[ x \, = \, \] Tiden i minuter

\[ y \, = \, \] Oljans volym i liter

a) Beräkna oljans utströmningshastighet vid tiden \( x = 25\, \).

b) Efter hur många minuter läcker oljan med \( 300\, \) liter per minut?

a) Beräkna med derivatans definition derivatan till parabeln

\[ y \, = \, x^2 \]

i punkten med

\[ x \, = \, -3 \]

b) Ställ upp ekvationen för tangenten till parabeln i samma punkt.

c) Rita grafen till både parabeln och tangenten i samma koordinatsystem.

Bestäm med derivatans definition derivatan till funktionen

\[ y \, = \, x^2 \]

i punkten

\[ x = a\, \].

Förenkla uttrycket i \( a\, \) så långt som möjligt.

Följande funktion är given:

\[ y = 3\,x^2 - 2\,x - 4 \]

a) Rita funktionens graf.

b) Beräkna med derivatans definition funktionens derivata i punkten \( x = 1\, \).

c) Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan \( y\, \) i samma punkt.

d) Rita tangentens graf i samma koordinatsystem.