Skillnad mellan versioner av "2.7 Numerisk derivering"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Varför numerisk derivering?) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Varför numerisk derivering?) |
||
| Rad 11: | Rad 11: | ||
Numerisk derivering är en metod för approximativ beräkning av derivatan. Med hjälp av numeriska deriveringsformler beräknas ett <span style="color:red">nämevärde</span> för derivatan. Frågan uppstår: varför ska vi ta fram ett nämevärde när vi kan få derivatans exakta värde med hjälp av de [[2.5_Derivatan_av_exponentialfunktioner#Uppdaterad_tabell_.C3.B6ver_deriveringsregler|deriveringsregler]] som vi sammanställde i en tabell i förra avsnitt? Svaret är: Ibland eller t.o.m. ofta kan vi inte det, vilket blir klarare om vi tittar på den numeriska deriveringens användningsområden. Numerisk derivering används ofta i följande situationer: | Numerisk derivering är en metod för approximativ beräkning av derivatan. Med hjälp av numeriska deriveringsformler beräknas ett <span style="color:red">nämevärde</span> för derivatan. Frågan uppstår: varför ska vi ta fram ett nämevärde när vi kan få derivatans exakta värde med hjälp av de [[2.5_Derivatan_av_exponentialfunktioner#Uppdaterad_tabell_.C3.B6ver_deriveringsregler|deriveringsregler]] som vi sammanställde i en tabell i förra avsnitt? Svaret är: Ibland eller t.o.m. ofta kan vi inte det, vilket blir klarare om vi tittar på den numeriska deriveringens användningsområden. Numerisk derivering används ofta i följande situationer: | ||
| − | |||
::'''1)''' När vi ska derivera en funktion som inte matchar mot någon funktionstyp i vår deriveringstabell. Ett exempel är: | ::'''1)''' När vi ska derivera en funktion som inte matchar mot någon funktionstyp i vår deriveringstabell. Ett exempel är: | ||
| Rad 18: | Rad 17: | ||
::Denna funktion kan inte deriveras med någon av de deriveringsregler vi känner till hittills. | ::Denna funktion kan inte deriveras med någon av de deriveringsregler vi känner till hittills. | ||
| − | |||
::'''2)''' När vi har en funktion vars derivata blir så komlicerad att beräkningen av derivatans värden tar mer tid än numerisk derivering. Exempel: | ::'''2)''' När vi har en funktion vars derivata blir så komlicerad att beräkningen av derivatans värden tar mer tid än numerisk derivering. Exempel: | ||
:::::::::<math> f(x) = {\sin\,3\,x \over 4\,\cos\,x} </math> | :::::::::<math> f(x) = {\sin\,3\,x \over 4\,\cos\,x} </math> | ||
| − | |||
:::::::::<math> f\,'(x) = {12\,\cos\,3\,x \cdot \cos\,x \,+\, 4\,\sin\,3\,x \cdot \sin\,x \over 16\,\cos^2\,x} </math> | :::::::::<math> f\,'(x) = {12\,\cos\,3\,x \cdot \cos\,x \,+\, 4\,\sin\,3\,x \cdot \sin\,x \over 16\,\cos^2\,x} </math> | ||
| − | |||
::För det första är det inte enkelt att ställa upp <math> f\,'(x) </math> med en deriveringsregel, den s.k. kvotregeln som vi inte känner till ännu, utan kommer att lära oss i Matte D. | ::För det första är det inte enkelt att ställa upp <math> f\,'(x) </math> med en deriveringsregel, den s.k. kvotregeln som vi inte känner till ännu, utan kommer att lära oss i Matte D. | ||
