Skillnad mellan versioner av "2.7 Numerisk derivering"

Versionen från 18 maj 2011 kl. 19.58

Varför numerisk derivering?

Numerisk derivering är en metod för approximativ beräkning av derivatan. Med hjälp av numeriska deriveringsformler beräknas ett nämevärde för derivatan. Frågan uppstår: varför ska vi ta fram ett nämevärde när vi kan få derivatans exakta värde med hjälp av de deriveringsregler som vi sammanställde i en tabell i förra avsnitt? Svaret är: Ibland eller t.o.m. ofta kan vi inte det, vilket blir klarare om vi tittar på den numeriska deriveringens användningsområden.

Numerisk derivering används i följande situationer:

• När vi ska derivera en funktion som inte matchar mot någon funktionstyp i vår deriveringstabell. Ett exempel är:

\[ f(x) = {2 \over e\,^x + 1} \]

Denna funktion kan inte deriveras med någon av de deriveringsregler vi känner till hittills. Senare i Matte D kommer vi att lära oss en regel, den s.k. kvotregeln med vars hjälp vi kan derivera funktionen ovan.

• När vi har en funktion vars derivata blir så komlicerad att det tar mer tid att ställa upp den än att genomföra numerisk derivering. Exempel:

\[ f(x) = {\sin\,3\,x \over 4\,\cos\,x} \]

\[ f\,'(x) = {12\,\cos\,3\,x \cdot \cos\,x \,+\, 4\,\sin\,3\,x \cdot \sin\,x \over 16\,\cos^2\,x} \]

För det första är det inte enkelt att ställa upp \( f\,'(x) \). Även detta görs med kvotregeln som vi inte känner till än.

För det andra visar exemplet att det är väsentligt enklare att beräkna funktionsvärden av typ \( f(2)\, \) än t.ex. \( f\,'(2) \). I de numeriska deriveringsformlerna ingår endast beräkningar av funktionsvärden för \( f(x)\, \), inte för \( f\,'(x) \).

• När vi ska derivera en funktion som är given endast i tabellform, dvs numeriskt, t.ex.:

Denna funktion saknar algebraisk formel. Ändå uppfyller den definitionen på en funktion, nämligen att vara en "regel som tilldelar varje \( x\, \)-värde endast ett \( y\, \)-värde."

Pga avsaknaden av en formel finns det ingen annan möjlighet att derivera en sådan funktion än numerisk derivering.

Det finns en uppsjö av numeriska deriveringsformler. Vi behandlar i detta avsnitt de vanligaste:

• Framåtdifferenskvoten

• Bakåtdifferenskvoten

• Centrala differenskvoten

Framåtdifferenskvoten

Derivatan \( f\,'(a) \) av funktionen \( y = f\,(x) \) i punkten \( x = a\, \) kan approximeras med Framåtdifferenskvoten:

Tangentens lutning \( \; = \; f\,'(a) \quad \approx \quad {f(a + h) \, - \, f(a) \over h} \; = \; \) Sekanten F:s lutning

Approximationen är desto bättre ju mindre \( h\, \) är.

Bakåtdifferenskvoten

Derivatan \( f\,'(a) \) av funktionen \( y = f\,(x) \) i punkten \( x = a\, \) kan approximeras med Bakåtdifferenskvoten:

Tangentens lutning \( \; = \; f\,'(a) \quad \approx \quad {f(a) \, - \, f(a-h) \over h} \; = \; \) Sekanten B:s lutning

Approximationen är desto bättre ju mindre \( h\, \) är.

Centrala differenskvoten

Derivatan \( f\,'(a) \) av funktionen \( y = f\,(x) \) i punkten \( x = a\, \) kan approximeras med Centrala differenskvoten:

Tangentens lutning \( \; = \; f\,'(a) \quad \approx \quad {f(a + h) \, - \, f(a-h) \over 2\,h} \; = \; \) Sekanten C:s lutning

Approximationen är desto bättre ju mindre \( h\, \) är.

Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=OyKmc2bPWe0

http://www.youtube.com/watch?v=8of_svLfcjk

http://www.youtube.com/watch?v=OY8CeLUxE64&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=2wH-g60EJ18&feature=related

http://www.larcentrum.org/Safir/MA1203W/htm/m03_deriv1/m03_deriv_definition.htm

http://www.naturvetenskap.org/index.php?option=com_content&view=article&id=129&Itemid=132

Copyright © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.