Skillnad mellan versioner av "2.6 Derivatan av exponentialfunktioner"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Derivatan av den naturliga exponentialfunktionen) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Derivatan av den naturliga exponentialfunktionen) |
||
| Rad 16: | Rad 16: | ||
:::''Kan basen i den allmänna exponentialfunktionen väljas så att derivatan av <math> y = a\,^x </math> blir så enkel som möjligt, nämligen <math> y\,' = a\,^x </math>? '' | :::''Kan basen i den allmänna exponentialfunktionen väljas så att derivatan av <math> y = a\,^x </math> blir så enkel som möjligt, nämligen <math> y\,' = a\,^x </math>? '' | ||
| − | Man vänder på steken: Istället för att fråga efter deriveringsregeln, ger man en deriveringsregel och frågar efter den bas som uppfyller denna deriveringsregel. | + | Man vänder alltså på steken: Istället för att fråga efter deriveringsregeln, ger man en deriveringsregel och frågar efter den bas som uppfyller denna deriveringsregel. |
Svaret på denna fråga är: Ja, denna bas kan bestämmas till Eulers tal e. | Svaret på denna fråga är: Ja, denna bas kan bestämmas till Eulers tal e. | ||
Versionen från 15 maj 2011 kl. 09.58
| Teori | Övningar |
Innehåll
Derivatan av den naturliga exponentialfunktionen
I detta avsnitt kommer vi att ställa upp deriveringsregeln för den s.k. naturliga exponentialfunktionen, dvs \( y = e\,^x \) med basen \( e = 2,718281828\cdots \) (Eulers tal).
För att kunna göra det gör vi ett försök att med derivatans definition ställa upp en deriveringsregel för den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \) med en godtycklig bas \( a > 0\, \). Försöket kommer att misslyckas, men det kommer att leda oss till den avgörande frågeställning som kommer att lösa problemet. Frågeställningen lyder:
- Kan basen i den allmänna exponentialfunktionen väljas så att derivatan av \( y = a\,^x \) blir så enkel som möjligt, nämligen \( y\,' = a\,^x \)?
Man vänder alltså på steken: Istället för att fråga efter deriveringsregeln, ger man en deriveringsregel och frågar efter den bas som uppfyller denna deriveringsregel.
Svaret på denna fråga är: Ja, denna bas kan bestämmas till Eulers tal e.
I matematikens historia har frågeställningen motiverat den schweiziske matematikern Leonard Euler att ställa upp sin berömda formel för talet \( e\, \). På 1700-talet bevisade han att detta tal just var \( e\, \) som sedan dess kallas för Eulers tal. Vi försöker i detta avsnitt att följa hans bevis.
Derivatan av den allmänna exponentialfunktionen
Från att ha ställt upp deriveringsregeln för den naturliga exponentialfunktionen \( y = e\,^x \) är det bara ett enkelt steg till deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \) med en godtycklig bas \( a > 0\, \):
Specialfallet \( a = e\, \) och \( \ln a = \ln e = 1\, \) ger derveringsregeln \( y\,' = e^x \) för den naturliga exponentialfunktionen.
Uppdaterad tabell över deriveringsregler
I följande tabell är \( c,\,k,\,m,\,n,\,a \) konstanter, medan \( x\, \) och \( y\, \) är variabler.
\( y\, \) \( y\,' \) \( c\, \) \( 0\, \) \( k\cdot x \, + \, m \) \( k\, \) \( x^2\, \) \( 2\,x \) \( a\,x^2 \) \( 2\,a\,x \) \( x^n\, \) \( n\cdot x\,^{n-1} \) \( a\,x\,^n \) \( n\cdot a\,x\,^{n-1} \) \( {1 \over x} \) \( - {1 \over x^2} \) \( \sqrt{x} \) \( {1 \over 2\, \sqrt{x}} \) \( e\,^x \) \( e\,^x \) \( e\,^{k\,x} \) \( k\cdot e\,^{k\,x} \) \( c\cdot e\,^{k\,x} \) \( c\cdot k\cdot e\,^{k\,x} \) \( a\,^x \) \( a\,^x \cdot \ln a \) \( f(x) + g(x)\, \) \( f\,'(x) + g\,'(x) \) \( a\cdot f(x) \) \( a\cdot f\,'(x) \)
De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem ändå i samma tabell som deriveringsreglerna. Denna tabell kommer att ytterligare kompletteras i Matte D-kursen då vi kommer att lära oss fler deriveringsregler och fler generella satser.
Internetlänkar
http://www.youtube.com/watch?v=OyKmc2bPWe0
http://www.youtube.com/watch?v=8of_svLfcjk
http://www.youtube.com/watch?v=OY8CeLUxE64&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=2wH-g60EJ18&feature=related
http://www.larcentrum.org/Safir/MA1203W/htm/m03_deriv1/m03_deriv_definition.htm
http://www.naturvetenskap.org/index.php?option=com_content&view=article&id=129&Itemid=132
Copyright © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