::För det andra visar exemplet att det är väsentligt enklare att beräkna funktionsvärden av typ <math> f(2)\, </math> än t.ex. <math> f\,'(2) </math>. I de numeriska deriveringsformlerna ingår endast beräkningar av funktionsvärden för <math> f(x)\, </math>, inte för <math> f\,'(x) </math>. | ::För det andra visar exemplet att det är väsentligt enklare att beräkna funktionsvärden av typ <math> f(2)\, </math> än t.ex. <math> f\,'(2) </math>. I de numeriska deriveringsformlerna ingår endast beräkningar av funktionsvärden för <math> f(x)\, </math>, inte för <math> f\,'(x) </math>. | ||
| − | |||
::'''3)''' När vi ska derivera en funktion som är given i <span style="color:red">tabellform</span>, dvs numeriskt, t.ex.: | ::'''3)''' När vi ska derivera en funktion som är given i <span style="color:red">tabellform</span>, dvs numeriskt, t.ex.: | ||
| Rad 39: | Rad 34: | ||
::Det finns ingen annan möjlighet att derivera en sådan funktion än numerisk derivering. | ::Det finns ingen annan möjlighet att derivera en sådan funktion än numerisk derivering. | ||
| − | |||
Det finns en uppsjö av numeriska deriveringsformler. Vi behandlar i detta avsnitt de vanligaste: | Det finns en uppsjö av numeriska deriveringsformler. Vi behandlar i detta avsnitt de vanligaste: | ||
Versionen från 18 maj 2011 kl. 10.18
| Teori | Övningar |
Innehåll
Varför numerisk derivering?
Numerisk derivering är en metod för approximativ beräkning av derivatan. Med hjälp av numeriska deriveringsformler beräknas ett nämevärde för derivatan. Frågan uppstår: varför ska vi ta fram ett nämevärde när vi kan få derivatans exakta värde med hjälp av de deriveringsregler som vi sammanställde i en tabell i förra avsnitt? Svaret är: Ibland eller t.o.m. ofta kan vi inte det, vilket blir klarare om vi tittar på den numeriska deriveringens användningsområden. Numerisk derivering används ofta i följande situationer:
- 1) När vi ska derivera en funktion som inte matchar mot någon funktionstyp i vår deriveringstabell. Ett exempel är:
- \[ f(x) = {2 \over e\,^x + 1} \]
- Denna funktion kan inte deriveras med någon av de deriveringsregler vi känner till hittills.
- 2) När vi har en funktion vars derivata blir så komlicerad att beräkningen av derivatans värden tar mer tid än numerisk derivering. Exempel:
- \[ f(x) = {\sin\,3\,x \over 4\,\cos\,x} \]
- \[ f\,'(x) = {12\,\cos\,3\,x \cdot \cos\,x \,+\, 4\,\sin\,3\,x \cdot \sin\,x \over 16\,\cos^2\,x} \]
- För det första är det inte enkelt att ställa upp \( f\,'(x) \) med en deriveringsregel, den s.k. kvotregeln som vi inte känner till ännu, utan kommer att lära oss i Matte D.
- För det andra visar exemplet att det är väsentligt enklare att beräkna funktionsvärden av typ \( f(2)\, \) än t.ex. \( f\,'(2) \). I de numeriska deriveringsformlerna ingår endast beräkningar av funktionsvärden för \( f(x)\, \), inte för \( f\,'(x) \).
- 3) När vi ska derivera en funktion som är given i tabellform, dvs numeriskt, t.ex.:
- 3) När vi ska derivera en funktion som är given i tabellform, dvs numeriskt, t.ex.:
- Denna funktion saknar algebraisk formel. Ändå uppfyller den definitionen på en funktion, nämligen att vara en "regel som tilldelar varje \( x\, \)-värde endast ett \( y\, \)-värde."
- Det finns ingen annan möjlighet att derivera en sådan funktion än numerisk derivering.
Det finns en uppsjö av numeriska deriveringsformler. Vi behandlar i detta avsnitt de vanligaste:
- Framåtdifferenskvoten
- Bakåtdifferenskvoten
- Centrala differenskvoten
Framåtdifferenskvoten
F
Bakåtdifferenskvoten
F
Centrala differenskvoten
F
